循环矩阵
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循环矩阵
一．引言
循环矩阵的概念是T Muir 于1885年首先提出来的，直到1950~1955年，Good 等才分别对循环矩阵的逆，行列式及其特征值进行了研究。
近年来，循环矩阵类已成为矩阵理论和应用数学领域中的一个非常活跃的和重要的研究方向。
它之所以引起数学工作者如此大的兴趣，主要基于两方面的原因：一是循环矩阵是一类非常重要的特殊矩阵，在现代科技工程领域中被广泛地应用，在分子震动，信号处理，纠错码理论，编码理论，图像处理，结构计算，电动力学。
二是由于循环矩阵类有许多特殊而良好的性质和结构，已被广泛地应用于应用数学和计算数学的许多领域，如控制理论，最优化，求解（偏）微分方程，矩阵分解，多目标决策，二次型化简及平面几何学等。
1950年以来，循环矩阵被数学界高度重视，发展迅速，各种新的循环矩阵概念被相继提出，已有十几种。
如向后循环矩阵，循环布尔矩阵，y-（块）循环矩阵，r-循环矩阵，向后（对称）r-循环矩阵，块循环矩阵等。
二．基本循环矩阵
1．定义 ⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=0001100001000010
B 称为n 阶基本循环矩阵。
2．性质 ⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000100000101000001002
B ……， B n =E 。
3．特征多项式 1||-=-n B E λλ
特征根是全部的n 次单位根：12,,,,1-n εεε ，其中n
i n π
πε2sin
2cos +=，若记
k k εε=，则全部的n 次单位根可记作12,,,,1-n εεε 。
由于B 的n 个特征值互不相同，所以B 可以对角化。
令
)
,,,,1()
,,,,1()
1,,1,1(1
12111121121-----===n n n n n n εεεαεεεαα
则 k k k B αεα=，k=1, 2, …, n.
令 ⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=------1122112
12
2
211211111111n n n n n n T εεεεεεεεε
，则
)
,,,1()
,,,,1()
,,,,1(111211112
12221211211----------===n n n n n n n diag T B T diag T B T diag BT T εεεεεεεεε
三． 循环矩阵
1．定义 ⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------03
21
3012
2101
121
0a a a a a a a a a a a a a a a a A n n n n n n 称为循环矩阵。
2．循环矩阵的对角化及生成多项式
由于112210--++++=n n B a B a B a E a A ，所以
=-AT T 1T B T a T B T a BT T a ET T a n n 1112121110------++++
)(,),(),(),1((121-=n f f f f diag εεε
称多项式112210)(--++++=n n x a x a x a a x f 为循环矩阵A 的生成多项式。
事实上, 由于B 的特征值为12,,,,1-n εεε , 所以A =f (B )的特征值为
).(,),(),(),1(121-n f f f f εεε
3．特征向量
由于AT T 1-为对角形可知T 的列向量仍是n ααα,,,21 ，且n ααα,,,21 也是A 的特征向量，从而也是所有循环矩阵的特征向量。
四．一般矩阵的对角化与循环矩阵的关系
定理1 n 阶矩阵P 可以对角化的充要条件是P 相似于一个n 阶循环矩阵。
证明 一方面，若n 阶矩阵P 与循环矩阵A 相似，由于A 可以相似对角化，所以P 也可以相似对角化。
反过来，若n 阶矩阵P 可以对角化，总存在n 阶循环矩阵A 与之相似。
事实上，设),,,(211n diag PQ Q λλλ =-，若能得到A 的生成多项式 则A 就被唯一确定了。
为此令：
,)(1+=k k f λε k = 0, 1, … , n -1.
即1011121211021
1121211011
01202010=⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧=++++=++++=++++---------ελεεελεεελεεε其中n
n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a
这个非齐次线性方程组的系数行列式是Vandermonde 行列式，从而不等于0，于
是该方程
组有唯一解),..,,(110-n a a a ，f (x )被唯一确定。
此时 ),,,()(,),(),(),1((211211n n diag f f f f diag AT T λλλεεε ==--，即
PT Q AT T 11--=
所以存在循环矩阵A 与矩阵P 相似。
定理2 设P 和Q 是两个n 阶复矩阵，则它们可以同时对角化（即BC
C AC C 11--和均为对
角形）⇔存在可逆矩阵C 及两个多项式f (x )和g (x )使得
C B f C Q C B f C P )(,
)(11--==
其中B 为基本循环矩阵。
五．广义循环矩阵
1．r-循环矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------03
21
3012
2101
121
0a ra ra ra a a ra ra a a a ra a a a a J n n n n n n
令： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=0000100001000010
0r J
，则 rE J r r
J n
=⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=02
0,,
000000000000100
关于r-循环矩阵也有与循环矩阵的性质和结论。
2．向后（对称）循环矩阵
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------23
101
10
432
013211221
n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A
3．后（对称）r-循环矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------23
1
01
10432
01321
1221
n n n n n n ra ra ra ra a ra ra a a a ra a a a a a a a a a A
4．块-循环矩阵---分块矩阵以循环矩阵的形式出现。
5．向后（对称）块循环矩阵 6．块-r 循环矩阵 7．向后单位置换矩阵
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
=1111
K ， K 2 = E , K = K * 六．广义逆
ABA=A (1) BAB=B (2) (AB)*=AB (3) (BA)*=BA (4) AB=BA (5)
满足(1)(2)(3)(4)的矩阵称为A 的Moore-Penrose 逆A +; 满足(1)(2)的矩阵B 称为A 的自反g-逆； 满足(1)(2)(5)的矩阵B 称为A 的群逆；
满足(1)(2)且其非0特征值是A 的非0特征值倒数的矩阵B 称为A 的谱逆A s .
七．置换矩阵
定义 n 阶矩阵P 的每行每列只有一个元素为1其余元素均为0的矩阵称为置换矩阵。
1-=P P T。
