一次函数新课讲义—实用全面
（一）变量和函数 1. 函数的概念
一般地，在一个 过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于 的 ，那么我们就说x 是自变量，y 是 ． 2. 函数的三种表示方法
（1）用数学式子表示函数关系的方法叫做 ；
（2）通过列出自变量的值与对应的函数的表格来表示函数关系的方法叫做 ；
（3）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的 作为点的 ，在平面直角坐标系内 ，由这些点 ，叫做这个函数的图象．这种表示函数关系的方法叫做 ． 3. 判定一次函数的方法：
1) 从表达式角度考虑：有三条件：自变量x 为一次；因变量为一次，系数k ≠0.
例1 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.
（1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y 的值； （3）当y=4时，求x 的值．
[分析] 由y-3与x 成正比例，则可设y-3=kx ，由x=2，y=7，可求出k ，则可以写出关系式．
解：（1）由于y-3与x 成正比例，所以设y-3=kx ．把x=2，y=7代入y-3=kx 中，得7-3＝2k ， ∴k ＝2． ∴y 与x 之间的函数关系式为y-3=2x ，即y=2x+3．（2）当x=4时，y=2×4+3=11． （3）当y ＝4时，4=2x+3，∴x=
2
1
. 引申：+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是 . 【注意】 y 与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.
2) 从表格角度考虑：任从表格中组成二点的坐标，其纵坐标之差与横坐标差的比值不变。 3) 从图像角度考虑： 判断所形成的图像是否为直线。
4. 确定一次函数的方法（一般要备两条件），确定一次函数就是求k ，b
（1）由于正比例函数y=kx （k ≠0）中只有一个待定系数k ，故只需一个条件（如一对x ，y 的值或一个点）就可求得k 的值．
（2）由于一次函数y=kx+b （k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立的条件确定两个关于k ，b 的方程，求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x ，y 的值． 一般从以下角度考虑求k 和b ：
1) 从表达式：已知两点坐标时可先设出所求表达式y=kx+b 再找两点的坐标分别代入表达式中，列出方程（或方程
（1（2（3
解⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==.
35,34b k ∴此函数的关系式为y=3534-x ．
（3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．
2) 从表格：将表格取两个值，组成具有有序的实数对，化为两个点的坐标，代入解方程组
例：版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时投入的成本与印数间的相应数据如下：
印数x （册） 5000 8000 10000 15000 …… 成本y （元） 28500
36000
41000
53500
……
（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入y （元）是印数x （册）的一次函数，求这个一次函数
的解析式（不要求写出的x 取值范围）。 （2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？
例：发现课桌椅可以根据人的身长调节高度.他测量了一套课桌椅上的四个档次的高度,得到如下数据:
请你和同学一起讨论,研究y 和x 可能满足什么函数关系
例.（2009年广东省）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板， 则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，
第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）．
分析：直接观察第n 个图形中需要黑色瓷砖的块
数有一定的难度，若把上面图案的顺序编号为1、2、3……，它们所对应的白色纸片的块数分别是4、7、10……，于是得到有序实数对（1，4）（2，7）（3，10）……，用函数思想就可简洁的求出规律式. 解：设所求的黑色瓷砖的块数y 与序号n 之间的关系式为：y=kn+b ，把（1，4）（2，7）代入关系式，解得：
⎩⎨
⎧==1b 3k ，于是得到第n 个图形中需要黑色瓷砖的块数为31n +.
3) 从图象：在直线上找两个点，将其两点的坐标代入函数解析式中。
例：机动车出发前油箱内有油42升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q （升）与行驶时间t （时）之间的函数关系如图所示，根据下图回答问题： （1）机动车行驶 小时后加油； （2）中途加油 升； （3）写出直线CD 的关系式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
42
36
30
24
18 12
Q （升）
O A B C x
y
012345B
A
C
1.4
2.4
3.4
4.4
例：直线ＡＢＣ为甲地向乙地打长途电话所需付的话费ｙ（元）与通话时间x （分钟）之间的函数关系的图象，当x ≥3时，该图象的解析式为 ；从图象可知，通话2分钟需付电话费为 元；通话7分钟需付电话费 元.
例：小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作： 请根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球量筒中水面升高_______cm ；
（2）求放入小球后量筒中水面的高度y （cm ）与小球个数x （个）•之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 例: 已知一个一次函数的图象经过点（-2，5）并且与y 轴相交于点P ，直线y ＝3
21
+-
x 与y 轴交于点Q ，点Q 与点P 关于x 轴对称,求这个一次
函数表达式。
5. 函数的性质： 1) 自变量的取值范围：
2) 属性：由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直
线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连
成直线即可一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-k b ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.
3) K 值和b 的理解：
从表达式角度理解：k 为自变量每变化一个单位值时所对应的函数的变化值x y
∆∆；b 为当自变量取零时相应的函数
值。
例：自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费
0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费。写出该单位水费y （元）与每月用水量x （吨）之间的函数关系式。
从表格角度理解：任从表格中组成二点的坐标，其纵坐标之差与横坐标点的比值即为k 值，b 为表格中自变量x
为0时，对应的y 值。
从图像角度理解：K 值为图像与x 正半轴夹角的正切值，即自变量每变化一个单位值时所对应的函数的变化值x y
∆∆，
b 值为图像与y 轴交点的纵坐标值。
例
：某轮
船
公司
规定乘客随身携带的行李若超过一定的质量，需要购买行李票，已知行李票价y （元）是行李质量x （千克）的 一次函数，它的图象如下图所示：求y 与x 的函数关系式，并指出x 的取值范围。
t （时）
6 10 x
y 60 80 (-2,5) y Q P y ＝32
1
+-
x y =kx +b
x
