中国海洋大学vhdl习题

习题七1.写出下面方程的阶,判别它们是齐次还是非齐次的,线性还是非线性的.(1)u t −u xx +1=0;(2)u t −u xx +xu =0;(3)u t −u xxt +uu x =0;(4)u tt −u xx +x 2=0;(5)u x +e y u y =0;(6)u t +u xxxx +√1+u =0;(7)u x (1+u 2x )−1/2+u y (1+u 2y )−1/2=0.2.求下面的一阶线性偏微分方程的通解:(1)xu x −2yu y =0;(2)xu x +yu y =0;(3)xu x +3u =x 2;(4)xu x +2u y −2u =0;(5)(1+x 2)u x +u y =0;(6)3u y +u xy =0;(7)u x −u y =1;(8)yu x −xu y =3x ;(9)x 2u x +y 2u y =(x +y )u ;(10)au x +bu y +cu =0.3.求解下面的初值问题:(1){u t =x 2,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=x 2,−∞<x <+∞.(2){2u t +3u x =0,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=sin x,−∞<x <+∞.(3){u t −au x =0,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=x 2,−∞<x <+∞.4.求方程u x −u y =1满足条件u (x,0)=x 2的解.5.求方程yu x +xu y =u 分别满足条件u (x,0)=x 3和条件u (0,y )=y 3的解.6.求方程u x +3y 23u y =2满足条件u (x,1)=1+x 的解.7.求解方程u x +u y +u =1,使其在曲线y =x 2+x (x >0)上满足条件u (x,y )=sin x .8.试证明如果u 1(x,t )和u 2(x,t )分别是下面两个热传导方程初值问题{u 1t =a 2u 1xx ,−∞<x <+∞,t >0,u 1(x,0)=φ1(x ),−∞<x <+∞和{u 2t =a 2u 2yy ,−∞<y <+∞,t >0,u 2(y,0)=φ2(y ),−∞<y <+∞的解,则u (x,y,t )=u 1(x,t )u 2(y,t )是初值问题{u t =a 2(u xx +u yy ),−∞<x,y <+∞,t >0,u (x,y,0)=φ1(x )φ2(y ),−∞<x,y <+∞1的解.9.函数1+x,1−x和1+x+x2是线性相关还是线性无关的?为什么?10.下面哪些算子是线性的?(1)Lu=u x+xu y;(2)Lu=u x+uu y;(3)Lu=u x+u2y;(4)Lu=u x+u y+1.11.证明非齐次线性算子方程Lu=f的任意两个解的差是齐次线性算子方程Lu=0的解.12.判别下列方程的类型,并将其化为标准型:(1)4u xx+5u xy+u yy+u x+u y=2;(2)u xx−4u xy+4u yy=e y;(3)u xx+u xy+u yy+u x=0.13.求方程3u xx+10u xy+3u yy=0的通解.14.求方程u xx+2u xy+u yy=0的通解.15.判断能否找到方程u xx+2u xy+5u yy+u x=0的通解?为什么?16.对偏微分方程u tt=a2u xx+bu x,其中a,b为常数,寻找合适的函数变换u(x,t)=w(x)v(x,t)使得v满足的偏微分方程中不含一阶偏导数项.17.化简偏微分方程u tt=a2u xx+bu x+cu t+du,其中a,b,c,d为常数.18.试求满足方程u tt=a2u xx和u2t=a2u2x的公共解.习题八1.求解下列特征值问题:(1){X′′+λX=0,0<x<l,X′(0)=X′(l)=0;(2){X′′+λX=0,0<x<l,X′(0)=X(l)=0;(3){X′′+λX=0,a<x<b,X(a)=X(b)=0;(4){X′′+λX=0,0<x<l,X(0)=0,X′(l)+γX(l)=0;2.一根长为l的弦,两端固定,初始位移为A sin πxl,初始速度为零.求该弦的振动规律.3.求解混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=sinπxl,u t(x,0)=sinπxl,0≤x≤l.24.求解混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=sin3πxl,u t(x,0)=x(l−x),0≤x≤l.5.求解混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u x(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=cosπx2l,0≤x≤l,u t(x,0)=cos3πx2l+cos5πx2l,0≤x≤l.6.一根长为l的均匀细杆,它的初始温度为常数u0,两端温度恒为零.试求杆上的温度分布情况.7.求解混合问题u t=u xx,0<x<1,t>0, u x(0,t)=u x(1,t)=0,t≥0,u(x,0)=1+cosπx,0≤x≤1.8.用分离变量法求解梁振动方程混合问题u tt+a2u xxxx=0,0<x<l,t>0, u(0,t)=u xx(0,t)=u(l,t)=u xx(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),u t(x,0)=ψ(x),0≤x≤l.9.求解阻尼弦振动方程混合问题u tt=a2u xx−2hu t,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),u t(x,0)=ψ(x),0≤x≤l,其中0<h<aπl是一个常数.10.求解混合问题u t=a2u xx−b2u,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),0≤x≤l,其中b为已知常数.311.求解混合问题u tt=a2u xx+g,0<x<l,t>0, u(0,t)=0,u x(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=u t(x,0)=0,0≤x≤l,其中g为已知常数.12.求解混合问题u t=u xx+sinπx,0<x<1,t>0, u(0,t)=u(1,t)=0,t≥0,u(x,0)=0,0≤x≤1.13.求解具有放射性衰变的热传导方程混合问题u t=a2u xx+A e−βx,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=T0,0≤x≤l,其中A,β,T0均为已知常数.14.求解混合问题u tt=u xx,0<x<1,t>0, u(0,t)=E,u(1,t)=0,t≥0,u(x,0)=u t(x,0)=0,0≤x≤1,其中E为已知常数.15.求解混合问题u t=a2u xx,0<x<l,t>0, u x(0,t)=0,u(l,t)=u0,t≥0,u(x,0)=u0lx,0≤x≤l,其中u0为已知常数.16.设弹簧的一端固定,另一端在外力作用下作周期振动,此时归结为混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=0,u(l,t)=A sinωt,t≥0,u(x,0)=u t(x,0)=0,0≤x≤l,其中A,ω>0为已知常数,试求解.417.求解混合问题u t=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=A sinωt,u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=0,0≤x≤l,其中A,ω>0为已知常数.18.试证明如果w(x,t;τ)是混合问题w t=a2w xx,0<x<l,t>τ, w(0,t;τ)=w(l,t;τ)=0,t≥τ,w(x,τ;τ)=f(x,τ),0≤x≤l的解,其中τ≥0表示初始时刻,则u(x,t)=∫tw(x,t;τ)dτ是混合问题u t=a2u xx+f(x,t),0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=0,0≤x≤l的解.这是热传导方程混合问题的齐次化原理. 19.考察由下列定解问题描述的矩形平板上的温度分布u xx+u yy=0,0<x<a,0<y<b, u(0,y)=0,u(a,y)=0,0≤y≤b,u(x,0)=f(x),u(x,b)=0,0≤x≤a,其中f(x)为已知的连续函数.20.求解定解问题u xx+u yy=0,0<x<a,0<y<b, u x(0,y)=A,u x(a,y)=A,0≤y≤b,u y(x,0)=B,u y(x,b)=B,0≤x≤a,其中A,B为已知常数.21.求解单位圆上的拉普拉斯方程狄利克雷边值问题u rr+1ru r+1r2uθθ=0,0<r<1,−π≤θ≤π, u(1,θ)=f(θ),−π≤θ≤π,5其中f(θ)分别为(1)f(θ)=A cosθ;(2)f(θ)={A,|θ|<α,0,|θ|≥α,这里A和α都是常数.22.求解定解问题u rr+1ru r+1r2uθθ=0,0<r<l,0≤θ≤α, u(r,0)=0,u(r,α)=0,0≤r≤l,u(l,θ)=f(θ),0≤θ≤α,其中f(θ)为已知的连续函数,而α<2π.习题十1.求下列函数的傅里叶变换(1)sin axx(a>0);(2)1x2+a2;(3)sinηx2,cosηx2(η>0);(4)x e−ax2(a>0).2.已知∫+∞−∞f(ξ)dξ(x−ξ)2+a2=1x2+b2(0<a<b),求未知函数f(x).3.用傅里叶变换求解下列定解问题(1){u t+au x=f(x,t),−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=φ(x),−∞<x<+∞,(2)u tt=a2u xx+f(x,t),−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=0,−∞<x<+∞,u t(x,0)=0,−∞<x<+∞,(3){u t=u xx+tu,−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=f(x),−∞<x<∞.(4)u tt+2u t=u xx−u,−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=0,−∞<x<+∞,u t(x,0)=x,−∞<x<+∞,(5)∗u tt+a2u xxxx=0,−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=φ(x),−∞<x<+∞,u t(x,0)=0,−∞<x<+∞.4.试证明若w(x,t;τ)是齐次初值问题{w t=w xx,−∞<x<+∞,t>τ,w(x,τ;τ)=f(x,τ),−∞<x<∞.6的解,则u(x,t)=∫tw(x,t;τ)dτ是非齐次初值问题{u t=u xx+f(x,t),−∞<x<+∞,t>0,u(x,0)=0,−∞<x<+∞.的解.这就是热传导方程初值问题的齐次化原理.5.利用延拓法求解热传导半无界问题u t=a2u xx,x>0,t>0, u x(0,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),x≥0.6.利用延拓法求解弦振动半无界问题u tt=a2u xx,x>0,t>0, u(0,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),u t(x,0)=ψ(x)x≥0.7.求下列函数的拉普拉斯变换(1)f(t)=e−2t;(2)f(t)=t2;(3)f(t)=sin t cos t;(4)f(t)=cosh t;(5)f(t)=cos2kt;(6)f(t)=sin2t cos3t.8.求函数f(t)=(t−1)[H(t−1)−H(t−2)]的拉普拉斯变换,其中H(t)是单位阶跃函数.9.求下列函数的拉普拉斯变换(1)f(t)=(t−1)2e t;(2)f(t)=e−2t sin3t;(3)f(t)=H(3t−5);(4)f(t)=t e−3t sin2t;(5)f(t)=∫t0t e−3t sin2t d t;(6)f(t)=t∫te−3t sin2t d t.10.按定义10.4计算下列卷积(1)t∗t;(2)t∗e t;(3)t∗sin t;(4)cos t∗cos t;(5)sin t∗cos t;(6)e kt sin t∗e kt cos t.11.求下列函数的拉普拉斯逆变换7(1)1s+5;(2)2s4;(3)1s2+9;(4)2s+3s2+4;(5)s−2(s+1)(s−3);(6)s+1s2+s−6;(7)s(s2−1)2;(8)1s3(s2+4);(9)s2+2s−1s(s−1)2;(10)s(s2+1)(s2+4);(11)s+8s2+4s+5;(12)s+2(s2+4s+5)2;(13)s(s2+1)2;(14)2s2+3s+3(s+1)(s+3)3;(15)1(s−1)(s−2)(s+3).12.利用拉普拉斯变换公式计算如下积分(1)∫+∞0e−t sin2t d t;(2)∫+∞t e−3t cos2t d t.13.求解下列微分方程(1){y′+y=1,t>0,y(0)=0.(2){y′−y=−3e2t,t>0,y(0)=2.(3){y′′−6y′+9y=e3t,t>0,y(0)=y′(0)=0.(4){y′′−3y′+2y=5,t>0,y(0)=1,y′(0)=2.(5){y′′−2y′+2y=2e t cos t,t>0,y(0)=y′(0)=0.(6){y′′−2y′+5y=e t sin2t,t>0,y(0)=0,y′(0)=7/4.(7){y′′′+3y′′+3y′+y=6e−t,t>0,y(0)=y′(0)=y′′(0)=0.(8){y′′′+2y′′+y′=−2e−2t,t>0,y(0)=2,y′(0)=y′′(0)=0.14.求解下列微分方程组(1)x′+2x+2y=10e2t,y′+y−2x=7e2t,x(0)=1,y(0)=3.(2)3x′+y′+2x=1,x′+4y′+3y=0,x(0)=y(0)=0.15.求解积分方程f(t)=sin t+2∫tcos(t−τ)f(τ)dτ.16.利用拉普拉斯变换求解下列定解问题(1){u xy=1,x>0,y>0, u(0,y)=y+1,u(x,0)=1.(2)u tt=a2u xx,x>0,t>0, u(x,0)=0,u t(x,0)=b,u(0,t)=0.8(3)u t =a 2u xx ,0<x <l,t >0,u x (0,t )=0,u (l,t )=u 0,u (x,0)=u 1(u 0,u 1为常数).(4)u tt =a 2u xx +cos ωt,x >0,t >0,u (x,0)=0,u t (x,0)=b,u (0,t )=0.习题十一1.求出下列弦振动方程初值问题的解:(1)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=0,u t (x,0)=1;(2)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=sin x ,u t (x,0)=x 2;(3)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=x 3,u t (x,0)=x ;(4)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=cos x ,u t (x,0)=e −1.2.求解无限长弦的自由振动,设弦的初始位移为φ(x ),初始速度为−aφ′(x ).3.对方程u tt =4u xx ,x ∈R ,t >0,写出点(4,1)的依赖区间,区间[2,4]的决定区域.4.求解弦振动问题的古尔萨问题u tt =u xx ,−∞<x <+∞,t >0,u (x,−x )=φ(x ),−∞<x <+∞,u (x,x )=ψ(x ),−∞<x <+∞,其中φ(x ),ψ(x )为充分光滑的已知函数,且φ(0)=ψ(0).5.试求出方程∂∂x [(1−x h )2∂u ∂x ]=1a 2(1−x h )2∂2u∂t 2的通解为u =f (x −at )+g (x +at )h −x,其中h 为已知常数,f,g 为充分光滑的任意函数.提示：令v (x,t )=(h −x )u (x,t ).6.一根无限长的弦与x 轴的正半轴重合,并处于平衡状态中,弦的左端位于原点.当t >0时左端点作微小振动A sin ωt ,试求弦的振动规律为u (x,t )= 0,t ≤x a ,A sin ω(t −x a ),t >x a ,其中A,ω为已知常数.97.求解定解问题u xx +2u xt −3u tt =0,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=sin x,−∞<x <+∞,u t (x,0)=x,−∞<x <+∞,8.求解下列非齐次弦振动方程初值问题:(1)u tt −a 2u xx =x +at,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=0,−∞<x <+∞,u t (x,0)=0,−∞<x <+∞,(2) u tt −u xx =t sin x,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=0,−∞<x <+∞,u t (x,0)=sin x,−∞<x <+∞,(3) u tt −u xx =−1,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=sin x,−∞<x <+∞,u t (x,0)=x,−∞<x <+∞,(4)u tt −a 2u xx =x,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=0,−∞<x <+∞,u t(x,0)=3,−∞<x <+∞.习题九1.在点x =x 0处用幂级数方法求解下列微分方程:(1)y ′′−xy =0,x 0=0,1;(2)y ′′−xy ′−y =0,x 0=0,1;(3)(1−x )y ′′+y =0,x 0=0;(4)(1−x 2)y ′′−xy ′+4y =0,x 0=0.2.试判别x =−1,0,1是下面方程的什么点（常点、正则奇点或非正则奇点）:(1)xy ′′+(1−x )y ′+xy =0;(2)(1−x 2)y ′′−2xy ′+n (n +1)y =0;(3)2x 4(1−x 2)y ′′+2xy ′+3x 2y =0;(4)x 2(1−x 2)y ′′+2xy ′+4y =0.3.写出下列方程的指标方程及其根:(1)x 3y ′′+(cos 2x −1)y ′+2xy =0;(2)4x 2y ′′+(2x 4−5x )y ′+(3x 2+2)y =0;(3)x 2y ′′+3xy ′+4xy =0;(4)x 3y ′′−4x 2y ′+3xy =0.4.求出下列方程的两个线性无关的弗罗贝尼乌斯级数解:(1)xy ′′+2y ′+xy =0;(2)xy ′′−y ′+4x 3y =0;(3)x 2y ′′−x 2y ′+(x 2−2)y =0;(4)4xy ′′+2y ′+y =0.5.证明勒让德多项式P n (x )满足:(1)P n (−1)=(−1)n ;(2)P 2m −1(0)=0;(3)P 2m (0)=(−1)m(2m )!22m (m !)2.106.证明勒让德多项式有如下的积分表示公式,即施列夫利公式P n(x)=12n2πiC(z2−1)n(z−x)n+1d z,(1)其中C是围绕x的任意周线.7.利用上题中的施列夫利公式,取积分路径为圆周C:|z−x|=√1−x2,证明勒让德多项式的拉普拉斯积分表示公式P n(x)=1π∫π(x+i√1−x2cosφ)n dφ.(2)设x=cosθ,进一步证明|P n(x)|=|P n(cosθ)|≤1.8.证明P n(x)在开区间(−1,1)内有n个单零点.9.证明P n(x)=n∑k=0(n+k)!(n−k)!(k!)22k(x−1)k.10.证明勒让德多项式满足递推关系式P n(x)=P′n+1(x)−2xP′n(x)+P′n−1(x),n=1,2,···.11.证明n∑k=0(2k+1)P k(x)=P′n(x)+P′n+1(x),n=0,1,2,···.12.证明∫1−1P n(x)d x=0,n=1,2,···.13.证明∫1−1(1−x2)[P′n(x)]2d x=2n(n+1)2n+1,n=0,1,2,···.14.计算下列积分:(1)∫1−1xP n(x)P n+1(x)d x;(2)∫1−1x2P n(x)P n+2(x)d x;(3)∫1−1[xP n(x)]2d x.15.将函数f(x)=5x3+3x2+x+1展开成F–L级数.16.将单位阶跃函数f(x)={0,−1<x<0,1,0≤x<1展成F–L级数.17.将函数f(x)=|x|在区间(−1,1)内展开成F–L级数.1118.求解球坐标系下的下列定解问题:(1)∆u =0,r >1,u (1,θ)=cos 2θ,lim r →+∞u (r,θ)=0.(2) ∆u =0,1<r <2,u (1,θ)=cos θ,u (2,θ)=1+cos 2θ.(3)∆u =0,r <a,0≤θ<π2,u (a,θ)=u 0,∂u ∂n θ=π2=0.19.试求半径为R 的球体的定常温度分布.假定球面上的温度分布恒为u (R,θ)=u 0cos θ.20.有一个单位球,使其上半球面温度恒为1,下半球面温度恒为0.试求球内的温度分布.21.在半径为a 的接地金属球壳内,在到球心的距离为b 的位置处放置一个点电荷4πε0q .求球内的电势分布.22.设半径为a 的半球球面保持恒温u 0cos θ,底面保持零度.求半球内的温度分布.23.在电场强度为E 0的均匀电场中放进一个接地导体球,球的半径为a .设球心即球坐标系的原点处的电势为u 0,求球外的电势分布.24.用分离变量法求偏微分方程∂2u ∂t 2−∂∂x [(1−x 2)∂u∂x]=0,−1<x <1的通解.25.证明P m n (−x )=(−1)m +n P mn (x ).26.证明如下递推公式:(1)(1−x 2)12[P m n (x )]′=P m +1n (x )−mx (1−x 2)−12P mn (x );(2)2mx (1−x 2)12P m n (x )=P m +1n (x )+[n (n +1)−m (m −1)]P m −1n (x ).27.证明递推公式(9.52)和(9.53).28.利用递推公式(9.50)–(9.53)证明如下递推公式:(1)P m n (x )=xP m n −1(x )+(n +m −1)(1−x 2)12P m −1n −1(x );(2)(1−x 2)12P m +1n (x )=(n −m )xP m n (x )−(n +m )P m n −1(x );(3)(1−x 2)[P m n (x )]′=(n +m )P m n −1(x )−nxP m n (x );(4)(1−x 2)[P m n (x )]′=mxP mn (x )−(n +m )(n −m +1)(1−x 2)12P m −1n(x ).1229.将下列函数展开成球面调和函数的广义傅里叶级数:(1)sinθcosφ;(2)32(5cos2θ−1)sinθsinφ;(3)3sin2θcos2φ−1.30.在半径为r0的球体外部区域求解∂2u∂r2+2r∂u∂r+1r2sinθ∂∂θ(sinθ∂u∂θ)+1r2sin2θ∂2u∂φ2=0,r>r0,0<θ<π,−∞<φ<+∞, u(r0,θ,φ)=u0(sin2θcos2φ−13),0≤θ≤π,−∞<φ<+∞,limr→+∞|u(r,θ,φ)|<+∞,0≤θ≤π,−∞<φ<+∞.31.分别在半径为r0的球体的内部区域和外部区域求解∆3u=0,u(r0,θ,φ)=4sin2θ(cosφsinφ+12).32.分别在半径为r0的球体的内部区域和外部区域求解∆3u=0,u r(r0,θ,φ)=−sin2θcos2φ+13.33.在内半径为r1,外半径为r2的球壳区域内求解∆3u=0,u(r1,θ,φ)=u1cosθ,u(r2,θ,φ)=u2sinθcosθsinφ,其中u1,u2为常数.34.在半径为r0的球体内部区域求解泊松方程定解问题{∆3u=Ar cosθ,u(r0,θ,φ)=0,其中A为常数.35.证明对任意实数x有e x2(z−1z)=+∞∑n=−∞J n(x)z n,0<|z|<+∞.因为这个等式,函数e x2(z−1z)称为贝塞尔函数的母函数（或生成函数）.1336.证明e i x cosθ=J0(x)+2+∞∑n=1i n J n(x)cos nθ.这个等式的物理意义为平面波按柱面波展开.由它导出cos(x cosθ)=J0(x)+2+∞∑m=1(−1)m J2m(x)cos2mθ,sin(x cosθ)=2+∞∑m=0(−1)m J2m+1(x)cos(2m+1)θ.37.证明:(1)cos x=J0(x)+2+∞∑m=1(−1)m J2m(x);(2)sin x=2+∞∑m=0(−1)m J2m+1(x);(3)1=J0(x)+2+∞∑m=1J2m(x);(4)x=2+∞∑m=0(2m+1)J2m+1(x).38.利用第35题的结论证明J n(x)=12πiCe x2(ζ−1ζ)ζn+1dζ,n=0,±1,±2,···,其中C是任一围绕z=0的周线.进一步证明当C为单位圆周时有J n(x)=1π∫πcos(x sinθ−nθ)dθ.39.证明J0(x)=2π∫1cos xt√1−t2d t.由此证明J0(x)在(π/2,π)内有一个零点.40.证明|J n(x)|≤1,n=0,1,2,···.41.证明除原点外,Jν(x)和J′ν(x)的其它零点都是单零点.42.试证贝塞尔函数的加法公式J n(x+y)=+∞∑k=−∞J k(x)J n−k(x),n=0,±1,±2,···.43.证明1=J20(x)+2+∞∑k=1J2k(x).1444.证明:(1)J2(x)−J0(x)=2J′′0(x);(2)J3(x)+3J′0(x)+4J′′′0(x)=0;(3)J2(x)=J′′0(x)−x−1J′0(x);(4)x2J′′n(x)=(n2−n−x2)J n(x)+xJ n+1(x).45.证明∫x n J0(x)d x=x n J1(x)+(n−1)x n−1J0(x)−(n−1)2∫x n−2J0(x)d x.46.计算积分:(1)∫J3(x)d x;(2)∫x4J1(x)d x.47.计算积分∫+∞e−ax J0(bx)d x,其中a,b为实数,a>0.48.设ωm是J1(x)的第m个正零点,m=1,2,···.将函数f(x)=x在区间(0,1)上展为J1(ωm x)的傅里叶-贝塞尔级数.49.设ωm是J0(x)的第m个正零点,m=1,2,···.将函数f(x)=1−x2在区间(0,1)上展为J0(ωm x)的傅里叶-贝塞尔级数.50.考虑一个半径为a、高为h的均匀圆柱体,下底和侧面的温度保持为零度,上底温度分布恒为u0,求柱内稳定的温度分布.51.考虑一个半径为a、高为h的均匀圆柱体,侧面绝热,下底的温度保持为零度,上底温度分布恒为1−r2a2,求柱内稳定的温度分布.52.设有半径为1的薄均匀圆盘,边界上温度为0,初始温度分布为1−r2,求盘内的温度分布.53.考虑一个半径为R的无限长均匀圆柱体,侧面保持常温u0,柱内初始温度为0,求柱内的温度分布.54.考虑一张边界固定的环形膜,内外半径分别为r1和r2,试求它振动的特征频率.55.证明半奇数阶第二类贝塞尔函数Y n+12(x)=(−1)n+1J−(n+12)(x).这说明所有的半奇数阶第二类贝塞尔函数都是初等函数,从而所有的第二类球贝塞尔函数也都是初等函数.56.证明艾里微分方程y′′−xy=0的通解可以表示为y=CJ13(2i3x32)+DY13(2i3x32).57.证明微分方程x2y′′+axy′+(x2−ν2)y=0(a=1)可以化为贝塞尔方程.15。