高中数学必修5新教学案：3.4基本不等式(1)

1 3.4 基本不等式（学案）

（第 1 课时）

【知识要点】 1．基本不等式及其成立的条件； 2．利用基本不等式求最值． 【学习要求】 1． 了解基本不等式的证明过程； 2． 掌握基本不等式成立的条件； 3． 会应用基本不等式求最值．

【预习提纲】 （根据以下提纲，预习教材第 97 页～第 99 页） 1．在如右图赵爽的弦图中，正方形ABCD的面积为 ，四个 直角三角形的面积为 ；由这两个面积的大小关系 可得基本不等式 ，其中等号成立的条件为 ．

2.如果0,0ab，用 代替 ，222abab 可得基本不等式 （当且仅当，等号成立）. 3．分析法证明2abab，要证2abab，只要证2abab0， 即证 0,当且仅当 时，等号成立． 4．2abab可化为ab （0,0ab）；使用该不等式求最值时，要注意的前提条件为：（1）0,0ab；（2）积或和为定值；（3）当且仅当ab时，等号成立， 即记为“一正，二定，三相等” ． 5.正数,ab的算术平均数是 ；正数,ab的几何平均数是 ；正数,ab的算术平均数不小于它们的几何平均数. 【基础练习】

1．下列不等式成立的是. A2abab B 2abab C12xxD2

2

12xx．

2．0,x当x为 时，1xx的值最小，且最小值为 ． 3.已知函数2213yxx，当x= 时，2213yxx有最小值为 ． 2

4．已知且，则的最小值为 ． 【典型例题】 例1 已知,xy都是正数，求证：

如果积xy是定值，那么当xy时，和xy有最小值2.p

【变式练习】 （1）求函数4(0)yxxx的最小值_______．

（2）求函数的最大值_______． （3）已知，求函数的最小值____． （4）已知，不等式恒成立，则实数的范围____. 例2 已知,xy都是正数，求证：

如果和xy是定值，那么当xy时，积xy有最大值21.4s

【变式练习】 1.已知0,0xy且2xy，则xy的最大值为 .

2. 已知02,x则(2)yxx的最大值 . 3. 已知20,3x求(23)yxx的最大值.

例3 （1） 已知,,abc都是实数，求证：22221;3abcabcabbcac

（2）设,,abc都是正数，求证：.bccaababcabc 证明：（1）2222222,2,2,ababbcbcacac 2222()222abcabbcac

①

即222abcabbcac② 在①式两边同时加上222abc得22223().abcabc 3

即22221.3abcabc 在②式两边同时加上222abbcac得23.abcabbcac 即21.3abcabbcac 22221.3abcabcabbcac （2）,,abc都是正数，,,bcacababc都是正数． 2,2,2.bcacabbcabaccbaabcacb 相加得2()2().bccaababcabc 故.bccaababcabc

1．下列推理过程正确的是. A

若,,abR则22babaabab•

B

若0,x则11cos2cos2coscosxxxx•

C

若0,x则4424xxxx•

D

若,,0,abRab则22baabababbaba

2. 下列函数中最小值为4的是.

A

4yxx 4()sin(0)sinByxxx

C343xxyDlg4log10.xyx

3. 已知01,x求(33)yxx的最大值时x的值. A13 B12 C34D

2

3. 4

4. 已知,,3,abRab则22ab的最小值是. A6 B42 C23D

26.

5. 设1,x，函数2221xxyx的图象最低点的坐标为. A(1,2) B(1,2) C(1,1)D

(0,2).

6. (1)若，的最____值为_____,此时=___. (2)若，的最____值为_____,此时=______. 7. (1)把36写成两个正数的积，当这两个正数取 时，它们的和最小． (2)把18写成两个正数的和，当这两个正数取 时，它们的积最大．

8.. 若1,1xy，则loglogxyyx的取值范围 .

9. 设1,x求函数521xxyx的最小值. 10. 求43lglgyxx的值域. 11. 已知,ab都是正数，求证： 222.22ababab 12. 已知,ab都是正数，求证：222222.222abbcacabbcacabc

1. （2007年山东）函数1(0,1)xyaaa的图象恒过定点A,若点A在直线10mxny上，则11mn的最小值是 .

2. （2007年北京）如果正数满足，那么. A abcd，且等号成立时,,,abcd的取值唯一Babcd

，且等号成立时,,,abcd的取值唯一 5

Cabcd，且等号成立时,,,abcd的取值不唯一Dabcd

，且等号成立时,,,abcd的取值不

唯一. 6 必修5 3.4 基本不等式（学案）

（第 1 课时）

【教学目标】 1．了解基本不等式的证明过程； 2. 掌握基本不等式成立的条件； 3. 会应用基本不等式求最值． 【重点】 1. 掌握基本不等式成立的条件； 2. 会应用基本不等式求最值． 【难点】 1.抓住定值进行变形应用基本不等式求最值．

【预习提纲】 （根据以下提纲，预习教材第 97 页～第 99 页）

1．在如右图赵爽的弦图中，正方形ABCD的面积为22ab，四个

直角三角形的面积为2ab；由这两个面积的大小关系 可得基本不等式222.abab其中等号成立的条件为.ab 2.如果0,0ab，用,ab代替,ab，222abab 可得基本不等式2abab（当且仅当，等号成立）. 3．分析法证明2abab，要证2abab，只要证2abab0，即证2

ab0,当且仅当ab时，等号成立．

4．2abab可化为ab 2()2ab （0,0ab）；使用该不等式求最值时，要注意的前提条件为：（1）0,0ab；（2）积或和为定值；（3）当且仅当ab时，等号成立，即记为“一正，二定，三相等” ．

5.正数,ab的算术平均数是2ab；正数,ab的几何平均数是ab ；正数,ab的算术平均数不小于它们的几何平均数. 7

【基础练习】 1．下列不等式成立的是.D A2abab B 2abab C12xxD2

2

12xx．

2．0,x当x为 1 时，1xx的值最小，且最小值为 2 ．

3.已知函数2213yxx，当x= 413 时，2213yxx有最小值为 23 ．

4．已知且，则的最小值为 2 ． 【典型例题】 例1 已知,xy都是正数，求证：

如果积xy是定值，那么当xy时，和xy有最小值2.p 【审题要津】从基本不等式中不等号的方向去思考、变形、求解得到． 证明:0,0,.2xyxyxy当且仅当xy时，等号成立．

因此当xy时，和xy有最小值2.p 【方法总结】当两正数的积为定值时，和有最小值；应用该结论时注意前提条件：正数、定值、等号成立；其中定值是解题的关键，注意变形及应用． 【变式练习】

（1）求函数4(0)yxxx的最小值___4____．

（2）求函数的最大值___-2____． （3）已知，求函数的最小值_4___． （4）已知，不等式恒成立，则实数的范围4a. 例2 已知,xy都是正数，求证： 如果和xy是定值，那么当xy时，积xy有最大值21.4s 【审题要津】从基本不等式中不等号的方向去思考、变形、求解得到．