2.5等比数列的前n项和(整理)

求该数列前2m项的和。
7
例4. 已知等差数列{an}为等差数列且d≠0， {an }的部分项组成数列 {bn}，其中 bn akn 若 k1
，
1, k2 5, k3 17,
（1）求 kn
（2）若a1=2,求{an. kn}前n项和Sn
8
例5.设数列
an 满足： S
n
2an 1,
2.5.2等比数列前n项和（2）
1
一.复习回顾
1.等比数列前n项公式
当q=1时， S n na1
a1 a n q 当 q 1 时，S n 1 q
① ②
2
a1 (1 q ) 或 Sn 1 q
n
2.分段和的性质
①当q=－1且k为偶数时，
S k , S 2k S k , S 3k S 2k 不是等比数列.
(1)若 a1 a2 a10 2, a11 a12 a30 12
(2)若q 2, S99 77，则a3 a6 a9 ..... a99
(3)若q 2, a1a2a3......a99 2 ，则a3a6a9 .....a99
二.例题讲解
例1.等比数列 an 中：
(1)若Sn 2 q，求q的值
n
(2)若前 n项和与积分别为S和T，
1 数列 的前 n 项和为 an
S
'
S 求证： T ' S
2
n
5
例2.等比数列 an 中：
求 a31 a32 a60 的值。
②当q≠－1或kห้องสมุดไป่ตู้奇数时，
王新敞
奎屯

中的三个，可求另外两个。
知三求二 ②如果不能用公式直接求出某个量，就要建立方程组来求解。
例3 某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么 从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)？
分析：第1年产量为 5
第2年产量为 第3年产量为
……
5×(1+10%)=5×1.1 5×(1+10%) ×(1+10%)=5×1.12
11.1
两边取对数，得
n lg1.1 lg1.6
∴ n lg1.6 0.20 5 （年） lg1.1 0.041
答：约5年内可以使总产量达到30万吨.
(八)问题解决
问题1：这个故事中，到底谁吃亏了？
问题2：这个月，富人一共要给穷人多少钱？ 1+2+3+……+30=465万元
问题3：这个月，穷人一共要给富人多少钱？ 穷人给的总数为:
2.5 等比数列的前n项和(一)
吴良文
(二)问题探究
问题1：这个故事中,到底谁吃亏了？ 问题2：这个月，富人一共要借给穷人多少钱？
1+2+3+4+……+30=465万元 问题3：这个月，穷人一共要给富人多少钱？
现在我们一起 来寻找答案。
问题4：这是什么数列求和？求前多少项的和？ 求等比数列的前30项的和。
第n年产量为
51.1n1
则n年内的总产量为：
5 51.1 51.12 L 51.1n1
解：由题意，从第1年起，每年的产量
组成一个等比数列
an,
其中 a1 5, q 110% 1.1, Sn 30,
∴

练习：教材P66第2、3题.
例4、一个热气球在第一分钟上升了25m的 高度，在以后的每一分钟里，它上升的高 度都是它在前一分钟上升高度的80％ .这个 热气球上升的高度能超过125m吗？
例5、如图，作边长为a的正三角形的内 切圆，在这个圆内作内接正三角形，然 后，再作新的三角形的内切圆.如此下去， 求前n个内切圆的面积和.
0.求Sn .
练习：教材P66第1题.
例2 求等比数列 1，a,a2,……的前n项和Sn.
解 当 a 1时 ， Sn n
解
:当
a
a11时1，,Sqn
1a an
1 a
S
n
S11nnaan11((aaaan11))
作业：教材第69页(A组)：
1、2、3.
例2 某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年 的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约 几年内可使总产量达到30万吨 (保留到个位)？
SqSnnSna1(na1aaa11111qq1q)aaSqqn11qq(n22qa1a1qa1aa311q)1q1nn2 aqaan1q1qqnn11 (aq1qn 1)
例1(1)求等比数列 1 , 1 , 1 ,... 的前8项和. 2 4 8
( 2 ) a1
2 7 ,a9
1 ,q 243
解：设每年的产量组成一个等比数列 an ，
其中a1=5，q=1+10%=1.1，Sn=30
∴ 5(11.1n ) 30 1 1.1
整理可得：1.1n=
即：n lg1.6 5 （年） lg 1.1
例3、某商场今年销售计算机5000台.如果 平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10％，那么从今年起，大约几年可使总销 售量达到30000台(结果保留到个位)？

2 2 2 2 2S64 S64 (2 2 那么这些麦粒的总质量就是
2 3 4
2 3 4 63 克，64 如果1000 粒麦粒重为 40
)
(1 27300 2多亿吨。根据统计资料显 2 2 … 2 )
63
S64 2
64
1
1.84 10
注:以上 m, n, p, q 均为自然数
引入：印度国际象棋发明者的故事
（西 萨）
引入新课
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的２倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 , , 2 .
它是以１为首项公比是２的等比数列， 麦粒的总数为:
2
3
63
S64 1 2 2 2
2
……
5000 1.1 台
2
n1
台
n 1
5 5 1.1 5 1.1 5 1.1
• 1．数列{2n－1}的前99项和为( ) • A．2100－1 B．1－ 2100 • C．299－1 D．1－299
1×1－299 99 解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝ ＝2 －1. 1－2
1 n 答案： 3(4 －1)
解析： 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝2n－ 1.易知等比数列{an}的公比 q＝2，首项 a1＝1， ∴an＝2n－1，于是 an2＝4n－1， 1 n 2 2 2 n－1 ∴a1 ＋a2 ＋„＋an ＝1＋4＋4 ＋„＋4 ＝ (4 －1)
2
3
Sn =
a1 ( 1 – q n )
1–q
(q 1)
(一) 用等比定理推导 因为 所以