2020届河北省衡水金卷新高考原创精准仿真试卷(一)文科数学

2020届河北省衡水金卷新高考原创精准仿真试卷（十二）理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.已知集合{|10}A x x =+>，{1,0,1}B =-，则A B =（ ）A. {1}B. {}1-C. {0,1}D.{}1,0-【答案】C 【解析】 【分析】求得集合{|10}{|1}A x x x x =+>=>-，根据集合的交集运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|10}{|1}A x x x x =+>=>-，又由{1,0,1}B =-，所以{0,1}A B =，故选C .【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合A ，再利用集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.2.若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. z 的虚部为i - B. ||2z =C. 2z 为纯虚数D. z 的共轭复数为1i --【答案】C 【解析】 【分析】先得到复数z 的代数形式，然后根据复数的有关概念对给出的四个结论分别进行分析、判断后可得正确的结论． 【详解】由题意得22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-． 对于A ，由1z i =-得复数z 的虚部为1-，所以A 不正确． 对于B ，1z i =-=，所以B 不正确．对于C ，由于22(1)2z i i =-=-，所以2z 为纯虚数，所以C 正确． 对于D ，1z i =-的共轭复数为1z i =+，所以D 不正确． 故选C ．【点睛】本题考查复数的有关概念，解题的关键是得到复数的代数形式和熟悉复数的相关概念，属于基础题．3.已知m ，n 为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出αβ∥的是（ ）A. ,,m n m n αβ⊂⊂∥B. ,,m n m n αβ⊥⊥C. ,,m n m n αβ⊥D. ,,m n m n αβ⊥⊥⊥【答案】B【解析】 【分析】根据垂直于同一直线的两平面平行可知B 正确. 【详解】当//m n 时，若m α⊥，可得n α⊥ 又n β⊥，可知//αβ 本题正确选项：B【点睛】本题考查面面平行的判定，属于基础题.4.空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：如图是某市10月1日-20日AQI 指数变化趋势：下列叙述错误的是（ ）A. 这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上的天数占14C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给图象，结合中位数的定义、AQI 指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.【详解】对A ，因为第10天与第11天AQI 指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；对B ，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占14，正确； 对C ，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；对D ，由图知，10月上旬大部分AQI 指数在100以下，10月中旬大部分AQI 指数在100以上，所以正确，故选C.【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.5.已知向量a ，b 满足22a b ==，，且()2a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（ ）A. 1B.C.D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】先根据向量垂直得a b ，再根据向量投影公式得结果. 【详解】因为()2a a b ⊥+，所以()204202a a b a b a b ，，，+=∴+==-因此b 在a 方向上的投影为1||a ba =-，选D. 【点睛】本题考查向量垂直以及向量投影，考查基本分析求解能力，属基础题.6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A. 48π+B. 48π-C. 482π+D.482π-【答案】A 【解析】试题分析：由三视图还原原几何体，可得原几何体为底面边长是2，高是5的正四棱柱内部挖去一个半径为1的半球．然后利用正方体的表面积及球的表面积求解．详解：由三视图可知，原几何体为底面边长是2，高是5的正四棱柱内部挖去一个半径为1的半球．其表面积为221222+425-1+412ππ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =48+π． 故选：A ．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7.十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ） A.15B.14C.13D.12【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出满足条件的B 的位置，再由测度比是弧长比得答案． 【详解】解：设“弦AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件M ， 以点A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD ，则要满足题意点B 只能落在劣弧CD 上，又圆内接正三角形ACD 恰好将圆周3等分， 故1()3P M = 故选：C ．【点睛】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB 的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．8.已知ξ服从正态分布()21,N σ，a∈R，则“P（ξ＞a ）=0.5”是“关于x 的二项式321()ax x+的展开式的常数项为3”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分又不必要条件D. 充要条件【答案】A 【解析】试题分析：由，知1a =．因为二项式321()ax x +展开式的通项公式为31321()()r r r r T C ax x-+=＝3333r r ra C x --，令330r -=，得1r =，所以其常数项为212333a C a ==，解得1a =±，所以“”是“关于x 的二项式321()ax x+的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选A ．考点：1、正态分布；2、二项式定理；3、充分条件与必要条件．9.函数f （x ）=3344x x -的大数图象为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D 项；再由当()0,1x ∈时，函数()f x 的值小于0，排除B ，即可得到答案.【详解】由题知，函数()f x 满足()333()3()4444xx x x f x f x ---==-=---，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D 项；又由当()0,1x ∈时，函数()f x 的值小于0，排除B ，故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左右两个焦点分别为12,F F ，A ，B 为其左、右两个顶点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且∠AMB=30°，则该双曲线的离心率为（ ）A.2B.C. D.2【答案】B 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点M ，再由两点的斜率公式，得到,a b 的关系，最后由离心率公式即可得到所求值．【详解】解：双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的渐近线方程为b y x a =±，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，将直线by xa=代入圆的方程，可得x a == （负的舍去），y b =，即有(,)M a b ，又(,0)A a -，(,0)B a ， 由于AMB=30∠ ，BM x ⊥轴，则2tan 303a b ==，即有b =，则离心率c e a ===故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．11.已知△ABC的边AB，AC的长分别为2，3，∠BAC=120°，则△ABC的角平分线AD的长为（）A. B. 35C. D.65【答案】D【解析】【分析】先由余弦定理求得BC和cos B，再由角平分线定理求得BD，然后在三角形ABD中由余弦定理可得AD．【详解】解：根据角平分线定理可得：23 BD AB DC AC==由余弦定理可得：BC==∴25=BD，5BC=，在三角形ABC中由余弦定理得222cos=2AB BC ACBAB BC+-==⋅在三角形ABD中由余弦定理得222cos=2AB BD ADBAB BD+-⋅，24194AD⨯+-=，解得：65AD=．故选：D．【点睛】本题考查了三角形中的几何计算，属中档题．12.已知函数()1ln ,111,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若12x x ≠，且()()122f x f x +=，则12x x +的取值范围是（ ） A. [)2,+∞ B. [)1,e -+∞ C. []32ln 2,-+∞ D. []32ln3,-+∞【答案】C 【解析】 【分析】经过讨论可知121x x <≤，利用()()122f x f x +=可得1212ln x x =-，从而将12x x +化为2212ln x x -+；通过求解函数()()12ln 1g x x x x =-+≥的值域求得12x x +的取值范围.【详解】设12x x <若211x x >≥，则()()1212121ln 1ln 2ln 2f x f x x x x x +=+++=+=121x x ∴=，不成立；若121x x <<，则()()()121212111111222222f x f x x x x x +=+++=++= 122x x ∴+=，不成立若121x x <≤，则()()12121211131ln ln 22222f x f x x x x x +=+++=++= 1212ln x x ∴=- 122212ln x x x x ∴+=-+设()()12ln 1g x x x x =-+≥，则()221x g x x x-'=-+= 当12x ≤<时，()0g x '<，则()g x 单调递减 当2x >时，()0g x '>，则()g x 单调递增()()min 212ln 2232ln 2g x g ∴==-+=- [)1232ln 2,x x ∴+∈-+∞本题正确选项：C【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，本题解题的关键是能够通过讨论得到12,x x 的范围，从而构造出新函数，再利用导数求得结果.二、填空题13.计算：23lg 252lg 28++=__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据对数、指数的运算性质求解即可得到结果． 【详解】原式223333lg25lg4(2)lg(254)2246⨯==++⨯+=+=．故答案为：6．【点睛】本题考查指数、对数的运算，解题时根据相应的运算性质求解即可，属于简单题．14.若实数x ，y 满足632y x x y y x ≥⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，，，则z=-x+5y 的最小值为______．【答案】12 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用直线平移法进行求解即可． 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=-x+5 y 得155z y x =+ ，平移直线155z y x =+ 由图像知当直线155zy x =+经过A 点时，直线截距最小此时z 最小，由6y x x y =⎧⎨+=⎩ 得33x y =⎧⎨=⎩，得A(3,3) ，则z 的最小值为-3+5×3=12， 故答案为：12．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．15.已知sin α-3cos α=0，则22cos πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=______． 【答案】35- 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求2219cos ,sin 1010αα==.可得3sin cos 10αα===，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解．【详解】解：∵sin 3cos 0αα-=， ∴sin =3cos αα， ∵22sin cos 1αα+= ，∴2219cos ,sin 1010αα== ，可得：3sin cos 10αα=== ∴332=sin22sin cos 22105cos παααα⎛⎫+-=-=-⨯=- ⎪⎝⎭． 故答案为：35-． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.已知点F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 向圆221(1)2x y -+=作切线，切点分别为,A B ，则四边形AFBM 面积的最小值为______． 【答案】12【解析】 【分析】画出满足题意的图象，可得M 与原点重合时，四边形AFBM 面积最小，进而得到答案． 【详解】如下图所示：圆的圆心与抛物线的焦点重合，若四边形AFBM 的面积最小，则MF 最小， 即M 距离准线最近，故满足条件时，M 与原点重合，此时1,2MF BF BM ===，此时四边形AFBM 面积112222BMF S S ∆==⨯=，故答案：12． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质。

2020届河北省衡中同卷新高考原创精准仿真试卷（十八）文科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

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2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

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5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

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6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

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如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

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一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长．【详解】解：复数z＝a+bi，a、b∈R；∵2z，∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，即，解得a＝3，b＝4，∴z＝3+4i，∴|z|．故选：D．【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题．2.已知集合，则集合的子集个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合B，求出A∩B，从而可确定它的子集个数.【详解】∵，∴∴所以该集合的子集个数为22＝4．故选：C．【点睛】本题考查了集合运算问题与子集个数问题，是基础题目．3.现有甲班三名学生，乙班两名学生，从这名学生中选名学生参加某项活动，则选取的名学生来自于不同班级的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】解：从这名学生中选名学生参加某项活动，基本事件总数n10，抽到2名学生来自于同一班级包含的基本事件个数m4，∴抽到2名学生来自于不同班级的概率是P．故选：D【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.平行四边形中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据向量的数量积求出，然后把，用，表示，代入结合已知即可求解【详解】解：平行四边形ABCD中，，∴2，∵，∴，，则（）•（）＝3故选：B．【点睛】本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，考查计算能力与转化能力．5.有人认为在机动车驾驶技术上，男性优于女性.这是真的么？某社会调查机构与交警合作随机统计了经常开车的名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违法事件发生，得到下面的列联表：附：据此表，可得（）A. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足B. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过C. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足D. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过【答案】A【解析】【分析】由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论.【详解】由表中数据，计算K20.3367＜0.455，∴认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足；故选：A【点睛】本题考查独立性检验的应用，关键是理解独立性检验的思路．6.在中，内角所对的边分别为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A，进而利用二倍角余弦公式得到结果.【详解】∵．∴sin A cos B＝4sin C cos A﹣sin B cos A即sin A cos B+sin B cos A＝4cos A sin C∴sin C＝4cos A sin C∵0＜C＜π，sin C≠0．∴1＝4cos A，即cos A，那么．故选：C【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．7.设分别为离心率的双曲线的左、右焦点，为双曲线的右顶点，以为直径的圆交双曲线的渐近线于两点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由离心率可知，联立方程求出两点的坐标，进而可得结果.【详解】∵离心率，∴不妨设圆与y x相交且点M的坐标为（，）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣，﹣），联立，得M（a，2a），N（﹣a，﹣2a），又A（a，0），∴，∴，∴故选：A．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率．解决本题的关键在于求出a，b的关系．8.已知实数是给定的常数，函数的图像不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令m=0,排除D,对函数求导，确定其极值点的正负即可判断【详解】当m=0,C符合题意，当m≠0>0,设的两根为则<0,则两个极值点异号，则D不合题意，故选:D【点睛】本题考查函数图像的识别与判断，导数的应用，考查推理能力，是基础题9.在三棱锥中面分别为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法求角即可.【详解】∵∴，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∴，设，则，∵，∴，解得∴∴，∴异面直线与所成角的余弦值为故选：B【点睛】本题考查了异面直线所成角的余弦值求法问题，也考查了推理论证能力和运算求解能力，是中档题．10.把函数的图像向左平移个单位长度，再把所得的图像上每个点的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图像，并且的图像如图所示，则的表达式可以为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件先求出φ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可．【详解】∵g（0）＝2sinφ＝1，即sinφ，∴φ或φ（舍去）则g（x）＝2sin（ωx），又当k=1,即g（x）＝2sin（x），把函数g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的，得到y＝2sin（4x），再把纵坐标缩短到到原来的，得到y＝sin（4x），再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，即g（x）＝sin[（x-）]＝故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出ω和φ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键．11.设椭圆的右焦点为，经过原点的直线与椭圆相交于点，若，椭圆的离心率为，则的面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由椭圆定义及离心率，可得a，c的值，利用余弦定理可得，进而利用面积公式得到结果.【详解】设椭圆的左焦点为,由椭圆的对称性可知，∴，∴，又，∴，由余弦定理可得，，故∴=故选：C【点睛】本题考查了椭圆的定义与几何性质，考查了余弦定理及面积公式，属于中档题．12.函数对于任意实数，都有与成立，并且当时，.则方程的根的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意明确函数的周期性，数形结合即可得到方程的根的个数.【详解】对任意实数x都有f（x+2）＝f[1+（1+x）]＝f[1﹣（1+x）]＝f（﹣x），由于f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x）∴f（x+2）＝f（x）∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，且值域为．方程的根的个数即函数图象与直线的交点个数，当时，，当时，函数图象与直线无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个故选：A【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的图象，方程根与函数零点的关系，难度中档．二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______．【答案】【解析】【分析】求导，x=0代入求k，点斜式求切线方程即可【详解】则又故切线方程为y=x+1故答案为y=x+1【点睛】本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题14.若实数满足不等式组，且的最小为，则实数______．【答案】【解析】【分析】画出可行域，由z的几何意义确定其最小值，列m的方程求解即可【详解】画出可行域如图阴影部分所示：当过A 时取得最小值，联立得A,则，解m=故答案为【点睛】本题考查线性规划，z的几何意义，数形结合思想，确定取得最小值的最优解是关键，是中档题15.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为，当时，符合条件的共有_____个．【答案】【解析】【分析】由题设a=3m+2=5n+3,m,n∈N*,得3m=5n+1，对m讨论求解即可【详解】由题设a=3m+2=5n+3,m,n∈N*,则3m=5n+1当m=5k,n不存在；当m=5k+1，n不存在当m=5k+2,n=3k+1，满足题意当m=5k+3,n不存；当m=5k+4,n不存在；故2≤a=15k+8≤2019,解则k=0,1,2…134,共135个故答案为：135【点睛】本题以传统文化为背景考查整数的运算性质，考查不等式性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．16.圆锥的底面半径为，母线长为.正四棱柱的上底面的顶点均在圆锥的侧面上，棱柱下底面在圆锥的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】设正四棱柱的底面边长为x，设棱柱的高h，利用相似性表示h＝，从而得到，利用导数知识求最值即可.【详解】设正四棱柱的底面边长为x ，设棱柱的高h ， 根据相似性可得：，解得：h ＝x ，（其中0＜x ＜2）．∴此正四棱柱体积为：令，解得：易得：在上递增，在上递减，所以此正四棱柱体积的最大值为【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及函数的最值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.为数列的前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）设，求.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】 （1）当时，，检验成立即可求解；（2）由=裂项相消求和即可【详解】（1）当时，当时，满足上式，（2）由可得【点睛】本题考查数列通项公式，裂项相消求和，考查计算能力，熟记求和的基本方法，准确计算是关键，是基础题18.四棱锥中，底面是菱形，.（1）求证：；（2）若是的中点，求点到平面的距离.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】(1)要证转证平面，即证；(2) 由（1）可知，平面.可得平面平面设点到平面的距离为，则由于，得点到平面的距离为.【详解】（1）证明：由于四边形是菱形，，所以是正三角形.设的中点为，连接，如图所示，则又，所以.又相交于，所以平面又平面，所以. （2）由（1）可知，平面.可得解：由（1）可知，平面.又，所以平面.又平面，所以平面平面设点到平面的距离为，则由于，得点到平面的距离为.由于平面，所以两点到平面的距离均为.所以点到直线的距离就是.设的中心为，则平面. ，在中，在中，，所以.由，得点到直线距离为，即，得所以点到平面的距离为.【点睛】本题考查线面垂直的判定，点到平面的距离，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.19.某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取个家庭，得到数据如下：参考公式：回归直线的方程是：，其中，.（1）据题中数据，求月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；（2）从这个家庭中随机抽取个，求月支出都少于万元的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由题意得到，，进而得到从而得到月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程；(2) 从个家庭中抽取个，共包含15种情况，其中月支出都少于万元的基本事件共10种，从而得到结果.【详解】解：（1）,故月支出关于月收入的线性回归方程是：（2）若从个家庭中抽取个，则基本事件为，共种，月支出都少于万元的基本事件为，共种，则月支出都少于万元的概率.【点睛】本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法求线性回归方程，考查古典概型概率公式，考查计算能力，属于中档题．20.已知定点，横坐标不小于的动点在轴上的射影为，若.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若点不在直线上，并且直线与曲线相交于两个不同点.问是否存在常数使得当的值变化时，直线斜率之和是一个定值.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】(1)利用抛物线定义，即可得到动点的轨迹的方程；(2) 设，则，利用韦达定理即可得到结果.【详解】（1）设点在直线上的射影是，则由于的横坐标不小于，所以，又所以即点到的距离与到直线的距离相等，所以的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线.即的方程是（2）由于在曲线上，可设，则的斜率的斜率所以又曲线与直线相交于两点，所以，于是联立方程，得，所以.∴=1-，此式随着m的变化，值也在变化，所以不存在k值满足题意.【点睛】此题考查了定义法求轨迹方程，综合考查了直线与圆锥曲线方程联立，解决更为复杂的存在探究问题，难度中档．21.函数，其中常数.（1）求的最小值；（2）若，讨论的零点的个数.【答案】（1）-1（2）见解析【解析】【分析】(1) 导数为，研究单调性即可得到的最小值；(2)在其定义域上的导数是，对a分类讨论，数形结合即可明确的零点的个数.【详解】解：（1）在定义域上的导数为.所以当时，；当时，.所以的单调递减区间是，单调增区间是.所以的最小值是.（2）在其定义域上的导数是①当时，由（1）可得在上是增函数，此时由，可得函数有唯一的零点.②当时，并且对于负数，有又因为，所以，即所以在区间上存在负数，使得，则在上是增函数；在区间上是减函数.则.所以在上，有且仅有个零点；在区间上，并且是增函数.所以存在正数，使得在上，是减函数；在上，是增函数.于是有所以在上，恰有唯一的零点.所以当时，在上恰有三个不同的零点.综上所述，当时，有唯一的零点；当时，有三个不同的零点.【点睛】本题考查了函数的最值与函数零点的个数判断，考查转化思想与函数方程思想，考查转化能力与计算能力，属于中档题．22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，点，直线（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用极坐标与普通的互化求解即可；（2）将直线的参数方程化为标准形式为：（为参数），与椭圆联立，利用t的几何意义求解即可【详解】（1）又曲线的直角坐标方程为：（2）将直线的参数方程化为标准形式为：（为参数），代入曲线方程，得.恒成立【点睛】本题考查极坐标与普通方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，考查计算能力，计算的值注意判断的正负是关键，是中档题23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若对于任意恒成立，求实数的最小值，并求当取最小值时的范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）零点分段去绝对值化简解不等式即可；（2）恒成立，即恒成立，即，由绝对值三角不等式求即可求解【详解】（1）当时，不等式化为，解得，可得；当时，不等式化为，解得，可得；当时，不等式化为，解得，可得.综上可得，原不等式的解集为.（2）若恒成立，则恒成立，又最小值为.此时解得.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式求最值，熟记定理，准确计算是关键，绝对值三角不等式成立条件是易错点，是中档题。

2020届河北省衡中同卷新高考原创精准仿真试卷（十五）文科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内复数对应点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】对复数进行化简，再得到，确定其在复平面内对应点所在象限.【详解】所以，在复平面对应的点为，位于第四象限.【点睛】本题考查复数的基本运算，共轭复数，复数与复平面上点的对应关系，属于简单题.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对集合进行化简，然后根据集合的并集运算，得到结果【详解】集合中：解得，即，集合中描述的是的范围，即函数的定义域，解得即；所以故选D项.【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题.3.已知向量，,且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】将转化为向量的坐标运算，得到结果.【详解】由，转化为，根据向量数量积的坐标运算可得，解得故选C项.【点睛】本题考查对向量之间位置关系的转化，数量积的坐标运算，属于简单题.4.已知分别为直线和曲线上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将题目转化为圆心到直线的最短距离，然后减去半径，即得到答案【详解】，整理得即是圆心半径为1的圆，所以圆心到直线的距离所以的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即.故选C项.【点睛】本题考查圆上的点与直线上的点的最小距离，一般圆上动点到直线距离的问题，可以先转化为圆心到直线的距离再求解，属于简单题.5.如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形较小的锐角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据四个直角三角形全等，设它们的长直角边为，利用勾股定理得到的值，可以得出和，再得到【详解】大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的边长为，小正方形边长为.设四个全等的直角三角形的长直角边为，则短直角边为由勾股定理得，解得为直角三角形较小的锐角，所以所以【点睛】本题考查平面几何中勾股定理等相关知识，二倍角的计算，属于简单题.6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将三视图还原成立体图形，然后可得还原后的三棱锥的四个顶点在一个长方体上，则其外接球就是长方体的外接球，然后算出半径，求出体积.【详解】将三视图还原成立体图形，如图所示，为一个三棱锥，并且，该三棱锥的四个顶点都在一个长方体上，由三视图可得，长方体的长宽高分别为2、1、1，所以外接球的半径为所以外接球的体积.故选D项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，三棱锥的外接球的体积的求法，属于简单题.7.已知函数，且的图像平移个单位后所得的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对进行化简，然后根据平移，分为向左平移和向右平移两种情况，分别得到平移后解析式，带入原点坐标，得到的值，再进行比较，得到的最小值.【详解】①将的图像向左平移个单位，得到，因为平移后图像关于对称，带入得，，可得则的最小值为；②将的图像向右平移个单位，得到，因为平移后图像关于对称，带入得，，可得则的最小值为；综合①②可知，的最小值为故选C项.【点睛】本题考查三角恒等变形，正弦型函数的图像与性质，函数的平移，属于中档题.8.若执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据框图的循环过程进行分析，发现数值的规律，然后根据规律找到输出的的值.【详解】根据框图循环，可得每一步的值；；；；发现的值有周期，周期为3，而时，的值与的下标相同，当时，循环终止，输出的值，此时为.故选A项.【点睛】本题考查框图的循环结构，找到其循环规律，得到结果，属于基础题.9.在中，若，则下列结论一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对条件中的式子利用进行化简，得到关于的式子，再进行化简后得到答案.【详解】在中，有，，为的内角，,,即【点睛】本题考查三角函数公式的运用，化简过程中消元的思想，属于简单题.10.在锐角三角形中，已知分别是角的对边，且，则面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对条件中利用正弦定理将边化成角，得到的值，利用余弦定理，得到的最大值，再由面积公式得到面积的最大值.【详解】在中，由正弦定理得，，解得为锐角三角形，则由余弦定理得,，，当且仅当时，等号成立故选B项.【点睛】本题考查三角形中正余弦定理的使用，基本不等式的简单应用，属于基础题.11.已知是双曲线的右焦点，过点作垂直于轴的直线交于双曲线于两点，分别为双曲线的左、右顶点，连接交轴于点，连接并延长交于点，且为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】 先将代入双曲线，得到两点坐标，写出直线的方程，得到点坐标，写出直线的方程，得到点坐标，利用为线段的中点，构造出关于的方程，结合双曲线中，得到离心率的方程，解出离心率.【详解】根据题意，画出示意图，如图所示，则的横坐标都为，代入双曲线方程得,而，所以直线方程为，令，得所以直线:，令得，，因为为线段中点，所以可得，整理得，所以故选C 项.【点睛】本题考查双曲线的通径，直线与双曲线的位置关系，直线的表示和交点的计算，属于中档题.12.已知函数，若对，，使成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因为为任意，先通过研究在上的单调性，极值，并求出其值域，对，，使成立，则在上的值域范围比的值域范围大，可得到关于的不等式，得到的范围.【详解】若对，，使成立，则在上的值域范围比在的值域范围大.，，所以，，则单调递增，，，则单调递减，所以时，取极大值，为，且，当，所以在上的值域为，，，所以，，则单调递增，所以在上的值域为要使在上的值域范围比在的值域范围大则需满足，解得故选B项.【点睛】本题考查利用导数求函数单调区间，极值和值域，对量词的理解和转化，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分.13.在中，已知分别为角的对边，且，则__________．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理，将式子中的边化成角，然后进行化简，得到，根据的范围，得到的值，从而得到的值.【详解】在中，由正弦定理有，，,【点睛】本题考查正弦定理边化角，两角和公式，属于简单题.14.已知直线表示两条不同的直线，表示一个平面，有下列几个命题：①若在直线上存在不同的两点到的距离相等，则；②若，,则；③若，,则；④若与所成角和与所成的角相等，则；⑤若，,则.其中正确命题的序号是__________（写出所有正确命题的序号）．【答案】⑤【解析】【分析】①中与可以存在相交；②中与可以平行也可以相交；③中与可以平行，也可以异面；④中与可以平行，也可以异面、相交；⑤正确.【详解】①中与可以存在相交；②中与可以平行也可以相交；③中与可以平行，也可以异面；④中与可以平行，也可以异面、相交；⑤正确.【点睛】本题考查直线与平面，直线与直线间的位置关系，属于简单题.15.如图所示，有三根和套在一根针上的片且自上而下由小到大的金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根上，每次只能移动一个金属片，且在移动过程中较大的金属片不能放在较小的金属片的上面。

2020届河北省衡水金卷新高考原创冲刺模拟试卷（十五）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．复数12z i=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2．设R θ∈，则“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，且当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，则(5)f -的值为（ ） A. 3-B. 1-C. 1D. 34．已知向量()()2,1,1,a b λ=-=，若()()2//2a b a b +-，则实数λ=（ ） A. 2B. -2C.12D. 1-25．已知双曲线()222103x y a a -=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则a 为（ ）AB ．1 C.2 D ．46．己知4sin()65πα+=-,则cos()3πα-= A.45B ・35C .45-.D.35-7．已知正数项等比数列{}n a 中，11a =，且14a 与5a 的等差中项是32a ，则2a =（ ） A ．2BC ．4D ．2或48．将函数()2cos()6f x x π=+图像上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，则函数()y g x =的图像的一个对称中心是（ ） A. (,0)12πB. (,0)3πC. 5(,0)12πD. 2(,0)3π 9．若A 、B 为圆()22:23C x y +-=上任意两点，P 为x 轴上的一个动点，则APB ∠的最大值是（ ） A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒10．双曲线2222:1x y E a b-=(00a b >>，）F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ，若OFM ∆的面积是1，则双曲线E 的实轴长是（ ） A. 1B. 2D. 11．如图1，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为棱1AA 的中点，,,M N Q 分别是线段11A D ，1CC ，11A B 上的点，若三棱锥P MNQ -的俯视图如图2，则点N 到平面PMQ 距离的最大值为（ ） A.3C.12．已知函数22,0()e ,0x x x f x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，若12()()f x f x =(12x x ≠)，则12x x +的最大值为（）A.2-B.2ln 2C.3ln 22-D.ln21-A1A 1B CBD1D1CP图1图2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．23x =，24log 3y =，则x y +=__________. 14. 1tan ,sin =2ABC αα=-△中，则 15．若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是__________． 16．已知函数()sin()6f x x πω=+(0)>ω的最小正周期为π，若()f x 在[0,)x t ∈时所求函数值中没有最小值，则实数t 的范围是_________ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：11n n a a S S =+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令2log 32nn a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示．（1）求频率分布表中n ，p 的值，并估计该组数据的中位数（保留l 位小数）； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率．19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥面ABC ，=90ACB ∠，M是AB 的中点，12AC CB CC ===． （Ⅰ）求证：平面1A CM ⊥平面11ABB A ． （Ⅱ）求点M 到平面11A CB 的距离．20．（本小题满分12分）已知函数121sin )(2++=x x e x f x（1）求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；（2）若函数1sin )()(ln )(--+-=x e x f x x a x g x有两个极值点1x ，2x )(21x x ≠。