第三讲 三角形的角与边
一、 基础知识
本讲重点介绍三角形的边、角不等关系,包括同一个三角形中的边、角不等关系以及不同三角形中的边、角不等关系.
1.边与边的关系
(1)在同一个三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边（三边满足什么条件时，三角形必然存在？）；
(2)勾股定理:即在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.
2.角与角的关系
(1)三角形的内角和为180；
(2)直角三角形中两锐角互余;
(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；
(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和.
3.边和角的关系
(1)在同一个三角形中,大边对大角,大角对大边;
(2)在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么夹角大的所对的边也大;反之也成立,即在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么第三边大,则所对的角也大.
4.不等式变形时常用的性质
(1)若a>b,c>d,则a+c>b+d;
(2)若a>b,c>d,则a-d>b-c;
(3)若a>b,c>0,则ac>bc;
若a>b,c<0,则ac
(4)若a>b>0,则11ab;
(5)总量大于任何一个部分量.
5.三角形中的不等关系根源:
(1)两点之间线段最短;
(2)垂线段最短.
二、 例题
第一部分 边的问题
例1. (★★希望杯训练题)将三边长为a,b,c的三角形记作(a,b,c).写出周长为20,各边长为正整数的所有不同的三角形.
例2. (★★★ 2000年希望杯竞赛题）一个三角形的三条边的长分别是a,b,c（a,b,c都是质数），且a+b+c=16，则这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.直角三角形或等腰三角形
例3. (★★★1998年江苏省竞赛题)在不等边三角形中,如果有一条边长等于另两条边长的平均值,那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( )
1 宝坻区中小学课堂教学教案
课题 三角形中边与角之间的不等关系 课型 活动课
教
学
目
标
知识与技能：（1）知道三角形中边与角的不等关系；
（2）能利用轴对称的性质进行探究三角形的边角不等关系，能利用三角形边角相等的知识，解决边角之间的不等问题.
过程与方法：经历"观察→猜想→验证→证明"等一系列活动，获得合情推理、归纳推理能力，积累数学活动经验.
情感与态度：提供动手操作的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验.
教学重点 添加辅助线,将边角之间的不等问题转化为“一个角是另一个角所在三角形的外角”的问题.
教学难点 折纸的无意操作与辅助线的有意添加结合.
教学过程
教学过程 设计意图
一、课题引入
我们知道，在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等.如果两条边不相等，那么：这两条边所对的角会不会相等？ 类比等腰三角形的边角关系猜想.
二、 探究"大边对大角"
（一）观察图形，提出猜想
1）让学生自己动手制作不等边三角形（为了教学方便
统一制作△ABC，且AB＞AC）.
2）通过观察图形，猜想性质.
在⊿ABC中，边AC对∠B，边AB对∠C，同学们通过肉眼观察可得到∠C大于∠B，故猜想大边对大角.
（二）验证猜想
量角器测量或折纸.
① 叠合法：沿ＢＣ边的垂直平分线折叠.
② 沿角平分线折叠：作∠BAC的角平分线AD，将△ADC沿AD翻折（或将△ADB沿AD翻折）.
通过观察图形发现：在一个三角形中角之间的不等关系.
根据研究几何问题的一般思路和方法,体会观察—猜想—验证—推理证明的过程.
培养学生的动手操作能力,为后面证明时添加辅助线作铺垫.
ABCC'
D A
B C C' D A
B C E
D B C A 2 ③沿高翻折：作BC边的高AD,将△ADC沿AD翻折（或将△ADB沿AD翻折）.
追问：通过折纸，如何说明∠C > ∠B？
《三角形的三边关系》课件
《三角形的三边关系》课件
一、引言
三角形是几何学中最重要的形状之一，它在日常生活和科学研究中都有着广泛的应用。三角形是由三条线段首尾相连组成的封闭图形。这三条线段之间的长度关系，也就是三角形的三边关系，是本节课我们要探讨的主要内容。
二、定义
首先，我们来明确三角形的三边关系的定义。假设我们有两个点A和B，在它们之间连一条线段AB。如果再有一个点C，与A和B都能连成线段，且这三个线段能够首尾相连，那么我们就说这三个点组成了一个三角形ABC。其中，AB、BC和CA的长度就是三角形的三边。
三、性质
三角形的三边关系有许多重要的性质，其中最基本的就是勾股定理。如果在一个直角三角形中，直角边的长度为a，斜边的长度为c，那么另外一条边的长度b满足a²+b²=c²。这个定理可以用于确定三角形的形状，也可以用于计算三角形的面积。
除此之外，还有一些其他的性质，比如三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边等等。这些性质在解决实际问题时非常重要，可以帮助我们判断某些形状是否是三角形，也可以帮助我们计算三角形的面积和周长等。
四、举例
下面我们通过几个具体的例子来说明三角形的三边关系的应用。例如，在一个直角三角形中，如果已知两条边的长度分别为3和4，那么我们可以根据勾股定理计算出第三条边的长度为5。如果在一个锐角三角形中，已知三条边的长度分别为3、4和5，那么我们可以根据两边之和大于第三边的性质，判断这个三角形是锐角三角形。
五、第二个边
除了上面讲到的三个边之间的关系，我们还可以研究三角形的第二个边。假设我们已经知道一个三角形的一个角度大小和这个角度所对的一条边，那么我们可以根据三角形的第二个边的定义，计算出这个三角形的第二个边的长度。
六、性质
三角形的第二个边也有一些重要的性质。比如，根据斜边定理，如果一个三角形的第二个边的长度为m，第一个边的长度为n，那么这个三角形的第三个边的长度就满足m²+n²=c²的关系。这个定理可以用于计算三角形的面积和周长等。 七、举例
新2024秋季 八年级人教版 数学上册 第十三章 等腰三角形《实验与探究：三角形中边与角之间的不等关系》听课记录
教学目标（核心素养）
1. 知识与技能：掌握三角形中边与角之间的基本不等关系，即“大边对大角，小边对小角”的原理。
2. 过程与方法：通过实验操作、观察分析和逻辑推理，培养学生探究数学问题的能力，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学探究的兴趣，培养严谨的科学态度和合作学习的精神。
导入
教师行为：
• 展示几组不同形状的三角形图片，引导学生观察并思考：“在这些三角形中，边长与它所对的角之间是否存在某种关系？”
• 简短介绍本节课的主题：“今天我们将通过实验与探究，来发现三角形中边与角之间的不等关系。”
学生活动：
• 认真观察图片，尝试寻找边长与角之间的潜在关系。
• 听取教师介绍，明确本节课的学习目标。
过程点评：
• 导入环节通过直观的图片展示和问题引导，有效激发了学生的学习兴趣和探究欲望，为后续的学习活动做好了铺垫。
教学过程
教师行为：
• 实验准备：分发实验材料（如尺子、量角器、不同长度的木棍或纸条），指导学生如何制作简易的三角形模型。 • 实验操作：引导学生按照指定边长制作三角形，并使用量角器测量各角的大小。
• 观察记录：要求学生记录下每个三角形的边长和对应角的大小，并尝试找出它们之间的关系。
• 讨论分析：组织学生分组讨论，分享自己的观察结果，引导学生归纳出“大边对大角，小边对小角”的不等关系。
• 理论讲解：结合学生的讨论结果，教师详细讲解三角形中边与角之间不等关系的理论依据。
学生活动：
• 积极参与实验操作，认真测量并记录数据。
• 小组讨论中积极发言，分享自己的观察和思考。
• 聆听教师的理论讲解，深化对知识点的理解。
过程点评：
• 教学过程注重实践操作与理论讲解相结合，通过实验操作让学生亲身体验数学原理的发现过程，增强了学习的趣味性和实效性。同时，小组讨论和分享环节培养了学生的合作精神和表达能力。
