层次分析法AHP、ANP与熵值法(带例子和软件操作说明)

格式：ppt
大小：1.10 MB
文档页数：47

下载文档原格式

/ 47

ahp和熵权法组合公式

ahp和熵权法组合公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）是一种用于复杂决策问题的系统性方法，旨在帮助决策者确定最佳选择。

熵权法（Entropy Weight Method）则是一种基于信息熵的权重确定方法，通常用于多标准决策中。

在实际决策中，往往会遇到多个因素的影响和权衡，这些因素之间可能存在优先级和相互影响关系。

AHP方法可以帮助决策者将这些因素进行层次化排列，并确定它们之间的重要程度，以便做出合理的决策。

而熵权法则是一种根据指标的不确定性来确定权重的方法。

每个指标的权重取决于其信息熵，即其不确定性程度，信息熵越大，权重越小，反之则越大。

在实际决策过程中，单独使用AHP或熵权法可能存在一些局限性，因此有时候可以将两种方法结合起来使用，以获得更准确、更科学的结果。

下面我们将介绍一种AHP和熵权法的组合公式。

我们需要确定决策问题中的层次结构，确定各个指标和因素之间的层次关系。

然后，使用AHP方法对这些指标和因素进行两两比较，得到它们之间的重要程度。

接下来，使用熵权法来确定各个指标的权重。

假设有n个指标，它们的权重分别为w1, w2, ..., wn。

首先计算每个指标的信息熵，然后根据信息熵计算出每个指标的权重。

将AHP方法得到的各个因素的相对重要程度与熵权法得到的各个指标的权重进行综合，可以得到一个综合权重。

具体计算方法如下：设AHP方法得到的各个因素的相对重要程度为p1, p2, ..., pm，熵权法得到的各个指标的权重为w1, w2, ..., wn，综合权重为w。

则有：w = p1 * w1 + p2 * w2 + ... + pm * wm。

通过这种方式，我们可以同时考虑到各个因素之间的相对重要性以及各个指标的权重，从而得到一个更全面、更准确的评价结果。

这种AHP和熵权法的组合公式可以在多标准决策、项目选择、方案评估等方面发挥重要作用。

层次分析法AHP法ppt课件

②工作收入较好（待遇好）； ③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉等）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等） ⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。
18
目标层
工作选择
准则层方案层
贡收发声工生作活环环
献入展誉境境
可供选择的单位P1’ P2 ， Pn
19
建立层次结构模型的思维过程的归纳
1
w2
wn
wi wi wk
wj
wk w j
wn
wn
1
w1 w2
27
即 aik akj aij i, j 1,2,, n
A
但在例2的成对比较矩阵中， a23 7, a21 2, a13 4 a23 a21 a13
在正互反矩阵A中，若 aik akj aij ,(A 的元素具有传递性)则称A为一致阵。
旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）2。6
3 层次单排序及其一致性检验
用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。
例如一块石头重量记为1，打碎分成n小块，各块的重
量分别记为：w1,w2,…wn
则可得成对比较矩阵
1
w1 w2
w1
wn
由右面矩阵可以看出，
w2
A
w1
层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择方案的原则。
20
2 构造判断(成对比较)矩阵
在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层次的元素 Ck 作为准则，对下一层次的元素 A1, …, An 有支配关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重要性赋予 A1, …, An 相应的权重。

熵值法和层次分析法在权重确定中的应用

熵值法和层次分析法在权重确定中的应用一、本文概述权重确定作为决策分析的核心环节，其准确性和合理性直接影响到决策的质量和效果。

在众多权重确定方法中，熵值法和层次分析法因其独特的优势，被广泛应用于各种决策场景中。

本文旨在深入探讨熵值法和层次分析法在权重确定中的应用，分析两种方法的原理、特点、适用场景，并对比其优劣。

通过对这两种方法的深入研究，我们期望能为决策者提供更科学、更合理的权重确定方法，提高决策的有效性和准确性。

本文还将结合具体案例，对两种方法的实际应用进行展示，以便读者更好地理解和掌握这两种方法。

二、熵值法在权重确定中的应用熵值法是一种基于信息熵理论来确定权重的客观赋权方法。

在信息论中，熵是对不确定性的一种度量，它可以反映信息的无序程度或者信息的效用价值。

在权重确定中，熵值法通过计算各个评价指标的信息熵，来度量各个指标值的离散程度，从而确定各个指标的权重。

数据标准化处理：消除不同指标量纲的影响，对原始数据进行标准化处理，使得各指标值都处于同一数量级上。

计算指标熵值：根据标准化后的数据，计算每个指标的熵值。

熵值反映了该指标值的离散程度，熵值越大，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响越小。

计算指标差异系数：用1减去熵值，得到指标的差异系数。

差异系数越大，该指标对综合评价的影响越大。

确定指标权重：根据差异系数的大小，确定各指标的权重。

差异系数越大，该指标的权重越大。

熵值法的优点在于其客观性强，不需要事先设定权重，而是根据数据的实际情况来确定权重。

熵值法也适用于多指标综合评价问题，能够有效地处理不同量纲的指标。

然而，熵值法也存在一定的局限性，例如它忽略了指标之间的相关性，并且对于数据的要求较高，需要数据量足够大且分布均匀。

在实际应用中，熵值法常常与其他方法相结合，如层次分析法、主成分分析法等，以提高权重确定的准确性和科学性。

通过综合运用这些方法，可以更加全面地考虑各种因素，使得权重确定更加合理和可靠。

层次分析法(AHP法课件

1980年代初
由美国运筹学家T.L.Saaty提出层次分析法，最初应用于企业合作与竞争战略的制定。
1980年代中期至后期
1990年代至今
层次分析法不断完善和发展，与其他方法结合形成新的决策分析方法，如网络分析法（Analytic Network Process，ANP）。
层次分析法逐渐受到重视，广泛应用于各个领域，成为多准则决策分析的重要工具。
一致性检验繁琐
02
为了确保判断矩阵的一致性，需要进行繁琐的一致性检验，计
算量较大。
无法处理因素过多或缺少数据的情况
03
当问题涉及的因素过多或者缺少数据时，层次分析法的应用会
受到限制。
改进方向
引入客观权重
可以考虑引入客观权重，如熵权法、主成分分析法等，以减少主观因素的影响。
优化一致性检验方法
可以研究更高效的一致性检验方法，简化计算过程。
层次分析法(AHP)课件
• 层次分析法的基本原理 • 层次分析法的实施步骤 • 层次分析法的应用案例 • 层次分析法的优缺点与改进方向 • 结论与展望
01
层次分析法简介
定义与特点
定义
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种多准则决策方法，通过将复杂问题分解为多个层次和因素，进行定性和定量分析，为决策提供依据。
层次分析法也存在一定的局限性，如对专家判断的依赖性较强，以及在处理不确定性和模糊性方面仍有不足。
展望
随着决策理论和方法的发展，层次分析法在未来仍有很大的发展空间和应用前景。
针对层次分析法的局限性，未来研究可以进一步探讨如何提高其处理不确定性和模糊性的能力，以及如何降低对专家判断的依赖性。

计算指标权重的方法概述

在统计学中用来确定权重的三种方法
三种方法：AHP、ANP、熵值法
三种方法：AHP、ANP、熵值法
其中，AHP、ANP既是一种评价方法，但更常用来计算指标权重。而熵值法则是一种根据指标反映信息可靠程度来确定权重的方法。

一、 AHP 层次分析法（AHP）是美国著名的运筹学家Satty等
素相对上一层次某一因素的单排序问题又可简化为一系列成对因素的判断比较。为了将比较判断定量化，层次分析法引入了1-9标度法，并写成判断矩阵形式。形成判断矩阵后，即可通过计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，计算出某一层对于上一层次某一个元素的相对重要性权值。
在计算出某一层次相对于上一层次各个因素
注：2，4，6，8和1/2，1/4，1/6，1/8介于其间。
A B1 B2 B3 对于上述例子，假定企业领导对于资金使用这个 B1 1 1/5 1/3 问题的态度是：首先是 B2 5 1 3 提高企业技术水平，其 B 3 1/3 1 3 次是改善员工物质生活，最后是调动员工的工作 1 1/ 5 1/ 3 积极性。则准则层对于目标层的判断矩阵A-B A 5 1 3 为： 3 1/ 3 1
的单排序权值后，用上一层次因素本身的权值加权综合，即可计算出层次总排序权值。
总之，依次由上向下即可计算出最低层因素相对于最高层的相对重要性权值或相对优劣次序的排序值。
AHP的模型与步骤
假设某一企业经过发展，有一笔利润资金，要企业高层领导决定如何使用。企业领导经过实际调查和员工建议，现有如下方案可供选择：（1）作为奖金发给员工；（2）扩建员工宿舍、食堂等福利设施；（3）办员工进修班；（4）修建图书馆、俱乐部等；（5）引进新技术设备进行企业技术改造。从调动员工工作积极性、提高员工文化技术水平和改善员工的物质文化生活状况来看，这些方案都有其合理因素。如何使得这笔资金更合理的使用，就是企业领导所面临需要分析的问题。

AHP(层次分析法)方法、步骤

2009.11
多目标评估方法
MS-OR
方根法
1 A 5 3 1/5 1 1/3 1 / 3 3 1
M 1 1 M
2
1 5

1 3

3
1 15
0 . 067
15 ,
M
1
计算Mi 的n次方根
W1
2009.11
3
M 1 0 . 405 ,
W 2 2 . 466
W = (0 .4 0 6 ,0 .4 0 6 ,0 .0 9 4 ,0 .0 9 4 )
max 4
C .R .= 0
C1
C2
C3
d1
d2
d3
d4
d5
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
（3）计算各元素的总权重
准则权重
C1
C2
C3 总权重
0 .1 0 5 方案 d1 d2 d3 d4 d5 0 .4 9 1 0 .2 3 2 0 .0 9 2 0 .1 3 6 0 .0 4 6
（c）计算一致性比例C.R.： C.R.＝ C.I./ R.I.
当C.R.<0.1时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
3、多层次分析法基本步骤
1 2
3 4 建立递阶层次结构计算单一准则下元素相对重要性（单层次模型）计算各层次上元素的组合权重（层次总排序）评价层次总排序计算结果的一致性
2009.11
多目标评估方法
MS-OR
（3）计算步骤
判断矩阵中的元素具有下述性质
( i ) a ij 0 ( ii ) a ij 1 a

层次分析法分析(AHP)及实例教程

02
设定评价标准
根据问题背景和目标，设定合理的评价标准，如成本、效益、风险等。
识别关键因素和指标
关键因素识别
分析影响决策目标的关键因素，如市场需求、技术水平、资源条件等。
指标选取
针对每个关键因素，选取具体的评价指标，如市场份额、创新能力、资源利用率等。
构建递阶层次结构图
目标层
准则层
将决策目标作为最高层，表示解决问题的总体目标。
层次分析法分析 (AHP)及实例教程
目录
• 层次分析法(AHP)概述 • 构建层次结构模型 • 构造判断矩阵与权重计算 • 实例教程：以某企业投资决策为例 • AHP优缺点及改进方向 • 总结与展望
01
层次分析法(AHP)概述
AHP定义与发展历程
定义
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。它通过将复杂问题分解为若干层次和因素，对各因素进行两两比较，构造判断矩阵，进而计算各因素的权重，为决策问题提供定量依据。
对计算得到的权重进行一致性检验，确保结果的合理性和准确性。
一致性检验与调整策略
一致性检验方法
通过计算一致性指标CI和随机一致性指标RI，判断判断矩阵的一致性。
调整策略
当判断矩阵不满足一致性要求时，需要对判断矩阵进行调整，包括调整元素值、重新构造判断矩阵等方法，直至满足一致性要求。
注意事项
针对缺点提出改进措施
1 2
提高数据质量和数量
通过改进数据采集和处理方法，提高数据的质量和数量，减少数据不准确和不完整对决策结果的影响。
引入客观标准
在构建判断矩阵时，可以引入客观标准和量化指标，减少主观判断对决策结果的影响。

AHP(层次分析法)示例说明

AHP （层次分析法）示例说明（The Analgtic Hierarachy Process--——AHP ）一. AHP 预备知识为了更好地理解AHP ，需要准备一些矩阵方面的知识,以下知识都可以从《线性代数》中找到。

1.1 特征根与特征向量设()nm ija A ⨯=为n 阶方阵，若存在常数λ和非零n 维向量),,,(21n g g g g=，使得g g Aλ=（1）则称，λ是矩阵A 的特征根（或特征值），非零向量g是矩阵A 关于特征根λ的特征向量。

1.2 特征根的求法由（1)得()00=-⇒=-g E A g g Aλλ，这是一个n 元一次线性齐次方程组，该方程组如果有非零解,则其充分必要条件为：系数行列式为零，即0=-E A λ(2）称(2)式为矩阵A 的特征方程，它是一个一元n 次方程，由线性代数基本定理知，该方程有且只有n 个根。

1.3 重量模型设n u u u ,,,21 为n 个物体，重量分别是n g g g ,,,21 。

但是,我们并不知道物体的重量,只知两两之间重量比的比值：j i ij g g a =设准则C 为比较重量，问题是：已知),1(n j i a ij ≤≤,在准则C 下对元素n u u u ,,,21 排序，也就是按其重量大小排序已知。

()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⨯nn n n n n mn ij g g g g g g g g g g g g g g g g g g a A212221212111 对于以下三个特性：（1）0>ij a （2）jiij a a 1=（3）ik jk ij a a a =⋅()ija 显然满足（1）与（2），但是，（3）式通常不被满足（因为统计或构造这么完整的数据很难)，满足(1)、（2)的矩阵A 为正互反矩阵；满足（1）、（2）并且（3）也成立时的矩阵A 称为一致性判断矩阵。

问题是：已知判断矩阵A,在准则C 下对n 个物体排序.即按重量大小排序.如果，jiij g g a =是,i g ，j g 是重量的精确值，此时(3）式必定成立,即A 是一致性判断矩阵。

层次分析法(AHP)

aij
n
aij
i 1
i，j 1,2,, n
2 ）再按行相加得和
n
wi aij j 1
3）再规范化，得权重系数：
wi
wi
n
wi
i 1
方根法
这种方法的步骤是：
1）按行元素求积，再求1/n次幂，得
n
wi
aij i，j 1,2,, n
j 1
2）规范化，即得权重系数
wi
wi
n
wi
用ANP进行决策的基本步骤
▪ (1) 构造ANP的典型结构： A：首先是构造控制层次.将决策目标界定,将决策准则界定,这是问题的基本,各个准则决策目标的权重用AHP方法得到. B：再则是构造网络层次.要归类确定每一个元素,分析其网络结构和相互影响关系,分析元素之间的关系可用多种方法进行. 一种是内部独立的递阶层次结构,即层次之间相互独立；一种是内部独立，元素之间存在者循环的ANP 网络层次结构；另一种是内部依存，即元素内部存在循环的ANP网络层次结果，这几种情况都是ANP的特例情况。在实际决策问题中面临的基本都是元素间不存在内部独立，既有内部依存，又有循环的ANP网络层次结构。
P4：建图书馆
P5：引进新设备
C1对p1 p2 p3 p4 p5的权重计算
c1 P1
p2
p3
p4
p5 w
p1 1
3
5
4
7 0.491
p2 1/3 1
3
2
5 o.232
p3 1/5 1/3 1
½
3 0.092
p4 ¼ ½
2
1
3 0.138
p5 1/7 1/5 1/3 1/3 1 0.046

第二讲 AHP、ANP、熵值法

（4）层次单排序
理论上讲，层次单排序计算问题可归结为计算判断矩阵的最大特征根及其特征向量的问题。但一般来说，计算判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量，并不需要追求较高的精确度，因为判断矩阵本身有相当的误差范围。而且，应用层次分析法给出的层次中各种因素优先排序权值从本质上来说是表达某种定性的概念。因此，一般用迭代法在计算机上求得近似的最大特征值及其对应的特征向量。在此给出计算矩阵最大特征根及其对应特征向量的方根法的计算步骤：
准确计量的场合。准确计量的场合。
应用层次分析法时，首先要把问题层次化。根据问题的性质和首先要把问题层次化。要达到的目标，将问题分解为不同组成因素，并按照因素间的相互关联影响及其隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层最终把系统分析归结为最底层，次的分析结构模型。并最终把系统分析归结为最底层，相对于最高层目标的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。层目标的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。在排序计算中，每一层次的因素相对上一层次某一因素的单排序问题又可简化为一系列成对因素的判断比较。为了将比较判断定量化，层次分析法引入了1-9标度法，并写成判断矩阵形式。形成判断矩阵后，即可通过计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，计算出某一层对于上一层次某一个元素的相对重要性权值。在计算出某一
假设某一企业经过发展，有一笔利润资金，假设某一企业经过发展，有一笔利润资金，要企业高层领导决定如何使用。领导决定如何使用。企业领导经过实际调查和员工建议，现有如下方案可供选择：建议，现有如下方案可供选择：（1）作为奖金发给员工；）作为奖金发给员工；（2）扩建员工宿舍、食堂等福利设施；）扩建员工宿舍、食堂等福利设施；（3）办员工进修班；）办员工进修班；（4）修建图书馆、俱乐部等；）修建图书馆、俱乐部等；（5）引进新技术设备进行企业技术改造。）引进新技术设备进行企业技术改造。从调动员工工作积极性、从调动员工工作积极性、提高员工文化技术水平和改善员工的物质文化生活状况来看，员工的物质文化生活状况来看，这些方案都有其合理因素。如何使得这笔资金更合理的使用，理因素。如何使得这笔资金更合理的使用，就是企业领导所面临需要分析的问题。业领导所面临需要分析的问题。

数学建模(层次分析法(AHP法))PPT课件

28
定义一致性比率： CR CI
RI
一般，当一致性比率 CR CI 0.1 时，认为A
RI
的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。否则要重新构造成对比较矩阵A，对 aij 加以调整。
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1 及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程。
例如一块石头重量记为1，打碎分成n小块，各块的重
量分别记为：w1,w2,…wn
则可得成对比较矩阵
1
w1 w2
w1
w
n
由右面矩阵可以看出，
w2
A
w1
1
w2
w
n
wi wi wk
wj
wk w j
w
n
wn
1
w 2021
1
w2
25
即 aikakjaij i,j1,2, ,n
A
但在例2的成对比较矩阵中， a23 7,a21 2,a13 4 a23 a21a13
2021
27
由于λ(A的特征根) 连续的依赖于aij ，则λ比n 大的越多，A 的不一致性越严重。引起的判断误差越大。
因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量 A 的不一致程度。
定义一致性指标: CI n
n 1
CI=0，有完全的一致性 CI接近于0，有满意的一致性
CI 越大，不一致越严重
2021
计算单一准则下元素的相对权重
这一步是要解决在准则 Ck 下，n 个元素A1, …, An 排序权重的计算问题。
对于 n 个元素 A1, …, An，通过两两比较得到判断矩阵 A，解特征根问题
Aw = maxw

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

i 1
n
i
n
显然，当矩阵具有完全一致性时， 1 max n 其余特征根均为0；而当矩阵A不具有完全一致性时，则有1 max n，其余特征根λ2，λ3，λn有如下关系：
n
i 2 i
n
max
上述结论告诉我们，当判断矩阵不能保证具有完全一致性时，相应判断矩阵的特征根也将发生变化，这样就可以用判断矩阵特征根的变化来检验判断的一致性程度。因此，在层次分析法中引入判断矩阵最大特征根以外的其余特征根的负平均值，作为度量判断矩阵偏离一致性的指标，即用： max n CI n 1 检查决策者思维的一致性。CI值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大；CI值越小（接近于 0），表明判断矩阵的一致性越好。
当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0；当判断矩阵具有满意一致性时，需引入判断矩阵的平均随机一致性指标RI值。对于1-9阶判断矩阵，RI值如下：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI与同阶平均随机一致性指标RI之比称为随机一致性比率CR，当 CR=CI/RI<0.10时，可以认为判断矩阵具有满意的一致性，否则需要调整判断矩阵。
（2）构造判断矩阵
判断矩阵的一般形式
Bk C1 C 2 C n C1 C11 C12 C1n C 2 C 21 C 22 C2 n
C n C n1 Cn 2 C nn 性质：（1）Cij>0;（2）Cij=1/Cji;（3）Cii=1 此时，矩阵为正反矩阵。若对于任意i、j、k，均有 Cij*Cjk=Cik，则C为一致矩阵。
注：2，4，6，8和1/2，1/4，1/6，1/8介于其间。
对于上述例子，假定企业领导对于资金使用这个问题的态度是：首先是提高企业技术水平，其次是改善员工物质生活，最后是调动员工的工作积极性。则准则层对于目标层的判断矩阵A-B为：
A B1 B2 B3
B1 1 5 3
B2 1/5 1 1/3
λ max=5.1141 CI=(λ max-n)/(n-1)=(5.1141-5)/(5-1)= 0.1141/4=0.0285 RI（5）=1.12 CR=CI/RI=0.0285/1.12=0.0255<0.10 因此，通过一致性检验。 ③求得权重权重即为最大特征根对应的特征向量W=[0.3697,0.0906, 0.0595,0.3697,0.8455]进行归一化后的结果， w=W./sum(W) =[0.2131,0.0522,0.0343,0.2131,0.4873]
对于判断矩阵B1，其ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ算结果为：
0.491 0.232 W 0.092 , max 5.126, CI 0.032, RI 1.12, CR 0.028 0.138 0.046
对于判断矩阵B2，其计算结果为：
0.550 0.564 , max 4.117, CI 0.039, RI 0.90, CR 0.043 W 0.118 0.263
（3）判断矩阵的一致性检验
判断矩阵的一致性，是指专家在判断指标重要性时，各判断之间协调一致，不致出现相互矛盾的结果。出现不一致在多阶判断的条件下，极容易发生，只不过是不同的条件下不一致的程度上有所差别而已。根据矩阵理论可知，如果λ满足： Ax x 则λ为A的特征值，并且对于所有aii=1，有
准确计量的场合。

应用层次分析法时，首先要把问题层次化。根据问题的性质和要达到的目标，将问题分解为不同组成因素，并按照因素间的相互关联影响及其隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型。并最终把系统分析归结为最底层，相对于最高层目标的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。在排序计算中，每一层次的因素相对上一层次某一因素的单排序问题又可简化为一系列成对因素的判断比较。为了将比较判断定量化，层次分析法引入了1-9标度法，并写成判断矩阵形式。形成判断矩阵后，即可通过计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，计算出某一层对于上一层次某一个元素的相对重要性权值。在计算出某一
1-9标度方法
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 重要性等级 i，j两元素同等重要 i元素比j元素稍重要 i元素比j元素明显重要 i元素比j元素强烈重要 i元素比j元素极端重要 i元素比j元素稍不重要 i元素比j元素明显不重要 i元素比j元素强烈不重要 i元素比j元素极端不重要 Cij赋值 1 3 5 7 9 1/3 1/5 1/7 1/9
（1）构造层次分析结构
目标层资金合理使用 A
准则层
调动职工积极性 B1
提高企业技术水平 B2
改善职工生活 B3
方案层 C1 发奖金
C2 扩建福利设施
C3 办职工进修班
C4 建图书馆等
C5 引进新设备
每一层次中的元素一般不超过9个，因同一层次中包含数目过多的元素会给两两比较判断带来困难。
（4）层次单排序
理论上讲，层次单排序计算问题可归结为计算判断矩阵的最大特征根及其特征向量的问题。但一般来说，计算判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量，并不需要追求较高的精确度，因为判断矩阵本身有相当的误差范围。而且，应用层次分析法给出的层次中各种因素优先排序权值从本质上来说是表达某种定性的概念。因此，一般用迭代法在计算机上求得近似的最大特征值及其对应的特征向量。在此给出计算矩阵最大特征根及其对应特征向量的方根法的计算步骤：
W W1 , W2 , , Wn
T

i 1
n
AW i
nWi
其中，（AW）i表示向量AW的第i个元素。
对于判断矩阵A，其计算结果为：
0.105 W 0.637 , max 3.308, CI 0.019, RI 0.58, CR 0.033 0.258
对于判断矩阵B3，其计算结果为：
0.406 0.406 , max 4, CI 0, RI 0.90, CR 0 W 0.094 0.094
（5）层次总排序
层次B B1 层次C 0.105 C1 0.491 C2 0.232 C3 0.092 C4 0.138 C5 0.046 B2 0.637 0 0.055 0.564 0.118 0.263 B3 0.258 0.406 0.406 0.094 0.094 0 总排序W
AHP、ANP、熵值法
其中，AHP、ANP既是一种评价方法，但更常用来计算指标权重。而熵值法则是一种根据指标反映信息可靠程度来确定权重的方法。
一、AHP
层次分析法（AHP）是美国著名的运筹学家Satty等人在20世纪70年代提出的将一种定性和定量分析相结合的多准则决策方法。这一方法的特点是在对复杂决策问题的本质、影响因素以及内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题，提供一种简便的决策方法。具体的说，它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，用一种标度对人的主观判断进行客观量化，在此基础上进行定性和定量分析的一种决策方法。他把人的思维过程层次化、数量化，并用数学为分析、决策、预报或控制提供定量的依据。它尤其适合于人的定性判断起主要作用的、对决策结果难于直接
B3 1/3 3 1
1 1/ 5 1/ 3 A 5 1 3 3 1/ 3 1
同样，可得：
1 2 3 4 1/ 3 1 3 2 B1 1/ 5 1/ 3 1 1/ 2 1/ 4 1/ 2 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 2 1/ 3
7 5 1 1 1 1 1 3 B3 1/ 3 1/ 3 1 1/ 3 1/ 3
1 1/ 7 1/ 3 1/ 5 7 1 5 3 B2 3 1/ 5 1 1/ 3 1 5 1/ 2 3
3 3 3 3 1 1 1 1
b
j 1 3 j
cij
0.157 0.164 0.393 0.113 0.172
（6）决策
企业领导根据上述分析结果，决定各种考虑方案的实施先后次序，或者决定分配企业留成利润的比例。
算例
有5个指标：X1对X2明显重要；X1对X3强烈重要； X1对X4同等重要；X1对X5稍不重要。采用AHP方法计算指标权重。 ①列出判断矩阵
①计算判断矩阵每一行元素的乘积Mi
M i aij
j 1 n
②计算Mi的n次方根 W
i
Wi
1 2 n
n
Mi
③对向量 W W ,W ,,W 正规化（归一化处理）
T
Wi
Wi
W
j 1
n
j
则即为所求的特征向量。 ④计算判断矩阵的最大特征根
max
二、ANP（网络分析法）
AHP是基于以下几个假设进行决策的，而这几个假设与某些实际决策问题有背离：（1）将决策系统分为若干层次，上层元素对下层元素起支配作用，同一层元素之间是相互独立的，但实际上，一般各层内部的元素之间都存在依存关系，同时下层对上层也有反支配（反馈）的作用；（2）决策问题可分为多个层次，上层元素对下层元素起控制，同一层次的元素间相互独立，不存在内部的相互依赖性。而实际决策问题中某些指标往往存在相互影响；（3）各个层次间只是存在相邻两个层次间自上向下的影响作用，没有考虑下层对上层的反作用。非相邻层次间的相互影响也没有考虑。而在实际决策中下层元素对上层元素有反作用（反馈）。 ANP则取消了这些假定，在理论上允许决策者考虑复杂动态系统中各要素的相互作用，从而更符合决策问题的实际情况。