层次分析法模板——方根法

层次分析法(AHP)AHP(Analytic Hierarchy Process)方法，是由20世纪70年代由美国著名运筹学学家T.L.Satty提出的。

它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。

这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。

AHP十分适用于具有定性的，或定性定量兼有的决策分析。

这是一种十分有效的系统分析和科学决策方法，现在已广泛地应用在企业信用评级、经济管理规划、能源开发利用与资源分析、城市产业规划、企业管理、人才预测、科研管理、交通运输、水资源分析利用等方面。

一、递阶层次结构的建立一般来说，可以将层次分为三种类型：（1）最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，因此也称为总目标层。

（2）中间层：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及的各子目标，包含各种准则、约束、策略等，因此也称为目标层。

（3）最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。

典型的递阶层次结构如下：总目标m一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因此在建立递阶层次结构时，应注意到：（1）从上到下顺序地存在支配关系，用直线段（作用线）表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。

（2）整个结构不受层次限制。

（3）最高层只有一个因素，每个因素所支配元素一般不超过9个，元素过多可进一步分层。

（4）对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。

二、构造比较判断矩阵设有m个目标（方案或元素），根据某一准则，将这m个目标两两进行比较，把第i个目标（i=1,2,…,m）对第j个目标的相对重要性记为a ij，(j=1,2,…,m)，这样构造的m阶矩阵用于求解各个目标关于某准则的优先权重，成为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作A=(a ij)m×m。

层次分析法(AHP)AHP(Analytic Hierarchy Process)方法，是由20世纪70年代由美国著名运筹学学家T.L.Satty提出的。

它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。

这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。

AHP十分适用于具有定性的，或定性定量兼有的决策分析。

这是一种十分有效的系统分析和科学决策方法，现在已广泛地应用在企业信用评级、经济管理规划、能源开发利用与资源分析、城市产业规划、企业管理、人才预测、科研管理、交通运输、水资源分析利用等方面。

一、递阶层次结构的建立一般来说，可以将层次分为三种类型：（1）最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，因此也称为总目标层。

（2）中间层：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及的各子目标，包含各种准则、约束、策略等，因此也称为目标层。

（3）最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。

典型的递阶层次结构如下：总目标m一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因此在建立递阶层次结构时，应注意到：（1）从上到下顺序地存在支配关系，用直线段（作用线）表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。

（2）整个结构不受层次限制。

（3）最高层只有一个因素，每个因素所支配元素一般不超过9个，元素过多可进一步分层。

（4）对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。

二、构造比较判断矩阵设有m个目标（方案或元素），根据某一准则，将这m个目标两两进行比较，把第i个目标（i=1,2,…,m）对第j个目标的相对重要性记为a ij，(j=1,2,…,m)，这样构造的m阶矩阵用于求解各个目标关于某准则的优先权重，成为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作A=(a ij)m×m。

江苏科技信息February 2012表2判断矩阵摘要：文章介绍了层次分析法确定评价指标权重的过程和计算方法，建立的Excel 计算模板操作简单，方便推广，具有较强的实用性。

关键词：决策分析法；层次分析法；权重；Excel ；计算模板作者简介：曹茂林，扬州市环境监测中心站，高级工程师；研究方向：环境监测技术与环境科技管理。

■曹茂林层次分析法确定评价指标权重及Excel 计算层次分析法（Analytic hierarchy process ，简称AHP 法）是美国运筹学家T.L.Saaty 等人在20世纪70年代中期提出了一种定性和定量相结合的，系统性、层次化的多目标决策分析方法。

在环境科研实践中，AHP 法广泛应用于生态安全[1]、环境规划[2]、区域承载力[3]、化学品环境性能评价[4]等众多领域。

AHP 法的核心是将决策者的经验判断定量化，增强了决策依据的准确性，在目标结构较为复杂且缺乏统计数据的情况下更为实用。

应用AHP 法确定评价指标的权重，就是在建立有序递阶的指标体系的基础上，通过比较同一层次各指标的相对重要性来综合计算指标的权重系数。

具体步骤如下：1.构造判断矩阵同一层次内n 个指标相对重要性的判断由若干位专家完成。

依据心理学研究得出的“人区分信息等级的极限能力为7±2”的结论，AHP 法在对指标的相对重要性进行评判时，引入了九分位的比例标度，见表1。

判断矩阵A 中各元素a ij 为i 行指标相对j 列指标进行重要性两两比较的值。

显然，在判断矩阵A 中，a ij ＞0，a ii ＝1，a ij ＝1/a ji （其中i ，j=1,2,…，n ）。

因此，判断矩阵A 是一个正交矩阵，左上至右下对角线位置上的元素为1，其两侧对称位置上的元素互为倒数。

每次判断时，只需要作n(n-1)/2次比较即可。

表2是一个7阶判断矩阵，本文以此为例介绍应用Excel 计算指标权重并进行一致性检验的方法。

§3.3 层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ），又称为多层次权重解析方法，是20世纪70年代由美国著名运筹学家、匹兹堡大学T.L.Saaty 教授提出的一种系统分析方法。

该方法将定性分析和定量分析相结合，能够有效分析目标准则体系层次间的非序列关系，对综合测度决策者的判断和比较带来极大的方便，因此在社会经济管理许多方面得到越来越广泛的应用[1-2]。

3.3.1 层次分析法的基本原理层次分析法的基本思路是通过分析复杂系统所包含的因素及相关关系，把一个复杂的问题分解成各个组成因素，并将这些因素按支配关系分组，从而客观上形成多层次的有序的递阶层次结构。

下面以一个例子来说明。

例3.3.1[3] 某城市市中心有一座商场，由于街道狭窄，人员车辆流量过大，经常造成交通堵塞。

市政府决定要改善此处的交通环境，并经过有关专家会商研究，制定出三个可行方案：1P ：在商场附近修建一座环形天桥； 2P ：在商场附近修建地下人行通道； 3P ：搬迁商场。

根据当地的具体条件和有关情况，需要考虑通车能力（1C ）、群众方便（2C ）、基建费用（3C ）、交通安全（4C ）和市容美观（5C ）等一些准则，通过比较3个候选方案，从中选出最优的方案。

首先考虑这5个准则的重要性。

从缓解交通压力角度来考虑首选通车能力，从市政工程建设角度考虑又得兼顾市容美观，从关注国计民生角度考虑必须考虑群众方便，从公共安全角度思考又得强调交通安全，而如果市政建设费用有限，则必须重点考虑基建费用。

其次，需要就每一个准则对3个方案进行比较。

比如，就基建费用而言，3P 代价最高，2P 次之，1P 最小；就群众方便而言，1P 最佳，2P 次之，3P 最差，等等。

最后，需要将两个层次的判断结果进行综合，在1P 、2P 、3P 中选择最优方案。

上述过程可以归结为以下几步：1.该决策问题可以分为3个层次，最上层为目标层，即改善此处交通环境，选择一个最优方案，最下层为方案层，即包含1P 、2P 、3P 这3个可行方案，中间层为准则层，包含通车能力、群众方便、基建费用、交通安全和市容美观5个准则，每层之间的联系可以用相连的直线表示（如图3.3.1所示）。

层次分析法刘思迪荣誉出品板块一：知识点板块二：例题演示板块三：算法程序板块一：一、背景知识层次分析法是一种定量与定性相结合，将人的主观判断用数量形式表达和处理的方法（定量化）。

层次分析法从本质上讲是一种思维方式，它把复杂问题分解成各个组成因素，又将这些因素按支配关系分组形成递阶层次结构，通过两两比较的方式确定各个因素的相对重要性，然后综合决策者的判断，确定决策方案相对重要性的总的排序。

用层次分析法进行决策，大大提高了决策的科学性、有效性和可行性。

层次分析法进行决策时，大体上可分为4个步骤进行：（1）分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次分析结构。

（2）对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断矩阵。

（3）由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重。

（4）计算各层次元素对系统目标的合成权重，并进行排序。

二、递阶层次结构的建立层次可分为3类：(1)最高层：这一层次中只有1个元素，它是问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。

(2)中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，所需要考虑的准则。

该层可由若干层次组成，因而有准则和子准则之分。

这一层也称为准则层。

(3)最低层：这一层次包括为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层和方案层。

∗上层元素对下层元素的支配关系所形成的层次结构称为递阶层次结构。

递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，可不受控制。

每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个，因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。

层次结构建立得好与坏和决策者对问题的认识是否全面和深刻有很大关系。

图1层次结构三、构造两两比较判断矩阵Df1.设要比较n个因素X={x1,x2,···,x n}对目标Z中所占的比重。

A=(a ij)n×n称为两两比较判断矩阵(i=j),a ij=1(i=j)称A为正互反矩阵。

天津农学院计算机科学与信息工程系数学建模名称:层次分析法的应用系别:计算机系专业：信息管理与信息系统班级：二班学号： 1008044212 姓名:刘永恒层次分析法在人才招聘中的应用人才招聘是企业实施人才战略,优化配置人力资源的重要工作。

本文引用模糊思维的理论与方法将招聘过程中各类主观的评价与考核客观化，清晰体现应聘者之间的能力差异，同时引入层次分析法，对人才模糊优选中的各影响因素赋予合理权重，进一步提升方法的客观性。

本文研究的方法经实例分析验证,具有可靠性，对于人才招聘优选具有一定参考意义。

随着我国经济的飞速发展,人才已成为各企业竞争的核心要素。

这当中，人才招聘是企业实施人才战略，合理配置人才梯队最为基础性的工作，同时对于企业提升人才队伍整体水平有着至关重要的意义.从企业人力资源规划角度出发，员工招聘规划是企业人力资源规划最为基础性、决定性的工作，员工招聘规划的合理性直接对企业人力资源规划中后续工作产生重要的影响。

图1揭示了员工招聘规划在企业人力资源规划中扮演的重要角色，充分体现了人才招聘在企业战略发展中的重要意义.在人才招聘的工作中，常常会遇到许多模糊的概念，例如，人才业务能力的大小、思想水平高低、身体状况等。

传统的人才招聘工作中，多采用团队针对应聘者多方面表现,综合评价进行人才甄选，该方法虽然采用团队综合评价，但由于团队中领导者的导向作用会对团队成员对应聘者评价有不同程度的影响，而且团队成员做出的评价本身都具有主观性，导致最终的结果客观性不强，且针对不同应聘者的可比性不够。

模糊优选的基本理念是将模糊的问题通过合理的评定、比较实现量化，将模糊优选模型应用于人才招聘问题中，可实现将模糊问题清晰化,同时在此基础上引入层次分析法，对人才模糊优选中的各影响因素赋予合理权重，最终实现人才招聘的规范化、客观化。

1人才模糊优选模型的建立1。

1 多目标系统模糊优选模型设在优选与决策过程中，取决策集D中的目标i的最大特征值x与最小特征值x作为上、下界的相对值,由此构成参考连续闭合区间的两级，据此计算目标相对优的隶属度。

层次分析法中判断矩阵用方根法计算权重在Excel 中的具体操作Exce A B C D E F G H I J K L M Nl 表1总目子目子目子目子目M几何平均权重 W AW AW/Wλ =(1/n)*CI=(λRI( 需要查CR=CI/RIij i i ii标标 1标 2标 3标 4数∑ {(AW i )/W i }-n)/(n-1)表 )2子目=B2*C2=GEOMEAN=MMULT=(K2-1)n=10标 11342*D2*E2(B2:E2)=G2/G6(B2:E2,H2:H5)=I2/H2=J6/n/(n-1)3子目=B3*C3=GEOMEAN=MMULT n=20标 21/311/21/2*D3*E3(B3:E3)=G3/G6(B3:E3,H2:H5)=I3/H34子目=B4*C4=GEOMEAN=MMULT n=30.58标 31/4212*D4*E4(B4:E4)=G4/G6(B4:E4,H2:H5)=I4/H45子目=B5*C5=GEOMEAN=MMULT n=40.90.0814694标 41/221/21*D5*E5(B5:E5)=G5/G6(B5:E5,H2:H5)=I5/H56总和=SUM=SUM n=5 1.12(F2:F5)(J2:J5)树种经济社会生态技术按行相开 M ij的权重 W i AW i矩阵乘积（ AW i）/W iλ 最大特征CI 一般性RI 平均随机选择效益效益效益要求乘n 次方根指标一致性指标0.0733225经济0.4820 4.2199675208效益134224 2.21336452 2.070547 4.295277社会0.08330.1170n=10效益1/311/21/2330.537285160.478166 4.086325生态0.2177n=20效益1/421211920.938617 4.309704技术0.1831n=30.58要求1/221/211/20.84089640.767094 4.188564总和 4.59154516.87987n=40.9CR随机一致性比率当CR<0.10 时，判断矩阵具有可以接受的一致性。

层次分析法层次分析是美国著名的运筹学专家匹兹堡大学教授萨迪(T.L.Saaty)于70年代提出的层次排序法（AHP法），原理简单，有较严格的数学依据，广泛应用于复杂系统的分析与决策。

层次分析法定权重的工作程序：①选定专家组请一些对地质环境与地质灾害危险性评价预测有一定研究和认识的专家组成专家组开展调查。

调查的目的是应用专家们集体智慧，对边坡稳定性影响因素（这里暂且调查了13个宏观指标）的相对重要性进行评估。

目前，向国内近30名专家发出了征询意见表，收回了近20份问卷。

根据回收的打分表，综合构造判断矩阵。

专家打分表~～②构造判断矩阵设为评价因素集，A表示目标。

本次调查的评价因素有13个，即={地形（坡高，坡度）}，={岩性}，={岸坡结构类型}，={软弱层类型（夹层基座互层情况）}，={构造情况}，={地面变形迹象情况}，={植被覆盖情况}，={已有动力地质现象}，={河流地质作用（侵蚀淤积状况）}，={降雨}，={地震}，={地表水体（类型及水位）}，={人类工程活动}；目标A={地质灾害危险性程度}。

为地质灾害危险性等级集，={不危险}，={轻度危险}，={中度危险}，={重度危险}。

表示对的相对重要性数值，的取值按表5.3进行：表示因素比较，具有同等的重要性。

表示因素比较，比表示因素比较，比表示因素比较，比表示因素比较，比表示因素比较得判断，则与比较得判断=1/。

根据表得到判断矩阵T根据回收的近20份问卷，整理得到GHGIS系统中目前考虑的13个因素的判断矩阵如图所示。

③计算重要性排序根据判断矩阵，利用线性代数知识，精确地求出的最大特征根所对应的特征向量。

所求特征向量即为各评价因素的重要性排序，归一化后，也就是权数分配。

一般情况下，阶数较高，可以用下面介绍的近似解法。

（A）方根法第一步，计算判断矩阵每一行元素的乘积，，（）第二步，计算的n次方根第三步，对向量作归一化或正规化处理，即则，即为所求特征向量。

评价模型一、层次分析法（AHP)（一）应用1.1 应用领域经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗,环境，军事等。

1。

2 处理问题类型决策、评价、分析、预测等.1。

3 建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与1。

4 构造成对比矩阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。

（二）基本思想是定性与定量相结合的多准则决策、评价方法。

将决策的有关元素分解成目标层、准则层和方案层，并通过人们的判断对决策方案的优劣进行排序,在此基础上进行定性和定量分析.它把人的思维过程层次化、数量化,并用数学为分析、决策、评价、预报和控制提供定量的依据。

(三)步骤其主要步骤如下：3。

1 建立层次结构模型3。

2 构造判断(成对比较）矩阵判断矩阵()ij A a =应为正互反矩阵，而且考虑到层次结构模型中准则层各因素的相对重要程度，采用1~9及其倒数作为标度。

表1列出了1~9标度的含义：表 1 1~9标度的含义得到判断矩阵A B -，1B C -，2B C -，3B C -，4B C -.3。

3 层次单排序及其一致性检验(1）层次单排序（求最大特征值及特征向量）这一步实质上就是求解所构造出来判断矩阵A 的最大特征值max λ及特征向量max ()A ωωλω=，并将ω标准化,确定某一层次因素对上一层菜因素的影响程度,即权重，并依次排出顺序。

在这里我们采用和积法,先求出判断矩阵A 每一列之和，对判断矩阵的每一列归一化，得出正规化判断矩阵,然后求正规化判断矩阵的每行之和,再进行归一化处理得到权重向量，从而利用MATLAB 编程求得特征向量及其特征值（编程见附录）。

（2）一致性检验首先计算判断矩阵A 的最大特征值max λ一次性指标CImax 1max ()1ni i iAW n W n CI n λλ=⎧=⎪⋅⎪⎨-⎪=⎪-⎩∑ 接着我们再查找相应的平均随机一致性指标RI ,如表2所示：表 2 矩阵的平均随机一致性指标RI 的值注:n 为矩阵的阶数最后计算一致性比例CICR RI=当0.10CR <时,认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正.3.4 层次总排序及其一致性检验 设准则层(B 层）12,,,n B B B 排序完成，其权重分别为12,,,n b b b 。