同济大学高等数学第七版上册定积分

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比拟设lim f(x)=0, lim g(x) =0 且lim f® =l g(x)(1)l = 0 ,称f(x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f (x) = 0[ g(x)],称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小.(2)l半0 ,称f (x)与g(x)是同阶无穷小.(3)l = 1 ,称f (x)与g(x)是等价无穷小,记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小当x 一0时I - COS L X---------- A' sin x ~ x, tan x ~ x, arcsinx ~ x, arccosx ~ x,x1-cos x ~ x A2/2 , e -1 ~ x , ln(1+x) ~ x , (1+x) -1~ a x二.求极限的方法1.两个准那么准那么1.单调有界数列极限一定存在准那么2.(夹逼定理)设g(x) < f (x) < h(x)假设lim g(x) = A, lim h(x) = A ,那么lim f (x) = A2.两个重要公式sin x .公式1 lim ---- =1x 0x公式2呵(1 x)1/x= e3.用无穷小重要性质和等价无穷小代换4.用泰勒公式当x,0时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次2 3 nx , X X X , n 、 e =1 x ——…——o(x ) 2! 3! n!35X X sin x = x 一 一 一 ■... (-1) 3! 5!242ncosx =1— ... (—1)n -- o(x 2n ) 2! 4! 2n!23nx x n 1 x, nln(1 x) = x... (-1) o(x )2 3 n(--1) 2 ： (- - 1)...(- - (n -1)) n / n\(1 x) ' =1 ;,x - -------------- x … - ------------ -- --- - --- —x o(x )2! n!352n -1x xn 1 x2n 1\arctan x=x 一一 一 -... (-1) ---------------- o(x )3 5 2n 15.洛必达法那么定理1 设函数f (x)、F(x)满足以下条件：(1) lim f(x)=0, lim F(x)=0； X —X 0 x >X)(2) f(x)与F(x)在x o 的某一去心邻域内可导,且 F'(x)#0; (3) limf#存在(或为无穷大),那么im f0=limx 沁 F (x) x 〜F(x) x >x )F (x)这个定理说明：当lim f(X)存在时,lim f(X)也存在且等于lim 半) ;当 x 滋 F (x) x >x0 F (x)x F (x)lim 工3为无穷大时,lim fa 也是无穷大. x 沟 F (x) x AO F (x)这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值 的方法称为洛必达(LH ospital )法那么.三型未定式00定理2设函数f(x)、F(x)满足以下条件：(1) lim f(x) =0° , lim F(x)=°°； x 「Xo ' / XTo(2) f(x)与F(x)在x o 的某一去心邻域内可导,且 F‘(x)#0; (3)lim2尹存在(或为无穷大),那么lim 小凶=limf0 x 木.F (x) x 〜F (x) x 敢 F (x)注：上述关于X T X o 时未定式三型的洛必达法那么,对于X T 结时未定式二型 00 oO 同样适用.使用洛必达法那么时必须注意以下几点：(4) 洛必达法那么只能适用于“ o 〞和“三〞型的未定式,其它的未定式须o先化简变形成“ o 〞或“型才能运用该法那么；o二学习必备 精品知识点(5) 只要条件具备,可以连续应用洛必达法那么；(6) 洛必达法那么的条件是充分的,但不必要.因此,在该法那么失效时并不 能2n 1n X 2n 1--------- o(x ) (2n 1)!断定原极限不存在.6.利用导数定义求极限f (Xo x) - f(Xo)二f (x)(如果存在)根本公式lim.X-D X7.利用定积分定义求极限1 n k 1根本格式lim -E f(—)= f f (x)dx (如果存在)n-;:-:n k4 n o三.函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：(1)第一类间断点设X o是函数y = f (x)的间断点.如果f (x)在间断点X o处的左、右极限都存在,那么称X.是f (x)的第一类间断点.左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点.左右极限不存在为跳跃间断点.第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点.(2)第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点. 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点.四.闭区间上连续函数的性质在闭区间［a,b］上连续的函数f (x),有以下几个根本性质.这些性质以后都要用至U O定理1.(有界定理)如果函数f (X)在闭区间［a,b］上连续,那么f (X)必在［a,b］上有定理2.(最大值和最小值定理)如果函数f (x)在闭区间［a,b］上连续,那么在这个区间上一定存在最大值M和最小值m o定理3.(介值定理)如果函数f (x)在闭区间［a,b］上连续,且其最大值和最小值分别为M和m,那么对于介于m和M之间的任何实数c,在［a,b］上至少存在一个己使得f (己)=c推论：如果函数f (x)在闭区间［a,b］上连续,且f (a)与f (b)异号,那么在(a,b) 内至少存在一个点己,使得f(E)= 0这个推论也称为零点定理第二章导数与微分1.可微和可导等价,都可以推出连续,但是连续不能推出可微和可导.(cos x)' = - sinl£三.常见求导(ID(13)(15)(tan x)r = sec' x (SEC 到=sec xtan(ar:tanxy =—!-；-1 +x 炉(6) (8) (10)(12)(14)(16)(cot^)r = -csc"(esc x)^ = —cscxcot x 「0n^),=-(arccQ5M)' = _ J .虫-工,wCarccotx)r = -—1 +x +? 设〞火力,吁〞3都可导,珈(1)3±¥)'=靓'土//<2〕 gy=a 是常麴…1.复合函数运算法那么2,由参数方程确定函数的运算法那么设x =4 (t ) ,y =c P (t)确定函数 y = y ( x),其中 4'(t),中'(t)存在,且巾'(t) w 0,那么包=f&2 dx '(t)3,反函数求导法那么设丫 = f (x)的反函数x = g(y),两者皆可导,且f ' (x) w 04,隐函数运算法那么设y = y(x)是由方程F(x, y) = 0所确定,求y'的方法如下：把F(x, y) = 0两边的各项对x 求导,把y 看作中间变量,用复合函数求导公式计 算,然后再解出y'的表达式(允许出现y 变量) 5,对数求导法那么 (指数类型 如y =x sinx )先两边取对数,然后再用隐函数求导方法得出导数 y'.对数求导法主要用于：①幕指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数(注意 定义域.关于幕指函数y = [ f (x)] g (x)常用的一种方法,y = e g(x)lnf(x)这样 就可以直接用复合函数运算法那么进行. 6,求n 阶导数(n>2 ,正整数)先求出y' , y'',……,总结出规律性,然后写出y(n),最后用归纳法证实. 有一些常用的初等函数的n 阶导数公式x (n) x(1) y 二e , y eX (n) Xn(2) y = a , y = a (In a)(3) y = sin x , y (n): sin(x n-) (4) y = cosx, y (n): cos(x n^-) (5) y =ln x , y (n) = (—1)n "(n-1)底H网力函数果松的R 阶导数有莱布尼些公式其中 V 一 工1a /") = "),k! E — * E㈣&)■虫)检出网句用M Y )都是打防“号.那么 g'(y)=1 f'(g(y))(f'(x)=0)第三章微分中值定理与导数应用一.罗尔定理设函数f (x)满足(1)在闭区间［a,b］上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3) f (a) = f (b) 那么存在E€ (a,b),使得f '(己)=0拉格朗日中值定理设函数f(x)满足(1)在闭区间［a,b］上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；f(b)-f(a)= f-(t)那么存在七€ (a,b),使得b -a推论1.假设f (x)在(a,b)内可导,且f ' (x)三0,那么f(x)在(a,b)内为常数.推论2.假设f(x) ,g(x)在(a,b)内皆可导,且f ' (x)三g' (x),那么在(a,b)内f (x)=g(x)+ c,其中c为一个常数.三.柯西中值定理设函数f(x)和g(x)满足：(1)在闭区间［a,b］上皆连续；(2)在开区间(a,b)内皆可导；且g' (x) #0那么存在士"皿吏得—(a :: ::: b)(注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特殊情形g(x) = x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理.)四.泰勒公式(① 估值② 求极限(麦克劳林))定理1.(皮亚诺余项的n阶泰勒公式)设f (x)在0 x处有n阶导数,那么有公式；V|'J?J.X)= O［(A-X O fl1」,称为皮亚诺余项定理2 (拉格朗日余项的n阶泰勒公式)设f(x)在包含0 x的区间(a,b)内有n +1阶导数,在［a,b］上有n阶连续导数,那么对xe ［ a,b］,有公式1- 就,其中凡(*)=@?(#—丽)2伊+〞,称为拉格朗日余项上面展开式称为以0(x)为中央的n阶泰勒公式.当x0=0时,也称为n阶麦克劳林g 21anfix - y —— 一工十公式常用公式〔前8个〕曲1]9, 三)・二?神 ™ [+了 +■ ■ ■,+--iX* + -W(—9" +9)3!(-1 j+ --2 -- JfL +…、M 三(一2,十如)«5pV ^y金 O)! 2t 4r (如|!即〕4吟1工443 ——+ ^—+- -,J[E (-1,11 2 3 Fi +1-- 二工工〞= 1 + 工,+/- +F +…+ …,工 W1-K 期1 «--- =( 1) x fl = 1 X+Jt' -^/T 3 + *4- + (-1) x" 11-'- -X 门、口 1 " fl (tf -1)- (ff - 1)0 (1 +工)- 14 工—:--- 、 ----- - - l + ffX +里空D/+,,,十如〔一—.…〔口—元+,产十 M-l g(T / anctan.T =,-———A 士2U 41? 伽)!nFarcmin x =g secx = V⑵)!(一1『E/⑵|!1工3//+…+( I)上旭1 j\主Ef-ijl 35力HI' 1Jfc+I I=x + —6401121132★必 4〞 〔龙！F4—八匹/ 3152833 1J592561720d +…m七〔一』.五〕」闺十…/E 〔-1山21M4J36081075 "929369 115 T公851招75,…工 w (- 1,1)RCDtK = Z'i-O㈤！@)!B 国2“ 1 1 ,H = -+-,r 6 3fi0 31 15120l£UM77_x n60im ^,121 PIO 6^38371SW0・十i2——— - X 5 ---- r# E (0,需) X+l国]X = \ '- -H (2JI +0!31 5! F由工八,二--1十三+二十土 + .,叶 口〔2犀〕！ 2! ■!! 6! -7 --------- 丁十・一］芯匕1一g,十8〕〔2对十1〕!iif—：--h …,A £,一事+^1J山 .：=v3—d> n=]X I 3 2 5-- =X- -X 十一J -9151T 了 62 1：T82 315 招 35155925 w 依=hi 以-刘〔T 〕向昨-in——=In 2H1卜…・|8arsh - y⑶)!1 m ? 5 3 7 35 中 =1 j + ^-= x - x + —K6401121152五.导数的应用一.根本知识设函数f (x)在X o处可导,且X.为f (x)的一个极值点,那么f'(X o) = 0.我们称X满足f'(X o)=0的X.称为f(X)的驻点,可导函数的极值点一定是驻点, 反之不然.极值点只能是驻点或不可导点,所以只要从这两种点中进一步去判断. 极值点判断方法1,第一充分条件f(X)在X.的邻域内可导,且f〈X o) = O,那么①假设当X<X o时, f '(X) > 0 ,当X A X.时,f '(X) < o ,那么X o为极大值点；②假设当X < X o时, f(X) < o ,当X > X o时,f '(X) > o ,那么X o为极小值点；③假设在X o的两侧f '(X)不变号,那么X o不是极值点.2.第二充分条件f (X)在X o 处二阶可导,且f '(Xo) = o, f 〞(X o)丰o,那么①假设f "(X o)< o ,那么X o为极大值点；②假设f 〞(X o) A o ,那么X o为极小值点.3.泰勒公式判别法(用的比拟少,可以自行百度) 二,凹凸性与拐点1.凹凸的定义设f (X)在区间I上连续,假设对任意不同的两点1 2 X , X,包有f ;% 3M巧〕+ 小/〔. '夏卜![/〔^〕+ /& 〕]]那么称f (X)在I上是凸(凹)的.在几何上,曲线y = f (X)上任意两点的割线在曲线下(上)面,那么y = f (X)是凸(凹)的.如果曲线y = f (x)有切线的话,每一点的切线都在曲线之上(下) 那么丫= f (x) 是凸(凹)的.2.拐点的定义曲线上凹与凸的分界点,称为曲线的拐点.3.凹凸性的判别和拐点的求法设函数f (x)在(a,b)内具有二阶导数f''(x),如果在(a,b)内的每一点x,包有f''(x) > o,那么曲线y= f (x)在(a,b)内是凹的;学习必备精品知识点如果在〔a,b〕内的每一点x,包有f''〔x〕＜ 0,那么曲线y = f 〔x〕在〔a,b〕内是凸的求曲线y = f 〔x〕的拐点的方法步骤是：第一步：求出二阶导数f''〔x〕；第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点x i,x2,...x k；第三步：对于以上的连续点,检验各点两边二阶导数的符号,如果符号不同,该点就是拐点的横坐标；第四步：求出拐点的纵坐标..渐近线的求法1.垂直渐近线假设lim /〔工〕=X 或lim = 0 工—^一那么# =.为曲线V = 的一条垂直渐近域2.水平淅近线假设lim = i,或= b那么p = 5是曲线J = /〔工〕的一条水平渐近线03.斜渐近线假设lim = zi 0 +,./〔V〕Imi = b或liin - = 口壬0 +J-3工那么尸二6+3是曲线了 =/〔幻的一条斜渐近域.四.曲率学习必备精品知识点设曲线了二.它在点加民了〕处的曲率,假设k#0.那么称R =,为点处的曲率半径.在M点的法线上,凹向这一边取一点Q.使性由卜夫.那么称Q为曲率中央,以0为留心, J?为半筐的圜周称为曲率时第四章不定积分.根本积分表:[tgxdx = -ln cosx +C fctgxdx = lnsinx +C [secxdx = ln secx +tgx +Cdx. 2-cos xdx「一2sinx2=sec xdx = tgx C2= csc xdx = -ctgx Cfcscxdx = In cscx -ctgx + C secx tgxdx = secx Cdx .~ 2 a x dx .-2 2 x -a dx .~ 2 a -x dx 二一arctg- Ca ax -a2aLncscx ctgxdx = -cscx Cxaxdx =-^— C ln ashxdx = chx Ca2-x22a a -x.x _=arcsin- C achxdx = shx Cdx= ln( x + Jx2±a2)+C,x2-a2I nn2=sin n xdxcos0 n2—ln(x . x2a2) C2! O x22■ x2 -a2 -- ln x +*p x2-a2+C2 222 2 . x 2 2 . a . xa - x dx = . a - x ——arcsin - C2 2 a学习必备 精品知识点.换元积分法和分部积分法换元积分法分部积分法udv 二uv - vdu使用分部积分法时被积函数中谁看作 u(x)谁看作v'(x)有一定规律. 记住口诀,反对幕指三为 u(x),靠前就为u(x),例如［arcsin x 为u(x),由于反三角函数排在指数函数之前,同理可以推出其他.三.有理函数积分P(x)有理函数：f(x)=,其中P(x)和Q(x)是多项式.Q(x)简单有理函数:1、“拆〞；2、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等)(1)第一类换元法(凑微分)： :f 「(x)] (x)dx = L f (u)du,u= (x)(2)第二类换元法(变量代换):f(x)dx= L f[ (t)] (t)dt]te x arcsin xdx ,应该是f(x)=f(x) =P(x)1 x, P(x)P(x) f(x)=rv f (x)=(x a)(x b) P(x) (x a)2b第五章定积分一.概念与性质f (x)dx = lim ' f ( i ) xa' '°i=if k/卜〕+^AWkv=?『/i 〔x 人十七r八卜依JsJ - - *£7(4)= p/(x)rfx+( c 也可以在 J 口 Ji Jc 之外)(5)<b f /{x" g("(□ E ?K 3),那么(6) Ken < b, m < /(x) <3/(6? < x < b),那么m(b — a)< J y(x)rfr < M(b — a ) (7)设那么£/(工日丫小1、 定义:2、 性质：〔10条〕〔8〕定积分中值定理设〃鬲在除引上连续,那么存在〔9〕奇偶函数的积分性质[f 〔x\ix = 0 〔 /奇函数〕J 一扰'[/dx = 2 f f 〔x 〕dx 〔/偶函数〕J —nJ0 ~'〔10〕周期函数的枳分性质设/〔*〕以T 为周期,〞为常数,那么 广=C/〔x*x3 .根本定理x变上限积分：设G (x) = 1 f (t)dt ,那么①'(x) = f (x)推广： af(t)dt = f 「(x)］ ： (x) - f ［： (x)］： (x) bNH L 公式：假设F(x)为f (x)的一个原函数,那么［f (x)dx = F (b) - F (a) a4 .定积分的换元积分法和分部积分法学习必备 精品知识点定义: 分平均值我们称f 为f 〔x 〕在卜间上的枳d ：(x) -f dx - (x)1.定积分的换元积分法设/Q)在［aM上连续,假设变呆替换A■=满足(1)犷⑺在［«用(或上连续：22) =门,/(/?) = 且当仪<7<尸时,a <^{t］<b r那么£/(xVx = £/［^(z)］^VW；2.定积分的分部积分法设/(1).,(l)在a司上连续,那么工小卜心协="(x)v(“；一工"(内}(K 监或C"WMx) = "(x KG)；—£ V(K H"(X)二.定积分的特殊性质1.对称区向上的函数的定枳分性质iSf (x)在卜a. a］上连续,那么「/(X)dx=J ［y (x) +f (-x)］dx2.三的函数定积分性质：件n⑴设.式)在［0,1］上连续,那么f(WnQ /(cosx) dx工⑵设fix)在［0J上连续, 那么］：〃城11、)dx-2£v(sinx) dx⑶设账应［0,1］上连续.j/(sinx) dx=|J o /(sinx) dxr= nj^/(sinx) dx(4)点火公式3.周期函数定积分的性质⑴「7(.dx=j^/(x) dx(l)J&T/(x) dx=nj(/(x) dx第六章 定积分的应用平面图形的面积b)曲边梯形y = f (x), x = a, x = b, x 轴,绕y 轴旋转而成的旋转体积,旋转体体积:a)曲边梯形y=f (x), x = a, x = b, x 轴,绕x 轴旋转而成的旋转体的体积:b - 2V x = a f 2(x)dxbab体的体积：V y = 2二xf (x)dxa三.弧长1.直角坐标：s=[b,1 + f (x) ] 2dxa 、p 2.参数方程：S= 1C£1(t) 1 2।(t) 1 2dt〔柱壳法〕极坐标：s = ._ \」：〔.〕12［：〔.〕12d.学习必备 精品知识点第七章微分方程一.概念1 .微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 .2 .解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数,且常 数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.(1) .变量可别离的方程g(y)dy= f(x)dx,两边积分』g(y)dy= f f (x)dx(2) .齐次型方程.吗),设U =［那么奢U +嘤;(3) . 一阶线性微分方程%时 (x)- P(x)dx P(x)dxy = e Q(x)e(4) .可降阶的高阶微分方程1、y (n) = f (x),两边积分n 次；2、y"= f (x, y)(不显含有 y),令 y'= p,那么 y"= p'；「 dp3、y"= f (y,y)(不显含有 x),令 y' = p,贝u y — P而(一)线性微分方程解的结构1、y i ,y 2是齐次线性方程的解,那么C i y 〔 + C 2y 2也是；2、y 1,V2是齐次线性方程的线性无关的特解,那么 a 乂 + C 2 y 2是方程的 通解；*3、y = C 1y + C 2 y 2 + y 为非齐次万程的通解,其中 y 1, y 2为对应齐学习必备 精品知识点dx 成一= x dy/x 、 *㈠,设・yxdx一,那么丁 = v *y dydvy . dy用常数变易法或用公式:dx C J* ^次方程的线性无关的解,y非齐次方程的特解.(二)常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：y py qy = 02特征方程：特征根：1口(三)常系数非齐次线性微分方程y py qy 二f (x)1、f(x)=e"P m(x)0,正是特征根|设特解y* = x k e"Q m(x),其中k =也提一个单根2, 遑重根2、f (x) = e"(P (x)cos w x + P n(x)sin® x)设特解y* \ x k e x iM)(x)co s x R：)(x)sin x10,儿+ ^i不是特征根其中m = max{l, n} , k =U,九十" i是特征根。

第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质一、引例1．曲边梯形的面积定义：将由曲线()y f x =（()0f x ≥且是连续的），直线x a =，x b =和x轴围成的平面图形称为曲边梯形．它在x 轴上的边称为底边，曲线弧()y f x =称为它的曲边．求曲边梯形面积的具体过程如下： 分割：在(,)a b 内任意插入1n -个分点0121n n a x x x x x b -=<<<⋅⋅⋅<<=把[],a b 分成n 个小区间[]1,i i x x -， 它们的长度分别记1ii i x x x -∆=-，1,2,,i n =⋅⋅⋅求近似：任意取一点[]1,i i i x x ξ-∈，1()()()i i i i i i A f x x f x ξξ-∆≈⋅-=∆ 求和：11()n niiii i A A f x ξ===∆≈∆∑∑取极限：01lim ()niii A f xλξ==∆∑→，其中1max{}i i nx λ=∆≤≤ 2．变速直线运动的路程设一物体作直线运动，其速度为()0v v t =≥是时间间隔[]12,T T 上的连续函数，计算在这段时间间隔内物体所经过的位移s ． 具体计算步骤如下:分割：在12(,)T T 中任意插入1n -个分点，101212n n T t t t t t T -=<<<⋅⋅⋅<<= 将[]12,T T 分成n 个小时间段[]1,i i t t -，各小时间段的长度分别记为1ii i tt t -∆=-，1,2,,i n =⋅⋅⋅求近似：任意取一点[]1,i i i t t η-∈，()i i i s v t η∆≈⋅∆ 求和：11()n niiii i s s v tη===∆≈∆∑∑取极限：01lim ()ni i i s v t λη==∆∑→，其中1max{}i i nt λ=∆≤≤二、定积分的定义定义：设函数()f x 在[],a b 上有界．在(,)a b 内任意插入1n -个分点，0121n n a x x x x x b -=<<<⋅⋅⋅<<=，把[],a b 分成n个小区间[]1,i i x x -，各个小区间的长度记为1ii i x x x -∆=-，1,2,,i n =⋅⋅⋅．在每个小区间上任取一点i ξ，即1i i i x x ξ-≤≤，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆，并求出和1()ni i i S f x ξ==∆∑．记1max{}ii nx λ=∆≤≤，如果不论对[],a b 怎样划分，也不论在小区间上如何选取点i ξ，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极限I 为函数()f x 在区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()d b af x x ⎰，即01()d lim ()nbi i a i f x x I f x λξ===∆∑⎰→其中()f x 叫做被积函数，()d f x x 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[],a b 叫做积分区间．如果()f x 在区间[],a b 上的定积分存在，则称函数()f x 在区间[],a b 上可积．注：()d ba f x x ⎰与被积函数()f x 和积分区间[],ab 有关，而与积分变量用什么记号无关．如()d ()d ()d b b baaaf x x f t t f u u ==⎰⎰⎰定理：若函数()f x 在区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可积；定理：若函数()f x 在区间[],a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[],a b 上可积． 几何意义：当()0f x ≥，则()d b af x x ⎰表示由曲线()y f x =，直线x a =，x b =，0y =所围成的曲边梯形的面积A ，即 ()d ba f x x A =⎰当()0f x ≤，()d ba f x x ⎰是个负值，它在几何上表示上述曲边梯形面积A 的负值，即()d b af x x A =-⎰当()f x 的值既有正值也有负值，()d b af x x ⎰在几何上表示图形中各部分面积的代数和．图5-2例：利用定积分的几何意义求定积分的值 （1）10(1)d x x -⎰；（2）1201d x x -⎰解：（1）1011(1)d 1122∆-==⨯⨯=⎰OAB x x S （2）122011d 144x x π-=⋅π⋅=⎰例：利用定积分计算120d x x ⎰解：因为函数2()f x x =在区间[]0,1上连续，()f x 在[]0,1上可积，所以积分与[]0,1的分法及i ξ的取法无关．（1）分割：为了计算方便，不妨将区间[]0,1n 等分，分点取,1,2,,1i i x i n n ==⋅⋅⋅-，区间[]1,i i x x -的长度1i x n∆=，1,2,,i n =⋅⋅⋅；（2）近似代替：取i i x ξ=，1,2,,i n =⋅⋅⋅，作积 2i i x ξ∆； （3）求和：222311111()n nn ii i i i i x i nn n ξ===∆=⋅=∑∑∑311=(1)(21)6n n n n ⋅++111=(1)(2)6n n n ++（4）取极限：1,0nλλ=→等价于n →∞，有定积分的定义得 120d x x ⎰2011111lim lim (1)(2)63ni i n i x n n n λξ→→∞==∆=++=∑ 三、定积分的性质 补充规定：①()d ()d b a abf x x f x x =-⎰⎰；②()d 0aaf x x =⎰性质1：[]()()d ()d ()d bbba a a f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰ 证：[][]01()()d lim ()()nbiiiai f x g x x f g x λξξ→=±=±∆∑⎰0011lim ()lim ()n ni i i i i i f x g x λλξξ→→===∆±∆∑∑ ()d ()d b baaf x xg x x =±⎰⎰注：推广到有限个函数仍成立 性质2：()d ()d bbaakf x x k f x x =⎰⎰（k 为常数）性质3：（对积分区间的可加性）设a c b <<，则()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰证：因为函数()f x 在[],a b 上可积，所以不论把[],a b 怎样分，积分和的极限总是不变的，因此，在分区间时，可以使c 永远是个分点，那么[],a b 上的积分和等于[],a c 上的积分和加[],c b 上的积分和，记为[][][],,c c,()()()iii ii ia b a b f x f x f x ξξξ∆=∆+∆∑∑∑令0λ→，上式两端同时取极限，即得()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰注：推广对于任意的a ，b ，c 都是成立的．性质4：若在区间[],a b 上，()1f x =，则1d d bba a x xb a ==-⎰⎰ 性质5：若在区间[],a b 上，()0f x ≥，则()d 0baf x x ⎰≥推论1：若在区间[],a b 上，()()f x g x ≤，则()d ()d bba a f x x g x x ⎰⎰≤ 推论2：()d ()d bb aaf x x f x x ⎰⎰≤证：因()()()f x f x f x -≤≤，可得()d ()d ()d b b b aaaf x x f x x f x x -≤⎰⎰⎰≤，即()d ()d bb aaf x x f x x ⎰⎰≤例：比较210e d xx ⎰和31e d x x ⎰的大小解：因为当01x ≤≤时，23x x ≥，所以有23e e x x ≥，231100e d e d x xx x >⎰⎰性质6：（估值定理）设M ，m 分别是()f x 在[],a b 上的最大值和最小值，则() ()d ()bam b a f x x M b a --⎰≤≤证：因为 ()m f x M ≤≤，可得d ()d d b b ba a a m x f x x M x ⎰⎰⎰≤≤， 得() ()d ()ba mb a f x x M b a --⎰≤≤例：估计20(1sin )d x x π+⎰的范围解： 因2()1sin f x x =+在[]0,π上最小值为1，最大值为2，所以2(1sin )d 2x x ππ+π⎰≤≤性质7：（积分中值定理）设()f x 在[],a b 上连续，则在[],a b 上至少存在一点ξ，使得()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰（a b ξ≤≤）这个公式叫做积分中值公式．证：由() ()d ()bam b a f x x M b a --⎰≤≤，从而1()d b am f x x M b a -⎰≤≤， 再由连续函数的介值定理，[,]a b ξ∃∈使得1() ()d b af f x x b a ξ=-⎰，即()d ()()b a f x x f b a ξ=-⎰（a b ξ≤≤）第二节 微积分基本公式一、积分上限函数及其导数定义：设函数()f x 在区间[],a b 上连续，并x 设为[],a b 上的一点，如上限x 在区间[],a b 上任意变动，则对于每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以它在[],a b 上定义了一个函数，记作()x Φ：()()d =()d xx aax f x x f t t Φ=⎰⎰，称为积分上限函数（或变上限积分）．同理定义：变下限积分()d b xf t t ⎰和变限积分2()d x xf t t ⎰定理：如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，则积分上限函数()()d x ax f t t Φ=⎰在[],a b 上可导，并且它的导数()()d ()xa x f t t f x Φ'⎡⎤'==⎢⎥⎣⎦⎰，[],x a b ∈证：①对于(,)x a b ∈，给x 一增量x ∆，使得(,)x x a b +∆∈， 则()()d x x ax x f t t Φ+∆+∆=⎰从而函数的增量为()()()d ()d x x xaax x x f t t f t t ΦΦΦ+∆∆=+∆-=-⎰⎰()d ()d ()d x x x x axaf t t f t t f t t +∆=+-⎰⎰⎰()d x x xf t t +∆=⎰由于()f x 在区间[],a b 上连续，由积分中值定理可得，存在ξ介于x 和x x +∆之间，使得()d ()x x xf t t f x Φξ+∆∆==∆⎰所以00()limlim ()x x x f x ΦΦξ∆∆∆'==∆→→，因为当0x ∆→时x ξ→，且()f x 是连续的，从而()lim ()()xx f f x ξΦξ'==→②当x a =时，取0x ∆>，使得(,)a x a b +∆∈，同上可得()()a f a Φ+'=③当x b =时，取0x ∆<，使得(,)b x a b +∆∈，同上可得()()b f b Φ-'=定理：如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，则函数()()d xax f t t Φ=⎰就是()f x 在[],a b 上的一个原函数．注：这个定理肯定了连续函数的原函数的存在性，也初步揭示了定积分与原函数之间的联系．例：求 21cos 2e d limt xx t x -⎰→解：2221cos coscos 200e d e (cos )sin e 1limlim lim 222et x xxx x x t x x x xx ---'-⋅===⎰→→→ 二、牛顿—莱布尼茨公式（New-Leibniz ）(微积分基本公式)定理：如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则()d ()()baf x x F b F a =-⎰证：因为()F x 和()x Φ都是()f x 的原函数，则()()F x x C Φ-=（*）， 令=x a ，则()()F a a C Φ-=，而()0a Φ=，则()F a C =， 将()F a C =代入（*），得()=()()x F x F a Φ-，即(t)dt ()()x af F x F a =-⎰令=x b ，则(t)dt ()()b af F b F a =-⎰注：[]()d ()=()()b ba af x x F x F b F a =-⎰这个公式叫做牛顿—莱布尼茨公式，也常叫做微积分基本公式． 例：计算120d x x ⎰解：112300111d (10)333x x x ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰ 例：计算12d xx--⎰解：[]1122d ln ||ln1ln 2ln 2x x x----==-=-⎰ 例：计算20|sin |d x x π⎰解：220|sin |d sin d sin d x x x x x x ππππ=-⎰⎰⎰[]20cos [cos ]x x πππ=-+[](11)1(1)4=---+--=例：证明积分中值定理：如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，则至少存在一点(,)a b ξ∈， 使得()d ()()b af x x f b a ξ=-⎰证：因为函数()f x 在区间[],a b 上连续，设()F x 是()f x 的一个原函数，即()()F x f x '=，根据牛顿—莱布尼茨公式，得()d ()()ba f x x Fb F a =-⎰函数()F x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，因此，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()F b F a f b a ξ-=-，即()d ()()ba f x x fb a ξ=-⎰注：这一积分性质，将上一节积分中值定理作了进一步的推进，ξ的值可以在开区间(,)a b 内找到．例：设()f x 在[)0+∞，内连续且()0f x >，证明00()d ()=()d xx tf t t F x f t t⎰⎰在()0+∞，内为单调增加函数.证明：()()()022()()d ()()d ()()d ()=()d ()d x xx x x xf x f t t f x tf t tf x x t f t tF x f t tf t t--'=⎰⎰⎰⎰⎰由积分中值定理()()0()d =()0x x t f t t f x x ξξ--⋅>⎰()0F x '∴> ，()F x ∴为单调增加函数第三节 定积分的换元法与分部积分法一、定积分的换元法定理：设()f x 在区间[],a b 上连续，函数()x t ϕ=满足条件： （1）()a ϕα=，()b ϕβ=，(),a t b ϕ≤≤[],t αβ∈； （2）()t ϕ在[],αβ(或[],βα)上具有连续导数，则[]()d ()()d baf x x f t t t βαϕϕ'=⎰⎰证：因为()f x 在区间[],a b 上连续，所以原函数存在，设()F x 是()f x 的一个原函数，则有()d ()()b af x x F b F a =-⎰记[]()()t F t Φϕ=，它是由()F x 和()x t ϕ=复合而成，则由复合函数的求导法则，得[]()()()()()()()t F x t f x t f t t Φϕϕϕϕ'''''===这就是说()t Φ是[]()()f t t ϕϕ'的一个原函数，所以有[][]()'()d ()()()f t t t t ββααϕϕΦΦβΦα==-⎰[][]()()()()F F F b F a ϕβϕα=-=-即[]()d ()()d b af x x f t t t βαϕϕ'=⎰⎰叫做定积分的换元公式注：①换元公式也可以反过来用，即也有如下的换元公式[]()()d ()d b a f x x x f t t βαϕϕ'=⎰⎰ ②积分限相应改变 ③不必还原例：计算0x ⎰(0)a >解：设sin x a t =，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则d cos d x a t t =，222220cos d (1cos 2)d 2a x at t t t ππ==+⎰⎰⎰2221sin 2224a a t t ππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦例：计算40⎰解：令t=，则2x t =，d 2d x t t =，[]42220 000d2d121d2ln(1)2(2ln3)11x t tt t tt t⎛⎫==-=-+=-⎪++⎝⎭⎰⎰⎰例:计算52cos sin dx x xπ⎰解:（写法一）令cost x=，则d sin dt x x=-，1015556201011cos sin d d d66x x x t t t t tπ⎡⎤=-===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰（写法二）62552200cos11 cos sin d cos d(cos)0666xx x x x xπππ⎡⎤⎛⎫=-=-=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰例：计算x⎰解：x⎰32sin cos dx x xπ=⋅⎰332222sin cos d+sin cos dx x x x x xπππ=⋅⋅⎰⎰332222sin cos d sin(cos)dx x x x x xπππ=⋅+⋅-⎰⎰55222222224sin sin()55555x xπππ⎡⎤⎡⎤=-=--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦例：证明0,()()2(),()aaaf xf x xf x x f x-⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰dd为奇函数为偶函数证：由()d()d()da aa af x x f x x f x x--=+⎰⎰⎰而0000()d()(d)()d()da aa af x xx t f t t f t t f x x-=---=-=-⎰⎰⎰⎰所以000()d()d()d=()d()da a a aa af x x f x x f x x f x x f x x--=+-+⎰⎰⎰⎰⎰[]0,()=()+()d2()d,()aaf xf x f x xf x x f x⎧⎪-=⎨⎪⎩⎰⎰为奇函数为偶函数例：若()f x 在[]0,1上连续，证明（1）220(sin )(cos )f x x f x x ππ=⎰⎰d d（2）0(sin )(sin )2xf x x f x x πππ=⎰⎰d d ，由此计算20sin 1cos x x x xπ⎰d + 证：（1）令2x t π=-，则d =d x t -， 02220002(sin )sin (cost)(cos )2f x x f t t f f x x πππππ⎡⎤⎛⎫=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰d -d dt=d（2）令x t π=-，则d =d x t -，()()()()00(sin )sin sin xf x x t f t t t f t t ππππππ=-=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰d --d -d ()()()()0sin sin sin sin f t t tf t t f x x xf x x ππππππ=⎰⎰⎰⎰d -d =d -d所以0(sin )(sin )2xf x x f x x πππ=⎰⎰d d 从而()222000sin sin cos tan cos 02221cos 1cos 1cos x x x x x x arc x xx x πππππππ=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰d d d =-=-+++ 22444ππππ⎛⎫ ⎪⎝⎭=---=例：设函数2-e ,0()1,-01cos x x x f x x xπ⎧≥⎪=⎨<<⎪+⎩，计算41(2)f x x ⎰-d 解：（方法一）令2x t -=，则d =d x t ，242211101(2)()te 1cost f x x f t ++⎰⎰⎰⎰-t ---d =dt=dt dt24021111tan e tan e 1022222t t --⎡⎤⎡⎤-=-+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=注：0002111201sec tan 11cost 2222cos2t t ⎡⎤==⎢⎥-+⎣⎦⎰⎰⎰---dt t t dt=d （方法二）()442111(2)(2)22()f x x f x x x t f t ⎰⎰⎰--d =-d --=dt二、定积分的分部积分法若函数()u u x =，()v v x =在区间[],a b 上有连续导数，由不定积分的分部积分法，可得()()d ()()d ()()()()d b bb a a au x v x x u x v x x u x v x v x u x x ⎡⎤⎡⎤'''==-⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰[]()()()()d bba au x v x v x u x x '=-⎰即d []d bb b aaauv x uv vu x ''=-⎰⎰或d []d b bb a aau v uv v u =-⎰⎰这就是定积分的分部积分法例：计算120arcsin d x x ⎰解：[]1112220arcsin d arcsin x x x x x =-⎰⎰1201126122ππ⎤=⋅+=+-例：计算10x ⎰解：令t=，则2x t =，d 2d x t t =，1111100002e d 2d(e )2[e ]2e d ttt tx t t t t t ===-⎰⎰⎰⎰[]10=2e 2[e ]2e (e 1)2t -=--=例：证明定积分公式2200sin d cos d n n n I x x x x ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰⎰1331,24221342,253n n n n n n n n n n π--⎧⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⎪-⎩为正偶数为大于1正奇数 证：()11222200sindcos =cos sin1sin cos 20n n n n I x x x x n x xdx πππ---⎡⎤=--+-⎣⎦⎰⎰ ()()()()22220=1sin1sin 11n n n n n xdx n xdx n I n Iππ-----=---⎰⎰由此21=n n n I I n --，递推公式243=,2n n n I I n ----220002123531=,1d =2226422m m m I I I x m m ππ--⋅⋅⋅⋅=-⎰()22+1110222642=1,2,,sin d =12+121753m m m I I m I x x m m π-⋅⋅⋅⋅==-⎰所以22123531=2226422m m m I m m π--⋅⋅⋅⋅- ()2+1222642=1,2,2+121753m m m I m m m -⋅⋅⋅=-例：计算1020sin d x x π⎰解：102097531sin d =1086422x x ππ⋅⋅⋅⋅⋅⎰第四节 反常积分一、无穷限的反常积分定义：设函数()f x 在区间[,)∞+a 上连续，取t a >，如果极限lim ()d →∞+⎰tat f x x 存在，则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)∞+a 上的反常积分，记作()d ∞+⎰af x x ，即()d lim()d ∞→∞++=⎰⎰taat f x x f x x这时也称反常积分()d ∞+⎰af x x 收敛；如果上述极限不存在，则称此反常积分发散．定义：设函数()f x 在区间(,]∞-b 上连续，取t b <，如果极限lim ()d →∞-⎰btt f x x 存在，则称此极限为函数()f x 在无穷区间(,]∞-b 上的反常积分，记作()d b f x x -⎰∞，即()d lim()d b b tt f x x f x x --=⎰⎰∞→∞这时也称反常积分()d ∞-⎰b f x x 收敛；如果上述极限不存在，则称此反常积分发散．定义：设函数()f x 在区间(,)∞∞-+上连续，若对任意常数c ，反常积分()d ∞-⎰c f x x 和()d ∞+⎰cf x x 都收敛，则称上述两反常积分之和为函数()f x 在无穷区间(,)∞∞-+上的反常积分，记作()d ∞∞+-⎰f x x ，即()d ()d ()d c cf x x f x x f x x ++--=+⎰⎰⎰∞∞∞∞这时也称反常积分()d ∞∞+-⎰f x x 收敛；否则称反常积分()d ∞∞+-⎰f x x 发散．以上反常积分统称为无穷限的反常积分（简称为无穷积分） 计算无穷积分可用牛顿—莱布尼茨公式的记法，()d ∞+⎰af x x []=()()()=lim ()()a x F x F F a F x F a ++=+--∞→∞∞[]()d ()()()()lim ()b bx f x x F x F b F F b F x ---==--=-⎰∞∞→∞∞[]()d ()()(=)lim ()lim ()x x f x x F x F F F x F x ++--+-==+---⎰∞∞∞∞→∞→∞∞∞例：计算反常积分2d 1∞∞+-+⎰x x解：[]2d arctan lim arctan lim arctan 1∞∞∞∞→∞→∞++--+-==-+⎰t t x x t t x 22ππ⎛⎫=--=π ⎪⎝⎭例：计算反常积分0pt te dt +-⎰∞，其中 p 是常数且0p >解：（1）01==00pt pt pt te dt te dt tde p +---++⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰∞∞∞211=000pt pt pt pt t t e e dt e e p p p p ----+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰∞∞∞()22111=-lim 001pt t te p p p-→+∞---= 注：11lim =lim =lim =lim 0pt ptpt pt t t t t t te e pe pe --→+∞→+∞→+∞→+∞= 例：证明反常积分d ∞+⎰Paxx （0a >）当1p >时收敛，当1p ≤时发散 证明：（1）当1p =时，[]d d ln ∞∞∞∞+++===+⎰⎰P a aa x x x x x（2） 当1p ≠时，有11,1d ,111p p P aap x x a p p x p +-+-+<⎧⎡⎤⎪==⎨⎢⎥>-⎣⎦⎪-⎩⎰∞∞∞ 因此，当1p >时收敛，其值为11pa p --；当1p ≤时发散二、无界函数的反常积分定义：如果函数()f x 在点a 的任一邻域内都无界，则称点a 为函数()f x 的瑕点（或称无界间断点）． 无界函数的反常积分也称为函数的瑕积分．定义：设函数()f x 在(,]a b 上连续，点a 为()f x 的瑕点．取t a >，如果极限lim ()d btt af x x +⎰→存在，则称此极限为函数()f x 在(,]a b 上的反常积分，仍记作()d baf x x ⎰，即()d lim ()d bbatt af x x f x x +=⎰⎰→这时也称反常积分()d b af x x ⎰收敛． 如果上述极限不存在，则称此反常积分发散． 定义：设函数()f x 在[,)a b 上连续，点b 为()f x 的瑕点．取t b <，如果极限lim ()d ta t bf x x -⎰→存在，则称此极限为函数()f x 在[,)a b 上的反常积分，仍记作()d b af x x ⎰，即()d lim ()d bta at bf x x f x x -=⎰⎰→这时也称反常积分()d b af x x ⎰收敛．如果上述极限不存在，则称此反常积分发散．定义：设函数()f x 在[,]a b 上除点c （a c b <<）外连续，点c 为()f x 的瑕点． 如果两个反常积分()d caf x x ⎰和()d bcf x x ⎰都收敛，则定义()d ()d ()d b c baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰；否则，就称反常积分()d baf x x ⎰发散．计算无界函数的反常积分也可以利用牛顿—莱布尼茨公式， 若a 是瑕点，则反常积分[]()d =()()lim ()b ba ax af x x F x F b F x +→=-⎰例：计算反常积分a ⎰（0a >）解：0arcsin lim arcsin 02→aa x a x x a a -π⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰例：讨论反常积分121d xx -⎰的收敛性解：02101d 11lim 1→∞x x x x x ---⎡⎤⎛⎫=-=--=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰ 所以反常积分021d xx-⎰发散，从而反常积分121d x x -⎰发散注：此题若忽略了瑕点0x =，而直接用牛顿—莱布尼茨公式计算11211d 1(11)2x x x --⎡⎤=-=-+=-⎢⎥⎣⎦⎰是错误的 例：证明反常积分d a qxx ⎰（0a >，0q >），（1）当1q <时收敛；（2）当1q ≥时发散 解：（1）当1q =时[]000d ln ln lim ln ∞+→==-=+⎰a ax x x a x x即反常积分是发散的（2）当1q ≠时1111000,1d lim 1111,1∞qaqqqa qx a q x x a x q q q q x q +----→⎧<⎡⎤⎪==-=-⎨⎢⎥---⎣⎦⎪+>⎩⎰所以反常积分d a qxx ⎰当01q <<时收敛，当1q ≥时发散复习题 1．填空题：（1）42|3|d x x -=⎰（2）211e ,22()11,2≤＜≥x x x f x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，则212(1)d f x x -⎰=（3）110I =⎰与12I =⎰的大小关系是（4）由曲线sin y x =、直线2x π=-、2x π=及x 轴所围成的平面图形面积为 （5）2121tan sin d 1x xx x -+⎰= （6）22222lim 12n nn n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪+++⎝⎭2．选择题：（1）函数()f x 在区间[,]a b 上连续，是()f x 在区间[,]a b 上可积的（ ） A ．充要条件； B ．充分条件； C ．必要条件； D ．无关条件 （2）下列积分中可直接用牛顿—莱布尼茨公式计算的是（ ） A ．221d 1xx -+⎰； B ．11d x x -⎰； C ．11ed ln xx x⎰； D ．120d x x ⎰（3）π20d sin d d x t t x ⎰=（ ） A ． 0； B ．sin x x ； C ． 1；D ． x（4）设220()sin d x f x t t =⎰，6()g x x =，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）A ．等价无穷小；B ．同阶但非等价无穷小；C ．高阶无穷小；D ．低阶无穷小 3．求下列极限：（1）101lim (1sin 2)d xt x t t x →+⎰； （2）00ln(1)d x t t→-⎰4．计算下列积分： （1）x ⎰； （2）14211sin d x x x π-⎰；（3）21d e e ∞+-+⎰x xx ； （4）20|sin |d x x x π⎰ 5．已知0sin d 2∞x x x π+=⎰，求220sin d ∞x x x +⎰。

5.2　课后习题详解习题5-1　定积分的概念与性质1．利用定积分定义计算由抛物线y ＝x 2＋1，两直线x ＝a 、x ＝b （b ＞a ）及x 轴所围成的图形的面积．解：因为函数f(x)＝x 2＋1在区间[a ，b]上连续，所以函数可积，为计算方便，不妨把[a ，b]分成n 等份，则分点为每个小区间长度为取ξi 为小区间的右端点x i ，则当n→∞时，上式极限为即为所求图形的面积．2．利用定积分定义计算下列积分：解：因为被积函数在积分区间上连续，所以把积分区间分成n等份，并取ξi为小区间的右端点，得到（1）（2）3．利用定积分的几何意义，证明下列等式：证：（1）根据定积分的几何意义，定积分表示由直线y＝2x、x＝1及x轴围成的图形的面积，该图形是底边长为1、高为2的三角形，因此面积为1，即（2）根据定积分的几何意义，定积分表示的是由曲线以及x轴、y轴围成的在第I象限内的图形面积，即单位圆的四分之一的图形，因此有（3）因为函数y＝sinx在区间[0，π]上非负，在区间[－π，0]上非正．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线y＝sinx（x∈[0，π]）与x轴所围成的图形D1的面积减去曲线y＝sinx（x∈[－π，0]）与x轴所围成的图形D2的面积，显然图形D1与D2的面积是相等的，所以有（4）因为函数y＝cosx在区间上非负．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线与x轴和y轴所围成的图形D1的面积加上曲线与x轴和y轴所围成的图形D2的面积，而图形D1的面积和图形D2的面积显然相等，所以有4．利用定积分的几何意义，求下列积分：解：（1）根据定积分的几何意义，表示的是由直线y＝x，x＝t以及x轴所围成的直角三角形面积，该直角三角形的两条直角边的长均为t，因此面积为因此有（2）根据定积分的几何意义，表示的是由直线x＝－2，x＝4以及x轴所围成的梯形的面积，该梯形的两底长分别为梯形的高为4－（－2）＝6，因此面积为21．因此有（3）根据定积分的几何意义，表示的是由折线y＝|x|和直线x＝－1，x＝2以及x轴所围成的图形的面积．该图形由两个等腰直角三角形组成，一个由直线y＝－x，x＝－1和x轴所围成，其直角边长为1，面积为另一个由直线y＝x，x＝2和x轴所围成，其直角边长为2，面积为2．因此（4）根据定积分的几何意义，表示的是由上半圆周以及x轴所围成的半圆的面积，因此有5．设a＜b，问a、b取什么值时，积分取得最大值？解：根据定积分几何意义，表示的是由y＝x－x2，x＝a，x＝b，以及x轴所围成的图形在x轴上方部分的面积减去x轴下方部分面积．因此如果下方部分面积为0，上方部分面积为最大时，的值最大，即当a＝0，b＝1时，积分取得最大值．6．已知试用抛物线法公式求出ln2的近似值（取n＝10，计算时取4位小数）．解：计算y i并列表表5-2-1按抛物线法公式，求得7．设求解：（1）（2）（3）（4）8．水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力．已知闸门上水的压强p与水深h存在函数关系，且有p＝9.8h（kN／m2）．若闸门高H＝3m，宽L＝2m，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P．解：在区间[0，3]上插入n－1个分点，取ξi∈[h i－1，h i]，并记Δh i＝h i－h i－1，得到闸门所受水压力的近似值为根据定积分的定义可知闸门所受的水压力为因为被积函数连续，而连续函数是可积的，因此积分值与积分区间的分法和ξi的取法无关．为方便计算，对区间[0，3]进行n等分，并取ξi为小区间的端点所以。

解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。

教学手段 传统教学与多媒体资源相结合。

课程资源
同济大学《高等数学》（第七版）上册
教学内容与过程
一、定积分问题举例 1、曲边梯形的面积
设)(x f y =在区间],[b a 上非负连续。

由)(,0,,x f y y b x a x ====所围成的图形称为曲边梯形（见下图），求其面积A ，具体计算步骤如下： （1）分割：在区间],[b a 中任意插入1-n 个分点
b x x x x x a n n =<<<<<=-1210
把],[b a 分成
n 个小区间
],[,],,[],,[12110n n x x x x x x -
它们的长度依次为：n x x x ∆∆∆,,,21
（2）近似代替：区间],[1i i x x -对应的第i 个小曲边梯形面积
,)(i i i x f A ∆≈∆ξ ]).,[(1i i i x x -∈∀ξ
（3）求和：曲边梯形面积∑∑==∆≈∆=
n
i i
i
n i i
x
f A A 1
1
)(ξ
x
a
b y
o
1
x i
x 1-i x i ξ。

同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第六章定积分的应用习题6-1定积分的元素法本部分无课后习题．习题6-2定积分在几何学上的应用1．求图6-1中各阴影部分的面积：图6-1解：（1）解方程组，得到交点坐标为（0，0）和（1，1）．如果取x为积分变量，则x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果取y为积分变量，则y的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[y，y ＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为y－y2的窄矩形的面积，因此有（2）取x为积分变量，则易知x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为e－e x、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果取y为积分变量，则易知y的变化范围为[1，e]，相应于[1，e]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为lny的窄矩形的面积，因此有（3）解方程组，得到交点坐标为（－3，－6）和（1，2）．如果取x为积分变量，则x的变化范围为[－3，1]，相应于[－3，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果用y为积分变量，则y的变化范围为[－6，3]，但是在[－6，2]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为的窄矩形的面积，在[2，3]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、宽为的窄矩形的面积，因此有由此可知以x为积分变量较易，因为图形边界曲线若分为上下两段，分别为y＝2x和y＝3－x2；若分为左右两段，分别为和，其中右段曲线的表示相对比较复杂，也就会导致计算形式复杂．（4）解方程组，得到交点坐标为（－1，1）和（3，9），同上，以x为积分变量计算较易．取x为积分变量，则x的变化范围为[－1，3]，相应于[－1，3]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为2x＋3－x2、底为dx的窄矩形的面积，则有2．求由下列各曲线所围成的图形的面积：（1）与（两部分都要计算）；（2）与直线y＝x及x＝2；（3）与直线x＝1；（4）y＝lnx，y轴与直线y＝lna，y＝lnb（b＞a＞0）．解：（1）图6-2中，可先计算图形D1（阴影部分）的面积，易求得与x2＋y2＝8的交点为（－2，2）和（2，2）．取x为积分变量，则x的变化范围为[－2，2]，相应于[－2，2]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图形D2的面积为图6-2（2）图6-3中，取x为积分变量，则x的变化范围为[1，2]，相应于[1，2]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图6-3（3）图6-4中，取x为积分变量，则x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图6-4（4）图6-5中，取y为积分变量，则y的变化范围为[lna，lnb]，相应于[lna，lnb]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为e y的窄矩形的面积，因此有图6-53．求抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点（0，－3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积．解：首先求得导数，因此抛物线在点（0，－3），（3，0）处的切线分别为y＝4x－3，y＝－2x＋6，容易求得这两条切线交点为（见图6-6）．因此所求面积为图6-64．求抛物线y2＝2px及其在点处的法线所围成的图形的面积．解：利用隐函数求导方法，抛物线方程y2＝2px两端分别对x求导，2yy′＝2p．即得，因此法线斜率为k＝－1，从而得到法线方程为（如图6-7），因此所求面积为图6-75．求由下列各曲线所围成的图形的面积：（1）ρ＝2acosθ；（2）x＝acos3t，y＝asin3t；（3）ρ＝2a（2＋cosθ）．解：（1）（2）由对称性可知，所求面积为第一象限部分面积的4倍，记曲线上的点为（x，y），因此（3）。