河北省涞水高三数学12月联考试题文

高三数学试题（理科）命题人：张彦东 审题人:高三数学组 2016.12.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．是虚数单位，若，则A ．1B ．C ． D． 2．已知集合，，则A ．B ．C ．D．3．在中，是边的中点，，，则A ．B ．C ．D．4．若等差数列满足，则的前2016项之和A ．1506B ．1508C ．1510D ．1512 5．若，，，则 A ．B ．C ．D．6．在平面直角坐标系中，“直线与直线平行”是“”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 7．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，用过点A 、E 、C 1的平面截去该正方体的下半部分，则 剩余几何体的正视图（也称主视图）是ABCDA B C D 1111E8．如图，空间四边形中，点分别上，，则A．B．C．D．9．已知函数，则下列说法正确的是A．的图象向右平移个单位长度后得到的图象B．若，则，C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称10．已知（），把数列的各项排成如图所示的三角形数阵，记表示该数阵中第行中从左到右的第个数，则A．67 B．69 C．73 D．7511．过抛物线（）焦点的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆的方程为，则A．B．C．D．12．设实数，满足，则的最小值是A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若、满足约束条件，则的最大值为．14．如图，是棱长均为1的正四棱锥，顶点在平面内的正投影为点，点在平面内的正投影为点，则 ．15． ．16．对于函数，有如下三个命题：①的单调递减区间为()②的值域为③若，则方程在区间内有3个不相等的实根其中，真命题是 ．（将真命题的序号填写在横线上）三.解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos C cB b=.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 为边AB 上的一点，记BDC θ∠=，若2πθπ<<，2,CD =AD =5a =，求sin θ与b 的值。

河北省涞水波峰中学2017届高三数学12月模拟考试试题（一）理一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.下列函数中，与函数有相同定义域的是A． B． C． D．2.设是虚数单位，若复数是纯虚数，则（）A．4 B．3 C．2 D．13.由函数和函数的图象围成的封闭图形的面积为（）A、 B、 C、 D、4.已知数列的前项和，第项满足，则A．9 B．8 C． 7 D． 65.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则A． B． C． D．6.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则A． B． C． D．7. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则的最小值为A． B． C． D．8.设，若函数有大于零的极值点，则A． B． C． D．9.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经BC,CA反射后又回到点P（如图）.若光线QR经过的重心，则AP等于A． B． C． D．10.已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，当点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小时，点P的横坐标为A． B． C． D．11.对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数。

若是倍值函数，则实数的取值范围是A． B． C． D．12.已知函数，函数，若存在使得成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

.13.若的内角A,B,C满足，则 .14.已知向量，且与夹角为，则 .15.等差数列的前项和为，已知，则的最小值为 .16.已知AC,BD为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形ABCD的面积的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）已知（1）求的值；（2）求的值.18. (本小题满分12分)已知向量其中.函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）设三边满足，且边所对的角为，若关于的方程有两个不同的解，求实数的取值范围.19.（10分）已知数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20.（12分）如图，是边长为3的正方形，平面，，且，. （1）试在线段上确定一点的位置，使得平面；（2）求二面角的余弦值.21、已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为的直线经过点，且与椭圆交于不同的两点,求面积的最大值.22、（本小题满分12分）设函数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若时，恒成立，求整数的最小值.18解：由已知得故---------5分（2）注意到，故--------------------------10分由函数的图像，知要有两个不同的实数解，需-----------------------------12分19、【答案】（1）；（2）.，解得，；当时，，综上所述，；……………4分（2）由（1）知，①②①-②得：，.………………10分．20、试题解析：（1）取的三等分点（靠近点），则有，过作交于，由平面，，可知平面，∴，∴，且，……………………3分所以四边形为平行四边形，可知平面，∵，∴为的一个三等分点（靠近点）；……………5分（2）如图建立空间直角坐标系：因为二面角为钝二面角，可得，所以二面角的余弦值为．……………………12分21、解：（1）设椭圆的标准方程为，有椭圆的定义可得又故椭圆的标准方程为…………………………４分.（2）设直线的方程为，由得，依题意，…………………………６分设，则，………………７分，……………８分由点到直线的距离公式得，………………９分……………10分设，当且仅当时，上式取等号，所以，面积的最大值为 (12)波峰中学2016-2017学年度第一学期期末模拟卷高三数学试题试题答题纸一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12二、填空题：13. 14. 15. 16.三、解答题：17.线18.19.20.21.22.。

某某省2021届高三数学上学期12月月考试题〔含解析〕共150分.考试时间120分钟.一､选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 设集合()(){}380A x x x =++<，如此AZ =〔 〕A. {}83x x -<<-B. {}4,5,6,7C. {}38x x << D. {}7,6,5,4---- 【答案】D 【解析】【分析】先解出集合A ，再求AZ【详解】因为{}83A x x =-<<-，所以{}7,6,5,4A Z =----∩． 应当选：D2. 复数()32z i i =+⋅，如此z 在复平面内对应的点所在象限是〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A 【解析】【分析】利用复数的乘方运算以与复数的几何意义即可求解.【详解】复数()3212z i i i =+⋅=+在复平面内对应点为(1,2)，在第一象限.应当选：A3. 如下函数中，既是奇函数又在定义域内单调递减的是〔〕A. ()sin f x x x =-B. ()31xf x -=-C. 1()f x x=D. 3()log ||f x x =【答案】A 【解析】【分析】由定义证明奇偶性，由导数以与反比例函数的性质得出单调性. 【详解】对于A 项，函数()sin f x x x =-的定义域为R ，()sin ,()sin ()f x x x f x x x f x =--=-+=-，故该函数为奇函数.又()cos 10f x x '=-≤恒成立，故该函数在定义域内单调递减，故A 正确；对于B 项，()31()xf x f x -=-≠-，即()31xf x -=-不是奇函数，故B 错误；对于C 项，函数1()f x x=在定义域内不单调，故C 错误； 对于D 项，函数()3log f x x =的定义域为{}0x x ≠，3()log ||()f x x f x -==，即函数3()log ||f x x =为偶函数，故D 错误；应当选：A.4. 双曲线22124x y -=的渐近线方程为〔 〕A. y =B. 2y x =± C. 12y x =± D. 2y x =±【答案】A 【解析】【分析】令22024x y -=，整理即可得渐近线方程.【详解】双曲线22124x y -=的渐近线方程满足22024x y -=，整理可得y =.应当选：A.【点睛】此题考查双曲线求解渐近线的方法，属于根底题.5. 向量(2,4)a =，(1,)b n =，假如//a b ，如此3a nb -=〔 〕A. 8B. 12C. 45D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据平行得出2n =，求出3a nb -，即可得出模. 【详解】因为//a b ，所以214n =⨯，解得2n =， 所以332(4,8)a nb a b -=-=，故2234845a nb -=+=.应当选：C.6. 明朝早期，X 和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术——“过洋牵星术〞．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米〔称一指〕，木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米〔称十二指〕．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依上下不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如下列图，假如在一次观测中，所用的牵星板为六指板，如此tan2α=〔〕A.1235B. 16C. 1237D. 13【答案】A【解析】【分析】根据等差数列知识求出六指板的长度，再求出tan α，然后根据二倍角的正切公式可求出结果.【详解】设等差数列为{}n a ，如此12a =厘米，1224a =厘米，所以公差121242212111a a d --===-，所以61521012a a d =+=+=厘米，如此121tan 726α==，如此2122tan 126tan 211tan 35136ααα⨯===--． 应当选：A7. 抛物线M ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为34的直线l 与抛物线M 交于A 〔点A 在第二象限〕，B 两点，如此||||AF AB =〔〕 A.15B. 14C. 4D. 5【答案】A 【解析】【分析】分别作,,AC CD BD CD AE BD ⊥⊥⊥，利用斜率为34把直角三角形三边分别用m表示，再由抛物线定义联立方程组把AF 也用m 表示，就可以求出||||AF AB . 【详解】如图，直线CD 为抛物线M 的准线，分别作,,AC CD BD CD AE BD ⊥⊥⊥． 由直线CD 的斜率为34，可设()||30BE m m =>，如此||4,||5,AE m AB m == 由抛物线定义可得：||||||||||4,BE BD AC BF AF m =-=-= 而||||||5,AB AF BF m =+=联立解得||AF m =，故||1||55AF m AB m ==． 应当选：A【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．8. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为()'f x ，且对任意实数x 都有()()1f x f x '+>，如此不等式()1x x e f x e >-的解集为〔〕A. (,0)-∞B. (0,)+∞C. (,1)-∞D. (1,)+∞ 【答案】B 【解析】【分析】构造函数()[()1]xg x e f x =-，利用导数判断其单调性，利用单调性可解得结果.【详解】设()[()1]xg x e f x =-，如此()()1]()[x x g x e f x e f x ''=-+(()()1)x e f x f x '=+-． 因为()()1f x f x '+>，所以()()10f x f x '+->，所以()0g x '>,故()g x 在R 上单调递增．因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以(0)1g =-， 所以不等式()1xxe f x e >-可化为[()1]1xe f x ->-，即()(0)g x g >，又()g x 在R 上单调递增．所以0x >， 所以不等式()1xxe f x e >-的解集为(0,)+∞.应当选：B.【点睛】关键点点睛：构造函数()[()1]xg x e f x =-并利用导数判断其单调性是解题关键.二､选择题：本大题共4小题，每一小题5分，共20分.在每一小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分. 9. 1x >，如此251x x +-的值可以为〔 〕 A. 9B. 10C. 11D. 12 【答案】CD 【解析】 【分析】将原式变形为25111x x -++-，再利用根本不等式求解出其最小值，从而判断出251x x +-的可取值.【详解】因为1x >，所以10x ->，所以25251111111x x x x +=-++≥=--， 当且仅当2511-=-x x ，即6x =时，等号成立，故25111x x +≥-. 应当选：CD.【点睛】易错点睛：利用根本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： 〔1〕“一正二定三相等〞“一正〞就是各项必须为正数；〔2〕“二定〞就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，如此必须把构成积的因式的和转化成定值；〔3〕“三相等〞是利用根本不等式求最值时，必须验证等号成立条件，假如不能取等号如此这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10. 在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失．2011～2020年上半年的票房走势如如下图所示，如此如下说法正确的答案是〔〕A. 自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加B. 自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年C. 2018年上半年的票房收入增速最大D. 2020年上半年的票房收入增速最小 【答案】D 【解析】【分析】根据图表，对A 、B 、C 、D 四个选项一一验证即可.【详解】由图易知自2011年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，增速为负的有3年，故A ，B 错误；2017年上半年的票房收入增速最大，故C 错误； 2020年上半年的票房收入增速最小，故D 正确． 应当选：D11. 函数2()2cos 3sin 2(0)f x x x ωωω=>，假如()f x 的最小正周期为π，如此如下说法正确的有〔 〕A. ()f x 图象的对称中心为(),0122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z B. 函数()2y f x =-在[]0,π上有且只有两个零点 C. ()f x 的单调递增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ZD. 将函数2sin 21y x =+的图象向左平移12π个单位长度，可得到()f x 的图象【答案】CD 【解析】 【分析】用辅助角公式化简：()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再逐项带入验证即可.【详解】2()2cos 2cos 2212sin 216f x x x x x x πωωωωω⎛⎫==+=++ ⎪⎝⎭因为22T ππω==，所以1ω=， 所以()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令2()6x k k ππ+=∈Z ，得()122k x k ππ=-+∈Z ， 如此()f x 图象的对称中心为,1()122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，故A 错误. 由()20f x -=，可得1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 如此2266x k πππ+=+或522()66x k k πππ+=+∈Z ， 即x k π=或()3x k k ππ+∈=Z .所以函数()20f x -=在[]0,π上有三个零点0，3π，π，故B 错误.令222()262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，得()36k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，故C 正确.将2sin 21y x =+的图象向左平移12π个单位长度后，得到曲线2sin 212sin 21126y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 应当选:CD12. 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，点E 在棱1DD 上，且12,DE ED F =是线段1BB 上一动点，如此如下结论正确的有〔〕A. EF AC ⊥B. 存在一点F 使得1//AE C FC. 三棱锥1D AEF -的体积与点F 的位置无关D. 直线1AA 与平面AEF 310【答案】ABC 【解析】【分析】连接BD ，推出AC EF ⊥，判断A ；在1AA 上取一点H ，使得12A H AH =，连接11,,EC EH HB ，转化证明1//AE C F ，判断B ；设AB a ，通过三棱锥1D AEF -的体积与三棱锥1F AD E -的体积相等，推出三棱锥1D AEF -的体积与正方体的棱长有关，与点F 的位置无关，判断C ；建立如下列图的空间直角坐标系1C xyz -，用夹角向量坐标公式即可判断D ．【详解】如图，连接BD .易证AC ⊥平面BDEF ，如此AC EF ⊥，故A 正确； 在1AA 上取一点H ，使得12A H AH =，连接11,,EC EH HB ， 易证四边形11B C EH 平行四边形，如此1111//,C E B H C E B H =，假如12BF B F =， 易证四边形1AHB F平行四边形，如此11//,AF B H AF B H =，从而11//,AF C E AF C E =，故四边形1AEC F 为平行四边形， 于是1//AE C F ，故B 正确； 设ABa ，三棱锥1D AEF -的体积与三棱锥1F AD E -的体积相等，如此1131123239D AEF F AD Ea a V V a a --==⨯⨯⨯⨯=， 即三棱锥1D AEF -的体积与正方体的棱长有关，与点F 的位置无关，故C 正确； 以1C 为原点，建立如下列图的空间直角坐标系1C xyz -， 设3AB =，如此1(3,3,3),(3,3,0),(3,0,2),(0,3,)A A E F t ， 从而1(0,0,3),(0,3,1)AA AE =-=--，(3,0,3)AF t =--， 设平面AEF 的法向量(,,)n x y z =，如此30,3(3)0,n AE y z n AF x t z ⎧⋅=--=⎨⋅=-+-=⎩令3z =，得(3,1,3)n t =--，从而111cos ,||AA n AAn AA n ⋅==-，即直线1AA 与平面AEF因为03t ，所以210(3)1019t -+，2331010(3)10t -+，故D 错误． 应当选：ABC【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：〔1〕、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；〔2〕、用空间向量坐标公式求解.三､填空题：本大题共4小题，每一小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 函数2,0()(3),0x xf xf x x⎧≤=⎨->⎩，如此(6)f=______.【答案】1【解析】【分析】根据分段函数每一段的定义域求解.【详解】因为函数2,0()(3),0x xf xf x x⎧≤=⎨->⎩，所以0(6)(3)(0)21f f f====. 故答案：114.6126x y⎛⎫+-⎪⎝⎭的展开式中3xy项的系数是_________.【答案】103- 【解析】【分析】利用二项式展开式的定义只需有1个因式取2x ，有3个因式取y -，其余2个因式都取16，即可求解. 【详解】6126x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示的是6个126x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭相乘， 要得到3xy ，如此其中有1个因式取2x ，有3个因式取y -，其余2个因式都取16， 所以展开式中3xy 项的系数是221336431102(1)63C C C ⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：103-15. 正三棱柱11,ABC A B C -的侧面积为63，如此该正三棱柱外接球的体积的最小值为________. 【答案】823π【解析】【分析】作出球的过正三棱柱侧棱1AA 的球的截面，由棱柱侧面积得出棱柱的底面边长和高的关系，从而表示出球半径，由根本不等式得出半径的最小值，即得体积最小值． 【详解】如图是过侧棱1AA 的球的截面，12,O O 是正三棱柱下底面和上底面外心， 设正三棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为R ，由题意知363ah =，即23ah =，底面外接圆的半径132sin3a r AO π===，由球的截面圆性质知2222243h ah R r OA =+==，当且仅当3a =时取等号，如此该正三棱柱外接球的体积的最小值为3482(2)3ππ⨯⨯=.故答案为：823π．【点睛】思路点睛：此题考查正棱柱的外接球的体积最小值问题．在球与正棱柱、正棱锥接切问题中，常常过棱柱或棱锥的高与一条侧棱作出球的截面，这里要注意此面截棱柱或棱锥所得多边形与圆的关系，从而得出球半径与棱柱棱锥中的线段长的关系．16. 函数()432xf x =-+，假如函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-有4个零点，如此m 的取值X 围是__________．【答案】(3,4) 【解析】【分析】先由()0g x =解得：()1f x m =-或()1f x m =+，作出()f x 的图象，根据有两个交点，建立不等式组，即可解出m 的取值X 围.【详解】22()[()]2()10g x f x mf x m =-+-=，即[()(1)][()(1)]0f x m f x m -+--=，解得()1f x m =-或()1f x m =+． ()f x 的图象如图示：要使22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-有4个零点，只需：215,215,m m <-<⎧⎨<+<⎩解得34m <<.即m 的取值X 围是(3,4)． 故答案为：(3,4)【点睛】函数有零点(方程有根)求参数值(取值X 围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数X 围； (2)别离参数法：先将参数别离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 在递增的等比数列{}n a 中，39a =，2430a a +=． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕假如32log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】〔1〕13-=n n a ；〔2〕2n S n =．【解析】【分析】〔1〕利用等比数列通项公式列方程组求出1a q ，，写出通项公式； 〔2〕先求出21n b n =-，为等差数列，套公式求出n S .【详解】解：〔1〕由题意可得231324113301a a q a a a q a q q ⎧==⎪+=+=⎨⎪>⎩，解得11a =，3q =． 故1113n n n a a q--==．〔2〕由〔1〕可得2123n n a -=，如此32log 21n n b a n ==-，故()2121135212n n n S n n +-=++++-==．【点睛】等差〔比〕数列问题解决的根本方法：根本量代换．18.在①a c +=且22sin 3sin sin B A C =，②22(sin sin )sin sin sin A C B A C -=-，③ABC的面积)2224a cb S +-=这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答.问题：在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且______. 〔1〕求sin B ；〔2〕假如2a c =，且ABC的面积为ABC 的周长. 【答案】选择见解析；〔1〕sin 2B =；〔2〕6+【解析】 【分析】〔1〕假如选①②，利用正弦定理进展边角互化，结合余弦定理求解；假如选③，利用三角形面积公式以与余弦定理进展求解； 〔2〕由〔1〕得sin B =，根据三角形面积求得8ac =，解出,a c ，再利用余弦定理求b ，从而求得三角形周长. 【详解】解：〔1〕假如选①，22sin 3sin sin B A C =，223b ac ∴=.a c +=，22223a c acb ∴++=，22222232221cos 2222a c b b ac b b ac B ac ac ac +----∴====，0B π<<，sin B ∴=假如选②，22(sin sin )sin sin sin A C B A C -=-，22()a c b ac ∴-=-，222b a c ac ∴=+-222cos 2a c b B ac +-=，1cos 22ac B ac ∴==，故sin B =. 假如选③，()22231sin 42a cb S ac B +-==，)2222sin a c b ac B +-=，2222cos b a c ac B =+-， 2222cos a c b a B ∴+-=，2cos 2sin ac B ac B =，tan B ∴=，故sin B =.〔2〕ABC 的面积为1sin 2ac B =，8ac ∴=，2a c =，2c ∴=，4a =2222cos b a c ac B =+-，21164224122b ∴=+-⨯⨯⨯=， 即b =故ABC 的周长为246a b c ++=++=+. 【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题复原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 19. 为了解生猪市场与当地居民人均收人水平的关系农业农村部对160城镇当月的猪肉价格(元/千克)与居民人均收入(元/月)进展了随机调研得到如下表格：〔1〕估计全国各地猪肉价格在(50,60](元/千克)内的概率；〔2〕估计这160个城镇的居民人均收人(元/月)的中位数(计算结果保存整数)；〔3〕根据所给数据完成下面的列联表并根据列联表判断是否有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】〔1〕14；〔2〕中位数约为4357；〔3〕列联表见解析，有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关. 【解析】 【分析】〔1〕根据频率的定义即可求出样本的频率，即可估计全国各地猪肉价格在〔50，60]〔元/千克〕内的概率；〔2〕根据中位数的定义即可求出；〔3〕根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．【详解】〔1〕因为这160个城镇的猪肉价格在(50.60](元/千克)内的频率为5161911604++=，所以据此得全国各地猪肉价格在(50.60](元/千克)内的概率约为14；〔2〕因为居民人均收入(元/月)在(]0,4000的频率为6152275111160322++++-<， 居民人均收入(元/月)在(0,5000]内的频率为5594516251160322+++=>，所以居民人均收入(元/月)的中位数在(4000,5000]之间，因为11130500232400010004357251173232-+⨯=≈-.所以中位数约为4357； 〔3〕列联表如下：因为22160(5035705)112011.3137.879551051204099K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.【点睛】方法点睛：在频率分布中中位数的求法是：中位数的两边频率和都为0.5. 20. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点E ，8BD =，6AC =，将ACD △沿AC 折到PAC △的位置使得4PD =．〔1〕证明：PB AC ⊥．〔2〕求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值． 【答案】〔1〕证明见解析；〔2491． 【解析】【分析】〔1〕根据ABCD 是菱形，得到AC BD ⊥，即BE AC ⊥，PE AC ⊥．再利用线面垂直的判定定理证明.〔2〕取DE 的中点O ，连接OP ，取CD 的中点F ，连接OF ,结合AC ⊥平面PBE ，得到PO ⊥平面ABCD ，然后以O 为坐标原点，OF ，OD ，OP 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．分别求得平面PAB 的一个法向量为()111,,m x y z =和平面PCD 的一个法向量为()222,,n x y z =，设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ，由cos m n m nθ⋅=求解.【详解】〔1〕因为ABCD 是菱形， 所以AC BD ⊥， 如此BEAC ⊥，PE AC ⊥．因为BE ⊂平面PBE ，PE ⊂平面PBE ，且BE PE E ⋂=， 所以AC ⊥平面PBE ． 因为PB ⊂平面PBE ， 所以PB AC ⊥．〔2〕取DE 的中点O ，连接OP ，取CD 的中点F ，连接OF ． 因为8BD =，所以4DE PE ==．因为4PD =，所以PD PE =，所以PO DE ⊥． 由〔1〕可知AC ⊥平面PBE ， 所以平面PBD ⊥平面ABCD ， 如此PO ⊥平面ABCD ．故以O 为坐标原点，OF ，OD ，OP 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如下列图的空间直角坐标系O xyz -．由得()3,2,0A --，()0,6,0B -，()3,2,0C -，()0,2,0D ，(0,0,23P ， 如此()3,4,0AB DC ==-，(0,6,23BP =，()0,2,23DP =-． 设平面PAB 的一个法向量为()111,,m x y z =，如此111134060m AB x y m BP y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令4x =，得(4,3,m =-．设平面PCD 的一个法向量为()222,,n x y z =，如此222234020n DC x y n DP y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令4x =，得(4,3,3n =．设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ，如此2cos 914m n m nθ⋅===．【点睛】方法点睛：向量法求二面角的方法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．21. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且经过点1,2⎛ ⎝⎭. 〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕()()0,1M m m>，经过点M 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，假如原点到直线l 的距离为1，且MA AB =，求直线l 的方程.【答案】〔1〕2212x y +=；〔2〕22y x =±+. 【解析】【分析】〔1〕由条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，求出这三个量的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；〔2〕分析可知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y kx m =+，由点到直线的距离公式可得出221m k =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由MA AB =可得出212x x =，代入韦达定理求出k 、m 的值，由此可得出直线l 的方程.【详解】〔1〕设椭圆C 的焦距为2c，如此222221112c aa b a b c⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 因此，椭圆C 的标准方程为2212x y +=；〔2〕假如直线l 的斜率不存在，如此直线l 过原点，不符合题意.所以，直线l 的斜率存在，设斜率为k ，设直线l 方程为y kx m =+，设()11,A x y 、()22,B x y ， 原点到直线l 的距离为1，1=，即221m k =+①.联立直线l 与椭圆C 方程可得()222124220kxkmx m +++-=，如此()()()22222216412228210k m kmk m ∆=-+-=+->，如此0k ≠，由韦达定理可得122421km x x k +=-+，2212222221212m k x x k k -==++. MA AB =，如此A 为线段MB 的中点，所以，212x x =，12124321km x x x k ∴+==-+，得()124321km x k =-+，2212122221k x x x k ==+， 所以，()2222221621921k m k k k =++，整理可得()()22161921k k +=+， 解得272k =，即2k =±m =， 因此，直线l的方程为22y x =+或22y x =-+. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的根本步骤如下：〔1〕设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；〔2〕联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x 〔或y 〕的一元二次方程，必要时计算∆； 〔3〕列出韦达定理；〔4〕将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； 〔5〕代入韦达定理求解. 22. 函数()ln x f x x e=-. 〔1〕假如曲线()y f x =存在一条切线与直线y ax =垂直，求a 的取值X 围；〔2〕证明：23()ln sin 4f x x x x <--. 【答案】〔1〕0a <或a e >；〔2〕证明见解析． 【解析】 【分析】〔1〕求得导函数()'f x ，求得()'f x 的取值X 围，由斜率关系得出a 的X 围．〔2〕利用导数求得max ()0f x =，设2()ln g x x x =-，同样由导数求得min ()g x ，得出min 3()4g x >，可证得不等式右边大于0，从而证得不等式成立． 【详解】〔1〕解：11()='-f x x e， 因为()f x 的定义域为(0,)+∞，所以111->-x e e. 因为曲线()y f x =存在一条切线与直线y ax =垂直， 所以11->-a e，解得0a <或a e >， 如此a 的取值X 围为(,0)(,)e -∞⋃+∞. 〔2〕证明：11()-=-='e xf x x e xe.当(0,)x e ∈时，()0f x '>；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<. 所以max ()()ln 0==-=ef x f e e e. 设函数2()ln g x x x =-，如此2121()2x g x x x x-'=-=.当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；当2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>.所以min11111()ln ln 2222222g x g ⎛==-=+ ⎝⎭.因为1ln 22>=，所以min 3()4g x >. 因为333sin ,444x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以23ln sin 04x x x -->. 又max ()()0f x f x ≤=，所以23()ln sin 4f x x x x <--. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式，此题证明不等式()()F x G x <解题方法证明max min ()()F x G x <，实际上此不等式证明的常用方法是证明[]max ()()0F x G x -<．。