【配套K12]上海市某知名中学高二数学上学期期中试题_2

上海市2020年高二上学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二上·西华期中) 《九章算术》中有“今有五人分无钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”．其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”这个问题中，甲所得为（）A . 钱B . 钱C . 钱D . 钱2. （2分）已知{an}是等差数列，且a4+4是a2+2和a6+6的等比中项，则{an}的公差d=（）A . 1B . ﹣1C . 2D . ﹣23. （2分）已知Sn是数列{an}的前n项和,那么{an}（）A . 是等比数列B . 当时是等比数列C . 当,时是等比数列D . 不是等比数列4. （2分）已知，函数的定义域为集合B，则=（）A .B .C .D .5. （2分）如果实数x，y满足，目标函数z=kx+y的最大值为12，最小值为3，那么实数k的值为（）A . 2B . －2C .D . 不存在6. （2分） (2017高二下·景德镇期末) 若不等式有解，则实数a的取值范围为（）A . [{，2]B . [ ，，]C . （0，]∪[2，+∞）D .7. （2分）若，则下列不等式一定不成立的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·鞍山期中) 数列{an}中，已知，依次计算a2 ， a3 ， a4可猜得an的表达式为（）A .B .C .D .9. （2分）由数列1，10，100，1000，…猜测该数列的第n项可能是（）A .B .C .D .10. （2分）下列关于实数x的不等式关系中，恒成立的是（）A .B . x2+1>2xC .D .11. （2分）不等式﹣x2+4x﹣4＜0的解集为（）A . RB . ΦC . （﹣∞，2）∪（2，+∞）D . {2}12. （2分）设点G是△ABC的重心，若∠A=120°，，则的最小值是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·中山月考) 已知，其中，满足，且的最大值是最小值的4倍，则实数的值是________．14. （1分）已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1=﹣3，S5=S10 ，则当Sn取到最小值时n的值为________15. （1分） (2016高二下·大丰期中) 的最小值是________．16. （1分）(2013·四川理) 已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2018高三上·湖北月考) 已知，不等式成立.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对于实数满足且不等式恒成立，求的最小值.18. （5分）在△ABC中，已知AB=2，AC=1，且cos2A+2sin2=1．（1）求角A的大小和BC边的长；（2）若点P在△ABC内运动（包括边界），且点P到三边的距离之和为d，设点P到BC，CA的距离分别为x，y，试用x，y表示d，并求d的取值范围．19. （10分）解答题（1）已知不等式|2x+t|﹣t≤8的解集是{x|﹣5≤x≤4}，求实数t；（2）已知实数x，y，z满足x2+ y2+ z2=2，求x+y+z的最大值．20. （10分）在公差不为0的等差数列{an}中，已知a1=1，且a2 ， a5 ， a14成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=2n•an，求数列{bn}的前n项和Tn．21. （10分） (2015高二下·登封期中) 某同学在独立完成课本上的例题：“求证： + ＜2 ”后，又进行了探究，发现下面的不等式均成立．+ ＜2+ ＜2+ ＜2+ ＜2 ，+ ≤2 ．（1）请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式；（用字母表示）（2）请用合适的方法证明你写出的不等式成立．22. （10分） (2018高一下·重庆期末) 已知数列满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

2024学年上海市延安中学高二数学第一学期期中考试卷（考试时间：90分钟满分100分）一、填空题（第1-12题每题3分，共36分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分.）1.若点A ∈直线a ，且直线a ⊂平面α，则A ________α.（填合适的符号）2.已知角α的两边和角β的两边分别平行且60α=，则β=_________.3.棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为_________.4.如果三棱锥S ABC -的侧棱与底面所成角都相等，顶点S 在底面的射影O 在ABC V 内，那么O 是ABC V 的_____心.5.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则该圆柱的表面积是______________.6.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，16AA =，则棱11B C 与平面11A BCD 的距离为__________.7.在长方体1111ABCD A B C D -中，122BD CD AA ==，则直线1BC 与直线11B D 所成角的余弦值为______________.8.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，满足12lim n n S a ∞→+=，那么1a 的取值范围是___.9.在平面上画n 条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设k 条直线将平面分成了()f k 个区域，那么1k +条直线可把平面分成()f k +______个区域．10.已知ABC V 用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形A B C ''' （如图），则ABC V 中边长与A B C ''' 的边长相等的边上的高为_______________11.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，90ACB ∠=︒，6AC =，12BC CC ==，P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值为______．12.已知两个等比数列{}n a ，{}n b 满足()10a a a =>，111b a -=，222ba -=，333b a -=．若数列{}na 唯一，则a =______.二、选择题（本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分）13.以下命题中真命题的是（）.A.所有侧面都是矩形的棱柱是长方体B.有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱C.侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱D.各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱14.1l 、2l 是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）．A.如果1l ∥α，2l ∥α，则一定有1l ∥2l ．B.如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l α⊥．C.如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l ∥α．D.如果1l α⊥，2l ∥α，则一定有12l l ⊥．15.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R S ､､､分别为棱1AB BC BB CD ､､､的中点，连接11A S B D ､，对空间任意两点M N ､，若线段MN 与线段11A S B D ､都不相交，则称M N ､两点可视，下列选项中与点1D 可视的为（）A.点PB.点QC.点RD.点B16.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…，即121a a ==，()123,N n n n a a a n n --=+≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（）A.1350B.676C.1351D.1352三、解答题（共52分）特别注意：本卷解答题用空间坐标表示解题，一律不给分!17.已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，用数学归纳法证明：321(N,1)ni n i aS n n ==∈≥∑.18.已知A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径，C 是底面圆周上一点，BD ＝2，BC ＝1，AC 与底面所成的角为3π，过点A 作截面ABC 、ACD ，截去部分后的几何体如图．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．19.如图，正四面体P ABC -中，棱长为2，PA 的中点为M .求：（1）二面角M BC P --的大小；（2）点P 到平面BMC 的距离.20.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥,CD AB CD >，90ABC ∠= .过点1C 作1C O ⊥平面ABCD ，垂足为,,O OB OC M =是1CC 的中点.（1）在四边形ABCD 内，过点O 作OE AD ⊥，垂足为E .（i ）求证：平面1OEC ⊥平面11ADD A ；（ii ）判断11,,,O E D C 是否共面，并证明.（2）在棱BC 上是否存在一点N ，使得1AC ∥平面OMN ？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由.21.已知数列{}n a 满足12a =，对任意正整数m 、p 都有m p m p a a a +=⋅.（1）求数列{}()N,1n a n n ∈≥的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足()31223N,121212121n n n b b b ba n n =++++∈≥++++ ，求数列{}n b 的前n 项和n B ；（3）在（2）中的n B ，设2nn nB c =，求数列{}()N,1n c n n ∈≥中最小项的值.上2024学年上海市延安中学高二数学第一学期期中考试卷（考试时间：90分钟满分100分）一、填空题（第1-12题每题3分，共36分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分.）1.若点A ∈直线a ，且直线a ⊂平面α，则A ________α.（填合适的符号）【答案】∈【解析】【分析】由点线面的位置关系判断即可.【详解】点A ∈直线a ，且直线a ⊂平面α，则A ∈α，故答案为：∈2.已知角α的两边和角β的两边分别平行且60α= ，则β=_________.【答案】60o 或120 【解析】【分析】由等角定理求解即可.【详解】角α的两边和角β的两边分别平行且60α= ，由等角定理可知，βα=或180βα+= ，则60β= 或120 ，故答案为：60o 或1203.棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为_________.【答案】5【解析】【分析】设出截得的棱台的高，利用棱锥平行于底面的截面比例关系列式求解.【详解】设截得的棱台的高为h ，由棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积与底面积的比等于截得锥体的高与原锥体高的平方比，得2932(9162h -=，解得5h =，所以截得的棱台的高为5.故答案为：54.如果三棱锥S ABC -的侧棱与底面所成角都相等，顶点S 在底面的射影O 在ABC V 内，那么O 是ABC V 的_____心.【答案】外【解析】【分析】设侧棱与底面所成角为θ，则tan SO SO SOOA OB OCθ===，故OA OB OC ==，从而判断即可.【详解】三棱锥S ABC -的侧棱与底面所成角都相等，设夹角为θ，顶点S 在底面的射影O 在ABC V 内，所以tan SO SO SOOA OB OCθ===，所以OA OB OC ==，故O 是ABC V 的外心.故答案为：外5.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则该圆柱的表面积是______________.【答案】816π+【解析】【分析】根据给定条件，求出该圆柱的底面圆半径，再求出其表面积.【详解】依题意，圆柱的底面圆周长为4，则半径2πr =，所以该圆柱的表面积282π1616πS r =+=+.故答案为：816π+6.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，16AA =，则棱11B C 与平面11A BCD 的距离为__________.【答案】245【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由11//B C 平面11A BCD ，所以棱11B C 与平面11A BCD 的距离即为1B 到平面11A BCD 的距离，利用坐标法求解点到平面的距离即可.【详解】11//B C BC ，11B C ⊄平面11A BCD ，⊂BC 平面11A BCD ，所以11//B C 平面11A BCD ，所以1B 到平面11A BCD 的距离即为棱11B C 与平面11A BCD 的距离，如图：建立空间直角坐标系，8AB =，16AA =，设AD a =，所以()1,0,6A a ，(),8,0B a ，()0,8,0C ，()10,0,6D ，()1,8,6B a ，()10,8,6A B =- ，(),0,0BC a =-，设平面11A BCD 的法向量为 =s s ，则10m A B m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，故8600y z ax -=⎧⎨-=⎩，则0x =，令6y =，8z =，故()0,6,8m =，()10,0,6BB = ，所以1B 到平面11A BCD的距离为：1245m BB m ⋅==，故答案为：2457.在长方体1111ABCD A B C D -中，122BD CD AA ==，则直线1BC 与直线11B D 所成角的余弦值为______________.【答案】34##0.75【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义可得1DBC ∠或其补角即为所求的角，再由余弦定理计算可得结果.【详解】如图所示：不妨设1222BD CD AA ===，则由长方体性质可得3BC =，易知直线1BC 与直线11B D 所成的角即为直线1BC 与直线BD 所成的角，即为1DBC ∠或其补角；在1BDC 中，可得1122,2,B BC D D C ===由余弦定理可知22211114423cos 22224BD C B C D DBC BD C B +-+-∠===⨯⨯⨯⨯.故答案为：348.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，满足12lim n n S a ∞→+=，那么1a 的取值范围是___.【答案】(2【解析】【分析】利用等比数列前n 项和的极限，得到关于1a 的代数式，进而求得1a 的取值范围.【详解】各项均为正数的等比数列中，设其公比为q ，首项为1a ，则1lim 1n n a S q∞→+=-，01q <<，则1112a q a =-，则()121a q =-，由01q <<，可得011q <-<，()0212q <-<，则()0212q <-<，则1a 的取值范围是(2.故答案为：(29.在平面上画n 条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设k 条直线将平面分成了()f k 个区域，那么1k +条直线可把平面分成()f k +______个区域．【答案】1k +##1k +【解析】【分析】根据题意，依次分析(1),(2),(3),(4),(5)f f f f f 的值，由此类推，归纳可得答案.【详解】1条直线把平面分成2个区域，2条直线把平面分成224+=个区域，则有(2)(1)2f f =+，同理，3条直线把平面分成2237++=个区域，则有(3)(2)3f f =+，4条直线把平面分成223411+++=个区域，则有(4)(3)4f f =+，5条直线把平面分成2234516++++=个区域，则有(5)(4)5f f =+，依次类推，第1k +条直线与前k 条直线都相交，则第1k +条直线有k 个交点，被分为1k +段，每段都会把对应的平面分为两部分，则增加了1k +个平面，即(1)()1f k f k k +=++．故答案为：1k +.10.已知ABC V 用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形A B C ''' （如图），则ABC V 中边长与A B C ''' 的边长相等的边上的高为_______________【解析】【分析】由斜二测画法的特点可知平行于x 轴的边长不变，在直观图中由正弦定理求出O C ''，然后求出原图中OC 的长度即可求解.【详解】由于ABC V 用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形A B C ''' ，则ABC V 中边长与A B C ''' 的边长相等的边为A B AB ''=，在O A C ''' 中1A C ''=，45A O C '''∠= ，60C A B '''∠=o ，所以120C A O '''∠=o ，由正弦定理得：sin sin C O A C C A O C O A''''=''''''∠∠，所以2222O C ''==，所以原图ABC V 中AB边上的高为：22OC =⨯=，.11.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，90ACB ∠=︒，6AC =，1BC CC ==，P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值为______．【答案】【解析】【分析】把面11A C B 沿1BC 展开与1CBC △在一个平面上如图，连接1AC ，则1AC 的长度即为1CP PA +的最小值，求解即可.【详解】由题意知，1PA 在几何体内部，但在面11A C B 内，把面11A C B 沿1BC 展开与1CBC △在一个平面上如图，连接1AC，则1AC 的长度即为1CP PA +的最小值，因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面111A B C ，而11AC ⊂平面111AB C ，则111A C CC ⊥，因为90ACB ∠=︒，则11190A C B ∠=︒，即1111A C B C ⊥，又1111111,,CC B C C CC B C ⋂=⊂平面11BB C C ，则11A C ⊥平面11BB C C ，而1BC ⊂平面11BB C C ，所以111A C BC ⊥，即190AC B ∠=︒，因为1BC CC ==，易知1CC BC ⊥，所以140CC B ∠=︒所以114590135CC A ∠=︒+︒=︒，而116A C =，1CC =所以在11C CA 中，22211111112cos13550A C A C CC A C CC =+-⋅︒=，所以1AC =，即1CP PA +的最小值为故答案为：12.已知两个等比数列{}n a ，{}n b 满足()10a a a =>，111b a -=，222b a -=，333b a -=．若数列{}n a 唯一，则a =______.【答案】13【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，依题意可得24310aq aq a -+-=，且2440a a ∆=+>，由于数列{}n a 唯一，则公比q 的值只能有一个，故方程必有一解为0，代入方程即可求解参数．【详解】设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，∵()10a a a =>，111b a -=，222b a -=，333b a -=，∴11b a =+，22b aq =+，233b aq =+．∵1b ，2b ，3b 成等比数列，∴()()()22213aq a aq+=++，整理得24310aq aq a -+-=.∵0a >，∴2440a a ∆=+>，∴关于公比q 的方程有两个不同的根，且两根之和为4，两根之积为13a-．又数列{}n a 唯一，公比q 的值只能有一个，故这两个q 的值必须有一个不满足条件．∵公比q 的值不可能等于0，∴方程24310aq aq a -+-=必有一根为0，把0q =代入此方程，解得13a =．故答案为：13二、选择题（本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分）13.以下命题中真命题的是（）.A.所有侧面都是矩形的棱柱是长方体B.有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱C.侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱D.各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱【答案】B 【解析】【分析】利用长方体、直棱柱、正四棱柱的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解.【详解】对于A ，直棱柱的侧面都是矩形，但不一定是长方体，如直三棱柱，故A 不正确，对于B ，有两个相邻侧面是矩形，则利用线面垂直的判定定理证明出侧棱垂直于底面，则该四棱柱是直棱柱，故B 正确，对于C ，斜四棱柱可以满足侧棱垂直底面两条棱，但不是直棱柱，故C 不正确；对于D ，底面是菱形的直棱柱，满足底面四条边相等，各侧面都是全等的矩形，但不是正四棱柱，故D 不正确.故选：B.14.1l 、2l 是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）．A.如果1l ∥α，2l ∥α，则一定有1l ∥2l ．B.如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l α⊥．C.如果12l l ⊥，2l α⊥，则一定有1l ∥α．D.如果1l α⊥，2l ∥α，则一定有12l l ⊥．【答案】D 【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【详解】对于A ，若1l ∥α，2l ∥α，则有1l ∥2l 或1l 与2l 相交或1l 与2l 异面，故A 错误；对于B 、C ，如果1l ⊥2l ，2l ⊥α，则有1l ∥α或1l ⊂α，故B 、C 错误；对于D ，如果1l ⊥α，则1l 垂直α内的所有直线，又2l ∥α，则过2l 与α相交的平面交α于a ，则2l ∥a ，∴1l ⊥2l ，故D 正确．故选：D ．15.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R S ､､､分别为棱1AB BC BB CD ､､､的中点，连接11A S B D ､，对空间任意两点M N ､，若线段MN 与线段11A S B D ､都不相交，则称M N ､两点可视，下列选项中与点1D 可视的为（）A.点PB.点QC.点RD.点B【答案】B 【解析】【分析】根据异面直线的定义判断即可.【详解】A 选项：四边形11A D SP 是平行四边形，1A S 与1D P 相交，故A 错；C 选项：四边形11D B BD 是平行四边形，1D R 与1DB 相交，故C 错；D 选项：四边形11D B BD 是平行四边形，1D B 与1DB 相交，故D 错；利用排除法可得选项B 正确.故选：B.16.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…，即121a a ==，()123,N n n n a a a n n --=+≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（）A.1350B.676C.1351D.1352【答案】C 【解析】【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列的规律，再利用数列的周期性即可得结果.【详解】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律，因此新数列即为按照1,1,0成周期出现的数列，周期为3，易知202667531=⨯+，一个周期内的三个数字之和为2；所以数列的前2026项的和为675211351⨯+=.故选：C三、解答题（共52分）特别注意：本卷解答题用空间坐标表示解题，一律不给分!17.已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，用数学归纳法证明：321(N,1)ni n i aS n n ==∈≥∑.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项n a ，前n 项和为n S ，再利用数学归纳法证明.【详解】等差数列中，1(1)n a a n d n =+-=，1()(1)22n n n a a n n S ++==，当1n =时，311a =，21n S =，原等式成立；假设当N ()n k k *=∈时，原等式成立，即321kk i ka S==∑，321(1)[2ki k k k =+=∑，则133233311121((1)[]21)(1)k kk i i k k ak a a k k k k +++===+=++++=+∑∑()()()()()()22222211112412442k k k k k k k k S +⎡⎤++++⎡⎤=⋅++=⋅+==⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即当1n k =+时，原等式成立，所以对一切N n *∈，等式321ni n i aS ==∑成立.18.已知A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径，C 是底面圆周上一点，BD ＝2，BC ＝1，AC 与底面所成的角为3π，过点A 作截面ABC 、ACD ，截去部分后的几何体如图．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【答案】（1）2π；（2）36+﹒【解析】【分析】(1)设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ，则OA ⊥平面BCD ，求出圆锥母线长度即能求出圆锥侧面积．(2)该几何体的体积()13BCD V S S AO =+⋅△半圆，由此能求出结果．【小问1详解】如图，设BD 的中点为O ，连接OA OC 、，A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径，OA ∴⊥平面BCD ．2BD = ，1BC =，AC 与底面所成角的大小为3π，∴在Rt AOC 中，1OC =，3ACO π∠=，2AC =，AO =，∴圆锥侧面积为：2222r AC πππ⋅=⨯⨯=；【小问2详解】该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体，AO = ，90BCD ∠=︒，CD ∴=∴该几何体的体积V =()11133133226BCD S S AO π+⎛⎫+⋅=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭半圆△．19.如图，正四面体P ABC -中，棱长为2，PA 的中点为M .求：（1）二面角M BC P --的大小；（2）点P 到平面BMC 的距离.【答案】（1）3arcsin3（2）1【分析】（1）取BC 的中点O ，连接,OM OP ，易证得PA ⊥平面BMC ，,OM BC OP BC ⊥⊥，则POM ∠即为二面角M BC P --的平面角，再解Rt POM 即可；（2）由PM ⊥平面BMC ，可得线段PM 的长度即为点P 到平面BMC 的距离，即可得解.【小问1详解】取BC 的中点O ，连接,OM OP ，在正四面体P ABC -中，PA 的中点为M ，则,,3BM PA CM PA BM CM ⊥⊥==，因为O 为BC 的中点，所以,OM BC OP BC ⊥⊥，所以POM ∠即为二面角M BC P --的平面角，因为,,BM CM M BM CM ⋂=⊂平面BMC ，所以PA ⊥平面BMC ，又OM ⊂平面BMC ，所以PA OM ⊥，在Rt POM 中，1,3PM OP ==，则3sin 3PM POM OP ∠==，所以二面角M BC P --的大小为3arcsin3；【小问2详解】由（1）知PM ⊥平面BMC ，所以线段PM 的长度即为点P 到平面BMC 的距离，所以点P 到平面BMC 的距离为1.20.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥,CD AB CD >，90ABC ∠= .过点1C 作1C O ⊥平面ABCD ，垂足为,,O OB OC M =是1CC 的中点.（1）在四边形ABCD 内，过点O 作OE AD ⊥，垂足为E .（i ）求证：平面1OEC ⊥平面11ADD A ；（ii ）判断11,,,O E D C 是否共面，并证明.（2）在棱BC 上是否存在一点N ，使得1AC ∥平面OMN ？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由.【答案】（1）（i ）证明见解析；（ii ）不共面，证明见解析（2）存在，证明见解析【解析】【分析】（1）（i ）由线面垂直的性质可得1C O ⊥AD ，然后由面面垂直的判定可证，（ii ）利用反证法，假设不共面，利用面面平行的性质推出矛盾，进而得到结论正确；（2）利用面面平行的判定可得平面OMN ∥平面1ABC ，然后利用线面平行的定义得证.【小问1详解】（i ）由1C O ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，则1C O ⊥AD ，又OE AD ⊥，1OE OC O = ，1,OE OC ⊂平面1OEC ，则AD ⊥平面1OEC ，因为AD ⊂平面11ADD A ，所以平面1OEC ⊥平面11ADD A ；（ii ）11,,,O E D C 不共面，假设11,,,O E D C 共面于α，由四棱柱1111ABCD A B C D -，得平面//ABCD 平面1111D C B A ，又平面ABCD OE α⋂=，平面11111A B C D C D α⋂=，所以11//OE C D ，又11//CD C D ，所以//OE CD ，又OE AD ⊥，即CD AD ⊥，又90ABC ∠= ，且90ADC ∠=︒，//AB CD ，从而四边形ABCD 为矩形，与AB CD >矛盾!所以11,,,O E D C 不共面；【小问2详解】取BC 的中点N ，连接CO 并延长交AB 于P ，因为90ABC ∠=︒，OB OC =，所以O 为CP 的中点，//ON AB ，因为ON ⊄平面1ABC ，AB ⊂平面1ABC ，所以//ON 平面1ABC ，由M 是1CC 的中点，1//,MN BC MN ⊄平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，所以//MN 平面1ABC ，因为ON MN N ⋂=，,ON MN ⊂平面OMN ，所以平面//OMN 平面1ABC ，因为1AC ⊂平面1ABC ，所以1//AC 平面OMN .21.已知数列{}n a 满足12a =，对任意正整数m 、p 都有m p m p a a a +=⋅.（1）求数列{}()N,1n a n n ∈≥的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足()31223N,121212121n n n b b b ba n n =++++∈≥++++ ，求数列{}n b 的前n 项和n B ；（3）在（2）中的n B ，设2nn nB c =，求数列{}()N,1n c n n ∈≥中最小项的值.【答案】（1）2nn a =()N,1n n ∈≥（2）244233n n n B =⨯++()N,1n n ∈≥.（3）3【解析】【分析】（1）直接给,m n 赋值得到一个等比数列的关系式，求出的通项；（2）通过n a 和前n 项和之间的关系求解通项即可；（3）通过判断数列的单调性，确定最大值的位置，判断单调性只需要比较1,n n c c -的大小即可.【小问1详解】对任意正整数m 、p 都有m p m p a a a +=⋅成立，12a =，所以令,1m n p ==，得11n n a a a +=⋅，N,1n n ∈≥，∴数列（N,1n n ∈≥）是首项和公比都为2的等比数列.∴2nn a =（N,1n n ∈≥）.【小问2详解】由()31223N,121212121n n n b b b ba n n =++++∈≥++++ ，得()31121231N,221212121n n n b b b ba n n ---=++++∈≥++++ ，故()1N,221n n n n ba a n n --=∈≥+，所以()()121122122N,2n nn n n b n n ---=+=+∈≥，当1n =时，11121b a =+，16b =，于是，()()21122,N,26,1n n n n n b n --⎧+∈≥⎪=⎨=⎪⎩，当1n =时，116B b ==；当2n ≥时，()()35211211236222222n n n n B b b b b --=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()311221421261212n n ----=++--244233n n =⨯++又1n =时，12442633B =⨯++=，综上，有244233n n n B =⨯++，N,1n n ∈≥.【小问3详解】因为2n n n B c =，11116322B c ===，所以()24121,N,1332n n n c n n =⨯+⨯+∈≥，所以()111112412412121212,233233232n n n n n n n n c c n -----⎛⎫-=⨯+⨯+-⨯--=-≥ ⎪⎝⎭，数列{}()N,1n c n n ∈≥是单调递增数列，即数列{}n c 中数值最小的项是1c ，其值为3.。

1向明中学2023学年第一学期高二年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）1．已知一个球的半径为3，则这个球的表面积为_____________．2．若平面l αβ= ，直线a α⊂，直线b β⊂，a b M = ，则点M 与l 的位置关系为_______．3．若向量()4,2,1a =- 与向量()2,,b x y =共线，则x y -=________．4．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线11B D 与CD 所成角的大小是__________．5．如图所示，'''A B O ∆是利用斜二测画法画出的ABO ∆的直观图，已知''//'A B y 轴，''4O B =，且ABO ∆的面积为16，过'A 作'''A C x ⊥轴，则''A C =_________．6．已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为16π，则该圆柱的体积为_______．7．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，1PA =，则侧面PCD 与底面ABCD 所成的二面角的大小是___________．8．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，122AB AA ==，N 为11A C 的中点，M 为线段1AA 上的点．则MN MB +的最小值为________．9．已知向量()2,3,0a = ，()1,0,3b = ，则向量a 在向量b方向上投影向量的坐标为__________．10．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱1DD 的中点，则平面1AC E 截该正方体所得的截面面积为__________．11．如下图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且113A AB A AD BAD π∠=∠=∠=，则侧棱1AA 与底面2ABCD 所成的角为__________．12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，下列判断中，正确的是____________（把所有正确判断的序号都填上）．①平面1PB D ⊥平面1ACD ；②1A P ∥平面1ACD ；③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦；④三棱锥1D APC -的体积不变．二、单选题（本大题共4题，每题4分，满分16分）13．若球的表面积扩大到原来的4倍，那么该球的体积扩大到原来的（）A．64B．32C．16D．814．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，AB BC =，122AA AC ==，点E 为棱11A B 的中点，点F 是棱BC 上的一点，且3BF FC =，则直线AE 与1C F 所成角的余弦值为（）A．1699B．3299C．83399D．16339915．阅读材料：空间直角坐标系O xyz -中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=；过点()000,,P x y z 且一个方向向量为()(),,0d u v w uvw =≠ 的直线l 的方程为000x x y y z z u v w---==．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为3570x y z -+-=，直线l 的方向向量为()3,1,2m =-，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A．1035B．75C．715D．145516．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,P Q 分别为棱111,C D B C 上的动点，则四面体PQAD 的体积最大值为（）A．16B．14C．13D．123三、解答题（本大题共5题，满分48分）17．（本题共2小题，第一小题4分，第二小题4分，满分8分）已知空间中的三点()2,0,2P -，()1,1,2M -，()3,0,4N -，a PM = ，b PN = ．（1）求PMN ∆的面积；（2）当ka b + 与2ka b -的夹角为钝角时，求k 的范围．18．（本题共2小题，第一小题4分，第二小题5分，满分9分）已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =．求：（1）异面直线BD 与1AB 所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）四面体11AB D C 的体积．19．（本题共两小题，第一小题4分，第二小题5分，满分9分）如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD 与平面CBD 所成二面角为直角，AE ⊥平面ABD，且AE =．（1）求证：直线EC 与平面ABD 平行；（2）求点C 到平面BED的距离．420．（本题共2小题，第一小题4分，第二小题5分，满分9分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==．（1）证明：AB PD ⊥；（2）线段PC 上是否存在一点M ，使得直线AM 垂直平面PCD ，若存在，求出线段AM 的长，若不存在，说明理由．521．（本题共3小题，第一小题4分，第二小题4分，第三小题5分，满分13分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO OB ==．（1）若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ；（2）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（3）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．6参考答案一、填空题1.36π； 2.M l ∈； 3.12-；4.45︒；5.；6.16π；7.45︒；；9.13,0,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；10.11.arccos312.①②④11．如下图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且113A AB A AD BAD π∠=∠=∠=，则侧棱1AA 与底面ABCD所成的角为__________．【答案】arccos3【解析】根据三余弦定理可得：1cos cos cos BAC A AB θ⋅∠=∠，解得cos 3θ=.12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，下列判断中，正确的是____________（把所有正确判断的序号都填上）．①平面1PB D ⊥平面1ACD ；②1A P ∥平面1ACD ；③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是0,3π⎛⎤⎥⎝⎦；④三棱锥1D APC -的体积不变．【答案】①②④7【解析】对于①：连接1DB ，根据正方体的性质，有1DB ⊥平面1ACD ，又1DB ⊂平面1PB D ，所以平面1PB D ⊥平面1ACD ，①正确；对于②：连接111,A B A C ，易证平面11BA C ∥平面1ACD ，从而由线面平行的定义可得1A P ∥平面1ACD ，所以②正确；对于③：当P 与线段1BC 的端点重合时，1A P 与1AD 所成角取得最小值为3π，当P 与线段1BC 的中点重合时，1A P 与1AD 所成角取得最大值为2π，所以1A P 与1A D 所成角的范围是,32ππ⎡⎤⎢⎣⎦，③错误；对于④：由11D APC C AD P V V --=三棱锥三棱锥，因为C 到平面1AD P 的距离不变，且三角形1AD P 的面积不变，所以三棱锥1A D PC -的体积不变，④正确；综上知，正确的命题序号是①②④，故答案为：①②④二、选择题13.D14.D15.A16.A15．阅读材料：空间直角坐标系O xyz -中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=；过点()000,,P x y z 且一个方向向量为()(),,0d u v w uvw =≠ 的直线l 的方程为000x x y y z z u v w---==．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为3570x y z -+-=，直线l 的方向向量为()3,1,2m =-，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A．1035B．75C．715D．1455【答案】A【解析】由平面α的方程可知：平面α的一个法向量可取()3,5,1n =-，而直线l 的方向向8量为()3,1,2m =- ，∴10sin cos ,35m n m n m nθ⋅===，故选：A.16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,P Q 分别为棱111,C D B C 上的动点，则四面体PQAD 的体积最大值为（）A．16B．14C．13D．12【答案】A【解析】过点Q 作11QG B C ∥交1CC G 于，连接,,PG GD DP .又11B C BC AD QG AD ⇒∥∥∥.而AD ⊂平面PAD ，∴QG ∥平面PAD ，则Q PAD G PAD A PGD V V V ---==.设1,CG t PD s ==，则[],0,1t s ∈，()()()111111112222PGD S s t s t st ∆=-----=-，故四面体PQAD 的体积()()1111113326Q PAD A PGD PGD V V S AD st st --∆==⋅=⨯-=-，当0st =时，其最大值为16.故选：A.三．解答题17.（1）32；（2）5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.18.（1）1010；（2）23.19.（1）证明略；（2）1.20．（本题共2小题，第一小题4分，第二小题5分，满分9分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，92ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==．（1）证明：AB PD ⊥；（2）线段PC 上是否存在一点M ，使得直线AM 垂直平面PCD ，若存在，求出线段AM 的长，若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，3AM =.【解析】（1）证明：∵在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，∴PA AB ⊥，PA AD ⊥.在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，2ABC BAD π∠=∠=.又AD ⊂面,ADP AP ⊂面ADP ，∴AB ⊥平面ADP ，又PD ⊂面ADP ，∴AB PD ⊥；（2）由题意及（1）得，存在一点M ，使得直线AM 垂直平面PCD .在四棱锥P ABCD -中，2PA AD ==，1AB BC ==，建系如图所示：根据题意可得：()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2A B C D P ，∴()()()1,1,2,1,1,0,0,2,2PC CD PD =-=-=-.设()111,,M x y z ，得()111,,2PM x y z =- ，根据点M 在线段CP 上，∴PM PC∥.由AM PCD ⊥面得()00022220AM CD t t AM PD t t ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+--+=⎪⎩ ，得23t =，∴222,,333M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴AM =.1021．（本题共3小题，第一小题4分，第二小题4分，第三小题5分，满分13分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO OB ==．（1）若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ；（2）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（3）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．【答案】（1）见解析；（2）13；（3）【解析】（1）在AOC ∆中，因为,OA OC D =为AC 的中点，所以AC DO ⊥.又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO AC ⊥，所以AC ⊥平面PDO .（2）因为点C 在圆O 上，所以当CO AB ⊥时，C 到AB 的距离最大，离最大值为1.又2AB =，所以ABC ∆面积的最大值为12112⨯⨯=.又因为三棱尸P ABC -的高1PO =，故三棱尸P ABC -体积的最大值为111133⨯⨯=.（3）解法一：在POB ∆中，1,90PO OB POB ==∠=，所以PB ==.同理PC =，所以PB PC BC ==.在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示.当,,O E C '共线时，CE OE +取得最小值.又因为,OP OB C P C B ''==，所以OC 垂直平分PB ，即E 为PB 中点.从而2''2OC OE EC =+=+CE OE +11解法二：在POB ∆中，1,90PO OB POB ==∠=，所以45,OPB PB ∠=︒=.同理PC =.所以PB PC BC ==，所以60CPB ∠=︒.在三棱棱P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示.当,,O E C '共线时，CE OE +取得最小值.所以在OC P ∆'中，由余弦定理得：()21221cos 4560122OC =+-⨯⨯︒+︒=+-=+⎭从而'OC ==CE OE +.。

2010—2011学年度上学期期中高二年级数学试题(理)考试时间 120分钟 试题分数 150一：选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.选项填涂在答题卡上。

1．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有 ( )A ． c b a >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．ab c >>2.一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为40、0.125，则n 的值为A.640B.320C.240D.160 ( ) 3. 某单位有老年人，中年人，青年人依次为25人，35人，40人，用分层抽样的方法 抽取40人，则老、中、青的人数依次为 ( ) A.8，14，18B.9，13，18C.10，14，16D.9，14，174．将两个数a =8,b =7交换，使a ＝７,b =8,使用赋值语句正确的一组 ( ) A. a =b ,b =a B. c =b ,b =a ,a =c C. b =a ,a =b D. a =c ,c =b ,b =a5．为了在运行下面的程序之后得到输出16，键盘输入x 应该是 ( ) INPUT xIF x<0 THENy=(x+1)*(x+1) ELSEy=(x-1)*(x-1)END IFPRINT y ENDA ． 3或-3B ． -5C ．5或-3D ．5或-56.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①；在丙地区有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况,记这项调查为②,则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 ( ) A.分层抽样法,系统抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法7．用秦九韶算法在计算()43223246f x x x x x =+-+-时,要用到的乘法和加法的次数分别为（ ）A.4,3B.6,4C.4,4D.3,48．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．1015 9．给出命题：①0x R ∃∈，使x 3<1； ②0x Q ∃∈，使22x =；③,x N ∀∈有32x x >； ④x R ∀∈，有210x +>．其中的真命题是：（ ） A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④10．双曲线22221 2 (,0)y x e y px e -==的离心率为，抛物线的焦点为则p 的值为A ．－2B ．－4C ．2D ．411．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+B. 13-C.213+ D. 13+12．中心在原点，焦点在坐标为（0，±52）的椭圆被直线3x －y －2＝0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为（ ） 125y 75x D. 175y 25x C.125y 275x 2B. 175y 225x 2A.22222222=+=+=+=+二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．将十进制数55化为二进制结果为14．在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，则该点坐标是 。