1995考研数三真题及解析

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1 dx.
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( D ) − 2.
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【 】
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( A) A 的任意 m 个列向量必线性无关. ( B ) A 的任意 m 阶子式不等于零. ( C ) 若矩阵 B 满足 BA = O, 则矩阵 B = O.
QQ群124503282
【答】
应选 ( C ) .
x + ex + C
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【答】
( −1) 2 ⋅ n ! n +1 (1 + x )
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一、
填空题
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【详解】 令
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ln x = t , 则 x = et ,
于是由题设有
f ′(t ) = 1 + et , 即 f ′ ( x ) = 1 + e x ,
f ′′( x) = 2(−1)(−2)(1 + x) −3 , L f
(n)
= 2(−1) n !(1 + x)
n
− ( n +1)
(−1) n ⋅ n ! = . (1 + x)( n +1)
（2）设 z = xyf ⎜ 【答】
⎛ y⎞ ′ x + yz y = ____________________. ⎟ , f (u ) 可导，则 xz ′ ⎝x⎠
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Y=
X −µ
σ
~ N ( 0,1) ,
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−2 x sin x 2 cos x 2 − 1 = 0. = lim x → 0+ 2x 2

Part ThreeIn such a changing , complex society formerly simple solutions to informational needs become complicated. Many of life' s problems which were solved by asking family members, friends or colleagues are beyond the capability of the extended family to resolve. Where to turn for expert information and how to determine which expert advice to accept are questions facing many people today.In addition to this, there is the growing mobility of people since World War Ⅱ. As families move away from their stable community, their friends of many years, their extended family relationships, the informal flow of information is cut off, and with it the confidence that information will be available when needed and will be trustworthy and reliable. The almost unconscious flow of information about the simplest aspects of living can be cut off. Thus, things once learned subconsciously through the casual communications of the extended family must be consciously learned .Adding to societal changes today is an enormous stockpile of information. The individual now has more information available than any generation, and the task of finding that one piece of information relevant to his or her specific problem is complicated , time-consuming and sometimes even overwhelming .Coupled with the growing quantity of information is the development of technologies which enable the storage and delivery of more information with greater speed to more locations than has ever been possible before. Computer technology makes it possible to store vast amounts of data in machine-readable files, and to program computers to locate specific information.Telecommunications developments enable the sending of messages via television, radio, and very shortly, electronic mail to bombard people with multitudes of messages. Satellites have extended the power of communications to report events at the instant of occurrence. Expertise can be shared world wide through teleconferencing , and problems in dispute can be settled without the participants leaving their homes and/or jobs to travel to a distant conference site. Technology has facilitated the sharing of information and the storage and delivery of information, thus making more information available to more people.In this world of change and complexity , the need for information is of greatest importance. Those people who have accurate , reliable up-to-date information to solve the day-to-day problems, the critical problems of their business, social and family life, will survive and succeed. "Knowledge is power" may well be the truest saying and access to information may be the most critical requirement of all people.9. The word "it" （line 3, para. 2）most probably refers to__.（A）the lack of stable communities（B）the breakdown of informal information channels（C）the increased mobility of families（D）the growing number of people moving from place to place10. The main problem people may encounter today arises form the fact that__.（A）they have to learn new things consciously（B）they lack the confidence of securing reliable and trustworthy information（C）they have difficulty obtaining the needed information readily（D）they can hardly carry out casual communications with an extended family.11 . From the passage we can infer that__.（A）electronic mail will soon play a dominant role in transmitting messages（B）it will become more difficult for people to keep secrets in an information era（C）people will spend less time holding meetings or conferences（D）events will be reported on the spot mainly through satellites12. We can learn from the last paragraph that __.（A）it is necessary to obtain as much（B）people should make the best use of the information（C）we should realize the importance of accumulating information .（D）it is of vital importance to acquire needed information efficientlyUnit 2（1995）Part 3重点词汇：subconsciously（下意识地）←sub下+conscious有意识的+ly。

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 2sin 0lim(13)xx x →+=______________.(2)202cos x d x t dt dx=⎰______________. (3) 设()2a b c ⨯⋅=,则[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+=______________.(4) 幂级数2112(3)n n nn n x ∞-=+-∑的收敛半径R =______________. (5) 设三阶方阵A 、B 满足关系式：16A BA A BA -=+,且100310041007A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则B = ______________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 设有直线3210,:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4230x y z ∏-+-=,则直线L ( )(A) 平行于∏ (B) 在∏上 (C) 垂直于∏ (D) 与∏斜交 (2) 设在[0,1]上()0f x ''>,则(0)f '、(1)f '、(1)(0)f f -或(0)(1)f f -的大小顺序是( )(A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>-> (3) 设()f x 可导,()()(1|sin |)F x f x x =+,则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件(C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (4)设(1)ln 1n n u ⎛=- ⎝,则级数 ( )(A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛 (B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛而21nn u∞=∑发散 (D)1nn u∞=∑发散而21nn u∞=∑收敛(5) 设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭,1010100001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2100010101P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则必有 ( )(A) 12APP B = (B) 21AP P B =(C) 12PP A B = (D) 21P P A B =三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1) 设2(,,),(,,)0,sin yu f x y z x e z y x ϕ===,其中f 、ϕ都具有一阶连续偏导数,且0z ϕ∂≠∂,求du dx. (2) 设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1()f x dx A =⎰,求 11()()xdx f x f y dy ⎰⎰.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1) 计算曲面积分zdS ∑⎰⎰,其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分. (2) 将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为A .已知MA OA =,且L 过点33,22⎛⎫⎪⎝⎭,求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在xOy 平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰,求(,)Q x y .七、(本题满分8分)假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶倒数,并且()0g x ''≠,()()()()f a f b g a g b ===,试证：(1) 在开区间(,)a b 内()0g x ≠；(2) 在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使()()()()f fg g ξξξξ''=''.八、(本题满分7分)设三阶实对称矩阵A 的特征值为11λ=-,231λλ==,对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=,求A .九、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵,满足T AA E =(E 是n 阶单位阵,T A 是A 的转置矩阵),0A <,求A E +.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1) 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =___________. (2) 设X 和Y 为两个随机变量,且{}30,07P X Y ≥≥=, 4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=, 则{}max(,)0P X Y ≥=___________.十一、(本题满分6分)设随机变量X 的概率密度为, 0,()0, 0,x X e x f x x -⎧≥=⎨<⎩求随机变量XY e =的概率密度()Y f y .1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】6e【解析】这是1∞型未定式求极限,2123sin 3sin 0lim(13)lim(13)x xx xx x x x ⋅⋅→→+=+,令3x t =,则当0x →时,0t →,所以1130lim(13)lim(1)xtx t x t e →→+=+=,故 00266lim6lim6sin sin sin sin 0lim(13)lim x x x x x xxx xx x x eeee →→→→+====.(2)【答案】2224cos 2cos xt dt x x -⎰【解析】()220022cos cos x x d d x t dt x t dt dx dx=⎰⎰ ()()20222cos cos 2x t dt x x x =-⋅⎰2224cos 2cos xt dt x x =-⎰.【相关知识点】积分上限函数的求导公式：()()()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxβαββαα''=-⎰. (3)【答案】4【解析】利用向量运算律有[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+[()]()[()]()a b b c a a b c c a =+⨯⋅+++⨯⋅+()()()()a b b b c a a c b c c a =⨯+⨯⋅++⨯+⨯⋅+ (其中0b b ⨯=) ()()()()a b c a b a a c c b c a =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ()()a b c b c a =⨯⋅+⨯⋅ ()()4a b c a b c =⨯⋅+⨯⋅=.(4)【解析】令212(3)n n n nn a x -=+-,则当n →∞时,有 2(1)1111212211112(3)limlim 2(3)23(1)311lim ,323(1)3n n n n n n n nn nnn n n n n n n x a a n xn x x n +-+++→∞→∞-+→∞++++-=+-⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=⋅⋅=⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦而当2113x <时,幂级数收敛,即||x <,此幂级数收敛,当2113x >时,即||x >时,此幂级数发散,因此收敛半径为R =(5)【答案】300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【解析】在已知等式16A BA A BA -=+两边右乘以1A -,得16A B E B -=+,即1()6A E B E --=.因为 1300040007A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以116()6B A E --=-=1200030006-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=300020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(C)【解析】这是讨论直线L 的方向向量与平面∏的法向量的相互关系问题.直线L 的方向向量132281477(42)2110i jk l i j k i j k ⎛⎫ ⎪==-+-=--+ ⎪ ⎪--⎝⎭, 平面∏的法向量42n i j k =-+,l n ,L ⊥∏.应选(C).(2)【答案】(B)【解析】由()0f x ''>可知()f x '在区间[0,1]上为严格单调递增函数,故(1)()(0),(01)f f x f x '''>> <<由微分中值定理,(1)(0)(),(01)f f f ξξ'-=<<.所以(1)(1)(0)()(0)f f f f f ξ'''>-=>,(01)ξ<<故应选择(B). (3)【答案】(A) 【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.充分性:因为(0)0f =,所以0000()(1sin )()(0)()()(0)lim lim lim lim (0)x x x x f x x F x F f x f x f f x x x x→→→→+--'====, 由此可得 ()F x 在0x =处可导.必要性:设()F x 在0x =处可导,则()sin f x x ⋅在0x =处可导,由可导的充要条件知00()sin ()sin lim lim x x f x x f x xx x-+→→⋅⋅=. ①根据重要极限0sin lim1x xx→=,可得0sin sin lim lim 1x x x x x x --→→=-=-,00sin sin lim lim 1x x x xx x++→→==, ② 结合①,②,我们有(0)(0)f f =-,故(0)0f =.应选(A). (4)【答案】(C) 【解析】这是讨论1nn u∞=∑与21nn u∞=∑敛散性的问题.11(1)ln 1nn n n u ∞∞==⎛=- ⎝∑∑是交错级数,显然ln(1+单调下降趋于零,由莱布尼兹判别法知,该级数收敛.正项级数2211ln 1n n n u ∞∞==⎛=+ ⎝∑∑中,2221ln 1~n u n ⎛=+= ⎝.根据正项级数的比较判别法以及11n n ∞=∑发散,21n n u ∞=⇒∑发散.因此,应选(C).【相关知识点】正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则⑴ 当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；⑵ 当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；⑶ 当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.(5)【答案】(C)【解析】1P 是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵,2P 是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵；而B 是由A 先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到的,因此12PP A B =,故应选(C).三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函数求导相结合的问题.先由方程式2(,,)0yx e z ϕ=,其中sin y x =确定()z z x =,并求dz dx. 将方程两边对x 求导得1232cos 0y dzx e x dxϕϕϕ'''⋅+⋅+⋅=, 解得()12312cos y dz x e x dx ϕϕϕ''=-⋅+⋅'. ① 现再将(,,)u f x y z =对x 求导,其中sin y x =,()z z x =, 可得123cos du dzf f x f dx dx'''=+⋅+⋅. 将①式代入得()213321cos 12cos y du f f x f dx x e x ϕϕϕ'''=+⋅-⋅''⋅+⋅'. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u v f f x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (2)【解析】方法一：用重积分的方法.将累次积分11()()xI dx f x f y dy =⎰⎰表成二重积分()()DI f x f y dxdy =⎰⎰,其中D 如右图所示.交换积分次序10()()yI dy f x f y dx =⎰⎰.由于定积分与积分变量无关,改写成10()()xI dx f y f x dy =⎰⎰.⇒ 1110002()()()()xx I dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰111120()()()().dx f x f y dy f x dx f y dy A ===⎰⎰⎰⎰⇒ 212I A =. 方法二：用分部积分法.注意()1()()xdf y dy f x dx=-⎰,将累次积分I 写成()()()111111212()()()()11().22xxxx xx I f x f y dy dx f y dyd f y dy f y dy A ====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1)【解析】将曲面积分I 化为二重积分(,)xyD I f x y dxdy =⎰⎰.首先确定被积函数(,)f x y ==对锥面z =而言==.其次确定积分区域即∑在xOy 平面的投影区域xy D (见右图),按题意：22:2xy D x y x +≤,即22(1)1x y -+≤.xyD I =.作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,则:02cos ,22xy D r ππθθ≤≤-≤≤,因此2cos 2cos 322000213I d r rdr r d θππθπθθ-=⋅==⎰. (2)【解析】这就是将()f x 作偶延拓后再作周期为4的周期延拓.于是得()f x 的傅氏系数：0(1,2,3,)n b n ==2002200222220222()cos 2(1)cos 222(1)sin sin 2244cos ((1)1)28,21,(21)1,2,3,0,2,l n n n x n a f x dx l x xdxl l n n x d x xdx n n n x n n n k k k n k ππππππππππ==-=-=-==---⎧=-⎪-==⎨⎪=⎩⎰⎰⎰⎰2222000021()(1)(1)022a f x dx x dx x ==-=-=⎰⎰.由于(延拓后)()f x 在[2,2]-分段单调、连续且(1)1f -=.于是()f x 有展开式22181(21)()cos ,[0,2](21)2n n f x x x n ππ∞=-=-∈-∑.五、(本题满分7分)【解析】设点M 的坐标为(,)x y ,则M 处的切线方程为 ()Y y y X x '-=-.令0X =,得Y y xy '=-,切线与y 轴的交点为(0,)A y xy '-.由MA OA =,有y xy '=-.化简后得伯努利方程 212,yy y x x '-=- ()221y y x x'-=-. 令2z y =,方程化为一阶线性方程 ()1z z x x'-=-.解得 ()z x c x =-,即 22y cx x =-,亦即y =又由3322y ⎛⎫⎪⎭=⎝,得3c =,L 的方程为(03)y x =<<.六、(本题满分8分) 【解析】在平面上LPdx Qdy +⎰与路径无关(其中,P Q 有连续偏导数),⇔P Q y x ∂∂=∂∂,即 2Q x x∂=∂. 对x 积分得 2(,)()Q x y x y ϕ=+,其中()y ϕ待定.代入另一等式得对t ∀,()()(,1)(1,)(0,0)2(0)2,0()()22t t xydx dy xydx d x y y x y ϕϕ+=+++⎰⎰. ①下面由此等式求()y ϕ.方法一：易求得原函数()()()022222()()2(()()).yyxydx dy ydx dyd x y dd x y x s d x dy y s s y ds ϕϕϕϕ+=+=+=+++⎰⎰于是由①式得 ()()(,1)(1,)22(0,0)(0,0)()()t t yyx y dsx y d s s sϕϕ+=+⎰⎰.即 12()()tt ds t ds s s ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ts t t ds ϕ=+⎰.求导得 )2(1t t ϕ=+,即 ()21t t ϕ=-. 因此 2(,)21Q x y x y =+-.方法二：取特殊的积分路径：对①式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示.于是得 ()()1200()1()t t dy dy y y ϕϕ+=+⎰⎰. 即 1200()()t t dy t dy y y ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 21()ty t t dy ϕ=+⎰.其余与方法一相同.七、(本题满分8分)【解析】(1)反证法.假设(,)c a b ∃∈,使()0g c =.则由罗尔定理,1(,)a c ξ∃∈与2(,),c b ξ∈ 使12()()0g g ξξ''==；从而由罗尔定理, 12(,)(,)a b ξξξ∃∈⊂,()0g ξ''=.这与 ()0g x ''≠矛盾.(2)证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之,“谁的导数等于零？” 这应该从所要证明的结果来考察.由证明的结果可以看出本题即证()()()()f x g x f x g x ''''-在(,)a b 存在零点.方法一：注意到 ()()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x '''''''-=-,考察()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,()x ϕ⇒在[,]a b 可导,()()0a b ϕϕ==.由罗尔定理,(,)a b ξ∃∈,使()0ϕξ'=.即有()()()()0f g f g ξξξξ''''-=,亦即 ()()()()f fg g ξξξξ''=''. 方法二：若不能像前面那样观察到()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题：[]()()()()(?)()()()()?f x g x f x g x f x g x f x g x dx '''''''''-=⇔-=⎰.[]()()()()()()()()f x g x f x g x dx f x dg x g x df x ''''''-=-⎰⎰⎰()()()()()()()()f x g x g x f x dx f x g x f x g x dx ⎡⎤⎡⎤''''''=---⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()f x g x f x g x ''=-(取0C =).令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,其余与方法一相同.八、(本题满分7分)【解析】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)T x x x ξ=,因为A 为实对称矩阵,且实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故10T ξξ=,即230x x +=.解之得 23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==-.于是有 123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=,所以 1112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-= 1010010100101101001101101010-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭.九、(本题满分6分)【解析】方法一：根据T AA E =有 |||||()|||||||||T T A E A AA A E A A E A A A E +=+=+=+=+,移项得 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.方法二：因为()T T T TA E A AA A E A E A +=+=+=+,所以 A E A E A +=+,即 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以X 服从10,0.4n p ==的二项分布.由二项分布的数学期望和方差计算公式,有 ()4,()(1) 2.4E X np D X np p ===-=,根据方差性质有 22()()[()]18.4E X D X E X =+=.(2)【解析】令{0},{0}A X B Y =<=<,则{max(,)0}1{max(,)0}1{0,0}P X Y P X Y P X Y ≥=-<=-<<.由概率的广义加法公式 ()()()()P A B P A P B P AB =+-,有{max(,)0}1[1()]()()()()P X Y P AB P A B P A p B P AB ≥=--=+=+-4435.7777=+-=十一、(本题满分6分) 【解析】方法1：用分布函数法先求Y 的分布函数()Y F y .当1y ≤时, ()0;Y F y =当1y >时, (){}()X Y F y P Y y P e y =≤=≤{}ln P X y =≤ln ln 0011,yy x x e dx e y--==-=-⎰ 所以由连续型随机变量的概率密度是分布函数的微分,得21, 1,()()0, 1.Y Y y y f y F y y ⎧>⎪'==⎨⎪≤⎩或者直接将ln 0yx e dx -⎰对y 求导数得ln ln 2011.y x y d e dx e dy y y--==⎰ 方法2：用单调函数公式直接求Y 的概率密度.由于xy e =在()0,+∞内单调,其反函数()ln x h y y ==在()1,+∞内可导且其导数为 10y x y'=≠,则所求概率密度函数为 ()()()()ln 1,1,,1,0, 1.0, 1.y X Y e y h y f h y y y f y y y -⎧⎧'⋅>⋅>⎪⎪==⎨⎨≤⎪⎪⎩≤⎩21, 1,0, 1.y y y ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.。

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设1()1x f x x -=+,则()()n f x = . (2) 设()yz xyf x=,()f u 可导,则x y xz yz ''+= .(3) 设(ln )1f x x '=+,则()f x = .(4) 设100220345A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,A *是A 的伴随矩阵,则1()A *-= .(5) 设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本,其中参数μ和2σ未知,记22111,(),n n i i i i X X Q X X n ====-∑∑则假设0:0H μ=的t 检验使用统计量t =_____.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设()f x 为可导函数,且满足条件0(1)(1)lim12x f f x x→--=-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为 ( )(A) 2 (B) 1- (C)12(D) 2- (2) 下列广义积分发散的是 ( )(A) 111sin dx x -⎰(B) 1-⎰ (C)2x edx +∞-⎰(D) 221ln dx x x+∞⎰(3) 设矩阵m n A ⨯的秩为()r A m n =<,m E 为m 阶单位矩阵,下述结论中正确的是 ( )(A) A 的任意m 个行向量必线性无关 (B) A 的任意一个m 阶子式不等于零 (C) 若矩阵B 满足0BA =,则0B =(D) A 通过初等行变换,必可以化为(,0)m E 的形式(4) 设随机变量X 和Y 独立同分布,记,U X Y V X Y =-=+,则随机变量U 与V 必然( )(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 (5) 设随即变量X 服从正态分布2(,)N μσ,则随σ的增大,概率{}P X μσ-< ( )(A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定三、(本题满分6分)设2202(1cos ),0()1,01cos ,0xx x x f x x t dt x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰,试讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性.四、(本题满分6分)已知连续函数()f x 满足条件320()3xx t f x f dt e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,求()f x .五、(本题满分6分)将函数2ln(12)y x x =--展成x 的幂级数,并指出其收敛区间.六、(本题满分5分)计算22()min{,}xy x y e dxdy +∞+∞-+-∞-∞⎰⎰.七、(本题满分6分)设某产品的需求函数为()Q Q p =,收益函数为R pQ =,其中p 为产品价格,Q 为需求量(产品的产量),()Q p 为单调减函数.如果当价格为0p ,对应产量为0Q 时,边际收益00Q Q dR a dQ ==>,收益对价格的边际效应0p p dRc dp==<,需求对价格的弹性1p E b =>.求0p 和0Q .八、(本题满分6分)设()f x 、()g x 在区间[,]a a -(0a >)上连续,()g x 为偶函数,且()f x 满足条件()()f x f x A +-=(A 为常数).(1) 证明()()()aaaf xg x dx A g x dx -=⎰⎰；(2) 利用(1)的结论计算定积分22sin arctan x x e dx ππ-⎰.九、(本题满分9分)已知向量组(Ⅰ)123,,ααα；(Ⅱ)1234,,,αααα；(Ⅲ)1235,,,αααα,如果各向量组的秩 分别为(I)(II)3r r ==,(III)4r =.证明:向量组12354,,,ααααα-的秩为4.十、(本题满分10分)已知二次型2212323121323(,,)43448f x x x x x x x x x x x =-+-+.(1) 写出二次型f 的矩阵表达式；(2) 用正交变换把二次型f 化为标准形,并写出相应的正交矩阵.十一、(本题满分8分)假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试, 经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了(2)n n ≥台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求：(1) 全部能出厂的概率α；(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率β； (3) 其中至少有两台不能出厂的概率θ.十二、(本题满分8分)已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,01,01,(,)0,xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他, 求X 和Y 联合分布函数(,)F x y .1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】12(1)!(1)n n n x +-+【解析】由于112()12(1)1,11x f x x x x--==-=+-++ 2()2(1)(1),f x x -'=⋅-+ 3()2(1)(2)(1),,f x x -''=⋅--+所以 1()(1)()2(1)!(2(1)1)!(1)n n n n n fx x n x n -++=⋅-+-+=. (2)【答案】2y xyf x ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据复合函数求导法则,22x y y y y y y z yf xyf yf f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+⋅-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 1y y y y y z xf xyf xf yf x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以 222x y y y y y y yf y f xyf y f yf x x x x x xz yz x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'⎝⎭⎝'+⎭=.【相关知识点】复合函数求导法则：(())y f x ϕ=的导数为(())()y f x f x ϕ'''=. (3)【答案】xx e C ++【解析】在(ln )1f x x '=+中令ln x t =,则()1tf t e '=+,从而()()1()t t x f t e dt t e C f x x e C =+=++⇒=++⎰.(4)【答案】100122010345⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【解析】由AA A E *=,有A A E A *=,故()1A A A-*=.而 10022010345A ==,所以 ()1100122010345A AA -*⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. (5)X【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题,它是根据具体情况和问题的要求,首先提出原假设0H ,再由样本提供的信息,通过适当的方法来判断对总体所作的假设0H 是否成立.首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值μ的假设检验问题.据此类型应该选取t 检验的统计量是Xt ==经过化简得 Xt =【相关知识点】假设检验的一般步骤： (1) 确定所要检验的基本假设0H ；(2) 选择检验的统计量,并要求知道其在一定条件下的分布；(3) 对确定的显著性水平α,查相应的概率分布,得临界值,从而确定否定域；(4) 由样本计算统计量,并判断其是否落入否定域,从而对假设0H 作出拒绝还是接受的判断.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】因 0(1)(1)(1)(1)(1)limlimx x f x f f x f f x x xx→→+---'==--00(1)(1)lim(1)(1)2lim 2,2x x f f x xf f x x →→--=--==-所以应选(D).(2)【答案】(A)【解析】由计算知111arcsin x π--==⎰,222111ln ln ln 2dx x x x +∞+∞=-=⎰, 且泊松积分22x e dx +∞-=⎰,故应选(A).注：对于本题选项(A),由于当0x =时sin 0x =,故在积分区间[1,1]-中0x =是瑕点,反常积分111sin dx x -⎰应分解为两个反常积分之和:101110111sin sin sin dx dx dx x x x --=+⎰⎰⎰,而且111sin dx x -⎰收敛的充要条件是两个反常积分011sin dx x -⎰与101sin dx x⎰都收敛.由于广义积分 11001ln tan sin 2x dx x ⎛⎫==+∞ ⎪⎝⎭⎰, 即101sin dx x ⎰发散,故111sin dx x-⎰发散.在此不可误以为1sin x 是奇函数,于是1110sin dx x-=⎰,从而得出它是收敛的错误结论.(3)【答案】(C)【解析】()r A m =表示A 中有m 个列向量线性无关,有m 阶子式不等于零,并不是任意的,因此(A)、(B)均不正确.经初等变换可把A 化成标准形,一般应当既有初等行变换也有初等列变换,只用一种不一定能化为标准形.例如010001⎛⎫⎪⎝⎭,只用初等行变换就不能化成2(,0)E 的形式,故(D)不正确.关于(C),由0BA =知()()r B r A m +≤,又()r A m =,从而()0r B ≤,按定义又有()0r B ≥,于是()0r B =,即0B =.故应选(C).(4)【答案】(D)【解析】 (,)(,)Cov U V Cov X Y X Y =-+.(,)(,)Cov X X Y Cov Y X Y =+-+(,)(,)(,)(,)Cov X X Cov X Y Cov Y X Cov Y Y =+--DX DY =-.由于X 和Y 同分布, 因此DX DY =,于是有(,)0Cov U V =. 由相关系数的计算公式ρ=,所以U 与V 的相关系数也为零,应选(D). 【相关知识点】协方差的性质：(,)(,)Cov aX bY abCov X Y =；1212(,)(,)(,)Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+.(5)【答案】(C) 【解析】由于2(,),XN μσ将此正态分布标准化,故()0,1X N μσ-,{}()1211X P X P .μμσσ⎧-⎫-<=<=Φ-⎨⎬⎩⎭计算看出概率{}P X μσ-<的值与σ大小无关.所以本题应选(C).三、(本题满分6分)【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题.一般要用连续性与可导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数.222000122(1cos )2lim ()lim lim 1x x x x x f x x x ---→→→⋅-===, 220cos cos lim ()limlim 11xx x x t dt x f x x+++→→→===⎰, 故(00)(00)(0)f f f +=-=,即()f x 在0x =处连续.2000422020001cos 1()(0)(0)lim lim 01cos cos 12lim lim lim 0,22x x x xx x x t dt f x f x f x xx t dt x x x x x++++++→→→→→--'==----====⎰⎰2002320002(1cos )1()(0)(0)lim lim02(1cos )2sin 22(cos 1)lim lim lim 0.36x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x------→→→→→---'==-----====即(0)(0)0f f +-''==,故()f x 在0x =处可导,且(0)0f '=.四、(本题满分6分)【解析】首先,在变上限定积分中引入新变量3ts =,于是 303()3xx t f dt f s ds ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰.代入题设函数()f x 所满足的关系式,得 20()3()xxf x f s ds e =+⎰.在上式中令0x =得(0)1f =,将上式两端对x 求导数得2()3()2x f x f x e '=+.由此可见()f x 是一阶线性方程2()3()2xf x f x e '-=满足初始条件(0)1f =的特解.用3xe-同乘方程两端,得()3()2xxf x ee--'=,积分即得32()2xx f x Cee =-.由(0)1f =可确定常数3C =,于是,所求的函数是32()32xx f x e e =-.五、(本题满分6分)【解析】由212(12)(1)x x x x --=-+知2ln(12)ln(12)ln(1)x x x x --=-++.因为 231ln(1)(1)23nn x x x x x n++=-+-+-+,其收敛区间为(1,1)-；又 231(2)(2)(2)ln(12)(2)(1)23nn x x x x x n+----=--+-+-+,其收敛区间为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 于是有 121111(2)(1)2ln(12)(1)(1)n n n n n n n n n x x x x x n n n +∞∞++==⎡⎤-----=-+-=⎢⎥⎣⎦∑∑, 其收敛区间为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭.【相关知识点】收敛区间：若幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径是正数R ,则其收敛区间是开区间(,)R R -；若其收敛半径是+∞,则收敛区间是(,)-∞+∞.六、(本题满分5分)【解析】方法一：本题中二重积分的积分区域D 是全平面,设0a >,{}(,)|,a D x y a x a a y a =-≤≤-≤≤,则当a →+∞时,有a D D →.从而2222()()min{,}limmin{,}axy xy a D I x y e dxdy x y e dxdy +∞+∞-+-+-∞-∞→+∞==⎰⎰⎰⎰.注意当x y ≤时,min{,}x y x =；当x y >时,min{,}x y y =.于是222222()()()min{,}aa ya xx y x y xy aaaaD x y edxdy dy xedx dx ye dy -+-+-+----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰,且()2222222222()()22()2211()2211.22axa x a xy x y x a x aaa a a a a a x x a adx ye dy dx e d x y e e dx e e dx e dx -+-+-+-----------=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于2x e dx +∞--∞=⎰,从而可得222()21lim0lim 2axa xy x aaaa a dx ye dy e dx -+----→+∞→+∞=-⎰⎰⎰2limt t e dt -→+∞==.同理可得22()limayxy aaa dy xe dx -+--→+∞=⎰⎰于是2I ==-. 方法二：设0R >,则圆域{}222(,)|R D x y x y R=+≤当R →+∞时也趋于全平面,从而2222()()min{,}limmin{,}Rxy xy R D I x y e dxdy x y e dxdy +∞+∞-+-+-∞-∞→+∞==⎰⎰⎰⎰.引入极坐标系cos ,sin x r y r θθ==,则当04πθ≤≤与524πθπ≤≤时,min{,}sin x y y r θ==； 当544ππθ≤≤时,min{,}cos x y x r θ==. 于是22()min{,}Rxy D x y e dxdy -+⎰⎰22252222445044sin cos sin RRRr r r d r e dr d r e dr d r e dr πππππθθθθθθ---=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22522244500044sin cos sin RR r r r e dr d d d r e dr πππππθθθθθθ--⎡⎤=++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.由此可得2220limlim()RRr r I r e dr rd e --→+∞→+∞=-=⎰⎰222000lim R R r r r ree dr e dr +∞---→+∞⎡⎤=-===⎢⎥⎣⎦⎰七、(本题满分6分)【解析】本题的关键在于p 和Q 之间存在函数关系,因此R pQ =既可看作p 的函数,也可看作Q 的函数,由此分别求出dR dp 及dR dQ,并将它们与弹性p p dQ E Q dp =联系起来,进而求得问题的解.由()Q Q p =是单调减函数知0dQ dp <,从而需求对价格的弹性0p p dQE Q dp=<,这表明题设1p E b =>应理解为1p p E E b =-=>.又由()Q Q p =是单调减函数知存在反函数()p p Q =且1dp dQ dQdp=.由收益R pQ =对Q 求导,有 1(1)p dR dp p p Q p p p dQ dQ dQ E Q dp=+=+=+,从而001(1)Q Q dR p a dQ b ==-=,得01abp b =-.由收益R pQ =对p 求导,有(1)(1)p dR dQ p dQ Q p Q Q E dp dp Q dp=+=+=+, 从而 00(1)p p dR Q b c dp==-=,于是01c Q b=-.八、(本题满分6分)【解析】(1)由要证的结论可知,应将左端积分化成[]0,a 上的积分,即00()()()()()()aaaaf xg x dx f x g x dx f x g x dx --=+⎰⎰⎰,再将()()af xg x dx -⎰作适当的变量代换化为在[]0,a 上的定积分.方法一：由于 00()()()()()()aaaaf xg x dx f x g x dx f x g x dx --=+⎰⎰⎰,在()()af xg x dx -⎰中令x t =-,则由:0x a -→,得:0t a →,且00()()()()()()()()()a aa af xg x dx f t g t d t f t g t dt f x g x dx -=---=-=-⎰⎰⎰⎰,所以[]00()()()()()()aaaaf xg x dx f x f x g x dx A g x dx -=+-=⎰⎰⎰.方法二：在()()aaf xg x dx -⎰中令x t =-,则由:x a a -→,得:t a a →-,且()()()()()()()()()aaaaaaaf xg x dx f t g t d t f t g t dt f x g x dx ---=----=-=-⎰⎰⎰⎰.所以1()()()()()()2aaa aa a f x g x dx f x g x dx f x g x dx ---⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ []01()()()()().22a aa a aA f x f x g x dx g x dx A g x dx --=+-==⎰⎰⎰(2)令()arctan xf x e =,()sing x x =,可以验证()f x 和()g x 符合(1)中条件,从而可以用(1)中结果计算题目中的定积分.方法一：取()arctan xf x e =,()sing x x =,2a π=.由于()()arctan arctan xxf x f x e e -+-=+满足()22arctan arctan 011x xxxx xe e eee e----'+=+≡++, 故 arctan arctan xxe eA -+=.令0x =,得2arctan12A A π=⇒=,即()()2f x f x π+-=.于是有22202sin arctan sin sin 222xx e dx x dx xdx πππππππ-===⎰⎰⎰.方法二：取()arctan xf x e =,()sing x x =,2a π=,于是1()()arctan arctan2x x f x f x e e π+-=+=. (这里利用了对任何0x >,有1arctan arctan 2x x π+=) 以下同方法一.九、(本题满分9分)【解析】因为(I)(II)3r r ==,所以123,,ααα线性无关,而1234,,,αααα线性相关, 因此4α可由123,,ααα线性表出,设为4112233l l l αααα=++. 若 112233454()0k k k k ααααα+++-=,即 11412242334345()()()0k l k k l k k l k k αααα-+-+-+=, 由于(III)4r =,所以1235,,,αααα线性无关.故必有11422433440,0,0,0.k l k k l k k l k k -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩ 解出43210,0,0,0k k k k ====.于是12354,,,ααααα-线性无关,即其秩为4.十、(本题满分10分)【解析】(1)因为123(,,)f x x x 对应的矩阵为022244243A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭,故123(,,)f x x x 的矩阵表示为112312323022(,,)(,,)244243T x f x x x x Ax x x x x x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.(2)由A 的特征方程2222224424243241E A λλλλλλλλ----=---=---+--2410024(1)(36)0241λλλλλ+-=--=--=--,得到A 的特征值为1231,6,6λλλ===-.由()0E A x -=得基础解系1(2,0,1)TX =-,即属于1λ=的特征向量. 由(6)0E A x -=得基础解系2(1,5,2)TX =,即属于6λ=的特征向量. 由(6)0E A x --=得基础解系3(1,1,2)TX =-,即属于6λ=-的特征向量.对于实对称矩阵,特征值不同特征向量已正交,故只须单位化,有3121231232110,5,1,122X X X X X X γγγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎥======-⎢⎥⎥⎥⎢⎥⎥⎥-⎣⎦⎦⎦那么令123()0Q γγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢==⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 经正交变换112233x y x Q y x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,二次型化为标准形 222123123(,,)66T T f x x x x Ax y y y y y ==Λ=+-.十一、(本题满分8分)【解析】对于新生产的每台仪器,设事件A 表示“仪器需要进一步调试”,B 表示“仪器能出厂”,则A =“仪器能直接出厂”,AB =“仪器经调试后能出厂”.且B A AB =,A 与AB互不相容,应用加法公式与乘法公式,且由条件概率公式()(|)()(|)()()P AB P B A P AB P B A P A P A =⇒=⋅, 有 ()()()()070308094P B P A P A P B |A ....=+=+⨯=.设X 为所生产的n 台仪器中能出厂的台数,则X 服从二项分布()094B n,..由二项分 布的概率计算公式,可得所求概率为(1) {}0.94n P X n α===；(2) {}22220.940.06;n n P X n C β-==-=⋅⋅(3) {}{}{}121110.060.940.94n n P X n P X n P X n n θ-=≤-=-=--==-⨯-⋅【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)kkn kn P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =.十二、(本题满分8分)【解析】将整个平面分为五个区域(如右图).当1(,)x y D ∈时,(,)0F x y =, 其中1{(,)00}D x y x y =<<或.当4(,)x y D ∈,即1x >且1y >时,(,)1F x y =. 当(,)x y D ∈时,即01,01x y ≤≤≤≤时,2220(,)42xyxF x y stdtds sy ds x y ===⎰⎰⎰.当2(,)x y D ∈,即01,1x y ≤≤>时,1200(,)442x yx xF x y stdtds ds stdt sds x ====⎰⎰⎰⎰⎰.当3(,)x y D ∈,即1,01x y >≤≤时,与2D 类似,有2(,)F x y y =.综上分析,(,)X Y 的联合分布函数为22220,00,,01,01,(,),1,01,,01,1,1,1,1.x y x y x y F x y y x y x x y x y <<⎧⎪≤≤≤≤⎪⎪=<≤≤⎨⎪≤≤<⎪<<⎪⎩或。