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1995年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析一、 填空题（1） 设1(),1xf x x−=+则()()n f x =__________________. 【答】()()112!1nn n x +−⋅+【详解】 12()1,11x f x x x −==−++于是 23()(1)(1)()2(1)(1),()2(1)(2)(1),(1)!2(1)!(1).(1)n n n n n f x x f x x n fn x x −−−++′=⋅−+′′=−−+−⋅=−+=+"（2）设,()y z xyf f u x ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠可导，则x y xz yz ′′+=____________________. 【答】 2z 【详解】 因为22,x y y y y y y z yf xy f yf f x x x x x x ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞′′′=+⋅⋅−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠1,y y y y y z xf xy f xf yf x x x x x ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞′′′=+⋅⋅=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠于是22x y y y y y xz yz xyf y f xyf y f x x x x ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞′′′′+=−++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠22y xyf z x ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠（3）设()ln 1,f x x ′=+则()f x =______________________. 【答】 xx e C ++ 【详解】 令ln ,x t =则,t x e =考研数学助手您考研的忠实伴侣于是由题设有()1,t f t e ′=+即()1,x f x e ′=+故()()1.x x f x e dx x e C =+=++∫（4）设100220,345∗⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A 是A 的伴随矩阵，则()1−∗=A ________________.【答】 10010110.553211052⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【详解】因为,∗=AA A E 从而()()1110010111110.10553211052−−∗⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A A =A =A A （5）设12,,n X X X "是来自正态总体()2,Nµσ的简单随机样本，其中参数µ和2σ未知，记()22111,,n n i i i i X X Q X X n ====−∑∑则假设0:0H µ=的T 检验使用统计量=T ___________.【答】【详解】T统计量定义为,X S µ−T =这里()2221110,,11ni i S X X Q n n µ===−=−−∑代入T 统计量得T ==二、选择题（1）设()f x 为可导函数，且满足条件0(1)(1)lim1,2x f f x x→−−=−则曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线斜率为()()()()12. 1. . 2. 2A B C D −− 【 】【答】 应选()D .【详解】 本题实际上是要求()1,f ′由题设()00(1)(1)1(1)(1)1limlim 11,222x x f f x f x f f x x →→−−−−′===−−得()1 2.f ′=−（2）下列广义积分发散的是()()1111. .sin A dx B x −−∫∫()()2221. .ln x C e dx D dx x x+∞∞−∫∫【 】【答】 应选()A .【详解】 由于0x =是1sin x的间断点，且01sin lim 1,1x x x→=根据极限判敛法便知111sin dx x −∫发散. （3）设矩阵m n ×A 的秩为(),m r m n =<A E 为m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是()A A 的任意m 个列向量必线性无关. ()B A 的任意m 阶子式不等于零.()C 若矩阵B 满足BA =O,则矩阵B =O.()D A 通过初等行变换，必可以化为(),m E O 的形式.【 】【答】 应选()C .【详解】()()A B 、中“任意”应改为“存在”； ()D 中若改为通过初等变换（包括行、列变换），则必可化为(),m E O 的形式.只有()C 为正确答案.事实上，由BA =O,有T T A B =O,即T B 的每列均为0T x =A 的解，而T A 是列满秩的，所以0T x =A 只有零解，从而TB 的每列均为零，即B =O.（4）设随机变量X 和Y 独立同分布，记,,−−U =X Y V =X Y 则随机变量U 与V 必然()A 不独立. ()B 独立.()C 相关系数不为零. ()D 相关系数为零.【 】【答】 应选()D . 【详解】 因为()()()()()cov ,=−−=−−++−−U V E U U E V V E X Y X YX Y X Y()()22,=−−−E X XE Y Y由于X 和Y 同分布，故()()22−=−E X XE Y Y即()cov ,0,=U V 故()D 为正确答案.（5）设随机变量X 服从正态分布()2,µσN，则随σ的增大，概率{}µσ−<P X()A 单调增大. ()B 单调减小. ()C 保持不变 ()D 增减不定【 】【答】 应选()C . 【详解】 Y 由于()2~,µσX N，则(){}{}~0,1,1.µσµσ−=−<=<X Y N P X P Y可知此概率不随σ和µ的变化而改变.三、设()22021cos , 0,()1, 0,1cos , 0.xx x x f x x t dt x x ⎧−<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩∫试讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性.【详解】 （1）由()222000002sin 1cos lim 1cos lim 1,lim cos lim 1,1x x x x x x x x t dt x x x −−++→→→→−====∫ 可知0lim ()1(0).x f x f →==于是，函数()f x 在0x =处连续, （2）分别求()f x 在0x =处的左、右导数.()()2230021cos 21cos 1(0)lim 1lim x x x x x f x x x −−−→→−−−⎡⎤′=−=⎢⎥⎣⎦20002sin 22cos 2sin limlim lim 0,363x x x x x x xx x −−−→→→−−−==== 20220001cos 11(0)lim cos 1lim x x x x t dt x x f t dt x x x +++→→−⎛⎞′=−=⎜⎟⎝⎠∫∫ 2200cos 12sin limlim 0.22x x x x x x ++→→−−=== 由于左、右导数都等于0，可见()f x 在0x =处可导，且()00.f ′=四、已知连续函数()f x 满足条件230()3x xt f x f dt e ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠∫，求()f x . 【详解】 两端同时对x 求导，得一阶线性微分方程()()232,x f x f x e ′=+即()()222.x f x f x e ′−=解此方程，有()()()()()2332p x dx p x dx xx x f x Q x e dx C e ee dx C e −−⎛⎞∫∫=+=⋅+⎜⎟⎝⎠∫∫()()3332222,x x x x x x e dx C e e C e Ce e −−=−+=−+=−∫由于()01,f =可得3,C =于是()3232.xx f x e e =−五、将函数()2ln 12y x x =−−展成x 的幂级数，并指出其收敛区间.【详解】()()()()()2ln 12ln 121ln 1ln 12.x x x x x x −−=−+=++−()()231ln 11,22nn x x xx x n ++=−+−+−+""其收敛区间为(]1,1;−()()()()()()231222ln 1221,23nn x x x x x n+−−−−=−−+−+−+""其收敛区间为11,.22⎡⎞−⎟⎢⎣⎠ 于是，有()()()()()111211212ln 1211,n n n n n n n n n x x x x x n n n +∞∞++==⎡⎤−−−−−=−+−=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑ 其收敛区间为11,.22⎡⎞−⎟⎢⎣⎠六、计算{}()22min ,.x y x y edxdy +∞+∞−+−∞−∞∫∫【详解】2222yxy x x y I e dy xe dx e dx ye dy +∞+∞−−−−−∞−∞−∞−∞=+∫∫∫∫22222211 .22y x x e dy e dx e dx +∞+∞+∞−−−−∞−∞−∞=−−=−∫∫∫ 换元，令,,22t dtx dx ==有2222122t t I e dt e dt +∞+∞−−−∞−∞=−=−=∫221t e dt +∞−−∞=∫.七、设某产品的需求函数为(),=Q Q P 收益函数为,=R PQ 其中P 为产品价格，Q 为需求量（产品的产量），()Q P 是单调减函数.如果当价格为0P 对应产量为0Q 时，边际收益00,d a Q Q d =>=R Q ，收益对价格的边际效应0,d c P P d =<=RP 需求对价格的弹性为1.P b =>E 求0P 和0Q .【详解】 由收益函数,=R PQ 对Q 求导，有()11,p d d d d d ⎡⎤⎢⎥⎛⎞=+=+−−=−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦P R P P P Q P P P Q Q E Q 0011,d a Q Q d b ⎛⎞=−=⎜⎟=⎝⎠R P Q得0.1ab b =−P 由收益函数,=R PQ 对P 求导，有()()1,p d d d d d d =+=−−=−QR Q Q Q P Q Q Q E P P PP()001,d b c P P d =−==RQ P于是0.1c b=−Q八、设()()f x g x 、在区间[](),0a a a −>上连续，()g x 为偶函数，且()f x 满足条件()()f x f x A +−=（A 为常数）.（1）证明()()()0;aaaf xg x dx A g x dx −=∫∫（2）利用（1）的结论计算定积分22sin arctan .x x e dx ππ−∫【详解】 （1）()()()()()()00,aaaaf xg x dx f x g x dx f x g x dx −−=+∫∫∫()()0af xg x dx −∫()()()()0.aaf tg t dt f x g x dx −−−=−∫∫于是()()()()()()0aa aaf xg x dx f x g x dx f x g x dx −=−+∫∫∫()()()()00 .a af x f xg x dx A g x dx =+−=⎡⎤⎣⎦∫∫ （2） 取()()arctan ,sin ,.2xf x eg x x a π===则()()f x g x 、在,22ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上连续 ()g x 为偶函数，由于()arctan arctan 0,xx ee −′+=可见arctan arctan ,xxe eA −+=令0x =，得2arctan ,xe A = 故.2A π=即()().2f x f x π+−=于是，有()222sin arctan sin cos .22220x x e dx x dx x πππππππ−==−=∫∫九、已知向量组（Ⅰ）123,,;ααα（Ⅱ）1234,,,;αααα（Ⅲ）1235,,,;αααα如果个向量组的秩分别为r （Ⅰ）=r （Ⅱ）=3，r （Ⅲ）=4.证明：向量组12354,,,−ααααα的秩为4. 【详解】 因r （Ⅰ）=r （Ⅱ）=3，所以123,,ααα线性无关，而1234,,,αααα线性相关，故存在数123,,λλλ使4112233,λλλ=++αααα ○1 设有数1234,,,,k k k k 使得()1122334540.k k k k +++=αααα−α将○1代入上式，化简得 ()()()114122423343450,k k k k k k k λλλ−+−+−+=αααα由r （Ⅲ）=4，知1235,,,;αααα线性无关， 所以1142243344 0, 0, 0, 0,k k k k k k k λλλ−=⎧⎪−=⎪⎨−=⎪⎪=⎩ 得到12340.k k k k ====故12354,,,−ααααα线性无关，即其秩为4.十、已知二次型()22123231223,,4348.f x x x x x x x x x =−++（1）写出二次型f 的矩阵表达式；（2）用正交变换把二次型f 化为标准型，并写出相应的正交矩阵. 【详解】 （1）f 的矩阵表达式为()()112312323022,,,,244.143x f x x x x x x x x −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦（3） 二次型的矩阵为022244,143−⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦AA 的特征方程为()()2222441360.243λλλλλλ−−=−−−=−−=−+E A由此得A 的特征值为1231,6, 6.λλλ===−对应的特征向量为1232110,5,1,122⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦ααα 对应的单位特征向量为1230,,,===⎢⎥⎢⎥βββ由此可得正交矩阵123,0,⎡==⎢⎢βββP对二次型f做正交变换112233,x yx yx y⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P则二次型f可以化为如下标准型()222123123,,66.f x x x y y y=+−十一、假如一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格不能出厂.现该厂新生产了()2n n≥台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求：（1）全部能出厂的概率;α（2）其中恰好有两件不能出厂的概率;β（3）其中至少有两件不能出厂的概率.θ【详解】对于新生产的每台仪器，引进事件：{}{}A B==仪器需进一步调试，仪器能出厂，则{}{}.A AB==仪器能直接出厂，仪器经调试后能出厂由条件知，,B A AB=+()()0.30,|0.80,P A P B A==()()()|0.300.800.24.P AB P A P B A==×=()()()0.700.240.94.P B P A P AB=+=+=设X为所生产的n台仪器中能出厂的台数，则X作为n次独立试验成功（仪器能出厂）的次数，服从参数为(),0.94n的二项分布，因此{}0.94,nP X nα==={}22220.940.06,n n P X n C β−==−=⋅⋅ {}{}{}211P X n P X n P X n θ=≤−=−=−−= 1 10.940.060.94.n n n −=−××−十二、已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为()4, 01,01,,0, xy x y x y ϕ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他， 求X 和Y 的联合分布函数(),.F x y【详解】 （1）对于0x <或0y <，有(){},,0;F x y P X x Y y =≤≤=（2）对于01,01,x y ≤≤≤≤有()2200,4;x y F x y uvdudv x y ==∫∫（3）对于1,1,x y >>有(),1;F x y =（4）对于1,01,x y >≤≤有(){}2,1,;F x y P X Y y y =≤≤= （5）对于1,01,y x >≤≤有(){}2,,1.F x y P X x Y x =≤≤= 故X 和Y 的联合分布函数()22220, 00,, 01,01,,, 01, 1, , 1,01,1, 1, 1.x y x y x y F x y x x y y x y x y <<⎧⎪≤≤≤≤⎪⎪=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩或。

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1995考研数学三真题和详解

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1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) (1) 设设1()1x f x x-=+,则()()nf x = . (2) (2) 设设()y zxyf x =,()f u 可导可导,,则x y xz yz ¢¢+= . (3) (3) 设设(ln )1f x x ¢=+,则()f x = .(4) (4) 设设100220345A æöç÷=÷çèø,A *是A 的伴随矩阵的伴随矩阵,,则1()A *-= .(5) (5) 设设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N m s 的简单随机样本的简单随机样本,,其中参数m 和2s 未知未知,,记22111,(),nniii i X X Q X X n====-åå则假设0:0H m =的t 检验使用统计量t =_____.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) (1) 设设()f x 为可导函数为可导函数,,且满足条件0(1)(1)lim12x f f x x®--=-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为处的切线斜率为 ( ) ( )(A) 2 (B) 1- (C)12(D) 2-(2) (2) 下列广义积分发散的是下列广义积分发散的是下列广义积分发散的是 ( ) ( )(A) 111sin dx x -ò (B)12111dxx --ò (C)2x e dx +¥-ò(D)221ln dx x x+¥ò(3) (3) 设矩阵设矩阵m n A ´的秩为()r A m n =<,m E 为m 阶单位矩阵阶单位矩阵,,下述结论中正确的是下述结论中正确的是 ( ) ( )(A) A 的任意m 个行向量必线性无关(B) A 的任意一个m 阶子式不等于零(C) (C) 若矩阵若矩阵B 满足0BA =,则0B =(D) A 通过初等行变换通过初等行变换,,必可以化为(,0)m E 的形式(4) (4) 设随机变量设随机变量X 和Y 独立同分布独立同分布,,记,U X Y V X Y =-=+,则随机变量U 与V 必然( )(A) (A) 不独立不独立不独立 (B) (B) (B) 独立独立独立 (C) (C) (C) 相关系数不为零相关系数不为零相关系数不为零 (D) (D) (D) 相关系数为零相关系数为零相关系数为零(5) (5) 设随即变量设随即变量X 服从正态分布2(,)N m s ,则随s 的增大的增大,,概率{}P X m s -< ( )(A) (A) 单调增大单调增大单调增大 (B) (B) (B) 单调减少单调减少单调减少 (C) (C) (C) 保持不变保持不变保持不变 (D) (D) (D) 增减不定增减不定增减不定三、(本题满分6分)设2202(1cos ),0()1,01cos ,0x x x x f x x t dt x xì-<ïï==íïï>îò,试讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性处的连续性和可导性. .四、(本题满分6分)已知连续函数()f x 满足条件320()3xx t f x f dt e æö=+ç÷èøò,求()f x .五、(本题满分6分)将函数2ln(12)y x x =--展成x 的幂级数的幂级数,,并指出其收敛区间并指出其收敛区间. .六、(本题满分5分)计算22()min{,}x y x y edxdy +¥+¥-+-¥-¥òò.七、(本题满分6分)设某产品的需求函数为()Q Q p =,收益函数为R pQ =,其中p 为产品价格为产品价格,,Q 为需求量(产品的产量产品的产量),),()Q p 为单调减函数为单调减函数..如果当价格为0p ,对应产量为0Q 时,边际收益边际收益0Q Q dR a dQ==>,收益对价格的边际效应0p p dR c dp==<,需求对价格的弹性1p E b =>.求0p 和0Q .八、(本题满分6分)设()f x 、()g x 在区间[,]a a -(0a >)上连续上连续,,()g x 为偶函数为偶函数,,且()f x 满足条件满足条件()()f x f x A +-=(A 为常数).(1) (1) 证明证明0()()()aaaf xg x dxA g x dx -=òò；(2) (2) 利用利用利用(1)(1)(1)的结论计算定积分的结论计算定积分22sin arctan xx e dx pp -ò.九、(本题满分9分)已知向量组已知向量组((Ⅰ)123,,a a a ；(Ⅱ)1234,,,a a a a ；(Ⅲ)1235,,,a a a a ,如果各向量组的秩如果各向量组的秩 分别为(I)(II)3r r ==,(III)4r =.证明证明::向量组12354,,,a a a a a -的秩为4.十、(本题满分10分)已知二次型2212323121323(,,)43448f x x x x x x x x x x x =-+-+. (1) (1) 写出二次型写出二次型f 的矩阵表达式；的矩阵表达式；(2) (2) 用正交变换把二次型用正交变换把二次型f 化为标准形化为标准形,,并写出相应的正交矩阵并写出相应的正交矩阵. .十一、(本题满分8分)假设一厂家生产的每台仪器假设一厂家生产的每台仪器,,以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试需进一步调试, , 经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂定为不合格品不能出厂..现该厂新生产了现该厂新生产了(2)n n ³台仪器台仪器((假设各台仪器的生产过程相互独立假设各台仪器的生产过程相互独立).).).求：求：求：(1) (1) 全部能出厂的概率全部能出厂的概率a ；(2) (2) 其中恰好有两台不能出厂的概率其中恰好有两台不能出厂的概率b ； (3) (3) 其中至少有两台不能出厂的概率其中至少有两台不能出厂的概率q .十二、(本题满分8分)已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为的联合概率密度为4,01,01,(,)0,xy x y f x y ££££ì=íî其他其他,,求X 和Y 联合分布函数(,)F x y .1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)(1)【答案】【答案】12(1)!(1)nn n x +-+【解析】由于112()12(1)1,11x f x x xx--==-=+-++2()2(1)(1),f x x -¢=×-+ 3()2(1)(2)(1),,f x x -¢¢=×--+所以所以 1()(1)()2(1)!(2(1)1)!(1)n nn nn fx x n x n -++=×-+-+=.(2)(2)【答案】【答案】2y xyf x æöç÷èø【解析】根据复合函数求导法则【解析】根据复合函数求导法则, ,22xy y y y y y z yf xyf yf f x x x x x x æöæöæöæöæö¢¢¢=+×-=-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèø, 1yy y y y z xf xyf xf yf x x x x x æöæöæöæö¢¢¢=+×=+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø. 所以所以 222x y y y y y y yf y f xyf y f yf x x x x x xz yz x x æöæöæöæöæö¢¢-++=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø¢èøè¢+ø=.【相关知识点】复合函数求导法则：(())y f x j =的导数为(())()y f x f x j ¢¢¢=.(3)(3)【答案】【答案】xx e C ++【解析】在(ln )1f x x ¢=+中令ln x t =,则()1tf t e ¢=+,从而从而()()1()t t x f t e dt t e C f x x e C=+=++Þ=++ò. (4)(4)【答案】【答案】100122010345æöç÷ç÷èø【解析】由AA A E *=,有A A E A *=,故()1AA A -*=.而 10022010345A ==,所以所以 ()1100122010345A AA -*æöç÷==ç÷ç÷èø.(5)(5)【答案】【答案】(1)Xn n Q- 【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题,,它是根据具体情况和问题的要求它是根据具体情况和问题的要求,,首先提出原假设0H ,再由样本提供的信息再由样本提供的信息,,通过适当的方法来判断对总体所作的假设0H 是否成立.首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值m 的假设检验问题的假设检验问题..据此类型应该选取t 检验的统计量是检验的统计量是211()(1)ni i X Xt S X X nn n m =-==--å,经过化简得经过化简得 (1)X t n n Q=-.【相关知识点】假设检验的一般步骤：【相关知识点】假设检验的一般步骤： (1) (1) 确定所要检验的基本假设确定所要检验的基本假设0H ；(2) (2) 选择检验的统计量选择检验的统计量选择检验的统计量,,并要求知道其在一定条件下的分布；并要求知道其在一定条件下的分布；(3) (3) 对确定的显著性水平对确定的显著性水平a ,查相应的概率分布查相应的概率分布,,得临界值得临界值,,从而确定否定域；从而确定否定域；(4) (4) 由样本计算统计量由样本计算统计量由样本计算统计量,,并判断其是否落入否定域并判断其是否落入否定域,,从而对假设0H 作出拒绝还是接受的判断.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)(1)【答案】【答案】【答案】(D) (D) 【解析】因【解析】因 0(1)(1)(1)(1)(1)lim lim x x f x f f x f f x x xx®®+---¢==--(1)(1)lim (1)(1)2lim 2,2x x f f x x f f xx®®--=--==- 所以应选所以应选(D). (D). (2)(2)【答案】【答案】【答案】(A) (A)【解析】由计算知111211arcsin 1dx x xp --==-ò,222111ln ln ln 2dx x x x +¥+¥=-=ò, 且泊松积分且泊松积分 22xedx p +¥-=ò,故应选故应选(A). (A).注：对于本题选项：对于本题选项(A),(A),(A),由于当由于当x =时sin 0x =,故在积分区间[1,1]-中x =是瑕点是瑕点,,反常积分111sin dx x-ò应分解为两个反常积分之和应分解为两个反常积分之和:: 101110111sin sin sin dx dx dx x x x---=+òòò, 而且111sin dx x -ò收敛的充要条件是两个反常积分011sin dx x -ò与101sin dx x ò都收敛都收敛. .由于广义积分由于广义积分 11001ln tan sin 2x dxx æö==+¥ç÷èøò, 即11sin dxx ò发散发散,,故111sin dxx -ò发散发散. .在此不可误以为在此不可误以为1sin x是奇函数是奇函数,,于是1110sin dx x-=ò,从而得出它是收敛的错误结论从而得出它是收敛的错误结论.. (3)(3)【答案】【答案】【答案】(C) (C)【解析】()r A m =表示A 中有m 个列向量线性无关个列向量线性无关,,有m 阶子式不等于零阶子式不等于零,,并不是任意的,因此因此(A)(A)(A)、、(B)(B)均不正确均不正确均不正确. .经初等变换可把A 化成标准形化成标准形,,一般应当既有初等行变换也有初等列变换一般应当既有初等行变换也有初等列变换,,只用一种不一定能化为标准形一定能化为标准形..例如010001æöç÷èø,只用初等行变换就不能化成2(,0)E 的形式的形式,,故(D)(D)不正不正确.关于(C),由0BA =知()()r B r A m +£,又()r A m =,从而()0r B £,按定义又有()0r B ³,于是()0r B =,即0B =.故应选故应选(C). (C). (4)(4)【答案】【答案】【答案】(D) (D)【解析】【解析】 (,)(,)Cov U V Cov X Y X Y =-+.(,)(,)Cov X X Y Cov Y X Y =+-+(,)(,)(,)(,)Cov X X Cov X Y Cov Y X Cov Y Y =+--DX DY =-.由于X 和Y 同分布同分布, , , 因此因此DX DY =,于是有(,)0Cov U V =.由相关系数的计算公式由相关系数的计算公式 (,)Cov X Y DX DYr =,所以U 与V 的相关系数也为零的相关系数也为零,,应选应选(D). (D). 【相关知识点】协方差的性质：【相关知识点】协方差的性质：(,)(,)Cov aX bY abCov X Y =；1212(,)(,)(,)Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+.(5)(5)【答案】【答案】【答案】(C) (C)【解析】由于2(,),X N m s 将此正态分布标准化将此正态分布标准化,,故()0,1X N ms- ,{}()1211X P X P .m m s s ì-ü-<=<=F -íýîþ计算看出概率{}P X m s -<的值与s 大小无关大小无关..所以本题应选所以本题应选(C). (C).三、(本题满分6分)【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题..一般要用连续性与可导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数. .222000122(1cos )2lim ()lim lim 1x x x xx f x xx---®®®×-===,22cos cos lim ()limlim 11xx x x t dt x f x x+++®®®===ò,故(00)(00)(0)f f f +=-=,即()f x 在0x =处连续处连续. .2000422020001cos 1()(0)(0)lim lim 01cos cos 12lim lim lim 0,22xx x x x x x t dt f x f x f x xx t dt x x x x x++++++®®®®®--¢==----====òò 2002320002(1cos )1()(0)(0)lim lim 02(1cos )2sin 22(cos 1)lim lim lim 0.36xx x x x x f x f x f x xx x x x x x x x------®®®®®---¢==-----==== 即(0)(0)0f f +-¢¢==,故()f x 在0x =处可导处可导,,且(0)0f ¢=.四、(本题满分6分)【解析】首先【解析】首先,,在变上限定积分中引入新变量3t s =,于是于是3003()3xxt f dt f s ds æö=ç÷èøòò.代入题设函数()f x 所满足的关系式所满足的关系式,,得 20()3()xxf x f s ds e =+ò. 在上式中令0x =得(0)1f =,将上式两端对x 求导数得求导数得2()3()2xf x f x e ¢=+.由此可见()f x 是一阶线性方程2()3()2xf x f x e ¢-=满足初始条件(0)1f =的特解的特解. .用3xe-同乘方程两端同乘方程两端,,得()3()2xxf x ee --¢=,积分即得32()2x xf x Ce e =-.由(0)1f =可确定常数3C =,于是于是,,所求的函数是32()32xxf x ee =-.五、(本题满分6分)【解析】由212(12)(1)x x x x --=-+知2ln(12)ln(12)ln(1)x x x x --=-++.因为因为 231ln(1)(1)23nn xxxx x n++=-+-+-+ , 其收敛区间为(1,1)-；又 231(2)(2)(2)ln(12)(2)(1)23nnx x x x x n+----=--+-+-+ ,其收敛区间为11,22æö-ç÷èø. 于是有于是有 121111(2)(1)2ln(12)(1)(1)n n n n n n nn n x x x x xn n n +¥¥++==éù-----=-+-=êúëûåå, 其收敛区间为11,22æö-ç÷èø. 【相关知识点】收敛区间：若幂级数nnn a x ¥=å的收敛半径是正数R ,则其收敛区间是开区间(,)R R -；若其收敛半径是+¥,则收敛区间是(,)-¥+¥.六、(本题满分5分)【解析】方法一：本题中二重积分的积分区域D 是全平面是全平面,,设0a >,{}(,)|,a D x y a x a a y a =-££-££,则当a ®+¥时,有a D D ®.从而从而2222()()min{,}lim min{,}ax y x y a D I x y edxdy x y edxdy +¥+¥-+-+-¥-¥®+¥==òòòò.注意当x y £时,min{,}x y x =；当x y >时,min{,}x y y =.于是于是222222()()()min{,}aa ya xx y x y x y aaaaD x y edxdydyxedxdxyedy -+-+-+----=+òòòòòò,且()2222222222()()22()2211()2211.22axa xa x y x y x a xaaaaaaa a xxaadxyedy dxed x y eedxe edx edx -+-+-+-----------=+=-=-òòòòòòò由于2xedx p +¥--¥=ò,从而可得从而可得222()21lim0lim2axa x yx aaa a a dxyedy edx -+----®+¥®+¥=-òòò22212lim 2222a t a a t x edt p --®+¥=-=-ò. 同理可得22()lim 22ayx y aaa dyxedx p -+--®+¥=-òò.于是于是 222I pp =-=-. 方法二：设0R >,则圆域{}222(,)|R D x y x y R=+£当R ®+¥时也趋于全平面时也趋于全平面,,从而从而2222()()min{,}limmin{,}Rx yx yR D Ix y edxdyx y edxdy +¥+¥-+-+-¥-¥®+¥==òòòò.引入极坐标系cos ,sin x r y r q q ==,则当04p q ££与524p q p ££时,min{,}sin x y y r q ==；当544pp q ££时,min{,}cos x y x r q ==. 于是于是22()min{,}Rx y D x y edxdy -+òò2225222244544sin cos sin RRRrrrd re drd re drd re dr ppppp q qq qq q---=++òòòòòò2252224450044sin cos sin 22RRrrr edr d d d r e dr ppp p p q q q q q q --éù=++=-êúëûòòòòò.由此可得由此可得 222022lim 2lim ()RRrrR R I r e drrd e--®+¥®+¥=-=òò2220022lim 22.22R RrrrR ree dr e dr p p +¥---®+¥éù=-=-=-=-êúëûòò七、(本题满分6分)【解析】本题的关键在于p 和Q 之间存在函数关系之间存在函数关系,,因此R pQ =既可看作p 的函数的函数,,也可看作Q 的函数的函数,,由此分别求出dR dp 及dR dQ,并将它们与弹性p p dQ E Q dp =联系起来联系起来,,进而求得问题的解问题的解. .由()Q Q p =是单调减函数知dQ dp <,从而需求对价格的弹性pp dQE Q dp =<,这表明题设1p E b =>应理解为1p p E E b =-=>.又由()Q Q p =是单调减函数知存在反函数()p p Q =且1dp dQdQdp=.由收益R pQ =对Q 求导求导,,有1(1)p dRdpp p Q p p p dQ dQ dQ EQ dp =+=+=+, 从而从而 001(1)Q Q dR p a dQ b ==-=,得01ab p b =-. 由收益R pQ =对p 求导求导,,有(1)(1)p dR dQ p dQ Q pQ Q E dpdpQ dp=+=+=+,从而从而 00(1)p p dR Q b c dp==-=,于是01c Q b=-.八、(本题满分6分)【解析】【解析】(1)(1)(1)由要证的结论可知由要证的结论可知由要证的结论可知,,应将左端积分化成[]0,a 上的积分上的积分,,即00()()()()()()a aaaf xg x dx f x g x dx f x g x dx --=+òòò,再将()()af xg x dx -ò作适当的变量代换化为在[]0,a 上的定积分上的定积分.. 方法一：由于：由于00()()()()()()aaa a f x g x dx f x g x dx f x g x dx --=+òòò, 在()()af xg x dx -ò中令x t =-,则由:0x a -®,得:0t a ®,且00()()()()()()()()()a aaaf xg x dxf tg t d t f t g t dtf xg x dx -=---=-=-òòòò,所以所以 []00()()()()()()aaaaf xg x dx f x f x g x dx Ag x dx -=+-=òòò.方法二：在()()aaf xg x dx -ò中令x t =-,则由:x a a -®,得:t a a ®-,且()()()()()()()()()aaaaaaaf xg x dxf tg t d t f t g t dtf xg x dx ---=----=-=-òòòò.所以所以1()()()()()()2aa a a a a f x g x dx f x g x dx f x g x dx ---éù=+-êúëûòòò []01()()()()().22a a a a aA f x f x g x dx g x dx A g x dx ---=+-==òòò(2)(2)令令()arctan xf x e =,()sing x x =,可以验证()f x 和()g x 符合符合(1)(1)(1)中条件中条件中条件,,从而可以用(1)(1)中结果计算题目中的定积分中结果计算题目中的定积分中结果计算题目中的定积分. .方法一：取()arctan xf x e =,()sing x x =,2a p =.由于()()arctan arctan xxf x f x e e -+-=+满足满足()22arctan arctan 011xxxxxxee e ee e ----¢+=+º++, 故 arctan arctan xxe e A -+=.令0x =,得2arctan12A A p=Þ=,即()()2f x f x p+-=.于是有于是有222002sin arctan sin sin 222xx e dx x dx xdx p ppp p p p -===òòò.方法二：取()arctan xf x e =,()sing x x =,2a p =,于是于是1()()arctan arctan 2xx f x f x e e p +-=+=.(这里利用了对任何0x >,有1arctan arctan 2x x p +=)以下同方法一以下同方法一..九、(本题满分9分)【解析】因为(I)(II)3r r ==,所以123,,a a a 线性无关线性无关,,而1234,,,a a a a 线性相关线性相关, , 因此4a 可由123,,a a a 线性表出线性表出,,设为4112233l l l a a a a =++. 若 112233454()0k k k k a a a a a +++-=,即 11412242334345()()()0k l k k l k k l k k a a a a -+-+-+=, 由于(III)4r =,所以1235,,,a a a a 线性无关线性无关..故必有故必有11422433440,0,0,0.k l k k l k k l k k -=ìï-=ïí-=ïï=î 解出43210,0,0,0k k k k ====.于是12354,,,a a a a a -线性无关线性无关,,即其秩为4.十、(本题满分10分)【解析】【解析】(1)(1)(1)因为因为123(,,)f x x x 对应的矩阵为对应的矩阵为022244243A -æöç÷=ç÷ç÷--èø, 故123(,,)f x x x 的矩阵表示为的矩阵表示为112312323022(,,)(,,)244243Tx f x x x x Ax x x x x x -éùéùêúêú==êúêúêúêú--ëûëû. (2)(2)由由A 的特征方程的特征方程22222244240243241E A lll l l l l l ----=---=---+--24100240(1)(36)0241l l l l l +-=--=--=--,得到A 的特征值为1231,6,6l l l ===-.由()0E A x -=得基础解系1(2,0,1)TX =-,即属于1l =的特征向量的特征向量. . 由(6)0E A x -=得基础解系2(1(1,5,2),5,2)T X =,即属于6l =的特征向量的特征向量. . 由(6)0E A x --=得基础解系3(1,1,2)T X =-,即属于6l =-的特征向量的特征向量. . 对于实对称矩阵对于实对称矩阵,,特征值不同特征向量已正交特征值不同特征向量已正交,,故只须单位化故只须单位化,,有3121231232111110,5,1,5306122X X X X X X g g g éùéùéùêúêúêú======-êúêúêúêúêúêú-ëûëûëû那么令那么令 123211530651()03061225306Q g g g éùêúêú==-êúêúêú-êúëû, 经正交变换112233x y x Q y x y éùéùêúêú=êúêúêúêúëûëû,二次型化为标准形二次型化为标准形222123123(,,)66T Tf x x x x Ax y y y y y==L =+-.十一、(本题满分8分)【解析】对于新生产的每台仪器【解析】对于新生产的每台仪器,,设事件A 表示“仪器需要进一步调试”表示“仪器需要进一步调试”,,B 表示“仪器能出厂”,则A =“仪器能直接出厂”,AB =“仪器经调试后能出厂”.且B A AB = ,A 与AB 互不相容互不相容,,应用加法公式与乘法公式应用加法公式与乘法公式,,且由条件概率公式且由条件概率公式()(|)()(|)()()P AB P B A P AB P B A P A P A =Þ=×,有 ()()()()070308094P B P A P A P B|A ....=+=+´=.设X 为所生产的n 台仪器中能出厂的台数台仪器中能出厂的台数,,则X 服从二项分布(())094B n,..由二项分由二项分布的概率计算公式布的概率计算公式,,可得所求概率为可得所求概率为(1) {}0.94nP X n a ===；(2) {}22220.940.06;n n P X n C b -==-=××(3) {}{}{}121110.060.940.94n nP X n P X n P X n n q -=£-=-=--==-´-×【相关知识点】二项分布的概率计算公式：【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)kkn knP Y k C p p -==-, 0,1,,k n = .十二、(本题满分8分)【解析】将整个平面分为五个区域【解析】将整个平面分为五个区域((如右图如右图). ).当1(,)x y D Î时,(,)0F x y =, 其中1{(,)00}D x y x y =<<或.当4(,)x y D Î,即1x >且1y >时,(,)1F x y =. 当(,)x y D Î时,即01,01x y ££££时,222(,)42x y xF x y stdtds sy ds x y ===òòò.当2(,)x y D Î,即01,1x y ££>时,12(,)442xy xx F x y stdtds ds stdt sds x====òòòòò.当3(,)x y D Î,即1,01x y >££时,与2D 类似类似,,有2(,)F x y y =.综上分析综上分析,,(,)X Y 的联合分布函数为22220,00,,01,01,(,),1,01,,01,1,1,1,1.x y x y x y F x y y x y x x y x y <<ì££ïï=<££í<ï<<ïî或xyO1D D2D 4D 3D。

1995-2008考研数学一至数学四真题及解答

1995-2008考研数学一至数学四真题及解答

1995-2008考研数学一至数学四真题及解答资料类别： 1995-XX年研究生入学统一考试数学一试题一填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） = .（2）曲面与平面平行的切平面的方程是 ..（3）设，则 = .（4）从的基到基的过渡矩阵为 . .（5）设二维随机变量(x,y)的概率密度为则 . .（6）已知一批零件的长度x (单位：cm)服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则的置信度为的置信区间是 ..二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(a) 一个极小值点和两个极大值点.(b) 两个极小值点和一个极大值点.(c) 两个极小值点和两个极大值点.(d) 三个极小值点和一个极大值点.yo x（2）设均为非负数列，且 , , ,则必有(a) 对任意n成立. (b) 对任意n成立.(c) 极限不存在. (d) 极限不存在.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且，则(a) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(b) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(c) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(d) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.（4）设向量组i：可由向量组ii：线性表示，则(a) 当时，向量组ii必线性相关. (b) 当时，向量组ii必线性相关.(c) 当时，向量组i必线性相关. (d) 当时，向量组i必线性相关.（5）设有齐次线性方程组ax=0和bx=0, 其中a,b均为矩阵，现有4个命题：①若ax=0的解均是bx=0的解，则秩(a) 秩(b)；②若秩(a) 秩(b)，则ax=0的解均是bx=0的解；③若ax=0与bx=0同解，则秩(a)=秩(b)；④若秩(a)=秩(b)，则ax=0与bx=0同解.以上命题中正确的是(a) ①②. (b) ①③.(c) ②④. (d) ③④.（6）设随机变量，则(a) . (b) .(c) . (d) .三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx 及x轴围成平面图形d.(1)求d的面积a;(2)求d绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积v.四、（本题满分12分）将函数展开成x的幂级数，并求级数的和.五、（本题满分10分）已知平面区域，l为d的正向边界. 试证：(1) ;(2)六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0。

1995-数三真题、标准答案及解析

1995-数三真题、标准答案及解析


QQ 7
1 dx.
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( D ) − 2.
29 9
【 】
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( A) A 的任意 m 个列向量必线性无关. ( B ) A 的任意 m 阶子式不等于零. ( C ) 若矩阵 B 满足 BA = O, 则矩阵 B = O.
QQ群124503282
【答】
应选 ( C ) .
x + ex + C
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【答】
( −1) 2 ⋅ n ! n +1 (1 + x )
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一、
填空题
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【详解】 令
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ln x = t , 则 x = et ,
于是由题设有
f ′(t ) = 1 + et , 即 f ′ ( x ) = 1 + e x ,
f ′′( x) = 2(−1)(−2)(1 + x) −3 , L f
(n)
= 2(−1) n !(1 + x)
n
− ( n +1)
(−1) n ⋅ n ! = . (1 + x)( n +1)
（2）设 z = xyf ⎜ 【答】
⎛ y⎞ ′ x + yz y = ____________________. ⎟ , f (u ) 可导，则 xz ′ ⎝x⎠
QQ 7
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Y=
X −µ
σ
~ N ( 0,1) ,
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−2 x sin x 2 cos x 2 − 1 = 0. = lim x → 0+ 2x 2
考研数学三真题及全面解析

考研数学三真题及全面解析

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设方程yx y =确定y 是x 的函数,则dy =___________.(2) 设()arcsin x f x dx x C =+⎰,则1()dx f x =⎰___________.. (3) 设()00,x y 是抛物线2y ax bx c =++上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是___________. (4) 设123222212311111231111n n n n n n n a a a a A a a a a a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L M M M M L,123n x x X x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ,1111B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ,其中(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠=L .则线性方程组TAX B =的解是___________.(5) 设由来自正态总体2~(,0.9)X N μ容量为9的简单随机样本,得样本均值5X=,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成 ( )(A) 10(,)dy f x y dx ⎰(B) 10(,)dy f x y dx ⎰ (C)11(,)dx f x y dy ⎰⎰(D) 10(,)dx f x y dy ⎰(2) 下述各选项正确的是 ( ) (A) 若21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛,则21()nn n uv ∞=+∑收敛(B)1n nn u v∞=∑收敛,则21nn u∞=∑与21nn v∞=∑都收敛(C) 若正项级数1nn u∞=∑发散,则1nu n≥(D) 若级数1nn u∞=∑收敛,且(1,2,)n n u v n ≥=L ,则级数1nn v∞=∑也收敛(3) 设n 阶矩阵A 非奇异(2n ≥),A *是矩阵A 的伴随矩阵,则 ( )(A) 1()n A AA -**= (B) 1()n A A A +**= (C) 2()n AAA -**= (D) 2()n A AA +**=(4) 设有任意两个n 维向量组1,,m ααL 和1,,m ββL ,若存在两组不全为零的数1,,m λλL 和1,,m k k L ,使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-=L L ,则( )(A) 1,,m ααL 和1,,m ββL 都线性相关 (B) 1,,m ααL 和1,,m ββL 都线性无关(C) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--L L 线性无关 (D) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--L L 线性相关 (5) 已知0()1P B <<且()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+,则下列选项成立的是( )(A) ()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+(B) ()1212()()P A B A B P A B P A B +=+ (C) ()1212()()P A A P A B P A B +=+(D) ()()1122()()()PB P A P B A P A P B A =+三、(本题满分6分)设(),0,()0,0,xg x e x f x xx -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩其中()g x 有二阶连续导数,且(0)1,(0)1g g '==-. (1)求()f x '；(2)讨论()f x '在(,)-∞+∞上的连续性. 四、(本题满分6分)设函数()zf u =,方程()()xyu u p t dt ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数,其中(),()f u u ϕ可微；()p t ,()u ϕ'连续,且()1u ϕ'≠.求()()z zp y p x x y∂∂+∂∂. 五、(本题满分6分)计算2(1)xx xe dx e -+∞-+⎰.六、(本题满分5分)设()f x 在区间[0,1]上可微,且满足条件120(1)2()f xf x dx =⎰.试证:存在(0,1)ξ∈使七、(本题满分6分)设某种商品的单价为p 时,售出的商品数量Q 可以表示成aQ c p b=-+,其中a b 、、 c 均为正数,且a bc >.(1) 求p 在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.(2) 要使销售额最大,商品单价p 应取何值最大销售额是多少八、(本题满分6分)求微分方程dy dx =的通解. 九、(本题满分8分)设矩阵01010000010012A y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (1) 已知A 的一个特征值为3,试求y ； (2) 求矩阵P ,使()()TAP AP 为对角矩阵. 十、(本题满分8分)设向量12,,,t αααL 是齐次线性方程组0AX=的一个基础解系,向量β不是方程组0AX =的解,即0A β≠.试证明:向量组12,,,,t ββαβαβα+++L 线性无关.十一、(本题满分7分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少 十二、(本题满分6分)考虑一元二次方程20x Bx C ++=,其中B C 、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q .十三、(本题满分6分)假设12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本；已知(1,2,3,4)kk EX a k ==.证明：当n 充分大时,随机变量211n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布,并指出其分布参数.1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】()1ln dxx y +【解析】方法1：方程yx y =两边取对数得ln ln ln yx y y y ==,再两边求微分,()()11ln 1ln 1dx y dy dy dx x x y =+⇒=+()()ln 10x y +≠. 方法2：把yx y =变形得ln y yx e=,然后两边求微分得()()()ln ln 1ln 1ln y y y dx e d y y y y dy x y dy ==+=+,由此可得 ()1.1ln dy dx x y =+(2)【答案】C【解析】由()arcsin x f x dx x C =+⎰,两边求导数有()1()arcsin ()xf x x f x '==⇒=于是有1()dx f x ⎰212==⎰C =.(3)【答案】0c a≥(或2ax c =),b 任意 【解析】对2y ax bx c =++两边求导得()0022y ax b,y x ax b,''=+=+所以过()00x ,y 的切线方程为()()0002y y ax b x x ,-=+-即又题设知切线过原点()00,,把0x y ==代入上式,得2200002ax bx c ax bx ,---=--即20ax c.= 由于系数0a ≠,所以,系数应满足的关系为0c a≥(或2ax c =),b 任意. (4)【答案】()1000T,,,L【解析】因为A 是范德蒙行列式,由i j a a ≠知()0i j A a a =-≠∏.根据解与系数矩阵秩的关系,所以方程组TAX B =有唯一解.根据克莱姆法则,对于2111112122222133332111111111n n n n n nnn x a a a x a a a x a a a x a a a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L L M M M M M M L, 易见 1230n D A ,D D D .=====L所以TAX B =的解为12310n x ,x x x =====L ,即()1000T,,,,L .【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组 或简记为 112nij ji j a xb ,i ,,,n ===∑L其系数行列式1112121222120n n n n nna a a a a a D a a a =≠L L M M M L,则方程组有唯一解其中j D 是用常数项12n b ,b ,,b L 替换D 中第j 列所成的行列式,即1111111121212212111,j ,j n ,j ,j nj n n,j nn,j nna ab a a a a b a a D a a b a a -+-+-+=L LL L MM M M M LL. (5)【答案】(4.412,5.588)【解析】可以用两种方法求解： (1)已知方差220.9σ=,对正态总体的数学期望μ进行估计,可根据因2(,0.9)X N μ:,设有n 个样本,样本均值11ni i X X n ==∑,有20.9(,)X N n μ:,将其标准化,由公式~(0,1)X N 得：由正态分布分为点的定义21P u αα⎫⎪<=-⎬⎪⎭可确定临界值2αu ,进而确定相应的置信区间22(x u x u αα-+.(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值μ的置信区间问题.由教材上已经求出的置信区间22x u x u αα⎛-+ ⎝,其中21,(0,1)P Uu U N αα⎧⎫<=-⎨⎬⎩⎭:,可以直接得出答案.方法1：由题设,95.01=-α,可见.05.0=α查标准正态分布表知分位点.96.12=αu 本题9n =,5X =, 因此,根据 95.0}96.11{=<-nX P μ,有1.96}0.95P <=,即 {4.412 5.588}0.95P μ<<=, 故μ的置信度为0.95的置信区间是(4.412,5.588) .方法2：由题设,95.01=-α,查得.96.12=αu20.9σ=,9n =, 5X =代入22(x u x u αα-+得置信区间(4.412,5.588).二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系cos ,sin x r y r θθ==中是即是由221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与x 轴在第一象限所围成的平面图形,如右图.由于D 的最左边点的横坐标是0,最右点的横坐标是1, 下边界方程是0y ,=上边界的方程是y =,从而D的直角坐标表示是故(D)正确.方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为 而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分, (C)中的积分区域是正方形(){}0101x,y |x ,y ,≤≤≤≤所以,他们都是不正确的.故应选(D). (2)【答案】(A)【解析】由于级数21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛,可见级数()221nn n uv ∞=+∑收敛.由不等式及比较判别法知级数12n nn u v∞=∑收敛,从而12n nn u v∞=∑收敛.又因为()2222n n nnn n u v u v u v ,+=++即级数()21n n n u v ∞=+∑收敛,故应选(A).设()21112nn u ,v n ,,n ===L ,可知(B)不正确. 设()21112n u n ,,n n=-=L ,可知(C)不正确.设()()11112n nn u ,v n ,,nn--==-=L ,可知(D)不正确. 注：在本题中命题(D)“若级数1nn u∞=∑收敛,且(1,2,)n n u v n ≥=L ,则级数1nn v∞=∑也收敛.”不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别. (3)【答案】(C)【解析】伴随矩阵的基本关系式为AA A A A E **==,现将A *视为关系式中的矩阵A ,则有()A A A E ****=.方法一：由1n A A-*=及1()AA A*-=,可得 故应选(C). 方法二：由()AA A E ****=,左乘A 得1()()n AA A AA -***=,即1()()n A E A AA -**=.故应选(C). (4)【答案】(D)【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组12,,,s γγγL 线性无关,即若11220s s x x x γγγ+++=L ,必有120,0,,0s x x x ===L .既然1,,m λλL 与1,,m k k L 不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(C). 一般情况下,对于不能保证必有11220,s s k k k ααα+++=L 及110,s s l l ββ++=L 故(A)不正确.由已知条件,有()()()()1111110m m m m m m k k λαβλαβαβαβ+++++-++-=L L ,又1,,m λλL 与1,,m k k L 不全为零,故1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--L L 线性相关. 故选(D). (5)【答案】(B)【解析】依题意 因()0P B >,故有()()1212)(PA B A B P A B P A B +=+.因此应选(B).注：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件B 都成立,但是忽略了全概率公式中要求作为条件的事件12,A A 应满足12()0,()0P A P A >>,且12,A A 是对立事件. 【相关知识点】条件概率公式：()(|)()P AB P B A P A =.三、(本题满分6分)【解析】(1) 由于()g x 有二阶连续导数,故当0x ≠时,()f x 也具有二阶连续导数,此时,()f x '可直接计算,且()f x '连续；当0x =时,需用导数的定义求(0)f '.当0x ≠时, 22[()]()()()(1)().x x xx g x e g x e xg x g x x e f x x x ---''+-+-++'== 当0x =时,由导数定义及洛必达法则,有2000()()()(0)1(0)lim lim lim 222x x x x x x g x e g x e g x e g f x x ---→→→'''''-+--'==洛洛. 所以 2()()(1),0,()(0)1,0.2xxg x g x x e x x f x g x -'⎧-++≠⎪⎪'=⎨''-⎪=⎪⎩(2) ()f x '在0x =点的连续性要用定义来判定.因为在0x =处,有0()(0)1lim(0)22x x g x e g f -→''''--'===.而()f x '在0x ≠处是连续函数,所以()f x '在(,)-∞+∞上为连续函数. 四、(本题满分6分) 【解析】由()zf u =可得(),()z u z u f u f u x x y y∂∂∂∂''==∂∂∂∂. 在方程()()xyu u p t dt ϕ=+⎰两边分别对,x y 求偏导数,得所以()(),1()1()u p x u p y x u y u ϕϕ∂∂-==''∂-∂-. 于是()()()()()()()01()1()z z p x p y p x p y p y p x f u x y u u ϕϕ⎡⎤∂∂'+=-=⎢⎥''∂∂--⎣⎦. 五、(本题满分6分)【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法. 【解析】方法1:因为 所以20lim ln(1)ln 2.(1)1x x x x x x xe xe dx e e e -+∞-→+∞⎡⎤=-++⎢⎥++⎣⎦⎰而 lim ln(1)lim ln (1)11x x x x xxx x x xe xe e e e e e -→+∞→+∞⎡⎤⎧⎫⎡⎤-+=-+⎨⎬⎢⎥⎣⎦++⎣⎦⎩⎭lim001x x xe →+∞-=-=+,故原式ln 2=. 方法2:220001(1)(1)1x x x x x xe xe dx dx xd e e e -+∞+∞+∞-==-+++⎰⎰⎰六、(本题满分5分)【分析】由结论可知,若令()()x xf x ϕ=,则()()()x f x xf x ϕ''=+.因此,只需证明()x ϕ在[0,1]内某一区间上满足罗尔定理的条件. 【解析】令()()x xf x ϕ=,由积分中值定理可知,存在1(0,)2η∈,使112201()()()2xf x dx x dx ϕϕη==⎰⎰,由已知条件,有1201(1)2()2()(),2f xf x dx ϕηϕη==⋅=⎰于是且()x ϕ在(,1)η上可导,故由罗尔定理可知,存在(,1)(0,1),ξη∈⊂使得()0,ϕξ'=即()()0.f f ξξξ'+=【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[ ,]a b 上连续,则在[ ,]a b 上至少存在一个点ξ,使下式成立：()()()()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰.这个公式叫做积分中值公式. 2.罗尔定理：如果函数()f x 满足(1)在闭区间[ ,]a b 上连续； (2)在开区间()a,b 内可导；(3)在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =,那么在()a,b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=.七、(本题满分6分)【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x 的某个区间上导函数()0f x '≥,则函数()f x 单调递增,反之递减.【解析】(1)设售出商品的销售额为R ,则 令0,R '=得00p b ==>.当0p <<时,0R '>,所以随单价p 的增加,相应销售额R 也将增加.当p >时,有0R '<,所以随单价p 的增加,相应销售额R 将减少. (2)由(1)可知,当p =时,销售额R 取得最大值,最大销售额为2maxR b c ⎡⎤⎫⎥==⎪⎪⎥⎭⎥⎦. 八、(本题满分6分) 【解析】令y zx =,则dy dz z x dx dx=+. 当0x >时,原方程化为dzz xz dx +=,dx x =-,其通解为1ln(ln z x C =-+ 或C z x=.代回原变量,得通解(0)y C x =>.当0x <时,原方程的解与0x >时相同,理由如下: 令t x =-,于是0t>,而且dy dy dx dydt dx dt dx =⋅=-===从而有通解(0)y C t +=>,即(0)y C x =<.综合得,方程的通解为y C =.注：由于未给定自变量x 的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数yzx=后得=,从而,应当分别对0x >和0x <求解,在类似的问题中,这一点应当牢记. 九、(本题满分8分)【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题. 【解析】(1)因为3λ=是A 的特征值,故所以2y =. (2)由于TAA =,要2()()T T AP AP P A P ==Λ,而是对称矩阵,故可构造二次型2Tx A x ,将其化为标准形T y y Λ.即有2A 与Λ合同.亦即2T P A P =Λ.方法一：配方法.由于 22222123434558T x A x x x x x x x =++++那么,令1122334444,,,,5y x y x y x x y x ===+=即经坐标变换有 222221234955T x A x y y y y =+++.所以,取 10000100400150001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,有 211()()595T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 方法二：正交变换法.二次型22222123434558Tx A x x x x x x x =++++对应的矩阵为21000010000540045A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其特征多项式231000010(1)(9)005445E A λλλλλλλ---==------.2A 的特征值12341,1,1,9λλλλ====.由21()0E A x λ-=,即12340000000000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,和24()0E A x λ-=,即12348000080000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,分别求得对应1,2,31λ=的线性无关特征向量123(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)T T T ααα===-,和49λ=的特征向量4(0,0,1,1)Tα=.对123,,ααα用施密特正交化方法得123,,βββ,再将4α单位化为4β,其中：1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),,T T T Tββββ====. 取正交矩阵[]123410000100000,,,P ββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎢⎢⎢⎣,则 1221119T P A P P A P -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 即 211()()19T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 十、(本题满分8分)【解析】证法1： (定义法)若有一组数12,,,,,t k k k k L 使得1122()()()0,t t k k k k ββαβαβα+++++++=L (1)则因12,,,t αααL 是0AX=的解,知0(1,2,,)i A i t α==L ,用A 左乘上式的两边,有12()0t k k k k A β++++=L . (2)由于0A β≠,故120t k k k k ++++=L . 对(1)重新分组为121122()0t t t k k k k k k k βααα++++++++=L L . (3) 把(2)代入(3)得 11220t t k k k ααα+++=L .由于12,,,t αααL 是基础解系,它们线性无关,故必有120,0,,0t k k k ===L . 代入(2)式得:0k=.因此向量组12,,,,t ββαβαβα+++L 线性无关.证法2： (用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1倍分别加至其余各列,有 因此 ()()1212,,,,,,,,.t t rr ββαβαβαβααα+++=L L由于12,,,t αααL 是基础解系,它们是线性无关的,秩()12,,,t rt ααα=L ,又β必不能由12,,,t αααL 线性表出(否则0A β=),故()12,,,,1t r t αααβ=+L .所以 ()12,,,, 1.t rt ββαβαβα+++=+L即向量组12,,,,t ββαβαβα+++L 线性无关. 十一、(本题满分7分)【解析】设一周5个工作日内发生故障的天数为X ,则X 服从二项分布即(5,0.2)B . 由二项分布的概率计算公式,有设一周内所获利润Y (万元),则Y 是X 的函数,且 由离散型随机变量数学期望计算公式,100.3276850.409620.05792 5.20896EY =⨯+⨯-⨯=(万元).【相关知识点】1.二项分布的概率计算公式：若(,)YB n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =L .2.离散型随机变量数学期望计算公式：{}1()nkk k E X xP X x ==⋅=∑.十二、(本题满分6分)【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为36.设事件1A =“方程有实根”,2A =“方程有重根”,则{}221404B A B C C ⎧⎫=-≥=≤⎨⎬⎩⎭.用列举法求有利于i A 的样本点个数(1,2i =),具体做法见下表:有利于的意思就是使不等式24B C ≤尽可能的成立,则需要B 越大越好,C 越小越好.当B 取遍1,2,3,4,5,6时,由古典型概率计算公式得到【相关知识点】古典型概率计算公式：().i i A P A =有利于事件的样本点数样本空间的总数十三、(本题满分6分)【解析】依题意,12,,,n X X X L 独立同分布,可见22212,,,n X X X L 也独立同分布.由(1,2,3,4)k k EX a k ==及方差计算公式,有因此,根据中心极限定理的极限分布是标准正态分布,即当n 充分大时,n Z 近似服从参数为2422(,)a a a n-的正态分布. 【相关知识点】1.列维-林德伯格中心极限定理,又称独立同分布的中心极限定理：设随机变量12,,,n X X X L 独立同分布,方差存在,记μ与2σ()0σ<<+∞分别是它们相同的期望和方差,则对任意实数x ,恒有 其中()x Φ是标准正态分布函数.2.方差计算公式：22()()()D X E X E X =-.。