高等代数-行列式课件

解：方程组的系数行列式
1 d 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 2 1 4 5 11 142 0
5 d1 2 2 0
1 2 3 1
1 1 1 2
1 4 5 11 142
d 2 284, d 3 426, d 4 142
§2.7 克兰姆(Cramer)法则
一类特殊的线性方程组的求解问题—— 方程组中未知数个数与方程个数相同
一、n元线性方程组
a 1 1 x1 a 1 2 x 2 a 2 1 x1 a 2 2 x 2 a x a x n2 2 n1 1 a1 n x n b1 a 2 n x n b2 a nn x n bn ()
s
a 21 a n1
a 2 , j 1 a n , j 1
b1 A1 j b 2 A 2 j b n A n j
b
s 1
n
A sj .
分析：
本定理的证明分两个部分，其一是验证
(
d1 d
,
d2 d
, ,
dn d
) 是(1)的解，其二是
验证解的唯一性。
方程组有唯一解(1,2,3,1).
三、齐次线性方程组
a 1 1 x1 a 1 2 x 2 a 2 1 x1 a 2 2 x 2 a x a x n2 2 n1 1 a1 n x n 0 a2n xn 0 a nn x n 0 (3)
可简写为
a
j 1
n
ij
x j bi ,
i 1, 2, , n .
当b1, b2,…, bn不全为0时，称方程

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课件
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END
D 1 ta p 1 q 1 a p 2 q 2 a p n q n
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其中 p 1p 2 p n,q 1 q 2 q n 是两个 n级排列，t为行
标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
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思考题
证明 在全部 n阶排列中n2,奇偶排列各占
t 4 3 0 1 1 2 2 2 0 1 6 65
所以 a1a 42a 33a 1 4a 2 5a 6 65 是六阶行列式中的项.
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a 3a 2 4a 3 1a 4 5a 1 2a 5 66 下标的逆序数为
t4523 816
所以 a 3a 2 4a 3 1a 4 5a 1 2a 5 6不6是六阶行列式中的项.
t 1 0 2 2 1 0 6,
所以 a2a 33a 14a 25a 61a 46前5 边应带正号.
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(2 )a 3a 2 4a 1 3a 4 5a 1 6a 6 25 行标排列341562的逆序数为
t 0 0 2 0 0 4 6 列标排列234165的逆序数为
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二、对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为
a 1 ala abb b 1 b m 对换a与b a 1 albbab a 1 b m
除a,b 外，其它元素的逆序数不改变.
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即
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5

a c b d a c a d b c b d ① u x + v y , ② u x + u y + v x + v y .

第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
a11 a21 … a n1
a11 a21 =k … a n1
P.-S. Laplace[法]
(1749.3.23~1827.3.5)
= a11A11+a12A12+…+a1nA1n
= a11(1)1+1M11 + a12(1)1+2M12 + … + a1n (1)1+nM1n
n1阶行列式
(Laplace Expansion of Determinants)

第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
二. 行列式的性质
性质1. 互换行列式中的两列, 行列式变号.
a11 例如 a 21 a12 a22 a12 = a11a22 a12a21, a22 a11 = a12a21 a11a22. a21
1 1 1 1 D= = = D D = 0. 2 2 2 2 推论. 若行列式 D 中有两列完全相同, 则 D = 0.

第二章 矩阵与行列式
§2.2 行列式
性质2. (线性性质) (1) det(1, …, kj, …, n) = kdet(1, …, j, …, n); (2) det(1, …, j+j, …, n) = det(1, …, j, …, n) + det(1, …, j, …, n). 现学现用 n ( 1) (1) 设A为n阶方阵, 则det(A) = ____ det(A). (2) a+b c+d = [ ]. u+v x+y