高等代数考研真题 第二章 行列式

高等代数《行列式》部分习题及解答例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？答：()112n n k --例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000202).0001000n n -001002003).1000000n n-答：1）.原行列式()()()()1,1,,2,121!1!n n n n n n τ--=-=-2）.原行列式()11!.n n -=-3）.原行列式()()()1221!n n n --=-.例5：由行列式定义计算()212111321111x x x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()()213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.例6：由111111=0111，证明：奇偶排列各半.证明：由于12n j j j 为奇排列时()()121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排列，则上述行列式()()()()12121212110.n n nnj j j j j j j j j j j j l k ττ=-+-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.例7：证明1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：111111111111111111122222222222222222222222.2b cc a a bac aa baa b a cab c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：121401211).00210003-；1122).321014-的全部代数余子式. 答：111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：111121131).12254321-；11112112132).1111321112---；01214201213).135123312121035-- 答：1111111111110115011501151).= 1.011400010012012300120001---------==-=-------原式132).12-3).483-. 例10：计算下列n 级行列式： 0000001).;000000x y x y x yyx1112121222122).n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------122222223).;2232222n1231110004)..02200011n n n n-----答：()()110000000000000001).11.000000000000000n n n n xy xy yx y x xy x y x y x y x yy yxxxy++=+-=+-2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.()12221000222222223).22!223200102220002n n n -==-⋅--（利用第2行（列）的特点）()()11231110001!4).1.02200211n n nn n n---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列） 例11：用克拉默法则解线性方程组1234123412341234232633325323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.答：2132333270031123131d --==-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132533270;31124131d --==-----22632353270;33123431d ==---32162335270;31323141d --==----42136333570;31133134d --==----所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====例12：求12121212111222,n nnnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑这里12nj j j ∑是对所有n 级排列求和.答：对每个排列12n j j j ，都有：()()121212121111112122221222121.n n nnj j j n j j j j j j nn n nnnj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!2n 个.所以121212121112220n n nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑.例13：计算n 级行列式：12222122221212111.nnn n n nnn n nx x x x x x x x x x x x ---答：作范德蒙德行列式：1212222121111111211211111.n n n n n n n n n n nnn nn n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=将这个行列式按最后一列展开，展开式中11n n x -+的系数的()11n n++-倍就是所求行列式D ，因为()111,ji i j n D xx ≤<≤+=-∏所以()()()()11111111.nnn nji k ji k k k i j n i j n D xx x xx x ++==≤<≤+≤<≤+=---=-∑∑∏∏。

考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2001年] 设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若秩=秩(A)，则线性方程组( )．A．AX=α必有无穷多解B．AX=α必有唯一解C．=0仅有零解D．=0必有非零解正确答案：D解析：齐次线性方程组解的情况的判定关键是要弄清楚该方程组的未知数个数与系数矩阵秩之间的关系，对非齐次方程组解的情况判定的关键是要弄清楚该方程组的增广矩阵与系数矩阵A的秩的关系．若秩(A)=秩()，则该非齐次方程组必有在秩()=秩(A)=r的前提下考察r与未知数个数n之间的关系，进一步了解解的情况．解一因秩=秩(A)≤n＜n+1(n+1为未知数个数)，即系数矩阵非列满秩，由命题2．4．1．1(1)知，=0必有非零解．仅(D)入选．解二由秩=秩(A)知，α必为A的列向量组的线性组合，因而秩([A:α])=秩(A)．由命题4．1．1．2(2)知，Ax=α有解，但有多少个解尚不能确定．如秩(A)＜n，则由命题2．4．1．2(4)知，AX=α必有无穷多解，故(B)不对．但如果秩(A)=n，由命题2．4．1．2(3)知，AX=α必有唯一解，故(A)不对．因(C)中方程组的系数矩阵不是列满秩，由命题2．4．1．1(1)知，该方程组必有非零解，故(C)不成立．因而仅(D)入选．知识模块：线性方程组2．非齐次线性方程组AX=b 中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则( )．A．r=m时，方程组AX=b有解B．r=n 时，方程组AX=b有唯一解C．m=n时，方程组AX=b有唯解D．r＜n时，方程组AX=b有无穷多解正确答案：A解析：非齐次线性方程组解的情况常用命题2．4．1．2判别，为此应首先考查秩(A)与秩(A)是否相等，但m=秩(A)=r时，可直接利用命题2．4．1．3判定．因A为m×n矩阵，若秩(A)=m，则m=秩(A)≤秩([A : b])≤m，于是秩(A)=秩([A : b])=m，故方程组AX=b当秩(A)=m时必有解．仅(A)入选．知识模块：线性方程组3．[2004年] 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3 ，ξ4是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系( ).A．不存在B．仅含一个非零解向量C．含有两个线性无关的解向量D．含有三个线性无关的解向量正确答案：B解析：基础解系所含解向量个数等于n=秩(A)，因此先求秩(A)，进而确定选项．解一当A*≠O时，秩(A*)=0，因而秩(A*)=n或秩(A*)=1，于是秩(A)=n或秩(A)=n一1．由题设知AX=b有四个互不相等的解，因而解不唯一，于是秩(A)=n一1．因而n一秩(A)=n一(n－1)=1，即其基础解系仅含一个解向量．仅(B)入选．解二因A*≠O，故秩(A*)≥1，则秩(A)≥n－1．又因AX=0有解且不唯一，故秩(A)≤n一1，因而秩(A)=n一1，其基础解系仅含一个解向量．仅(B)入选．知识模块：线性方程组4．[2011年] 设A=[α1，α2，α3，α4]是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若[1，0，1，0]T是方程组AX=0的一个基础解系，则A*X=0的基础解系可为( )．A．α1，α3B．α1，α2C．α1，α2，α3D．α2，α3，α4正确答案：D解析：先求A*X=0的一个基础解系所含解向量的个数．再由A*A=∣A∣E=0E=0得到A的列向量为A*X=0的解，且A的列向量组中含有A*X=0的基础解系，最后利用AX=0的基础解系求得A的列向量之间的线性关系，从而确定A*X=0的基础解系．因AX=0的基础解系只含一个解向量[1，0，1，0]T，故n 一秩(A)=4一秩(A)=1，即秩(A)=3．因而秩(A*)=1．于是A*X=0的一个基础解系必含n一秩(A*)=4一l=3个解向量，这就排除了(A)，(B)选项．因秩(A)=3，故∣A∣=0，所以A*A=∣A∣E=O．又因秩(A)=3，故A的列向量组中含有A*X=0的基础解系．又因[1，0，1，0]T为AX=[α1，α2，α3，α4]X=0的解向量，故[α1，α2，α3，α4][1，0，1，0]T=α1+α3=0，即α1与α3线性相关，从而排除(C)．仅(D)入选．知识模块：线性方程组5．已知β1，β2是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解，α1，α2是对应齐次线性方程组AX=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则AX=b的通解必是( )．A．k1α1+k2(α1一α2)+(β1－β2)／2B．k1α1+k2(α1一α2)+(β1+β2)／2C．k1α1+k2(β1一β2)+(β1－β2)／2D．k1α1+k2(β1一β2)+(β1+β2)／2正确答案：B解析：利用解的结构定理即命题2．4．4．2求之．解一因α1，α2线性无关，由命题2．3．2．2知α1，α1+α2线性无关，α1，α1一α2也线性无关．又因1／2+1／2=1，由命题2．4．4．1知，(β1+β2)／2为AX=b的一特解，由命题2．4．4．2知，k1α1+k2(α2一α1)+(β1+β2)／2为AX=b 的通解．仅(B)入选．解二因(A)中(β1一β2)／2不是AX=b的特解，而(C)中既没有特解，且β1+β2也不是AX=0的解，(D)中虽有特解，且α1与β2一β1均为AX=0的解，但α1与β2一β1的线性相关性无法确定，故(A)，(C)，(D)均不正确．仅(B)入选．知识模块：线性方程组6．[2000年] 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且秩(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，c表示任意常数，则线性方程组AX=b的通解X=( )．A．[1，2，3，4]T+c[1，1，1，1]TB．[1，2，3，4]T+c[0，1，2，3]TC．[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]TD．[1，2，3，4]T+c[3，4，5，6]T正确答案：C解析：关键在于构造出AX=0的一个非零特解，求得其基础解系．构造的方法需利用命题2．4．4．1．解一仅(C)入选．AX=b为四元非齐次方程组，秩(A)=3，AX=0的一个基础解系只含n一秩(A)=4—3=1个解向量．将特解的线性组合2α1，α2+α3写成特解之差的线性组合：2α1一(α2+α3)=(α1一α2)+(α1一α3)．因2一(1+1)=0，由命题2．4．4．1知，2α1一(α2+α3)=[2，3，4，5]T≠0仍为AX=0的一个解向量，且为其一个基础解系，故AX=b的通解为X=α1+c[2α1一(α2+α3)]=[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]T，c为任意常数．解二仅(C)入选．因秩(A)=3，故四元齐次方程组AX=0的基础解系所含向量的个数为4一秩(A)=1，所以AX=0的任一个非零解都是它的基础解系．由于α1及(α2+α3)／2都是AX=b的解(因1／2+1／2=1)，故α1一(α3+α2)／2=(1／2)[2α1一(α2+α3)]=(1／2)[2，3，4，5]T是AX=0的一个解，从而2×(1／2)[2，3，4，5]T=[2，3，4，5]T=η，也是AX=0的一个解，且因η≠0，故η为AX=0的一个基础解系，所以AX=b的通解为X=α1+cη=[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]T，其中C为任意常数．知识模块：线性方程组7．[2015年] 设矩阵．若集合Ω={1，2}，则线性方程组AX=b有无穷多解的充分必要条件为( )．A．aΩ，dΩB．aΩ，d∈ΩC．a∈Ω，dΩD．a∈Ω，d∈Ω正确答案：D解析：只需由AX=b有无穷多解的充分必要条件秩(A)=秩(A:b)＜3找出a，d所满足的条件即可．注意到A为3阶范德蒙行列式，由秩(A)＜3得∣A∣=(2一1)(a一1)(a－2)=0，故a=1或a=2，即a∈Ω．排除(A)、(B)．又由a=1时，=[A:b]=由秩=秩[A:b]＜3得到(d一1)(d一2)=0，即d=1，d=2，d∈Ω．当a=2时，由,故(d－1)(d－2)=0，即d=1，d=2，d∈Ω．因而当a=l，2时，d∈Ω，排除(C)．仅(D)入选．知识模块：线性方程组8．要使ξ1=[1，0，2]T，ξ2=[0，1，一1]T都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵A为( )．A．[一2，1，1]B．C．D．正确答案：A解析：可用一般的方法求之，也可利用Ax一0的基础解系中解向量的个数求之．解一ξ1，ξ2线性无关，以ξ1T，ξ2T为行向量作矩阵B=，解BX=0，得基础解系β1=[一2，1，1]T，以β1T为行向量作矩阵A=[β1T]，则A即为所求的矩阵，因而仅(A)入选．解二因ξ1，ξ2线性无关，n=3，三元齐次线性方程组AX=0的基础解系中至少含2个解向量，故3一秩(A)≥2，即秩(A)≤1．(A)，(B)，(C)，(D)中矩阵只有(A)中矩阵的秩等于1．故仅(A)入选．知识模块：线性方程组9．[2000年] 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0必有( )．A．(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．C．(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．D．(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．正确答案：A解析：本题的难点是在由ATAX=0得到A．这只有将ATAX=0化成只含AX 的式子才好研究，为此在ATAX=0两边同时左乘XT．解一由命题2．4．7．3(1)知，仅(A)入选．解二设a为组(Ⅰ)的任一解，则Aα=0，于是有ATAα=AT(Aα)=AT0=0,即α也是组(Ⅱ)的解．于是得到组(Ⅰ)的解必为组(Ⅱ)的解．反之，设β为组(Ⅱ)的任一解．下面证明它也是组(Ⅰ)的解．由ATAβ=0得到βT(ATAβ)=0，即(Aβ)T(Aβ)=(βTAT)(Aβ)=βT(ATA β)=0．设Aβ=[b1，b2，…，bn]T，则(Aβ)T(Aβ)=b12+b22+…+bn2=0bi=0 (i=1，2，…，n)，即Aβ=0，亦即β为AX=0的解向量．或用反证法证之．若Aβ=[b1，b2，…，bn]T≠0，不妨设b1≠0，则(Aβ)T(Aβ)一[b1，b2，…，bn][b1，b2，…，bn]T=b12+bi2＞0．这与(Aβ)T(Aβ)=0矛盾．因而Aβ=0，于是组(Ⅱ)的解也必为组(I)的解．因而组(I)与组(II)同解．仅(A)入选．知识模块：线性方程组10．设有齐次线性方程组AX=0和βX=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题：①若AX=0的解均是BX=0的解，则秩(A)≥秩(B)；②若秩(A)≥秩(B)，则AX=0的解均是BX=0的解；③若AX=0与BX=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则AX=0与BX=0同解．以上命题中正确的是( )．A．①②B．①③C．②④D．③④正确答案：B解析：利用线性方程组同解的基本性质判别之．仅(B)入选．由命题2．4．7．2知，命题③正确．又命题①也正确，这是因为AX=0的解均是BX=0的解，则AX=0的基础解系是BX=0的基础解系的一部分，因此AX=0的基础解系所含向量个数小于等于BX=0的基础解系所含向量的个数，即n一秩(A)≤n一秩(B)，秩(A)≥秩(B)．知识模块：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第二章１．（北师大2003－25）１．计算行列式87162534的逆序数，并依次将上述排列变成12345678的所有对换2．设n 个数码的排列121n n i ,i ,...i ,i -的逆序数是k ，那么排列321n n n i ,i ,...i ,i i -的逆序数是多少？请说明理由。

２．计算下列行列式（每小题6分，共12分）D=2132301211432211---的值。

3.（成电科大，2003）计算下列行列式（每小题6分，共12分）1.32222322223222223n ......D ..................=D ．＝ 2.2323231222111114441555D =4.（中科武汉2004－15）计算行列式1111111222221223331234111111n nn...b a a a ...a a b b a a ...a a D b b b a ...a a .....................b b b b ...b a =5（成电科大2004－10分）求证：1212341112321112321114311211n n n ...n n ...n n x ...n n D ()x x x ...n n .....................x x x (x)xx...x+------==---6.(北工大，2002－10分)计算行列式0121110001000100010n n na ...a x ...a x ...D ..................a ...x a ...x+-----的值。

7(东北大学，2001－10分)计算下列行列式11112n n nnna c a c D (n )db d b =8.（东北大学，2002－10分）11111n aa a D aa+--+=--+9．（北航，2001 10分）已知a>>0，证明n 阶行列式1000110001000000101a ...a ...a ...D (n ).....................a ...a --=≥--10.（复旦，2002）计算下列行列式的值：（7分）95000009500040950004000095400094.......................................11.（中大，2004 10分）计算下列n 阶行列式：000210001200012012......D n ........................=12.（东北大2003 25分）证明当αβ≠时，11000001000101n n ..............................αβαβαβαβαβαβαβαβ++++-=+-+13.（北工大 2001 10分）计算n 阶行列式的值111n a b ab a b ab D a b ab a b++=++其中a,b 为实数。

关于行列式的计算方法总结行列式是线性代数中一个非常重要的内容，根据行列式形式的不同，计算的方法也多种多样。

行列式的计算灵活多样，通常是利用行列式的定义、行列式的性质、对角线法则等取计算行列式。

本文通过多方资料对历年考研题中的行列式的解决方法进行了分类归纳和以及总结。

一、 利用基本性质计算1.（1999数二（5）题）记行列式347534453542333322212223212---------------x x x xx x x x x x x x x x x x 为)(x f ，则方程0)(=x f 的根的个数为 （ ） .1)(A .2)(B .3)(C .4)(D求解：347534453542333322212223212)(---------------=x x x x x x x x x x x x x x x x x f373422133101221012----------=x xx x x x671212212673412133001220012------=--------=x x x x x x x x x x)1(5)12)(5)((5512121-=+---=----=x x x x x x x故0)1(5)(=-=x x x f 有两个根，故应选)(B .原行列式中各元素的特点，（均是x 的一次多项式，且除33a ，43a 外，其余x 的系数均有规律。

）利用行列式性质，计算出行列式是几次多项式，即可作出判别。

2.（1996数一（2）题）四阶行列式44332211000000a b a b b a b a 的值等于（ ）.)(43214321b b b b a a a a A - .)(43214321b b b b a a a a B + ).)()((43432121b b a a b b a a C -- ).)()((41413232b b a a b b a a D --求解：原式33224133224143322143322100000a b b a b b a b b a a a b a b b a b a a b b a a -=-=))((41413232b b a a b b a a --=。

考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2014年] 行列式==( )．A．(ad—bc)2B．一(ad一bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：待计算的行列式为数字型行列式，且元素排列有一定规律，应利用行列式性质将其变形化为能直接使用非零元素仅在主、次对角线上的2n阶或2n 一1阶行列式计算：=(a1a2n一b1b2n)(a2a2n-1—b2b2n-1)…(anan+1—bnbn+1)，=an(an-1an+1一bn-1bn+1)(an-2an+2一bn-2bn+2)…(a2n-1a1一b2n-1一b1)．解一令.此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式，由式(2．1．1．5)，即得∣A∣=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad—bc)2．仅(B)入选．解二将∣A∣按第1行展开，然后可利用式(2．1．1．6)直接写出结果：∣A∣=(一a)=(一a)d(ad一bc)+bc(ad —bc)=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad—bc)2．仅(B)入选．知识模块：行列式2．记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：利用行列式性质将f(x)化为含零子块的四分块矩阵的行列式或三角形行列式计算．(式(2．1．1．6))=5x(x－1)．由此可知f(x)=0的根有2个．仅(B)入选．知识模块：行列式3．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．A．当m＞n时，必有行列式∣AB∣≠0B．当m＞n时，必有行列式∣AB∣=0C．当n＞m时，必有行列式∣AB∣≠0D．当n＞m时，必有行列式∣AB∣=0正确答案：B解析：证秩(AB)＜m或证ABX=0有非零解(利用命题2．1．2．7)证之．解一利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于的法则确定正确选项．因AB为m阶矩阵，行列式∣AB∣是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到：(1)当m＞n时，有秩(A)≤min{m，n)=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n ＜m；(2)秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B)}＜m，而AB为m阶矩阵，故∣AB∣=0．仅(B)入选．解二因BX=0的解必是ABX=0的解．而BX=0是n个方程m 个未知数的齐次线性方程组．当m＞n时，BX=0有非零解，从而ABX=0有非零解，故∣AB∣=0．仅(B)入选．知识模块：行列式4．[2012年] 设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P-1AP=.若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q-1AQ=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：注意到Q的列向量为α1，α2，α3的线性组合，首先将Q改写为P与一数字矩阵相乘的形式，再代入Q-1AQ中进行运算，即可求得正确选项．解一因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α3]因而Q-1AQ=，故仅(B)入选．解二用初等矩阵表示，有Q=PE12：(1)，由E12-1(1)=E12(一1)得到Q-1AQ=[PE12(1)]-1APE12(1)=E12-1(1)P-1APE12(1)=E12(一1)P-1APE12(1)=仅(B)入选．知识模块：矩阵5．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E一A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：利用命题2．2．1．4及命题2．1．2．6求之．解一易求得(E —A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E－A+A2)=E+A3=E．由命题2．2．1．4知E一A可逆，E+A也可逆．仅(C)入选．解二由A3=O知A为幂零矩阵，故其特征值λ1=λ2=…=λn=0，因而E—A与E+A的n个特征值均为μ1=μ2=…=μn=1，故E一A与E+A没有零特征值，由命题2．1．2．6知，它们均可逆．仅(C)入选．知识模块：矩阵6．[2005年] 设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为3个相等的正数，则a11为( )．A．√3／3B．3C．1／3D．√3正确答案：A解析：出现第l行3个相等的元素，自然想到用行列式展开定理．用a11的表达式表示∣A∣，再利用命题2．1．2．8即可求出a11解一显然矩阵A满足命题2．1．2．8中的三个条件，因而由该命题即得∣A∣=1．将∣A∣按第1行展开得到1=∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112，故以a11=√3／3．仅(A)入选．解二由A*=AT，即，其中Aij为∣A∣中元素aij(i，j=1，2，3)的代数余子式，得aij=Aij(i，j=l，2，3)．将∣A∣按第1行展开，得∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112＞0．又由A*=AT得到∣A*∣=∣A∣3-1=∣AT∣=∣A∣，即∣A∣(∣A∣一1)=0，而∣A∣＞0，故∣A∣一1=0，即∣A∣=1，则3a112=1，因a11＞0，故a11==√3／3．仅(A)入选．知识模块：矩阵填空题7．[2005年] 设α1，α2，α3均为三维列向量．记矩阵A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]．如果∣A∣=1，那么∣B∣=_________．正确答案：将分块矩阵B改写为分块矩阵A右乘另一数字矩阵的形式，再在等式两边取行列式；也可利用行列式性质恒等变形找出∣A∣与∣B∣的关系，从而求出∣B∣．解一B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]=AC，其中C=为三阶范德蒙行列式，则∣C∣=2，故∣B∣=∣A∣∣C∣=1×2=2．解二用行列式性质将∣B∣化为∣A∣的线性函数，找出∣A ∣与∣B∣的关系，求出∣B∣．∣B∣∣α1+α2+α3，α2+3α3，α2+5α3∣∣α1+α2+α3，α2+3α3，2α3∣∣α1+α2+α3，α2，2α3∣=2∣α1+α2+α3，α2，α3∣2∣α1，α2，α3∣=2∣A∣=2．涉及知识点：行列式8．[2006年] 设矩阵A=，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则∣B∣=_________．正确答案：可用上述法一或法二求之．解一由BA=B+2E得∣B(A—E)∣=∣2E∣=22=4，故∣[B∣∣A—E∣=4，∣B∣=4／∣A—E∣=4／2=2．解二由BA=B+2E得B(A—E)=2E，则B=2(A—E)-1=2，故∣B∣=2．涉及知识点：行列式9．[2003年] 设三阶方阵A，B满足A2B—A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=，则∣B∣=_________．正确答案：注意到所给矩阵方程A2B—A—B=E含单位矩阵E的加项，左端又出现矩阵A的平方，应将它们结合在一起，因式分解，将方程化成矩阵乘积形式，再取行列式求解．题设等式化为(A2一E)B=A+E，即(A+E)(A—E)B=A+E．易求得∣A+E∣=18≠0，故A+E可逆．在上式两端左乘(A+E)-1，得到(A—E)B=E．再在两边取行列式，得∣A—B∣∣B∣=1．因∣A—E∣==2，故∣B∣=／2．涉及知识点：行列式10．[2008年] 设三阶矩阵A的特征值为2，3，λ．若行列式∣2A∣=一48，则λ=________．正确答案：先利用命题2．1．2．2求出行列式∣A∣，再利用命题2．1．2．4即可求出参数λ．由命题2．1．2．2得∣2A∣=23∣A∣=一48，解得∣A ∣=一6．又由命题2．1．2．4得到∣A∣=一6=λ·2·3，故λ=一1．涉及知识点：行列式11．[2012年] 设A为三阶矩阵，∣A∣=3．A*为A的伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则∣BA*∣=_________．正确答案：先将矩阵B用初等变换E12与A表示．为利用AA*=∣A∣E，将所得表示式右乘A*．再取行列式．计算行列式时，要正确计算出初等矩阵的行列式∣E12∣．由题设有B=E12A，两边右乘A*得到BA*=E12AA*=∣A ∣E12E=∣A∣E12，则∣BA*∣=∣∣A∣∣E12∣=∣A∣3∣E12∣=33(一1)=一27．涉及知识点：行列式12．[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，∣A∣为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则∣A∣=__________．正确答案：利用A*=(Aij)及∣A∣=∣A∣3-1求之．由a=一A，则(a)=(－Aij)，(aij)T=(－Aij)T=一(Aij)，故AT=一A*，从而∣A∣=∣AT∣=∣—A*∣=(一1)3∣A∣3-1=一∣A∣2，即∣A∣2+∣A∣=∣A∣(∣A∣+1)=0，故∣A∣=0或∣A∣=一1．若∣A∣=0，则由∣A∣=ai1Ai1+ai1Ai2+ai3Ai3=一(ai12+ai22+ai32)=0(i=1，2，3)得到a=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵，这与题设矛盾，故∣A∣=一1．涉及知识点：行列式13．[20l0年] 设A，B为三阶矩阵，且∣A ∣=3，∣B∣=2，∣A-1+B∣=2，则∣A+B-1∣=_________．正确答案：∣A+B-1∣=∣A+B-1∣，常用单位矩阵E将其恒等变形为∣A+B-1∣=∣A+B-1E∣而求之，也可在A+B-1的左和(或)右边乘以适当矩阵化为其行列式已知的矩阵而求之．解一∣A+B-1∣=∣EA+B-1E∣=∣(B-1B)A+B-1(A-1A)∣=∣B-1(BA+A-1A)∣=∣B-1(B+A-1)A∣=∣B-1∣∣B+A-1∣A∣=1．2．3=3．解二A-1(B-1+A)B=A-1B-1B+A-1AB=A-1+B，故∣A-1∣∣B-1+A∣∣B∣=∣A-1+B∣=2，即∣B-1+A∣=2∣A∣／∣B ∣=6／2=3．涉及知识点：行列式14．若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是_________．正确答案：利用命题2．1．3．1(1)寻找λ满足的条件．因方程个数与未知数的个数相等，又该方程组只有零解，由命题2．1．3．1(1)知∣A∣≠0，从而∣A∣==(λ—1)2．于是当λ≠1时，∣A∣≠0，即该方程组只有零解．涉及知识点：行列式15．[2003年] 设α为三维列向量，αT是α的转置．若ααT=则αTα=_________．正确答案：由命题2．2．1．2知，αTα为ααT的主对角线元素之和．另一种思路是利用向量运算规律求出α，再求αTα．解一由命题2．1．1．2知，αTα为ααT的主对角线上的元素之和，即αTα=1+1+1=3．解二由ααT=[1，一1，1]知α=，于是αTα=3．涉及知识点：矩阵16．设A=，而n≥2为整数，则An－2An-1=_________．正确答案：求方阵的n次幂一般要先就n=2，n=3进行计算，然后归纳其规律，得出结论．也可用相似对角化及命题2．2．1．3求之．解一先求出n=2，3时，A2，A3的表示式，然后归纳递推求出An．当n=2时，A2==2A,A3=A2．A=2A·A=2A2=2．2A=22A，设Ak=2k-1A，下面证Ak+1=2kA．事实上，有Ak+1=Ak．A=2k-1A·A=2k-1A2=2k-1．2A=2kA．因而对任何自然数，有An=2n-1A，于是An一2An-1=2n-1．A－2·2n-2A=0．解二由于A为实对称矩阵，可用相似对角化求出An．由∣λE－A∣=λ(λ－2)2得到A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0．由于A为实对称矩阵，必存在可逆阵P，使P-1AP=diag(2，2，0)=Λ，于是A=PΛP-1，An=PΛnP-1，2An-1=P(2Λn-1)P-1=PΛnP-1，故An一2An-1=0．涉及知识点：矩阵17．设A=，其中ai≠0(i=1，2，…，n)，则A-1=_________．正确答案：把A看作是A=的分块矩阵，利用分块矩阵的求逆公式(命题2．2．1．5(3))易求得A-1也可用初等行变换求之．涉及知识点：矩阵18．设A=,A*是A的伴随矩阵，则(A*)-1=_________．正确答案：直接利用式(2．2．2．1)求之．由式(2．2．2．1)得到(A*)-1= 涉及知识点：矩阵19．设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为________．正确答案：解一因A的秩为2，较其阶数4小2，由命题2．2．2．1知秩(A*)=0．解二由题设知A的秩为2，因而A的所有三阶子式等于0．于是A 的所有元素的代数余子式均为0，即A*=0，故秩(A*)=0．涉及知识点：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高等代数习题解答第二章 行列式1．决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）134782695； 2）217986354； 3）987654321．1）解 ()134********τ=，排列134782695是偶排列． 2）解 ()21798635418τ=，排列217986354是偶排列． 3）解 ()98765432136τ=，排列987654321是偶排列． 2．选择i 与k 使1）1274569i k 成偶排列； 2）1254897i k 成奇排列．1）解 当8,3i k ==时，()12748563910τ=，排列127485639为偶排列． 2）解 当3,6i k ==时，()1325648975τ=，排列132564897为奇排列． 3．写出把排列12435变成排列25341的那些变换． 解 (1,2)(1,5)(4,3)12435214352543125341→→→．4．决定排列(1)21n n - 的逆序数，并讨论它的奇偶性． 解 ()(1)(1)21012(2)(1)2n n n n n n τ--=++++-+-=． 当4n k =或41()n k k +=+∈ 时，排列为偶排列； 当42n k =+或43()n k k +=+∈ 时，排列为奇排列．5．如果排列121n n x x x x - 的逆序数为k ，排列121n n x x x x - 的逆序数是多少？解 由于一个n 级排列中，构成逆序的数对与构成顺序的数对总数是2(1)2n n n C -=，把一个排列颠倒后，原来的逆序变成顺序，原来的顺序变成逆序，所以排列121n n x x x x - 的逆序数(1)2n n k --． 6．在6级行列式中，233142561465a a a a a a 与324314516625a a a a a a 这两项应带有什么符号？解 由于(234516)(312645)4ττ+=+=；(341562)(234165)6410ττ+=+=，故两项均应带有正号．7．写出4级行列式中所有带负号并且包括因子23a 的项． 解 所求的项为112332a a a a -；12233441a a a a -；14233142a a a a - 8．按定义计算行列式：1）000100200100000n n-； 2）010000200001000n n -；3）00100200100000n n-．1）解 原行列式(1)((1)21)2(1)!(1)!n n n n n n τ--=-=- ．2）解 原行列式(231)1(1)!(1)!n n n n τ-=-=- ． 3）解 原行列式(1)(2)((1)(2)21)2(1)!(1)!n n n n n n n τ----=-=- ．9．由行列式的定义证明：123451234512121200000000a a a a ab b b b bc cd de e =． 证明 由定义，行列式的一般项为125125()125(1)j j j j j j a a a τ- ， 其中，125j j j 是一个5级排列．在这个5级排列中，345,,j j j 至少有一个大于或等于3，则相应的元素等于0，由此可知每一项都为0，从而行列式为0．10．由行列式的定义计算212111()321111xx x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由．解 ()f x 的展开式中x 的4次项只有一项：(1234)(1)2x x x x τ-⋅⋅⋅，故4x 项的系数为2；x 的3次项也只有一项：(2134)(1)1x x x τ-⋅⋅⋅，故3x 项的系数为1-．11．由1111110111=证明：奇偶排列各半．证明 由于行列式的每个元素都等于1，所以它的每一项的绝对值都等于1，当行标按自然顺序排列时，符号由列标排列的奇偶性确定，当列标排列为奇排列时，符号为负，当列标排列为偶排列时，符号为正．由又由于行列式等于0，说明带正号的项与带负号的项个数相等，即（列标排列中）奇排列与偶排列各占一半．12．设21211112111111()1n n n n n n x x x a a a p x a a a ------=，其中121,,,n a a a - 是互不相同的数．1）由行列式定义，说明()p x 是一个1n -次多项式；2）由行列式性质，求()p x 的根．解 1）()p x 的展开式中，含1n x -的只有一项，其系数是211112112222111111(1)1n n n n n n n a a a a a a a a a --+-----，由于121,,,n a a a - 互不相同，上述的范德蒙德行列式不等于0，故1n x -项的系数不等于0，从而()p x 是一个1n -次多项式．2）2121111111112111111()()()1n n n n i j k i i k n n n n n x x x a a a p x a x a a a a a ----=≤<≤-----==∏-⋅∏-，而111()0n j k i k n a a -≤<≤-∏-≠，于是()p x 的根是121,,,n a a a - ．13．计算下面的行列式：1）2464273271014543443342721621； 2）xy x y yx y x x y xy+++；3）3111131111311113； 4）1234234134124123；5）1111111111111111xx y y+-+-； 6）2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++++++++．1）解 2464273271014543443342721621123100042732720005434431000721621c c c ++=23100010032720001004431000100621c c -= 121000100511327102144311621c c ÷÷=21312511327100121100294r r r r --=--529410=-⨯．2）解 xy x y y x y x x yx y +++()()()123222c c c x y y x y x y x yx x y xy++++=+++()()121211c x y y x y x y x y x xy÷++=++()2131120r r r r y x yx y xy x yx--+=+---()2x yx y x y x-=+--()()22()()x y x y x y =+----()22332()2()x y x xy y x y =+-+-=-+．3）解311113111131111312346111631161316113c c c c +++=2131416111020000200002r r r r r r ---=622248=⨯⨯⨯=．4）解1234234134124123123410234103411041210123c c c c +++=21314110234011302220111r r r r r r ----=-----32412102340113004404r r r r -+-=--101(4)(4)160=⨯⨯-⨯-=．5）解1111111111111111xx y y +-+-123411110011110r r r r x x x y yy--+--=+--21431100001010c c c c x x x y yy--+--=+--241300(1)0x x y y+++--=---拉普拉斯定理22xy xy x y =⋅=．注1：也可以不用拉普拉斯定理；注2：另解 将第4行拆成两行．6）解2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++++++++2131412222214469214469214469214469c c c c c c a a a a b b b b cc c cd d d d ---++++++=++++++324222223221262126021262126c c c c a a b b cc d d --++==++．14．证明1111111112222222222b cc a a b a b cb c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++． 证法一 左边1231111122222222c c c a c a a b a c a a b a c a a b ---++=-++-++1(2)11111222222c a c a a b a c a a b a c a a b ÷-++=-++++ 21311112222c c c c a c b a c b a c b --=-231112222c c a b ca b c a b c ↔==右边．证法二 左边123111111122222222()2()2()c c c a b c c a a b a b c c a a b a b c c a a b ++++++=++++++++12111111122222222c a b c c a a b a b c c a a b a b c c a a b ÷++++=++++++++ 213111111222222c c c c a b c b c a b c b c a b c b c --++--=++--++--1231112222c c c a b c a b c a b c ++--=----23(1)111(1)2222c c a b ca b c a b c ⨯-⨯-==右边． 15．略16．计算下面的行列式：1）1111211312254321- 2）111121121311113211102---3）0121420121135123312121035-- 4）111122011213210211012121302--- 1）解111121*********1-21314124111101151140123r r r r r r ------=---3242111101150001012r r r r +----=--3411110115001201r r ↔---=--34111101151(1)(1)(1)1001201r r ↔---=-=-⨯-⨯-⨯-=--．2）解111121121311113211102---1243223112122211211123201c c c ⨯⨯⨯-=--131211122213112123201r r ↔--=--213141331211041310541120834r r r r r r +-+-=----231211015210541120834r r +--=----32425812110152100211112003720r r r r -+--=--- 211111(1)372012--=-⨯⨯-1(2120(11)37)12=⨯-⨯--⨯1312=-．3）解 0121420121135123312121035--31415133012142012110141030551120241r r r r r r ----=------122121114101(1)355112241+---=⨯----1232422320110191141008174141219r r r r r r +++-----=-----2111019(1)(1)8174141219+--=--⨯-----2331241101907302857r r r r ---=----1173(1)(1)2857+--=--⨯--21473069r r ---=483=-．4）解 1101122011213210211012121302---13522221022201121642108110124261r r r ⨯⨯⨯--=-3141514221022201121202788300300645r r r r r r -+---=--- 31415141222112227811(1)303080645r r r r r r -++----=⨯⨯--31211222581300080645c c -----=--313111213(1)2588645c c -+--=-⨯⨯---21312611230712801017r r r r ++--=---117123(1)(1)10178+-=-⨯-⨯--33((7)1712(10))88=-⨯-⨯-=．17．计算下列n 级行列式：1）000000000000x y x y x y yx； 2）111212122212nnn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------；3）121212n n n x m x x x x m x x x x m---； 4）122222222232222n；5）12311100002200011n n n n-----． 1）解 000000000000x y x y x y y x111110000000000000(1)(1)00000000000000n n n x y y x y x y x y x y y x x y ++--=⋅-+⋅-按第1列展开111(1)n n n x x y y -+-=⋅+⋅-1(1)(2)n n n x y n +=+-≥．2）解 当1n =时，1111a b a b -=-； 当2n =时，11122122a b a b a b a b ----112212211212()()()()()()a b a b a b a b a a b b =-----=--；当3n ≥时，111212122212nnn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------21311112121212131313112nr r r r n n n na b a b a b a a a a a a a a a a a a a b a b a b --------=------=0． （第2，3两行成比例）3）解121212n n n x mx x x x m x x x x m---12212121nni n i nc c c i n i ni n i x mx x x mx m x x mx x m=+++==---=--∑∑∑121(2,3,,)000i ninr r i i n x mx x m m-==--=-∑11()n n i i m x m -=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑． 4）解 122222222232222n2(1,3,4,,)1000222200100002i r r i n n -=-=-2121000022200100002r r n +-=-(1)2(2)!2(2)!n n =-⨯⨯-=--．另解：1(2,3,,)i r r i n -= ，然后按第2行展开．5）解 1231110000220000011n n n n -----12(1)23120100002200011nc c c n n n n n n++++--=---10002200(1)211n n n n--+=--按第1列展开(1)(1)(2)(1)2n n n +=---11(1)(1)!(1)(1)!(1)22n n n n n n --++=--=-． 另解：第1列起，各列加到后一列，然后按第n 列展开．18．证明1）01212011111001100()100nn i ina a a a a a a a a ==-∑； 2）012111021000100010000001n n n n n x a x a x a x a x a x a xa x a ------=++++-+；3）1100010001000001n n αβαβαβαβαβαβαβαβ++++-=+-+； 4）cos 100012cos 100cos 012cos 00012cos n ααααα=；5）1231211111111111111111(1)11111nn i ina a a a a a a a =+++=++∑． 1）证法一 当1n =（2级）时，左边=0011111a a a a =-=右边；假设等式对于n 级的情形成立，则对于1n +级情形：左边=0121111001001na a a a0111(1)1(1)(1)2211111111100000(1)(1)100000100n n n n n n nna a a a a a a ++++++-=-+-按第行 展开1(1)1(121)12112101(1)(1)[()]n n n n n n n iia a a a a a a a a τ-++---=--+-∑第2个行列式根据归纳假设112112101[()]n n n n iia a a a a a a a a ---=-+-∑ 12101()nn n i ia a a a a a -=-∑=右边． 证法二 左边=012111100100100n a a a a11221(1)1033200011111111000000000000000(1)000000n n na a a a a a a a a a ++=-++-按第列 展开2(121)01223121(1)(1)n n n n n n a a a a a a a a a a τ+--=-++-- 2101223121(1)(1)n n n n n a a a a a a a a a a +--=-++--01223121n n n a a a a a a a a a a -=--- =右边．证法三提示 将第(2,3,,1)i i n =+ 行的1ia -倍加到第一行即得下三角行列式． 2）证法一 当1n =时，左边=00x a x a +=+=右边； 假设等式对于n -1级情形成立，则对于n 级情形：左边=01221000100010000001n n x a x a x a xa x a -----+0121032110001000100010001000100(1)000000100101nn n n n xa x x a x x a xa xa x x a +---------=+---+-按第1行 展开111210()(1)(1)n n n x x a x a a -+-=++++-- 第1行列式根据归纳假设2210()n x a x a x a =++++ 第1行列式根据归纳假设=右边．于是，等式成立．证法二 左边=01221000100010000001n n x a x a x a xa x a -----+120110000000010001000010000100(1)(1)000100010101n nnx x x x a a x x ++-----=-+-+----按第列 展开(1)21000000001000100001000100(1)()(1)00000000000100n nn nn n x x x x x x a x a xx x-++-------++--1122211210121(1)(1)(1)(1)(1)(1)()(1)n n n n n n n n n n a a x a x x a x +-+------=--+--++--++- 110121()n n n n a a x a x x a x ----=+++++=右边．3）将等式左边的行列式记为n D ，按第1列展开，得 12()n n n D D D αβαβ--=+-， 即 112()n n n n D D D D αβα----=-， 该等式对于一切的n 都成立，于是2123()n n n n D D D D αβα----=- 334()n n D D βα--=- =221()n D D βα-=-22[()()]n βαβαβααβ-=+--+n β=． ① 在原式中，是,αβ对称的，故同理可得1n n n D D βα--=． ②②α⨯-①β⨯，得11()n n n D αβαβ++-=-，所以 11n n n D αβαβ++-=-．另解 第二数学归纳法，按第1行展开（略）．4）提示 用第二数学归纳法，按第n 行展开得122cos n n n D D D α--=⋅-． 5）提示 用数学归纳法，将第n 行拆成两行111 与00n a ． 19—21略。

习题2.11. 设m,n 是不同的正整数，A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，下列运算式中有定义的有哪几个？A+B ，AB ，BA ，AB T ，A-B T 答 只有AB 和A-B T 有定义． 2. 计算①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134 ③()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛213321 ④()321213⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⑤()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0713******** ⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x解①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-922147117②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22717 ③()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛213321=()11④()321213⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛642321963 ⑤()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0713********=()111813⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-c b a c b a 32155125 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x=233323321331322322221221311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++3. 设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3121，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3101，计算： ① (A+B)(A-B) ② A 2-B 2③ (AB)T ④ A T B T解 ① (A+B)(A-B)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4040002062223101312131013121 ② A 2-B 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20829401114833101310131213121③ (AB)T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛9643946331013121TT④ A T B T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112413011321131013121TT 4. 求所有的与A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011可交换的矩阵． 解 设矩阵B 与A 可交换，则B 必是2×2矩阵，设B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，令AB=BA ，即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10111011d c b a d c b a 从而有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++d c c b a a d cd b c a 由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=+=+dc d c c b a d b ac a解得，c=0，a=d ，b 为任意数．即与A 可交换的矩阵B 可写成B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b a 0． 5. 设A ，B 是n ×n 矩阵，并且A 是对称矩阵，证明：B T AB 也是对称矩阵．证 已知A 是对称矩阵，即A T =A ，从而 (B T AB)T =B T A T (B T ) T =B T AB ，所以B T AB 也是对称矩阵．6. 设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b 0，求A 2，A 3，…，A k．解A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222000b ab b b a b b a bA 3=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3232230020b ab b b a b b ab b …A k =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----k k k k k k b kabb b a b b ab k b 112100)1(0 7.设B 是2×2矩阵．由B 2=02×2能推出B=0吗？试举反例．（提示：参见上题．） 解 不能．例如令B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000a ，当a ≠0时，B ≠0，但B 2=02×2． 8. 设A ，B 是n ×n 矩阵，证明：(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2的充分必要条件是A 与B 可交换．证 充分性：若A 与B 可交换，即AB=BA ，则(A+2B)(A-5B)=A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-5AB+2AB-10B 2= A 2-3AB-10B 2 必要性：若(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2 即 A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-3AB-10B 2 比较两边相同的项得 -2AB+2BA=0 故 AB=BA9. 设A ，B 是n ×n 对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换． 证 因A ，B 是n ×n 对称矩阵，即A T =A ，B T =B ．必要性：若AB 是对称矩阵，则(AB)T =AB ，有因 (AB)T =B T A T =BA ，从而AB= BA ，即A 与B 可交换．充分性：若A 与B 可交换，由必要性证明过程反图推，知AB 是对称矩阵．习题2.21.设A ，B ，C 是矩阵，且满足AB=AC ，证明：如果A 是可逆的，则B=C ．证 已知AB=AC ，两边左乘矩阵A -1，有A -1(AB)= A -1(AC)，根据结合律得(A -1A)B=( A -1A)C ，从而有EB=EC ，故B=C ．2.设P 是可逆矩阵，证明：线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．证 设X (1)是AX=β的任一解解，即有AX (1)=β成立，两边左乘矩阵P ，得PAX (1)=P β，说明X (1)也是PAX=P β的解．反之，设X (2)是PAX=P β的任一解，即有PAX (2)=P β成立，两边左乘矩阵P -1，得P -1 (PAX (2))= P -1 (P β)，根据结合律得(P -1 P)AX (2)=(P -1 P)β，从而有AX (2)=β，这说明X (2)也是AX=β的解．综合以上可知，线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．3.设P 是n ×n 可逆矩阵，C 是n ×m 矩阵．证明：矩阵方程PX=C 有唯一解．证 令X *=P -1C ，代入PX=C 中验证知X *是矩阵方程的一个解．反之，设X (1)是矩阵方程PX=C的任一解，即有PX (1)=C 成立，两边左乘P -1得，X (1)=P -1C=X *，所以矩阵方程PX=C 有唯一解．4. 设A 是n ×n 可逆矩阵，且存在一个整数m 使得A m=0．证明：(E-A)是可逆的，并且(E-A)-1=E+A+…+A m-1．证 由于(E-A)(E+A+…+A m-1)=E+A+…+A m-1-A-A 2-…-A m =E-A m=E-0=E显然交换(E-A)和(E+A+…+A m-1)的次序后相乘结果仍成立，根据逆阵的定义知(E-A)-1=E+A+…+A m-1．5.设P ，A 都是n ×n 矩阵，其中P 是可逆的，m 是正整数．证明：(P -1AP)m =P -1A mP ．证 (P -1AP)m =(P -1AP)(P -1AP)(P -1AP)…(P -1AP)=P -1A(PP -1)A(PP -1)…AP=P -1AEAE …AP=P -1A m P6. 设A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)一定是可逆的吗?如果(A+B)是可逆的，是否有(A+B)-1=A -1+B -1？若不是，试举出反例．解 如果A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)不一定是可逆的．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1001都是可逆的，但A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000是不可逆的． 如果(A+B)是可逆的，也不能说(A+B)-1=A -1+B -1．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001，则A ，B 可逆，A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2002可逆，且(A+B)-1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2/1002/1，但A -1+B -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2002．显然(A+B)-1≠A -1+B -1．7*.设A ，B 都是n ×n 矩阵，满足ABA=A ，β是n ×1矩阵．证明：当且仅当AB β=β时，线性方程组AX=β有解．证 当AB β=β时，记X *=B β，即X *是AX=β的一个解．反之，若线性方程组AX=β有解，设X (1)是它的一个解，即有AX (1)=β，两边左乘(AB)得(ABA)X (1)=AB β用已知条件ABA=A 代到上式左边得AX (1)=AB β 由于X (1)是AX=β的一个解，即AX (1)=β，所以AB β=β．习题2.31.用行和列的初等变换将矩阵A 化成⎪⎪⎭⎫⎝⎛000E 的形式： A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10030140300400001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---04000100301403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000040001403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000040000003000001→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000010000010000012.用初等变换判定下列矩阵是否可逆，如可逆，求出它们的逆矩阵：①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----134112112 ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----153132543 解 ①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----100134010112001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102110011200001112→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011200102110001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02/12/110012/12/301002/12/1012→ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/3010112002→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/30102/12/11001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/112/12/32/12/11②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100153010132001543→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------101610013/23/73/10001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---131100032710001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------13110071850105154043 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1311007185010338724003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----131100718501011298001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1317185112982.解下列矩阵方程：①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111152X ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111201021121101X ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X解 ①⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11111152→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11521111→⎪⎪⎭⎫⎝⎛---33701111 →⎪⎪⎭⎫⎝⎛--7/37/3107/47/401 由此得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=7/37/37/47/4X ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101021111121201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---302120112220201101 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----414300112220201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3/43/13/41006/56/13/10103/23/13/1001 由此得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3/43/13/46/56/13/13/23/13/1X ③对等式两端分别转置得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--233141*********T X 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231013111141122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231014112231111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---520102330031111 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---233005201031111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3/21100520103/70011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3/21100520103/82001 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/21523/82TX⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3/253/8122X4.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011110001A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110020102B ，又X 是可逆矩阵，并且满足矩阵方程AX 2B=XB ，求矩阵X ．解 (B,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110010020001102→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10011002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12/1010002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/1001012/11002 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/100102/14/12/1001 从以上看出B 可逆，对AX 2B=XB 两边右乘B -1得AX 2=X ．已知X 可逆，对AX 2=X 两边右乘B -1得AX=E ．又(A,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100011010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101010111100001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111100101010001001 所以 X=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111010015.①证明：B 与A 行等价⇔存在可逆矩阵P ，使B=PA ．②证明：B 与A 等价⇔存在可逆矩阵P 与Q ，使B=PAQ ．证 若B 与A 行等价，即A 可经有限次初等行变换得到B ，而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵，假设对A 依次左乘初等方阵P 1，P 2，…，P K ，使P k …P 2P 1A=B令P=P k …P 2P 1，则P 是可逆矩阵，且B=PA ．反之，若存在可逆矩阵P ，使B=PA ，因为可逆矩阵P 可以写成一系列初等方阵P 1,P 2, …,P k的乘积，即P=P 1P 2…P k ，从而有B=P 1P 2…P k A ，说明A 可经有限次初等行变换得到B ，即B 与A 行等价．② 若B 与A 等价，即对A 经过有限次初等变换得到B ．而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵；对矩阵A 每做一次初等列变换，相当于对它右乘一个初等方阵．假设对A 左乘的初等方阵依次为P 1，P 2，…，P s ，对A 右乘的初等方阵依次为Q 1，Q 2，…，Q t ，使P s …P 2P 1AQ 1Q 2…Q t =B令P=P s …P 2P 1，Q=Q 1Q 2…Q t ，则P ，Q 都是可逆矩阵，且B=PAQ ．反之，若存在可逆矩阵P 和Q ，使B=PAQ ，因为可逆矩阵P 和Q 均可以写成一系列初等方阵的乘积，设P=P 1P 2 …P s ，Q=Q 1Q 2…Q t ，这里P i ,Q i 都是初等方阵，从而有B=P 1P 2…P k A Q 1Q 2…Q t ，说明A 可经有限次初等行变换和初等列变换得到B ，即B 与A 等价． 6*.设A 是s ×n 矩阵，B 是s ×m 矩阵，B 的第i 列构成的s ×1矩阵是βj （j=1,2,…,m ）．证明：矩阵方程AX=B 有解的充分必要条件是：AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解．证 先证必要性．如果矩阵方程AX=B 有解，设X *是它的解，则X *是n ×m 矩阵，记X *的第j 列为X *j ，根据矩阵先相乘的规则知，A 与X *j 相乘的结果是βj ，即X *j 是AX=βj 的解（j=1,2,…,m ）．再证充分性．若AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解，设X *j 是AX=βj 的解，这里X *j 是n ×1矩阵，令X *=(X *1, X *2,…,X *m )，则X *是n ×m 矩阵，且X *是矩阵方程AX=B 的解． 7*.设A=(a ij )是n ×n 矩阵．①证明：如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②设B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，设l ≠k ．证明：如果P n (l,k)B=BP n (l,k)，b l =b k ．③证明：如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，则A 是一个数量矩阵．证 ①如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则A 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (h(2))A 表示将矩阵A 的第h 行每个元素乘以2得到的矩阵；等式右端的AP n (h(2))表示将A 的第h 列每个元素乘以2得到的矩阵．从等式可知2a hj = a hj （j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），a ih =2a ih （i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），从而得a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②如果P n (l,k)B=BP n (l,k),则B 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (l,k)B 表示将矩阵B 的第l 行和第k 行交换位置；等式右端的BP n (l,k) 表示将矩阵B 的第l 列和第k 列交换位置．由于B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，且l ≠k ，不妨设l<k ，则有P n (l,k)B=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n l k b b b b 001=BP n (l,k)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k lb b b b001比较对应元素，可知b l =b k ．③如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，在①中分别令h=1,2,…,n ，可知A 除对角线上元素以外其它元素都是零，即A 可写成diag(b 1, b 2,…, b n )；在②可令l=1，分别令k=2,…,n ，可知A 的对角线上元素都相等．习题2.41.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．求A 3． 解 A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+244221210A A A A A A A 3=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+244221210A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++34242421221310A A A A A A A A A2.①设G=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rE 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得GBG=G ． ②设A 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得ABA=A ．证 ①构造n ×m 矩阵B 为B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ，则GBG=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE =G②设矩阵A 的秩为r ，则可经过有限次初等变换使A 变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE 的形式，即存在可逆的n ×n 矩阵P 和可逆的m ×m 矩阵Q 使PAQ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E =D ，即A=P -1DQ -1．定义n ×m 矩阵B 如下：B=QCP ，其中C=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ．则有ABA=(P -1DQ -1)(QCP)(P -1DQ -1)= P -1DCDQ -1=P -1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1= P -1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1=A3*.设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4210A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．证明：如果A 1，A 4都是可逆的，则A 也是可逆的，进一步，求A 的逆矩阵．证 如果A 1，A 4都是可逆的，令B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A ，其中A 1-1，A 4-1分别是A 1，A 4的逆阵，B 2是s ×t 矩阵．令AB=E ，即有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t s E A A B A E 014221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛t s E E 00， 从而 A 1B 2+ A 2A 4-1=0，由此得B 2=-A 1-1A 2A 4-1．说明A 也是可逆的，且A -1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1414211110A A A A A。