高等代数行列式计算方法

引言 (1)一、行列式的定义及性质 (2)(一）行列式的定义及相关公式 (2)（二）n级行列式的性质： (4)二、行列式的计算 (6)（一）行列式的基本计算方法 (6)1、定义法： (6)2、三角形法： (7)3、降阶法： (12)4、换元法： (14)5、递推法： (15)6、数学归纳法: (16)7、目标行列式法： (18)(二）行列式的辅助计算方法 (19)1、加边法： (19)2、析因子法： (21)3、连加法： (21)4、拆项法： (22)5、乘积法： (23)结束语 (24)参考文献： (26)行列式的计算方法摘要行列式是线性代数理论中极其重要的组成部分,是高等数学的一个基本的概念.行列式产生于解线性方程组中，并且也是最早应用于解线性方程组中,并且在其他学科分支都有广泛的应用,可以说它是数学、物理学以及工科许多课程的重要学习工具.行列式也为解决实际问题带来了许多方便。

本文针对行列式这一数学工具,进行系统讨论，从不同的角度理解了行列式的定义,重点证明了行列式性质，介绍一些展开定理，总结了行列式的几种计算方法,如定义法、三角形法、降阶法、换元法、递推法、数学归纳法及目标行列式法。

辅助方法有：加边法、析因子法、乘积法、连加法、拆项法等，并结合例题说明行列式计算的技巧性和灵活性。

关键词行列式，计算方法，线性方程组。

The Calculation of DeterminantLiuHui（College of Mathematics and Physics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China）Abstract The determinant is the extremely important constituent in the linear algebra theory, it is a basic concept of higher mathematics. The determinant is evolved from and solved the linear equation group, and is applied to solve in the linear equation group first，moreover all has the widespread application in other discipline branches，we can say that it is an important study tool which in mathematics，the physics as well as the engineering course many curricula。

行列式计算方法1、 定义法：适用于0比较多的行列式．2、 按行（列）展开 ─ 降阶．适用于某行（列）0较多的行列式.3、 利用7条基本性质，化为三角形行列式4、 其他方法1）、析因子法例：计算221123122323152319x D x-=-解：由行列式定义知D 为x 的4次多项式．又，当1x =±时，1，2行相同，有0D =， 1x ∴=±为D 的根．当2x =±时，3，4行相同，有0D =， 2x ∴=±为D 的根．故D 有4个一次因式，1,1,2,2x x x x +-+-设 (1)(1)(2)(2),D a x x x x =+-+-令0x =，则112312231223152319D ==-，即：1(1)2(2)12.a ⋅⋅-⋅⋅-=- 3.a ∴=-3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=-+-+-2）、可转为箭形行列式的行列式：箭形行列式：01211122,0,1,2,3.n n i nna b b b c a D c a a i n c a +=≠=箭形行列式解法：把所有的第1i +列(1,2)i n = 的i ic a -倍加到第1列，得：11201()ni i n n i ib c D a a a a a +==-∑注：某些行列式可转为箭形行列式计算，例如12111111)1111na a a a +++12)na x x xa xb x xx a方法：第2至第n 行分别减去第1行，转为箭形行列式，自己练习． 3）、行（列）和相等加于第1列（行）()1 (1)1(1)1)(1)(1)1a b ba nb b b b b b a b a n ba b a b a a n b bbaa nb b aba+-+-=+-+-都加于第列提出公因子()121100()(1)00n b b a b a b a n b a b--=-+--第至第行分别减去第行1 1231123123411341(1))211321132122111221n n n n n n n n b n n n n n n n nn n n n --+---------都加到第列提取公因子123101111(1)20111101111n nn n n n n--+--减去 从最后一行起逐行其前一行111111(1)111121111n n n n n n--+--依第列展开111110(1)200n n n n n n n n ---+- 从最后一行起逐行减去其前一行1111(1)20n nnn n nn---+--从最后一列起逐列加上其前一列(1)(1)1122(1)(1)(1)(1)(1)22n n n n n n nn nn n-+--++=--=-4）、加边法适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同，化简可转为箭形行列式．加边法是计算复杂行列式的方法，应多加体会．a ） 1121221212,0n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++=≠+b ） 12121212120,00n nn n n n a a a a a a a a D a a a a a a a ++++=≠++解：a ）12112122121000n n nn n na a a ab a a D a a b a a a a b +++加边121211001001n na a ab b b ---都减去第一行11111211001b 0(1).ni n i ij nni n i ia a ab b j b a b b b b =-=+=+∑∑第列的倍加于第一列（j=2,3,,n+1）b ） 2112121111222212121111101001n n n nnnnnn n n n a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a ++++----++--++都减去第一行加边1212111111222222223n 21100001011101011120011020112n n nnnnnnn n a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a +++--------------再加边第至列都减去第列12112221220111012120012102022102n nnn a a a a a a a a a +-------- 第列乘以3n 21122(3,42)jj a j n +-=+ 第至列都加于第列第列的倍都加于第列12121111112211122002000002002i n i nn a n a a a a a a a -------∑∑22112,111122(2)(2)[(2)]1122nn n i i n n i j jin a a a a a a a n a n a -=-=-=----∑∑∑注意：A B A CC=5）、三对角型行列式── 递推公式法a ）9500495004900095049n D =解：1121150049594920,549nn n n n D D D D -----=-按第列展开即有 11254(5)n n n n D D D D ----=- 于是有 221232154(5)4(5)4n n n n n n D D D D D D ------=-==-=(6145)n-= 同理有 2221232145(4)5(4)5(6136)5n n nn n n n D D D D D D ------=-==-=-= 即1111545445nn n n n n nn n D D D D D -++-⎫-=⎪⇒=-⎬-=⎪⎭方法总结：先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线形关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D 的值）．0001000100.00001n a b ab a b ab a b b D a b ab a b+++=++）解：121()nn n D a b D abD --+-按第列展开∴ 211221()()n n n n n D a D b D a D b D a D -----=-==- 且 211221()()n n n n n D b D a D b D a D a D-----=-==-而 2221,D a ab b D a b =++=+22221 ();n n n n D aD b a ab b a ab b ---=++--=∴ 22221().n nn n D bD aa ab b a ab a ---=++--=由以上两式解得： 11(1)n n n n a b a b D a bn a a b++⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩6） 拆项法（主对角线上、下元素相同）12)n n a x a a a a x a a D aaa x ++=+解：11221100nnn n a x a a a x a a a a x a a a x a D aa a x aaa--+++++依最后一列拆开1211n n n a x a a a a x a x D aaa--++=+12111n 00000n n n x a x a x D a--+第一个行列式第至列都 减去第列1211n n n x x x a x D --=+1122121232.n n n n n n n D x x xaxD x x x a x D -------=+=+ 继续下去，可得：111221*********.n n n n n n n n n D x x a x x x ax x x x ax x x ax x x x x D -----=+++++但 1212122a x a D a x a x x x aa x+==+++ 所以：121211221323()n n n n n n n D x x x a x x x x x x x x x x x x x --=+++++1212110(1)nn n n i ix x x D x x x a x =≠=+∑当时,注：也可以用加边法做 1111011n nn a a a a a x a x a D aaa x x +-==+-111101,200ni ii na a a x x i n x a x =+≠==∑当时, b ） n a b b b ca b b D cc a b ccc a = 解：000nc b b b a c b b b ca b b a b b D c c a b c a b cccacca-+依第一列拆开111()11n nb b b a b bc a c D c a b c ca -=+-11000()000n nb b b a bc a c D c b a b c bc ba b--=+------11()()n n c a b a c D --=-+-①又：000nbb b b a bc a b b c a b b D c c a b c c a b cccaccca-+依第一行拆开11111()n c a b bb a b D cc a b ccca-=+-11()()n n b a c a b D --=-+-②所以：a b a c ⨯-⨯-①（）-②()，得 ()()nnn c b D c a b b a c -=---()．1[()()]/[(1)]()n nn n n c b D c a b b a c c b c b D a n b a b -≠=----==+--当时，当时，7）、 数学归纳法a ） 证明：12121111111(1)111n n ina a D a a a a a ++==++∑(120n a a a ≠ )证：当1n =时，111111(1)D a a a =+=+，结论成立．假设n k =时结论成立，即1211(1)kk n i iD a a a a ==+∑，则对于1n k =+，将1k D +按最后一列拆开，得：1122111110111111101111011*********11111111k kkk a a a a D a a a ++++++=+++1211101100111011111k k k a a a D a +=+ 121k k k a a a a D +=+ 121121211111(1)(1)kkk k k k i i iia a a a a a a a a a a a ++===+⋅+=+∑∑所以1n k =+时结论成立，故原命题得证．b ） 证明：cos 112cos 112cos cos 2cos 112cos 112cos n D n ααααααα==证： 1n =时，1cos .D α=，结论成立．2n =时，22cos 12cos 1cos 212cos D αααα==-=，结论成立．假设当1n k =-、2k -时结论成立，则当n k =时，将k D 按第k 行展开得：11cos 1012cos 1012cos 2cos (1)102cos 011k kk k kD D ααααα+++=+-111cos 112cos 2cos (1)2cos 2cos 112cos k kk k k k D D D αααααα++--=+-=-由归纳假设，得：12cos cos cos(1)2cos cos cos k D k k k k αααααα+=--=-2cos cos cos cos sin sin k k k αααααβ=-+cos cos sin sin k k αααβ=+cos(1)k α=+于是1n k =+时结论亦成立，原命题得证．c ） 计算：22222121221212n a aa aa D a aa aa=解：分析 12D a =；2222312a aD a a==；2233212412aaD a aaa==；……，于是猜想：(1)nn D n a=+同c )方法用数学归纳法证明（自证）． 8） 有关范德蒙行列式范德蒙行列式：122221212221211112111()n n ni j j i nn n n n n n n nx x x x x x Dx x xxxx x x ≤<≤------==-∏证明： 12222122221211112111n n n n n n nn n n nx x x x x x D x x x x x x ------=1n x 第行开始，每行减去其前一行的倍211222113322112222111110()()0()()0()()n n n n n n n n n nn x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------------1依第列展开2131n 12213212122222132121()()()()()()n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------------提出每列公因子232222131n 12322223111()()()n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x ------2131n 11()()()n x x x x x x D -=---于是：213141n 13242n 22213141n13242n 2()()()() ()()() ()()()() ()()() n n n D x x x x x x x x D x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x --=-------===------- n 1 ()n x x --简写为： 1222212111112111()n n n i j j i nn n n nx x x D x x x x x x x x ≤<≤---==-∏a ） 12222122221212111n nn n n n n n n n nx x x xxxD xxxx x x---=解：比较范德蒙行列式，缺少2n -次幂行，所以应补之．于是考察1n +阶范德蒙行列式122222121111121211111()n n n n n n nnnnnnn x x x x x x x xf x x x x x x x x x----+=（1）121()()()()n i j j i nx x x x x x x x ≤<≤=----∏（2）视x 文字，一方面，由（1）知n D 是行列式()f x 中元素1n x -的余子式.1n n M +，即：1,1,1,1(1)n n n n n n n n n D M A A +++++==-=-于是将()f x 按其第1n +列展开可得()f x 中1n x -的系数为n D -．另一方面，从()f x 的表达式（2）及根与系数的关系知，()f x 中1n x -的系数为：121()().n i j j i nx x x x x ≤<≤-+++-∏∴ 121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤-=-+++-∏∴ 121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤=+++-∏b ） 2221212111nn n n n nxxxD xxx=解：考虑1n +级范德蒙行列式12222212111112121111()n nn n n n n n n n nnx x x x xxxxg x xxxx x x xx----=（3）121()()()()n i j j i nx x x x x x x x ≤<≤=----∏（4）一方面，由（3）知n D 是行列式()g x 中元素的余子式2,1n M +，即32,12,1(1)n n n n D M A +++==-于是将()g x 按其第1n +列展开，即知()g x 中x 的系数为3(1)n n D +-另一方面，由()f x 的表达式（4）知，x 的系数为23121211()()n n n i j j i nx x x x x x x x x x x -≤<≤-+++-∏∴ 323121211(1)()()n n n n n i j j i nD x x x x x x x x x x x +-≤<≤-=-+++-∏∴ 2312121(1)()()n n n n n i j j i nD x x x x x x x x x x x ≤<≤=-+++-∏。

计算行列式的方法方法一，按定义展开计算。

行列式的定义展开计算是最直接的方法，但对于较大的矩阵来说，计算量会非常大。

行列式的定义展开计算是通过对矩阵的某一行或某一列进行展开，然后利用代数余子式的概念进行计算。

这种方法需要耐心和细心，但是可以保证结果的准确性。

方法二，利用性质简化计算。

行列式有一些性质，可以利用这些性质来简化计算。

比如，行列式的某一行（列）乘以一个数然后加到另一行（列）上，行列式的值不变；行列式的两行（列）对换，行列式的值取相反数等。

通过利用这些性质，可以将一个复杂的行列式化简为一个或多个简单的行列式的和或差，从而简化计算的过程。

方法三，高斯消元法。

高斯消元法是一种利用矩阵的初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵或行最简形矩阵的方法。

通过高斯消元法，可以将一个矩阵化为上（下）三角矩阵，然后再计算行列式的值。

这种方法在计算较大的矩阵的行列式时，具有较高的效率和准确性。

方法四，利用特殊矩阵的性质。

对于一些特殊的矩阵，比如对角矩阵、三角矩阵等，它们的行列式的计算可以通过直接取主对角线上元素的乘积来得到。

这种方法适用于特殊结构的矩阵，可以大大简化计算的过程。

方法五，利用行列式的几何意义。

行列式在几何学中有着重要的几何意义，它可以表示向量的数量积、平行四边形的面积、三角形的有向面积等。

通过利用行列式的几何意义，可以将行列式的计算问题转化为几何性质的计算问题，从而得到行列式的值。

综上所述，计算行列式的方法有很多种，每种方法都有其适用的场景和特点。

在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来计算行列式，以达到高效、准确地求解行列式的目的。

希望以上内容对您有所帮助。

行列式的计算方法摘 要：行列式的求解是高等数学中一个非常重要的内容，通常是用行列式的性质和相关定理求解。

通过对课本知识的理解,加上参考网上与课外书有关资料，找出十种行列式的计算方法,整理如下：1． 定义法例 计算行列式0010020010000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n n na aa a n---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n n n nn n a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)00n n nn nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)nnD =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

例3 计算n 阶行列式a b b b b a b b D bb a b bbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b b D a n bb a b a n bb ba +-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba=+-1000[(1)]0000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

1 行列式的概念及性质1.1 行列式的概念n 级行列式nnn n nn a a a a a a a a a212222111211等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a 2121的代数和，这里的n j j j 21是1，2，…，n 的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，带有正号；当n j j j 21是奇排列时，带有负号。

这一定义可写成，这里∑nj j j 21表示对所有n 级排列的求和。

1.2 行列式的性质[1]性质1 行列互换，行列式值不变，即=nn n n n na a a a a a a a a212222111211nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111性质2 行列式中某一行（列）元素有公因子k ，则k 可以提到行列式记号之外，即=nnn n in i i na a a ka ka ka a a a212111211nnn n in i i na a a a a a a a a k 212111211 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个nn nnj j j j j j r j j j nnn n nn a a a a a a a a a a a a 21212121)(212222111211)1(∑-=数乘以此行列式。

事实上，nnn n in i i n a a a ka ka ka a a a212111211=11i i A ka +22i i A ka +in in A ka + =21(i i A a k +22i i A a +)in in A a +nnn n in i i n a a a a a a a a a k212111211= ， 令k =0，如果行列式中任一行为零，那么行列式值为零。

性质3 如果行列式中某列（或行）中各元素均为两项之和，即),,2,1(n i c b a ij ij ij =+=，则这个行列式等于另两个行列式之和。

数学与统计学学院中期报告学院:专业:年级:题目:学生姓名: 学号:指导教师姓名职称:年月日目录1 引言 (1)2行列式性质 (2)3行列式计算方法 (6)3.1定义法 (6)3.2递推法 (9)3.3化三角法 (9)3.4拆元法 (11)3 .4加边法 (12)3.6数学归结法 (13)3.7降价法 (15)3.8利用普拉斯定理 (16)3.9利用范德蒙行列式参考文献......................................................................................................... 错误!未定义书签。

8行列式的概念及应用摘要：本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出行列式的方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理，利用范德蒙行列式。

关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式The concept and application of determinant Summary:This article lists calculated properties of determinants, and then sum up the determinant method, including: Definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered by, mathematical resolution method, cut method, using Laplace theorem, using the vandermonde determinant.Keywords: determinant;Linear equations;;Vandermonde determinant1 引言行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。

行列式的若干计算技巧与方法目录摘要 (1)关键字 (1)1.行列式的概念及性质 (2)n阶行列式的定义 (2)行列式的性质 (2)2.行列式计算的几种常见技巧和方法 (4)定义法 (4)利用行列式的性质 (5)降阶法 (7)升阶法（加边法） (9)数学归纳法 (11)递推法 (12)3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 (14)拆行（列）法 (14)构造法 (17)特征值法 (18)4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 (19)三角形行列式 (19)“爪”字型行列式 (19)“么”字型行列式 (21)“两线”型行列式 (22)“三对角”型行列式 (23)范德蒙德行列式 (25)5.行列式的计算方法的综合运用 (26)降阶法和递推法 (27)逐行相加减和套用范德蒙德行列式 (27)构造法和套用范德蒙德行列式 (28)小结 (29)参考文献 (30)学习体会与建议 (31)摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法．本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法．如：化三角形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及Vandermonde 行列式、“两线型”行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式．并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征．关键词：行列式 计算方法1．行列式的概念及性质 n 阶行列式的定义我们知道，二、三阶行列式的定义如下：22211211a a a a =21122211a a a a ，=333231232221131211a a a a a a a a a .312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++从二、三阶行列式的内在规律引出n 阶行列式的定义． 设有2n 个数，排成n 行n 列的数表nnn n nn a a a a a a a a a212222111211，即n 阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积n 21nj j 2j 1a a a ⑴的代数和，这里n 21j j j 是n 21，，， 的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当n 21j j j 是偶排列时, ⑴带正号；当n 21j j j 是奇排列时, ⑴带负号．即nnn n nn a a a a a a a a a212222111211=()()n21n21n 21nj j 2j 1j j j j j j 1a a a τ∑-，这里∑n21j j j 表示对所有n 级排列求和.行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变．即nna a a a a a a a a a a a a a a a a a n2n1n22212n12111nnn2n12n 22211n 1211= .性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即=nn n2n1in i2i1n11211k k k a a a a a a a a ak nna a a a a a a a an2n1in i2i1n 11211. 性质 3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即11121111211112111221212121212.nnn n n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n=21212111211nnn n in i i in i i na a a a a a a a a a a a 21212111211=0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即=+++nn n n kn k k kn in k i k i n a a a a a a ca a ca a ca a a a a2121221111211nnn n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a 21212111211. 性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号.即nn n n kn k k in i i na a a a a a a a a a a a 21212111211=-nnn n in i i kn k k n a a a a a a a a a a a a21212111211.性质7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即00000nn1-n n,n2n1n 11-n ,11211=a a a a a a a a.2、行列式的几种常见计算技巧和方法 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=.例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x m x D n n n n ---=212121.解：mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解． 2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 . 2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式． 即nn nn nnnnnn B A B C A •=0，nn nn nnnnnn B A B C A •=0. 例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa aa()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n ()()βγβγβγλ--•-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法． 例9计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k •-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -=()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =. 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ．在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n =.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--•+•=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9； 当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法 拆行（列）法 3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析 例11计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-1100010000001100001010001D 133221.110100001100010000110001000001100011000113322113322nn n nn n a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法 三角形行列式 4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a22113332232211312110000 ,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000 . “爪”字型行列式 4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，nnnc a c a c a a b b b2211012，nnn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a nn n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横．4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321. “么”字型行列式 4.3.1 概念形如n nn b b b a a c a c a c 2101122，nnna b c a b c a b c a2221110，n n n c a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--•-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.“两线”型行列式 4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式．4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nnn n a b b b a b a0000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()1221112211000010000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.“三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式． 4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析 例17求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式． 4.6.2 计算方法 通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=ni j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a 1113121122322213211111. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用． 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D =n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .逐行相加减和套用范德蒙德行列式 例20计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ. 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .小结本文主要介绍了行列式计算的一些技巧和方法，还有一些特殊行列式的计算技巧，通过归纳和总结这些技巧和方法，让读者在计算行列式时游刃有余．然而在这么多方法面前，我们需要多观察、多思考，这样便于我们更加轻松地解决有关行列式的问题，也让我们更加灵活的运用这些方法和技巧来解决实际问题．参考文献:[1]北大数学系代数小组. 高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003：50～104.[2]钱吉林. 高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002：24～58[3]刘家保，陈中华，陆一南.若干类型行列式计算方法.佛山科学技术学院学报（自然科学版），2012年3月，30(2).[4]杨鹏辉.行列式的计算技巧.宜春学院报，2011年4月，33（4）.[5]丁冰.三线型行列式的计算.科技通报,2012年2月,28(2).[6]龚德仁.高阶行列式计算的若干技巧.课外阅读（中下）.2012年03期.[7]张新功.行列式的计算方法探讨.重庆师范大学学报（自然科学版），2011年7月,28(4).[8]王爱霞.关于n阶行列式的计算方法与技巧的探讨.佳木斯教育学院学报.2012年第1期.[9] 樊正华，徐新萍.浅谈行列式的计算方法.江苏教育学院学报（自然科学），2011年2月，27(1).[10]卢潮辉.三对角行列式的计算. 漯河职业技术学院学报,2010年3月,9(2).[11] 陈林.求n阶行列式的几种方法和技巧. 科技信息报，2007年第8期.[12]“爪”字型和“么”字型行列式的计算.河北理科教学研究(短文集锦),2006年第4期.学习体会与建议：计算行列式的最重要的一点就是化繁就简。