第八章 强度理论与组合变形-1

第八章 组合变形构件的强度

8．1概 述

到现在为止，我们所研究过的构件，只限于有一种基本变形的情况，例如拉伸(或压缩)、剪切、扭转和弯曲。而在工程实际中的许多构件，往往存在两种或两种以上的基本变形。例如图8—1a中悬臂吊车的横梁AB，当起吊重物时，不仅产生弯曲，由于拉杆BC的斜向力作用，而且还有压缩(图8—lb)。又如图8—2a所示的齿轮轴，若将啮合力P向齿轮中心平移、则可简化成如图8—2b所示的情况。载荷P使轴产生弯曲变形；矩为Cm和Dm的两个力偶则使轴产生扭转变形。这些构件都同时存在两种基本变形，前者是弯曲与压缩的组合；后者则是弯曲与扭转的组合。在外力作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就称为组合变形。

由于我们所研究的都是小变形构件，可以认为各载荷的作用彼此独立，互不影响，即任一载荷所引起的应力或变形不受其他载荷的影响。因此，对组合变形构件进行强度计算，可以应用叠加原理，采取先分解而后综合的方法。其基本步骤是：(1)将作用在构件上的载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每组载荷作用下，只产生一种基本变形；(2)分别计算构件在每种基本变形情况下的应力；(3)将各基本变形情况下的应力叠加，然后进行强度计算。当构件危险点处于单向应力状态时，可将上述应力进行代数相加；若处于复杂应力状态，则需求出其主应力，按强度理论来进行强度计算。

本章将讨论弯曲与拉伸(或压缩)的组合以及弯曲与扭转的组合构件的强度问题。

8．2 弯曲与拉伸 (或压缩) 的组合

在外力作用下，构件同时产生弯曲和拉伸(或压缩)变形的情况，称为弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。图8—1所示悬臂吊的横梁同时受到横向载荷和纵向载荷的作用，这是弯曲与拉伸(或压缩)组合构件的一种受力情况。在工程实际中，常常还遇到这样一种情况，即载荷与杆件的轴线平行，但不通过横截面的形心，此时，杆件的变形也是弯曲与拉伸(或压缩)的组合，这种情况通常称为偏心拉伸(或压缩)。载荷的作用线至横截面形心的垂直距离称为偏心距。例如图8—3a中的开口链环和图8—4a中的厂房柱子，如果将其上的载荷P向杆件横截面的形心平移，则作用于杆件上的外力可视为两部分：一个轴向力P和一个矩为PeM0

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265 第十章 应力状态、强度理论与组合变形

在前面各章中，已经讨论了杆件的拉伸与压缩、圆轴的扭转和梁的弯曲三类基本变形。研究问题的基本方法都是以力的平衡方程、变形的几何协调方程及力与变形间的物理方程为主线，得到构件的内力，进而讨论截面的应力，并由此写出强度条件来控制设计的。承受拉伸与压缩的杆件，横截面上是由轴力引起的正应力；承受扭转的圆轴，横截面上是由扭矩引起的剪应力（最大值在外圆周处）；承受弯曲的梁，横截面上有由弯矩引起的正应力（最大值在离中性轴最远处）及由剪力引起的剪应力（最大值在中性轴上）。所建立的强度条件，都是由单一的最大应力（最大正应力或最大剪应力）小于等于相应的许用应力描述的。当某危险点处于既有正应力又有剪应力的复杂状态时，如何判断其强度是否足够？这是本章要讨论的问题。

§10.1 应力状态

10.1.1 平面应力状态的一般分析

若构件只在xy平面内承受载荷，在z方向无载荷作用，则构件中沿坐标平面任取的六面体微元在垂直于z轴的前后二个面上无内力、应力作用。其余四个面上作用的应力都在xy平面内，此即平面应力状态。图10.1示出了平面应力状态的最一般情况。

在垂直于x轴的左右二平面上作用有正应力x和剪应力xy，在垂直于y轴的上下二平面上作用有正应力y 和剪应力yx。且由剪应力互等定理可知必有xy=yx=。现在讨论图中虚线所示任一斜截面上的应力，设截面上正法向n与x轴的夹角为。 o x

图10.1 平面应力状态分析 x y

x y

y yx

yx xy xy

x xy

y yx 

   n

x

b a y —————————————————— 工程力学 ————————————————

266 单位厚度的微元oab如图，截面oa上作用的应力为x和xy，沿x、y方向的内力分别为xabcos和xyabcos；截面ob上作用的应力为y 和yx，沿x、y方向的内力分别为yxabsin和yabsin；设斜截面ab上的应力为n 和n，则斜截面上沿法向、切向的内力则为nab和nab。将上述各力投影到x、y轴上，有平衡方程：Fx=nabcosn absinx abcosyx absin

习 题

[8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知ml8.0，kNF5.21，kNF0.12，试求危险截面上的最大正应力。

解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力：

yzyyzzWlFWlFlFWMWM211max2

式中，zW，yW由14号工字钢，查型钢表得到3102cmWz，31.16cmWy。故

MPaPammNmmN1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.236363363max

[8-2] 矩形截面木檩条的跨度ml4，荷载及截面尺寸如图所示，木材为杉木，弯曲许用正应力MPa12][，GPaE9，许可挠度200/][lw。试校核檩条的强度和刚度。 ABlmkN/6.1图习题28m11.0m16.0'03426zyC

解：（1）受力分析

)/(431.13426cos6.1cos'0mkNqqy

)/(716.03426sin6.1sin'0mkNqqz

(2)内力分析

)(432.14716.0818122max,mkNlqMzy

)(864.24432.1818122max,mkNlqMyz

（3）应力分析

最大的拉应力出现在跨中截面的右上角点，最大压应力出现在左下角点。

zzyyWMWMmax,max,max

式中，32232266761101606mmhbWy

32246933361601106mmbhWz

MPammmmNmmmmN54.1046933310864.232266710432.13636max

（4）强度分析

liluchang1§8-1 组合变形和叠加原理一、组合变形的概念：构件的基本变形：拉压、剪切挤压、扭转、弯曲。由两种或两种以上基本变形的组合---称为组合变形。如：梁的弯曲和拉压变形的组合。轴的扭转和弯曲变形的组合。梁的弯曲与剪切变形的组合（横力弯曲）。第八章组合变形liluchang2李禄昌3liluchang4二、叠加法---解决组合变形问题的基本方法*：1、叠加原理：复杂外力进行简化、分解为几组静力等效载荷。→ →每一组载荷对应着一种基本变形。→ →分别计算一种基本变形的内力、应力、应变、挠度。→ →将所有结果叠加，便是构件发生组合变形时的内力、应力、应变、挠度。2、叠加原理的几个原则*：⑴、分量（内力、应力、应变、位移）与外力成线性关系。⑵、与外力加载的先后顺序无关，⑶、材料服从胡克定律（线弹性变形）。⑷、应用原始尺寸原理。李禄昌5注意：各分量叠加时，同方向的相同分量可以用代数和叠加。如：正应力与正应力、切应力与切应力。3、叠加原理应用的基本步骤：xx(1) 、将载荷进行分解，产生几种基本变形;（2）、分析每种基本变形，确定危险截面；（3）、计算构件在每种基本变形情况下的危险截面内的应力；（4）、将各基本变形情况下的应力叠加，确定最危险点；**（5）、计算主应力，选择适合的强度理论，进行强度校核。而不同方向的分量，应采用不同的求和方法，如：正应力与切应力之间。22px不要用这个公式。李禄昌6斜弯曲PyzxyzlPzPyP不考虑剪应力KkyzzyMzMyIIsincoszyPzPyIIcosyyyMzPzIIsin,zzzMyPyII如果是圆截面？李禄昌7§8-2 弯曲与拉伸的组合变形一、受力及变形特点：李禄昌8xyzlFF轴向拉伸F偏心拉伸zMyM附加力偶李禄昌91、轴向力：产生拉压正应力:12xxzNxMxyAI注意两个应力正负号。二、应力分析：注意应力作用点的位置。3、各载荷在横截面上产生正应力。可以用代数和直接叠加。4、对于组合变形，根据叠加原理，可得任一横截面上某一点的总应力为：1xNxA2xzMxyI2、横向力：产生弯曲正应力:李禄昌10注意两个应力正负号。注意：利用该强度条件，可以解决三类问题。但在确定相关尺寸（选型）时，A、W与截面尺寸有关，此公式为一元三次方程。常采用一种简化方法：当弯曲正应力为主要影响因素时，可以先按弯曲强度条件进行初步计算，将结果放大，再代入上式进行强度校核。5、梁的强度条件：zNMAW注意应力作用点的位置。12xxzNxMxyAI李禄昌11+=+AFcmax,tmax,cAFWFltmaxAFWFlcmax中性轴李禄昌12例题1：图示梁AB由两根槽钢组成，[]=120MPa，P=8kN，梁的自重不计，试选择槽钢的型号。解：（1）外力计算：当载荷移动到梁的端点B时，取横梁AB为研究对象，受力分析，计算得：xyyNxN26cNkN2212.8xyNkNNkN224.8AxAyNkNNkN⑵、梁的变形分析：梁在外力Nx作用下，AC段受到压缩；在外力P、Ny作用下，AB段发生弯曲变形。画出梁的内力图。。李禄昌13⑵、画出梁的内力图如图所示。⑶、梁的强度条件：zxWMAN梁上C截面（极左侧）为危险截面，其下边缘处产生最大压应力。（上边缘处产生最大拉应力）选型计算常采用一种简化方法：先按弯曲强度条件进行初步计算，将结果放大，再代入组合变形强度条件进行强度校核。NxNy不考虑剪应力李禄昌14⑷、先不考虑轴力的影响，按弯曲强度进行估算：zMW由⑸、根据组合变形强度条件，进行强度校核：10422xzNMMPaAW3212.662 15.7 zWcmAcm查附表选取槽钢型，则其，注意：没有考虑剪应力33100 50 .zzWcmWcm得，一根槽钢的xy故该梁满足强度要求。李禄昌152mm15000Amm750z47mm1031.5yImm1251z解：（1）、计算横截面的形心、面积、惯性矩：FF35015015050500z1z1yy例题2：压力机铸铁框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用拉应力[t]＝30MPa，许用压应力[c]＝120MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。2125125222752515050zyzIzdAzdzzdz李禄昌16（2）、立柱横截面的内力：FFNN.m10425107535033FFMF350M1501505050FN（3）立柱横截面的最大应力：0.maxNtyMzFIA注意：对于脆性材料应分别校核抗拉、抗压强度。轴向拉应力弯曲正应力max.cmax.t353425100.0755.31101510667PaFFF李禄昌171.maxNcyFMzIA（4）、求压力F ：ttF667max.由N4566710306676KFt得ccF934max.由N5.128934101209346KFc得45kNF 许可压力为1501505050轴向拉应力弯曲正应力max.cmax.t353425100.125934Pa5.31101510FFF0.max667PaNtyMzFIAF李禄昌18解：⑴、由于半圆槽存在，使外力P 对截面产生偏心拉伸，其偏心距为：0.5cm2re⑵、截面1-1的轴力和弯矩分别为：80kN, 800000.005400NmNPMPePPbrePPMM11例题3已知如图所示的钢板宽度b =8cm , 厚度=1cm , 槽半径r =1cm , P =80kN , 钢板许用应力[]=140MPa。试对此钢板进行强度校核。李禄昌19⑶、轴力N 和弯矩在半圆槽底部的a点处都引起拉应力，a点即为危险点。最大应力为：计算结果表明，钢板在截面1-1处的强度不够。造成钢板强度不够的原因，是由于偏心拉伸而引起的弯矩Pe，使截面1-1的应力明显增加。如何解决此类问题？brePPMM11maxtmax12ttt6163.310Pa163.3MPamax2()()6tPPebrbr注意：还有应力集中问题。李禄昌20为了保证钢板具有足够的强度，在允许的条件下，可在圆槽的对称位置再开一圆槽，这样就避免了偏心拉伸。MPa140MPa3.133)2(rbP钢板在截面1-1处满足强度条件。此时截面1-1上的轴向拉应力为：PP11brt如何使带有切口的纸条承受更大的拉力？李禄昌21例题4 矩形截面柱如图所示，F1的作用线与杆轴线重合，F2作用在y轴上。已知:F1= F2=80kN，b=24cm，h=30cm。如要使柱的m-m截面只出现压应力，求F2的偏心距e。F1F2mmF1mmF2yzebhzM李禄昌22解：（1）轴力产生压应力：（2）弯矩产生的最大正应力：AFFAF21N6/22bheFWMzz（3）为了保证整个截面只有压应力：2212()/6FFAbheF得：左侧为拉应力保证左侧为压应力12220/6FFFeAbhF1mmF2zMyzebh右侧为压应力李禄昌23AFWFltmax中性轴如果构件材料为铸铁，横截面上存在拉应力，不太好吧？如何才能使构件横截面上只有压应力？中性轴处于什么位置？对于每一个横截面，都有一个封闭的区域，当压力作用于这一个封闭的区域时，截面上只有压应力。这个封闭的区域称为截面核心。F1F2mm李禄昌24作业：8—3、6李禄昌25§8-4 弯扭组合变形一、轴的分类：轴类零件是机械工程中常见的零件，轴类零件一般都是圆形截面构件。根据其所起的作用与所受载荷的不同，分为：1、心轴：只受弯矩作用。如：纯弯曲的梁、自行车前后轴。2、传动轴：只受扭矩作用。如：汽车传动轴。3、转轴：既受弯矩作用，又受扭矩作用。如：自行车中轴。转轴是典型的弯扭组合变形轴。轴类零件通常用塑性材料---钢。李禄昌26liluchang27李禄昌28在弯扭组合变形中，弯矩M引起弯曲变形，产生弯曲正应力σ，方向垂直于横截面；扭矩T引起扭转变形，产生扭剪切应力τ，方向平行于横截面；, MPlTPa二、弯扭组合变形的强度分析：, zpMyTII, 2zpzMTTWWW只适用于弯扭组合变形下的圆形截面杆。李禄昌29WMpWT轴上点的应力状态：利用第三强度理论确定强度条件：可以直接利用公式进行计算公式中应用W，而不是Wp李禄昌30利用第四强度理论确定强度条件：可以直接利用公式进行计算公式中应用W，而不是Wp只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆WMpWT轴上点的应力状态：李禄昌31例题1：轴AB由电动机通过联轴器带动，输入功率为13KW，轴的转速为120 r/min，作用在截面A上的扭矩为m 1 ，带轮安装在截面E处，产生的横向力F=20KN，阻力偶矩为m 2 ，轴承C、B间距L=200mm。轴用材料为Q235，轴的直径为40 mm,许用应力[σ]=160MPa。试按第三或第四强度理论校核轴的强度。解：⑴、传动轴变形情况分析：扭矩m1、m 2 引起轴上AE段发生扭转变形，横向力F引起轴上CB段发生弯曲变形。⑵、作内力图：轴的弯矩图和扭矩图如图所示。李禄昌32由图可见E截面为危险截面，此截面的弯矩和扭矩分别为：5004EFLmNm⑶、应用第三强度理论进行强度校核：故该轴不能满足强度要求。195491034PTmNmn李禄昌33⑷、应用第四强度理论进行强度校核：虽相当应力大于许用应力，但不超过许用应力的5%，故该轴满足强度要求。李禄昌34例题2：某齿轮轴，转速n=265r/min、传递功率N=10kW、直齿轮1的分度圆D1=396mm，直齿轮2的分度圆D2=168mm，=20o，轴的直径d=50mm，材料的[]=55MPa。?试校核轴的强度。注意：轴上C、D处两齿轮的啮合力不在同一平面内，故该轴受到空间力系作用。可将其转化为平面力系分析。对于圆截面梁，由于Iz=Iy，故其不发生斜弯曲。是双向弯曲?斜弯曲?平面弯曲?BACDyzx2P2zP2yP1P1zP1yP1P1zP1yP啮合点在上。啮合点在后。2P2zP2yP李禄昌35建立空间坐标系Oxyz, 将啮合力分解为切向力和径向力；再将两个切向力和径向力分别向齿轮中心平移，同时加一附加力偶TC和TD。齿轮的法向力未知?怎么办?BACDyzxDT2zP2yP1zP1yPCTAZAYBZBY解：1、将结构受力进行简化，画出计算简图:李禄昌362、计算外力：TC 和TD 使轴产生扭转，P1y 与P2y 和P1z 与P2z 则分别使轴在平面Oxy和Oxz内发生弯曲。1095499549360Nm265CDNTTn由：22223614300N0.168DyTPD1120664NyzPPtg，BACDyzxDT2zP2yP1zP1yPCTAZAYBZBY1P1zP1yP2P2zP2yP1122360 1823N0.396CzTPD得:22201565NzyPPtg