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第九章直线回归与相关

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直线回归和相关

直线回归和相关

第九章直线回归和相关知识目标：●了解相关与回归的概念，两者联系与区别；●了解相关与回归的种类、意义以及研究中应注意的问题；●了解决定系数与相关系数的关系，决定系数的特点及应用；●掌握简单直线相关与回归分析的方法与步骤。

能力目标：●学会简单直线回归分析的方法；●学会简单直线相关分析的方法。

我们都知道作物的产量与施肥量的关系，在施肥量适宜的情况下作物产量较高，施肥量不足则作物的产量较低。

但在农业生产实践中，两块同样面积土地上即使施肥量完全相同，其产量也不会相等，也就是说作物的产量与施肥量这两个变数之间存在一定的关系，但又不存在完全确定的函数关系。

这样的两个变数之间的关系怎样进行统计分析将是本章要介绍的内容。

第一节直线回归一、直线回归和相关的概念（一）直线回归和相关的概念为了研究这些有一定关系的两个或两个以上的变数间的关系，必须将它们放在一起，研究其关系，找出关系的性质和密切程度，这种研究方法，在统计上称为回归与相关的研究。

在研究过程中，由于不同的划分标准，回归与相关可分为不同的类型。

按照所研究的变数数目的多少，可分为简单相关和简单回归与复相关和复回归两种类型。

前者如研究玉米的叶面积指数与亩产量、小麦的亩产量与每平方米的有效穗数、果穗长与果穗粗的关系等等，即仅仅是研究两个变数之间的相互关系，而不涉及两个变数之外的任何事物的统计方法；后者如研究钾肥、氮肥、磷肥的施用量与作物产量或者灌水、施肥、温度、光照与作物产量的关系等等，即研究的是两个或两个以上的变数与一个变数之间的关系的统计方法。

按照所研究的变数在图形上表现出来的特点，将回归与相关分为直线回归和直线相关与曲线回归和曲线相关两种类型：如两个变数之间的关系大体表现为直线关系的为直线回归和直线相关；两个变数之间的关系可用曲线来描述的是曲线回归和曲线相关。

本章将讨论有一定联系的两个变数的直线回归与直线相关的有关问题。

对于具有一定联系的两个变数，可分别用变数符号Y和X表示。

第九章 直线相关与回归

第九章 直线相关与回归

第九章直线相关与回归[例9.1] 测得某地15名正常成年男子的身高X/cm、体重Y/kg如表1，试计算X和Y之间的相关系数r。

解：在SPSS中可以计算Pearson相关系数。

操作如下：一、操作：Analysis->Correlate->Bivariate用鼠标选中变量X和Y，然后选入右侧，选择Pearson相关系数，操作完毕如下图：二、结果见下：SPSS给出相关系数交叉表，可以看出X和Y的相关系数为0.599，p=0.000。

可以认为X和Y线性相关，并且有统计意义。

[例9.2] 为了研究3岁至8岁男孩身高与年龄的规律，在某地区在3岁至8岁男孩中随机抽样，共分6个年龄层抽样：3岁，4岁，…，8岁，每个层抽3名男孩，共抽18名男孩。

资料列于表2。

解：本题需要计算回归方程式，在SPSS中可以直接菜单完成。

操作如下：一、操作：Analysis->Regression->Linear用鼠标选中变量X和Y，分别选入自变量和应变量对话框，操作完毕如下图：二、主要结果见下首先给出方差分析表，由p=0.000，可以认为回归模型有统计意义。

根据回归系数得到回归方程式为：Y=75.363+6.257X。

由p=0.000，可以认为回归系数有统计意义。

[例9.3] 调查了某地区10个乡的钉螺密度与血吸虫感染率/%数据如表3。

试分析该地区螺密度与感染率之间有无相关关系？解：本题选用Spearman秩相关，在SPSS中操作如下：一、操作：Analysis->Correlate->Bivariate用鼠标选中变量X和Y，分别选入右侧对话框，并且选择Spearman相关系数，操作完毕如下图：二、主要结果见下：可见Spearman相关系数为0.817，p=0.004。

可以认为Spearman相关系数有统计意义。

《直线回归和相关》课件

《直线回归和相关》课件

离群值检测
识别可能对模型产生重大影响的异常观测值。
多重共线性和VIF检验
多重共线性指自变量之间存在高度相关性，VIF检验帮助我们发现和解决这个问题。
残差的正态性检验
根据残差的正态性检验结果，判断回归模型是否符合正态分布假设。
残差的同方差性检验
同方差性检验帮助我们检查回归模型的残差是否具有同一方差。
2 负相关
相关系数接近-1，变量反向变化。
3 无相关
相关系数接近0，变量之间无线性关系。
相关系数的显著性检验
通过假设检验和计算p值来判断相关系数是否显著不等于零。
相关系数的局限性
相关系数只能衡量线性关系，无法捕捉非线性关系和其他可能的因果关系。
回归模型的诊断
残差图
用于检查回归模型中残差的分布是否符合假设。
p值
2
衡量统计结果的显著性，p值越小，结果
越显著。
3
显著性水平
通常使用alpha=0.05作为显著性水平。
偏回归系数的含义及其计算方 法
偏回归系数表示自变量对因变量的影响程度。计算方法包括标准化回归系数 和边际效应。
相关系数和相关性分析
相关系数衡量两个变量之间的线性关系强度，相关性分析帮助我们理解变量 之间的相互依赖关系。
1 线性关系
自变量与因变量之间的关系是线性的。
3 同方差性
观测值的方差相等。
2 独立性
观测值之间相互独立。
4 正态分布
因变量的误差项服从正态分布。
最小二乘法和线性回归
最小二乘法是一种常用的直线回归拟合方法，通过最小化观测值与回归线之 间的误差平方和，找到最佳拟合直线。
假设检验和p值
1
假设检验

第九章 相关与回归分析

第九章 相关与回归分析

第9章相关与回归分析【教学内容】相关分析与回归分析是两种既有区别又有联系的统计分析方法。

本章阐述了相关关系的概念与特点;相关关系与函数关系的区别与联系;相关关系的种类;相关关系的测定方法(直线相关系数的含义、计算方法与运用);回归分析的概念与特点;回归直线方程的求解及其精确度的评价;估计标准误差的计算。

【教学目标】1、了解相关与回归分析的概念、特点和相关分析与回归分析的区别与联系；2、掌握相关分析的定性和定量分析方法；3、掌握回归模型的拟合方法、对回归方程拟合精度的测定和评价的方法。

【教学重、难点】1、相关分析与回归分析的概念、特点、区别与联系；2、相关与回归分析的有关计算公式和应用条件。

第一节相关分析的一般问题一、相关关系的概念与特点（一）相关关系的概念在自然界与人类社会中,许多现象之间是相互联系、相互制约的,表现在数量上也存在着一定的联系。

这种数量上的联系和关系究其实质,可以概括为两种不同类型,即函数关系与相关关系。

相关关系:是指现象之间客观存在的,在数量变化上受随机因素的影响,非确定性的相互依存关系。

例如,商品销售额与流通费用率之间的关系就是一种相关关系。

（二）相关关系的特点1、相关关系表现为数量相互依存关系。

2、相关关系在数量上表现为非确定性的相互依存关系。

二、相关关系的种类1、相关关系按变量的多少,可分为单相关和复相关2、相关关系从表现形态上划分,可分为直线相关和曲线相关3、相关关系从变动方向上划分,可分为正相关和负相关4、按相关的密切程度分,可分为完全相关、不完全相关和不相关三、相关分析的内容相关分析是对客观社会经济现象间存在的相关关系进行分析研究的一种统计方法。

其目的在于对现象间所存在的依存关系及其所表现出的规律性进行数量上的推断和认识,以便为回归分析提供依据。

相关分析的内容和程序是:(1)判别现象间有无相关关系(2)判定相关关系的表现形态和密切程度第二节相关关系的判断与分析一、相关关系的一般判断（一）定性分析对现象进行定性分析,就是根据现象之间的本质联系和质的规定性,运用理论知识、专业知识、实际经验来进行判断和分析。

统计学原理第九章(相关与回归)习题答案

统计学原理第九章(相关与回归)习题答案

第九章相关与回归一．判断题部分题目1：负相关指的是因素标志与结果标志的数量变动方向是下降的。

（）答案：×题目2：相关系数为+1时，说明两变量完全相关；相关系数为-1时，说明两个变量不相关。

（）答案：√题目3：只有当相关系数接近+1时，才能说明两变量之间存在高度相关关系。

（）答案：×题目4：若变量x的值增加时，变量y的值也增加，说明x与y之间存在正相关关系；若变量x的值减少时，y变量的值也减少，说明x与y之间存在负相关关系。

（）答案：×题目5：回归系数和相关系数都可以用来判断现象之间相关的密切程度。

（）答案：×题目6：根据建立的直线回归方程，不能判断出两个变量之间相关的密切程度。

（）答案：√题目7：回归系数既可以用来判断两个变量相关的方向，也可以用来说明两个变量相关的密切程度。

（）答案：×题目8：在任何相关条件下，都可以用相关系数说明变量之间相关的密切程度。

（）答案：×题目9：产品产量随生产用固定资产价值的减少而减少，说明两个变量之间存在正相关关系。

（）答案：√题目10：计算相关系数的两个变量，要求一个是随机变量，另一个是可控制的量。

（）答案：×题目11：完全相关即是函数关系，其相关系数为±1。

（）答案：√题目12：估计标准误是说明回归方程代表性大小的统计分析指标，指标数值越大，说明回归方程的代表性越高。

（）答案×二．单项选择题部分题目1：当自变量的数值确定后，因变量的数值也随之完全确定，这种关系属于（）。

A.相关关系B.函数关系C.回归关系D.随机关系答案：B题目2：现象之间的相互关系可以归纳为两种类型，即（）。

A.相关关系和函数关系B.相关关系和因果关系第 3 页共27页C.相关关系和随机关系D.函数关系和因果关系答案：A题目3：在相关分析中，要求相关的两变量（）。

A.都是随机的B.都不是随机变量C.因变量是随机变量D.自变量是随机变量答案：A题目4：测定变量之间相关密切程度的指标是（）。

第9章 直线回归与相关分析

第9章 直线回归与相关分析

∑ x ∑ y = 66.7857 xy −
n
b=
SPxy SS x
66.7857 = = 1.2500 53.2143
a = y − bx = 20.7714 − 1.2550 × 5.4286 = 13.9585
即回归方程为
ˆ y = 13 .9585 + 1 .2550 x
二、直线回归的显著性检验 − y ） = ∑ ( y （
2
即
ss y = ss回归 + ss离回归
计算式： 计算式：
Df总=n-1
SS y = ∑ y − y） （
2
的不同而引起的. 回归平方和简记作U，它是由x的不同而引起的 df回归=1
ˆ SS回归 = ∑( y − y ) =
ˆ y i 是α+βxi的估计值
回归方程的基本条件（性质）： 回归方程的基本条件（性质）： 性质1 性质1 性质2 性质2 性质3 性质3
ˆ 最小； Q = ∑( y − y)2 = 最小；
ˆ ∑( y − y) = 0
； 。
回 归 直 线 通 过 点 (x, y)
2
ˆ Q = ∑( yi − yi ) = ∑[ yi − (a + bxi )]
在相关模型中， 在相关模型中，其x和y变量是平行变化 变量是平行变化 关系，不能区别哪一个是自变量， 关系 不能区别哪一个是自变量，哪一个 不能区别哪一个是自变量 是依变量。 是依变量。 相关分析目的：确定两个变量在数量关 相关分析目的： 系上的密切程度和性质。 系上的密切程度和性质。不能用一个或多 个变量去预测、控制另一个变量的变化。 个变量去预测、控制另一个变量的变化。
∑y
2
= 3104.20

(临床医学)第9章直线相关与回归

系数等指标的含义和解释。
04
02 直线相关
直线相关的概念
直线相关是指两个变量之间存在一种线性关系，即当一个变量发生变化时，另一个变量也会按照一定 的方向和强度发生变化。
直线相关可以用相关系数r来表示，r的取值范围为-1到1，r值为正表示正相关，r值为负表示负相关，r值 为0表示无相关。
直线相关的类型
研究非线性关系，即因变量和自变量之间的 关系不是直线关系。
多元线性回归
研究于研究分类因变量的概率预测，常用于二 元分类问题。
回归分析的应用场景
预测模型
通过回归分析建立预测模型，根据已知的自 变量预测未来的因变量值。
病因研究
在医学和流行病学中，回归分析用于研究疾 病发生的危险因素和病因。
响。
学习曲线回归分析，掌握非线 性关系的建模方法。
结合实际案例，实践应用回归 分析解决实际问题。
关注回归分析的最新研究进展 ，提高自己的统计素养。
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感谢您的观看
01
02
03
正相关
当一个变量增加时，另一 个变量也相应增加，呈正 向变化趋势。
负相关
当一个变量增加时，另一 个变量减少，呈反向变化 趋势。
无相关
两个变量之间不存在线性 关系。
直线相关的应用场景
流行病学研究
通过分析疾病发病率与环境因素之间的直 线相关关系，了解疾病发生的原因和机制。
生物统计学
在生物统计学中，直线相关分析被广泛应 用于基因与表型、环境因素与健康状况等
05 案例研究
案例一：心血管疾病与年龄、血压的关系
总结词
心血管疾病与年龄、血压存在显著相关性，年龄越大、血压越高，心血管疾病风险越高。

第九章双变量线性回归与相关


1 ( X X )2 SYˆ SY .X n ( X X )2
当X
X时，SYˆ
SY X n
Syˆ 是 Yˆ 的标准误。
例 计算当X0=150时， yˆ 95%可信区间。 yˆ 的95%可信区间为：
（46.52, 51.75）Kg
其含义是：当身高为150cm时，15岁男童的体重
的总体均数为49.135kg（点值估计），95%可信区 间为：（46.52, 51.75）Kg （区间估计）。
男性：身高(cm)-105＝标准体重(kg) 女性：身高(cm)-100＝标准体重(kg)
北方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+50(kg) 南方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+48(kg)
回归与相关是研究变量之间相互关系的统计分 析方法，它是一类双变量或多变量统计分析方法 （本章主要介绍双变量分析方法），在实际之中有 着广泛的应用。
如年龄与体重、年龄与血压、身高与体重、体 重与肺活量、体重与体表面积、毒物剂量与动物死 亡率、污染物浓度与污染源距离等都要运用回归与 相关方法对资料进行统计分析。
变量之间的关系： （１）直线关系（线性 关系）； （２）曲线关系（非线 性关系）。 在回归与相关分析中， 直线回归与相关是最简单 的一种，是本章主要内容。
变量间的关系 函数关系： 确定的关系。 例如园周长与半径：y=2πr 。
回归关系：不确定的关系（随机的关系）。 例如血压和年龄的关系，称为直线 回归 (linear regression)。
北方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+50(kg)
变量间的回归关系 由于生物间存在变异，故两相关变量之间的关 系具有某种不确定性，如同性别、同年龄的人，其 肺活量与体重有关，肺活量随体重的增加而增加， 但体重相同的人其肺活量并不一定相等。因此，散 点呈直线趋势，但并不是所有的散点均在同一条直 线上，肺活量与体重的关系与严格对应的函数关系 不同，它们之间是一种回归关系，称直线回归。这 种关系是用直线回归方程来定量描述。

(整理)统计学原理第九章相关与回归习题答案

第九章相关与回归一．判断题部分题目1：负相关指的是因素标志与结果标志的数量变动方向是下降的。

（）答案：×题目2：相关系数为+1时，说明两变量完全相关；相关系数为-1时，说明两个变量不相关。

（）答案：√题目3：只有当相关系数接近+1时，才能说明两变量之间存在高度相关关系。

（）答案：×题目4：若变量x的值增加时，变量y的值也增加，说明x与y之间存在正相关关系；若变量x的值减少时，y变量的值也减少，说明x与y之间存在负相关关系。

（）答案：×题目5：回归系数和相关系数都可以用来判断现象之间相关的密切程度。

（）答案：×题目6：根据建立的直线回归方程，不能判断出两个变量之间相关的密切程度。

（）答案：√题目7：回归系数既可以用来判断两个变量相关的方向，也可以用来说明两个变量相关的密切程度。

（）答案：×题目8：在任何相关条件下，都可以用相关系数说明变量之间相关的密切程度。

（）答案：×题目9：产品产量随生产用固定资产价值的减少而减少，说明两个变量之间存在正相关关系。

（）答案：√题目10：计算相关系数的两个变量，要求一个是随机变量，另一个是可控制的量。

（）答案：×题目11：完全相关即是函数关系，其相关系数为±1。

（）答案：√题目12：估计标准误是说明回归方程代表性大小的统计分析指标，指标数值越大，说明回归方程的代表性越高。

（）答案×二．单项选择题部分题目1：当自变量的数值确定后，因变量的数值也随之完全确定，这种关系属于（）。

A.相关关系B.函数关系C.回归关系D.随机关系答案：B题目2：现象之间的相互关系可以归纳为两种类型，即（）。

A.相关关系和函数关系B.相关关系和因果关系C.相关关系和随机关系D.函数关系和因果关系答案：A题目3：在相关分析中，要求相关的两变量（）。

A.都是随机的B.都不是随机变量C.因变量是随机变量D.自变量是随机变量答案：A题目4：测定变量之间相关密切程度的指标是（）。

第九章 直线回归与相关分析

·
X
四、线性回归的估计 标准误
ˆ )2 最小 由图可知，满足 Q ( y y
而得的线性回归方程：
ˆ 48.5 1.1x y
和实测的坐标点并不完全吻合。所以 称Q为离回归平方和或剩余平方和。
由于在建立回归方程时用了a和b两
个统计数，故Q的自由度df=n-2，
因而，可定义回归估计标准误为：
2
2
2
x x
Hale Waihona Puke 2 SS y 2bSP b 2 SS x SS y SS y
2 SP 2
SS x
2 SP
SS x
SS x
2 SP
SS x
【例9.2】试计算表9.1资料的回归估计标准误。
解：将前面算得的SSy、SP、SSx代入公式
( SP) 2 求得 Q SS y SSx (159 .0444 ) 2 249 .5556 74 .6670 144 .6356
故
s y. x
Q n2
74.6670 3.226 （天） 92
上述计算结果表明，当用回归方程
ˆ 48.5 1.1x y
由3月下旬至4月中旬的积温预测一代三
化螟蛾盛发期时，有一个3.266天的估计标
准误。
ˆ y
它的统计意义是：当X为某一定值时
ˆ 3.266天范围内； 约有68.27%个观察点落在 y ˆ 6.532天范围内； 约有95.45%个观察点落在 y
对于（x 1, y1) 、(x2 , y2)、(x3 , y3) 、
…、(xn , yn)这样一组数据资料，要了解x和y
到底呈何种关系？通常可采用以下方法：
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ˆ yi
七、 ˆ
y ( x xi )
(个体y值)的可信区间
ˆ yi t0.05( ) S ˆ
ˆ yi t0.05( ) S ˆ ˆ
yi
y ( x xi )
yi
t值的自由度为S y. x的自由度n 2
理论上，每个xi对应的y估计值都有一个区 间估计，把这些可信区间的上限和下限连 起来，为两条曲线。把这两条曲线间的空 间称为回归直线的可信区间。
1 r 1 r Z ln 或Z 1.513 lg 1 r 1 r Z值亦可直接查附表9－2 Z值标准误的近似值为： 1 Sz n3 两个Z值差别的标准误为： S ( z1 z2 ) S S
2 z1 2 z2
1 1 n1 3 n2 3
Z1 Z 2 u S ( z1 z2 )
S y. x n2 l xy ˆ 2 ( y y) l yy l xx ( y y)2
2
[ ( x x )( y y )]2
(x x)
2
lyy的分析: p点的纵坐标被回归线、均数y 截成三段 SS总＝SS回＋SS剩 SS ＝ y y ) ： （
– 直线回归分析的任务：找出一条最能代表这些 数据关系的一条直线。 – 方法：一般采用最小二乘法least square method找出一条各实测点与它的纵向距离的平 方和为最小的直线回归方程。又称作最小二乘 回归 – 变量y随变量x而变化，称x为自变量 independent variable，y为应变量dependent variable.
6)直线回归方程图示：在自变量x的实测全 距范围内任取相距较远且易读的两x值，代 入回归方程求y的估计值，在图绘出两点连 成直线。 注意：所绘直线必然通过 ( x , y ) ，若纵坐 标、横坐标无折断号时，将此直线左端延 长与纵轴相交，交点的纵坐标必然等于截 距a，这两点可用来核对回归线绘制是否正 确。
若无充分理由证明超过自变量取值范围还 是直线，应该避免外延
第五节 相关
一、相关系数的意义 说明两变量(x,y)间关系密切程度的统计指标 叫相关系数coefficient of correlation,用r表 示 l
r
2
xy
l xx l yy l
2 xy
r
l xx l yy

bl xy l yy
关联的两种现象勉强作回归分析，即便有 回归关系，也不一定有因果关系，还必须 对两种现象间的内在联系有所认识，即能 从专业理论上作出合理解释或有所依据 2、在进行直线回归分析时，应绘散点图， 当观察点的分布有直线趋势，才适宜作直 线回归分析。散点图还能提示资料有无异 常点，异常点对方程估计影响较大 3、直线回归方程的适用范围一般以自变量 的取值范围为限，在此范围求出y的估计值， 称为内插，超出自变量取值范围称外延。
P Y y-y
y -^ y
^-y y y
X
各实测点离回归直线越近，剩余平方和愈 小，说明直线回归的估计误差愈小 总＝回＋剩 总＝n－1，回＝1，剩＝n－2
SS回＝bl xy
l
2 xy
l xx
b l xx
2
SS剩＝SS 总－SS回
二、实测值围绕回归线的离散度 回归分析时假设：X取某一值时，Y围绕回 归线＋x呈正态分布，Sy.x是其标准差的 估计值。 故可估计出约有95％观测值y在总体回归线 y= ＋x上下1.96个标准估计误差范围内， 见P112图9－3
3、最小二乘法
– 样本含量为n的的样本资料标在(x,y)平面上，可 得n个点，故可确定很多直线，直线回归的主 要目标之一是用实测的x估计y，所以希望估计 的y与实测的y间的误差愈小愈好。即从所有直 线中找到一条直线使估计误差平方和达最小。 ˆ 2 最小 –即
( y y)
二、求直线回归方程的基本方法
八、截距的误差及总体参数的可信区间 由于截距是x=0时y的估计值，
S S y. x 1 x2 n ( xi x ) 2
九、单一个体yi值的范围预测
第三节 回归系数和截距的统计 意义检验
一、回归系数的t检验
b tb , n 2 Sb
Sb S y. x
(x x)
S y.x S ˆ
y ( xi x )

S y. x n
的估计值
ˆ 五、y( xi x ) 的可信区间 ˆ 是总体均数 ˆ y( xi x ) y( xi x )
95％可信区间：
ˆ y( xi x ) t0.05( ) S ˆ
y( xi x )
ˆ
y ( xi x )
2 总
说明未考虑x与Y的回归关系时Y的变异 ˆ SS回＝ y y ) 2：回归平方和 （ 说明在Y的总变异中由于X与Y的直线关系 而使Y变异减少的部分，即总平方和中可以 用X解释的部分 ˆ SS剩＝ ( y y ) 2：剩余平方和 反映X对Y的线性影响之外的一切因素 对Y的变异的作用，即总平方和中 无法用X解释的部分
ˆ y( xi x ) t0.05( ) S ˆ
y( xi x )
t值的自由度为S y. x的自由度n 2
六、 的标准误 ˆ 当xix时， yi 的变异不仅决定于y的误差， 也与回归系数b的误差有关
( xi x ) 2 1 2 S ˆ2 S y. x [ ] 2 yi n (x j x)
3、用回归解释相关
(1)r的平方称为决定系数coefficient of determination
r
2
l
2 xy
l xx l yy

l / l xx l yy
2 xy
SS回 SS总
说明SS总固定不变时，回归平方和的大小 决定了r的大小。回归平方和越接近总平方 和，则r越接近1。r2表示回归平方和在总平 方和中所占的比例，即总变异中可以用回 归解释的部分，说明两变量间的相关关系 的实际意义
n b 2 ( x ) l xx 2 x n y b x a y bx n n ˆ y ( y bx ) bx l xy
x y xy
P110例9－1： 1)由原始数据绘散点图，各点分布呈直线趋 势，故作下列计算 2)求x, y, x2, y2, xy 3)计算x,y的均数，lxx、lyy和lxy 4)求回归系数b和截距a 5)列出回归方程
2
二、回归系数的方差分析
MS回 SS回 / 回 F ＝ MS 剩 SS剩 / 剩
所得结论与t检验相同
三、两个回归系数差别的统计意义检验
b1 b2 t S ( b1 b2 ) 两回归系数差别的标准误： S ( b1 b2 ) 1 1 (S ) ( ) lx1 x1 lx 2 x2
S S y. x
1 x 2 n ( xi x )
2
五、两条回归线高度差别的统计意义检验 当两条回归线的回归系数的差别无统计意义时， 可以用一公共的斜率来拟合此两条回归线。(见 P121，一般了解)
第四节 直线回归方程的应用
一、描述两变量的依存关系 二、利用回归方程进行预测 三、利用回归方程进行统计控制 统计控制：是利用回归方程进行逆估计， 如要求应变量在一定范围波动，可以通过 自变量的取值来实现。 四、应用直线回归方程应注意的问题 1、作回归分析要有实际意义，不能把毫无
(2)剩余平方和相等，但相关系数可相差很 大，相关系数随着直线斜率的增加而增大。 可见相关系数的大小与剩余平方和及回归 系数有关，故相关系数不能作为回归估计 精度的指标。
2 y. x p 2 2 S yx1 (n1 2) S yx2 (n2 2)
两回归系数合并的标准估计误差的平方
2 ( S y . x ) p＝
(n1 2) (n2 2)
P119,例9-3
四、截距的统计意义检验 检验a是否是从总体截距为0的总体中抽样得到 t=a/Sa 自由度为n-2
三、回归系数的标准误 表示：样本回归系数b对总体回归系数进 行估计时误差的大小
Sb S y. x
(x x)
2
求的95％可信区间 bt0.05()Sb ，自由度=n-2
四、ˆ y( xi x ) 的标准误 y的标准误本应由Sy/n求得，但因在直线回 归当中x的影响被扣除后，y方面的变异减 小，故y的标准误，即x=x时y^的标准误为
第二节 直线回归分析中误差及 可信区间
一、标准估计误差
– 估计误差error of estimate：在直线回归中，各 实际值y与由回归方程计算出的估计值之间有一 定的误差，称～。这种离差可以用类似标准差 的式子进行计算，称为标准估计误差standard ˆ error of estimate。由于 y 决定于均数和回归系 ˆ 数，所以自由度为n-2 ( y y)2
2、直线回归方程
– 直线方程：y=a+bx – 直线回归方程：
ˆ y a bx
– a：为回归直线在Y轴上的截距intercept，a>0 表示直线与纵轴的交点在原点的上方，a<0交 点在原点的下方。a=0则回归直线通过原点 – b：回归系数regression coefficient，为直线的 斜率slope，b>o直线从左下走向右上, b<0从左 上走向右下, b=0直线与横轴平行。意义：x每 增(减)一单位，Y平均改变b个单位
r 0 r n2 t r 1 r 2 2 Sr 1 r n2 n 2, 查附表4－1，t值表
Sr为相关系数的标准误 相关系数的统计意义也可直接查相关系数 统计意义界限表(附表9－1，P566)，若不 能直接查得，可用内插法估计
四、两个相关系数差别的统计意义检验 只有当从＝0的总体中随机抽样，各样本 相关系数r的分布才接近正态分布。 若从0的总体中随机抽样，样本相关系数 并不呈正态分布。 数理统计证明：把r按下式转换成Z值时，则 不论为何值，Z值的分布均近似正态分布 P125,例9－4