高考理科数学考点解析不等式选讲

考点14不等式选讲1．（2020·全国高三其他（理））设函数f （x ）＝|2x ﹣1|+mx +2，m ∈R ．（1）若m ＝1，解不等式f （x ）＜6；（2）若f （x ）有最小值，且关于x 的方程2()1f x x x =-++有两个不等实根，求实数m 的取值范围．【答案】（1）5(3,3-；（2）322m -≤<-【解析】（1）当1m =时，()212f x x x =-++，当12x ≤时，()1226f x x x =-++<，得3x >-，综合得132x -<≤，当12x >时，()2126f x x x =-++<，得53x <，综合得1523x <<，综上，不等式的解集为5(3,)3-；（2）当12x ≤时，()122(2)3f x x mx m x =-++=-+，当12x >时，()212(2)1f x x mx m x =-++=++，则1(2)3,2()1(2)1,2m x x f x m x x ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪++>⎪⎩，要使()f x 有最小值，则2020m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得22m -≤≤，要使方程()21f x x x =-++有两个不等实数根，则()y f x =与2()1g x x x =-++有两交点，易知当12x =时，()f x 有最小值122m +，()g x 有最大值54作示意图如图所示：2021届高考理科数学复习《不等式选讲》题型汇总则122m +<54，得32m <-，综合得322m -≤<-.2．（2020·湖北蔡甸汉阳一中高三其他（理））已知函数()22f x x x =--.（1）求不等式()3f x ≥-的解集；（2）若a R ∈，且0a ≠，证明：()14114a f x a-++≥.【答案】（1）{}|15x x -≤≤；（2）见解析.【解析】（1）法一：()2,02232,012,1x x f x x x x x x x -<⎧⎪=--=-≤≤⎨⎪-+>⎩，作出()f x的图象，如图所示：结合图象，函数()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又()13f -=-，()53f =-，所以不等式()3f x ≥-的解集是{}|15x x -≤≤.法二：()223f x x x =--≥-，等价于：0223x x x <⎧⎨-+-≥-⎩或01223x x x ≤<⎧⎨+-≥-⎩或1223x x x ≥⎧⎨-+≥-⎩，解得：10x -≤<或01x ≤<或15x ≤≤，所以不等式()3f x ≥-的解集是{}|15x x -≤≤.（2）由（1）知函数()f x 的最大值是()11f =，所以()1f x ≤恒成立.因为11144111a a aa ++≥-++-11444a a a a =+=+≥，当且仅当12a =±时，等号成立.所以()14114a f x a-++≥.3．（2020·南昌市八一中学高三三模（理））设函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |，ab ＞0.（1）当a ＝1，b ＝1时，求不等式f （x ）＜3的解集；（2）若f （x ）的最小值为2，求41a b+的最小值.【答案】（1）{x |3322x -＜＜}（2）92【解析】（1）原不等式等价于|x ﹣1|+|x +1|＜3，当x ≥1时，可得x ﹣1+x +1＜3，解得1≤x 32＜；当﹣1＜x ＜1时，可得﹣x +1+x +1＜3，得2＜3成立；当x ≤﹣1时，可得﹣x +1﹣x ﹣1＜3，解得32-＜x ≤﹣1.综上所述，原不等式的解集为{x |3322x -＜＜}；（2）f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |≥|b +a |，当且仅当（x ﹣a ）（x +b ）≤0时等号成立.∴f （x ）的最小值为|b +a |，即|b +a |＝2.又∵ab ＞0，∴|b +a |＝|a |+|b |＝2，∴()41411412a b a b a b a b ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭141955222b a a b ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝.当且仅当4b a a b=时，等号成立，∴41a b +的最小值为92.4．（2020·西藏城关拉萨那曲第二高级中学高三月考（理））选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x =-.（1）解不等式：()()124f x f x +++<；（2）已知2a >,求证：()(),2x R f ax af x ∀∈+>恒成立.【答案】（1）3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，（2）详见解析【解析】：（1）解：(1)(2)4f x f x +++<，即14x x -+<，①当0x ≤时，不等式为14x x --<，即32x >-，302x ∴-<≤是不等式的解；②当01x <≤时，不等式为14x x -+<，即14<恒成立，01x ∴<≤是不等式的解；③当1x >时，不等式为14x x -+<，即52x <，512x ∴<<是不等式的解．综上所述，不等式的解集为3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，．（2）证明：2a > ，()()22f ax af x ax a x ∴+=-+-22ax ax a =-+-22ax a ax =-+-≥22222ax a ax a -+-=->，()()2x R f ax af x ，∴∀∈+>恒成立．5．（2020·江苏高三其他）设x ，y ，z 均为正实数，且1x y z ++=，求222111x y z x y z+++++的最小值.【答案】14【解析】()()2222111111x y z x y z x y z x y z ⎛⎫+++++++≥++ ⎪+++⎝⎭因为1x y z ++=，即22241111x y z x y z ⎛⎫++≥ +++⎝⎭22211114x y z x y z ∴++≥+++，当13x y z ===时，等号成立，故222111x y z x y z+++++的最小值为14.6．（2020·四川德阳高三其他（理））已知函数()0f x m =-≥恒成立．（1）求m 的取值范围；（2）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值．【答案】（1）4m ≤；（2）94．【解析】（1）函数()0f x m =+-≥恒成立，即+130x x m +--≥恒成立，设函数()+13g x x x =+-，则()min m g x ≤，又13(1)(3)4x x x x ++-≥+--=，即()g x 的最小值为4，所以4m ≤；（2）由（1）知4n =，正数a ，b 满足21432a b a b +=++，所以()1217474432a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭()()121622432a b a b a b a b ⎛⎫=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭()()222315432a b a b a b a b ++⎡⎤=++⎢⎥++⎣⎦54944+≥=，当且仅当23a b a b +=+即3210b a ==时，等号成立，所以74a b +的最小值为94．7．（2020·河北长安石家庄一中高三月考（理））[选修4-5：不等式选讲]设函数()|1|f x x =+.（1）求不等式()5(3)f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式2()||4f x x a x ++≤+在[1,1]-上有解，求实数a 的取值范围.【答案】(1){}23x x -≤≤(2)24a -≤≤【解析】（1）不等式()()f x 5f x 3≤--，即x 1x 25++-≤等价于1,125,x x x <-⎧⎨---+≤⎩或12,125,x x x -≤≤⎧⎨+-+≤⎩或2,125,x x x >⎧⎨++-≤⎩解得2x 3-≤≤，所以原不等式的解集为{}x 2x 3-≤≤；（2）当[]x 1,1∈-时，不等式()2f x x a x 4++≤+，即x a 2x +≤-，所以x a 2x +≤-在[]1,1-上有解即2a 22x -≤≤-在[]1,1-上有解，所以，2a 4-≤≤．8．（2021·广西钦州一中高三开学考试（理））已知x ，y ，z 均为正实数，且222111149x y z ++=．证明：（1）1111263xy yz xz++≤；（2）222499x y z ++≥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由基本不等式，可得221114x y xy +≥，22111493y z yz +≥，2211293x z xz +≥，所以22211111224933x y z xy yz xz ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭．当且仅当11123x y z ==时等号成立，即22211111149263x y z xy yz xz ++≥++，又由222111149x y z ++=，所以1111263xy yz xz ++≤．（2）由题意知222111149x y z++=，可得()22222249491x y z x y z ++=++⨯()2222221114949x y z x y z ⎛⎫=++⋅++ ⎪⎝⎭()21119≥++=．当且仅当23x y z ==时等号成立，所以222499x y z ++≥．9．（2020·全国高三其他（理））已知变量x 、y 、a 、b 、c 且满足0x a ≥>，y b ≥，02c <≤．（1）解不等式280x x x a y b y a b ++-+--++-≤；（2）若x a c =+，y b c =+，试证明不等式232310x y a b +--≤．【答案】（1）{}02x x <≤；（2）证明见解析.【解析】（1） 所给变量x 、y 、a 、b ，且满足0x a ≥>，y b ≥，故x a x a -=-，y b y b -=-，于是原不等式等价为280x x x a y b y a b ++-+--++-≤．整理为2280x x +-≥，即有20280x x x >⎧⎨+-≤⎩，则有042x x >⎧⎨-≤≤⎩，于是不等式的解为02x <≤，解集为{}02x x <≤；（2）x a c =+ ，y b c =+，根据已知条件有0x a c -=>，0y b c -=>．即有02c <≤．又()()23232323x y a b x a y b x a y b +--=-+-≤-+-()()2323510x a y b c c c =-+-=+=≤，即232310x y a b +--≤成立．10．（2020·广西七星桂林十八中高三月考（理））已知0m n >>，函数1()()f x x n m n =+-.（1）若4m =，1n =，求不等式()6f x >的解集；（2）求证：2()4f x x m --.【答案】（1）1719 33x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭∣或；（2）证明见解析.【解析】（1）依题意，1()3f x x =+，则11()66633f x x x >⇔+>⇔+>或163x +<-，解得173x >或193x <-，故不等式()6f x >的解集为1719 33x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭∣或.（2）依题意，221()44()f x x m x x m n m n --⇔++--，因为()222111()()()x x m x x m m n m n n m n n m n ++-+--=+---，()m n m n =+-，故214()n m n m -，故222144()m m n m n m ++-，当且仅当m =，2n =时等号成立.。

第二十八讲不等式选讲一、柯西不等式：1、定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。

几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=•βα， 而22||b a +=α，22||d c +=β，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：211212)(∑∑∑===≥n i i i n i i n i ib a b a ，其中等号当且仅当nn a b a b a b ===Λ2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。

证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=Λ即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=ni i n i i i n i i b x b a x a x f 121212)(2)()( 由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆，即：0))((4)(4121221≤-=∆∑∑∑===ni i n i i n i i i b a b a ， 即：))(()(121221∑∑∑===≤ni i n i i n i ii b a b a ， 等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a Λ，即等号当且仅当nn a b a b a b ===Λ2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。

目录题型一：作差比较法 ................................................................................................................................................. 1 题型二：重要不等式 ................................................................................................................................................. 2 题型三：绝对值三角不等式 ..................................................................................................................................... 3 题型四：||x a <和||x a >型不等式 ....................................................................................................................... 3 题型五：||||x a x b c -+-≥和||||x a x b c -+-≤型不等式 ............................................................................ 5 题型六：柯西不等式 ................................................................................................................................................. 8 题型七：创新类题目 . (8)不等式选讲题型一：作差比较法【例1】【2013年高考江苏卷】已知0a b ≥>，求证:b a ab b a 223322-≥-【证明1】作差比较法3322(2)(2)a b ab a b --- 作差 22222()()a a b b a b =-+-22()(2)a b a b =-+()()(2)a b a b a b =+-+ 变形因为0a b ≥>，所以0a b +>，0a b -≥，20a b +>，所以()()(2)0a b a b a b +-+≥。

不等式选讲知识集结知识元绝对值不等式的解法不等式的证明知识讲解1．不等式的证明【知识点的知识】证明不等式的基本方法：1、比较法：（1）作差比较法①理论依据：a＞b⇔a﹣b＞0；a＜b⇔a﹣b＜0．②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．（2）作商比较法①理论依据：b＞0，＞1⇒a＞b；b＜0，＜1⇒a＜b；②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．2、综合法（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．3、分析法（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．4、放缩法（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．常用的放缩技巧有：例题精讲不等式的证明例1.'求证：'例2.'已知实数正数x，y满足x+y=1．（1）解关于x的不等式；（2）证明：．'例3.'用分析法证明．'柯西不等式知识讲解1．一般形式的柯西不等式【知识点的认识】柯西不等式的一般形式柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，a n，b1，b2，…b n为实数，则（++…+）•（++…+）≥（a1b1+a2b2+…+a n b n）2．基本不等式的一般形式≥．（a1，a2，…，a n∈R+）例题精讲柯西不等式例1.'已知x，y，z∈R+，且x+y+z=1．（1）若++=2，求x，y，z的值．（2）求证：++≤．'例2.'已知a>0，b>0，c>0，函数f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4．（Ⅰ）求a+b+c的值；（Ⅱ）求a2+b2+c2的最小值．'例3.'不等式的解集为M．（1）求M；（2）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．'当堂练习单选题练习1.已知a2+b2+c2=1，若|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．[8，+∞）B．（-∞，-4]∪[2，+∞）C．（-∞，-1]∪[8，+∞）D．[2，+∞）练习2.已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则（2x-y）2+（2y-z）2+（2z-x）2的最大值是（）A．12 B．20 C．28 D．36练习3.已知x，y，z∈R+且x+y+z=1则x2+y2+z2的最小值是（）A．1D．2B．C．练习4.若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．练习5.若实数x+y+z=1，则2x2+y2+3z2的最小值为（）D．11A．1B．C．练习6.已知a，b∈R，a2+b2=4，求3a+2b的取值范围为（）A．3a+2b≤4 B．-2≤3a+2b≤C．3a+2b≥4 D．不确定填空题练习1.设a，b，m，n∈R，且a2+b2=3，ma+nb=3，则的最小值为__．练习2.函数y=+的最大值是___．练习3.若x2+4y2=5，则x+y的最小值为__，最小值点为_______．练习4.实数x，y满足x2+4|xy|=1，则x2+2y2的最小值是__．练习5.设x，y，z，w∈R，且满足x2+y2+z2+w2=1，则P=xy+2yz+zw的最大值是__．解答题练习1.'（I）若关于x的不等式|x+1|-|x-2|>|a-3|的解集是空集，求实数a的取值范围；（II）对任意正实数x，y，不等式<k恒成立，求实数k的取值范围．'练习2.'已知函数f（x）=m-|x+4|（m>0），且f（x-2）≥0的解集为[-3，-1]。

专题八选修专题第三讲不等式选讲1．绝对值三角不等式．(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋B|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法．(1)不等式|x|<a与|x|>a的解集：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．3．柯西不等式的二维形式．(1)柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则(a21＋a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2(当且仅当a1b2＝a2b1时，等号成立)．(2)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|. (3)二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. 4．柯西不等式的一般形式．柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.5．基本不等式的一般形式．a ＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n (a 1，a 2，…，a n ∈R ＋)．1．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为(A ) A ．2 B. 2 C ．4 D ．6解析：y ＝|x －1|＋|x －6|≥|x－4＋6－x|＝2. 2．不等式3≤|5－2x|<9的解集为(D )A ．[－2，1)∪[4，7)B ．(－2，1]∪(4，7]C ．(－2，－1]∪[4，7)D ．(－2，1]∪[4，7)解析：⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3⇒⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2<x<7，x ≥4或x≤1，得(－2，1]∪[4，7)．3．(2015·皖南八校联考)不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为(A )A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[－2，5]D ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)解析：由绝对值的几何意义易知|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，所以不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a≤4，解得－1≤a ≤4.4．(2015·延边州质检)函数y ＝x 2＋5x ＋15x ＋2(x≥0)的最小值为(B )A ．6B ．7 C.7 D ．9解析：原式变形为y ＝（x ＋2）2＋（x ＋2）＋9x ＋2＝x ＋2＋9x ＋2＋1，因为x≥0，所以x＋2>0，所以x ＋2＋9x ＋2≥6.所以y≥7，当且仅当x ＝1时取等号．所以y min ＝7(当且仅当x ＝1时)．一、选择题1．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是(D ) A ．[－5，7] B ．[－4，6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)解析：当x≤－3时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x －x －3＝2－2x≥10，即x≤－4，∴x ≤－4.当－3<x<5时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x ＋x ＋3＝8≥10，不成立，∴无解．当x≥5时，|x －5|＋|x ＋3|＝x －5＋x ＋3＝2x －2≥10，即x≥6，∴x ≥6.综上可知，不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)，故选D.2．(2015·延边州质检)函数y ＝x 2＋5x ＋15x ＋2(x≥0)的最小值为(B )A ．6B ．7 C.7 D ．9解析：原式变形为y ＝（x ＋2）2＋（x ＋2）＋9x ＋2＝x ＋2＋9x ＋2＋1，因为x≥0，所以x＋2>0，所以x ＋2＋9x ＋2≥6.所以y≥7，当且仅当x ＝1时取等号．所以y min ＝7(当且仅当x ＝1时)．3．若x ，y ∈R 且满足x ＋3y ＝2，则3x＋27y＋1的最小值是(D ) A ．339 B ．1＋2 2 C ．6 D ．7解析：3x＋33y＋1≥23x·33y＋1＝23x ＋3y ＋1＝7.当且仅当3x ＝33y时，即x ＝3y ＝1时取等号．4．设x>0，y>0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y ，则A ，B 的大小关系是(B )A ．A ＝B B ．A<BC ．A ≤BD ．A>B解析：B ＝x 1＋x ＋y 1＋y >x 1＋x ＋y ＋y 1＋y ＋x ＝x ＋y1＋x ＋y＝A ，即A<B.5．设a ，b ，c 为正数且a ＋2b ＋3c ＝13，则3a ＋2b ＋c 的最大值为(C ) A.1693 B.133 C.1333D.13 解析：(a ＋2b ＋3c)⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3）2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(3a ＋2b ＋c)2，∵a ＋2b ＋2c ＝13，∴(3a ＋2b ＋c)2≤1693.∴3a ＋2b ＋c ≤1333，当且仅当a 3＝2b 1＝3c 13时取等号．∵a＋2b ＋3c ＝13，∴a ＝9，b ＝32，c ＝13时，3a ＋2b ＋c 取最大值1333.二、填空题6．不等式1<|x ＋1|<3的解集为(－4，－2)∪(0，2)． 7．不等式|x －8|－|x －4|>2的解集为{x|x<5}．解析：令f(x)＝|x －8|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，－4，x>8，4<x ≤8，当x≤4时，f(x)＝4>2；当4<x≤8，时f(x)＝－2x ＋12>2，得x<5，∴4<x<5；当x>8时，f(x)＝－4>2不成立．故原不等式的解集为{x|x<5}．8．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x|≤k 无解，则实数k 的取值范围是k<1． 解析：∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k<1时，不等式|x －1|＋|x|≤k 无解，故k<1.三、解答题9．(2015·柳州一模)已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a(其中a>0)． (1)当a ＝4时，求不等式的解集； (2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝4时，不等式即|2x ＋1|－|x －1|≤2. 当x<－12时，不等式为－x －2≤2，解得－4≤x<－12.当－12≤x ≤1时，不等式为3x≤2，解得－12≤x ≤23.当x>1时，不等式为x ＋2≤2，此时x 不存在．综上，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－4≤x≤23.(2)设f(x)＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x<－12，3x ，－12≤x≤1，x ＋2，x>1.故f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，＋∞，即f(x)的最小值为－32.所以当f(x)≤log 2a 有解，则有log 2a≥－32，解得a≥24，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞.10．(2014·辽宁卷)设函数f(x)＝2|x －1|＋x －1，g(x)＝16x 2－8x ＋1.记f(x)≤1的解集为M ，g (x)≤4的解集为N.(1)求M ；(2)当x∈M∩N 时，求证：x 2f(x)＋x[f(x)]2≤14.解析：(1)由f(x)＝2|x －1|＋x －1≤1可得⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，3x －3≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x<1，1－x≤1.解⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x －3≤1得1≤x≤43，解⎩⎪⎨⎪⎧x<1，1－x≤1得0≤x<1.综上，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43. (2)由g(x)＝16x 2－8x ＋1≤4，得－14≤x ≤34，∴N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.∴M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.∵当x∈M∩N 时，f(x)＝1－x ，∴x 2f(x)＋x[f(x)]2＝xf(x)[x ＋f(x)]＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14，故要证的不等式成立．11．已知不等式|a －2|≤x 2＋2y 2＋3z 2对满足x ＋y ＋z ＝1的一切实数x ，y ，z 都成立，求实数a 的取值范围．解析：由柯西不等式，得[x 2＋(2y)2＋(3z)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(x ＋y ＋z)2.∴x 2＋2y 2＋3z 2≥611.当且仅当x 1＝2y 12＝3z13时取等号，即x ＝611，y ＝311，z ＝211取等号．则|a －2|≤611.所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1611，2811.。

高考数学不等式知识点解析在高考数学中，不等式是一个重要的知识点，它不仅在函数、几何等多个领域有着广泛的应用，也是考查学生逻辑思维和运算能力的重要内容。

接下来，让我们一起深入了解一下高考数学中不等式的相关知识。

一、不等式的基本性质1、对称性：若 a ＞ b，则 b ＜ a 。

例如，5 ＞ 3，那么 3 ＜ 5 。

2、传递性：若 a ＞ b 且 b ＞ c ，则 a ＞ c 。

比如，8 ＞ 5 ，5 ＞ 2 ，所以 8 ＞ 2 。

3、加法法则：若 a ＞ b ，则 a ＋ c ＞ b ＋ c 。

也就是说，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变。

4、乘法法则：若 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，则 ac ＞ bc ；若 a ＞ b 且 c ＜0 ，则 ac ＜ bc 。

例如，当 2 ＞ 1 ，乘以 3 （正数）得到 6 ＞ 3 ；乘以－2 （负数）得到－4 ＜－2 。

二、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元一次不等式。

解一元一次不等式的一般步骤为：1、去分母（如果有分母的话），但要注意乘以正数时不等号方向不变，乘以负数时不等号方向改变。

2、去括号。

3、移项，将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。

4、合并同类项。

5、系数化为 1 ，根据不等式的性质，确定不等号方向是否改变。

例如，解不等式 2x ＋ 5 ＞ 9 ，首先移项得到 2x ＞ 9 5 ，即 2x ＞4 ，然后系数化为 1 ，得到 x ＞ 2 。

三、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元二次不等式。

解一元二次不等式的关键是求出其对应的一元二次方程的根。

可以通过判别式Δ ＝ b² 4ac 来判断根的情况。

当Δ ＞ 0 时，方程有两个不同的实根 x₁和 x₂（x₁＜ x₂），则不等式的解集为 x ＜ x₁或 x ＞ x₂（大于大根，小于小根）。

2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化专题11 不等式选讲附真题体验及解析【高频考点及备考策略】本部分内容在备考时应注意以下几个方面：不等式选讲也是高考必考内容，重点考查绝对值不等式的解法、不等式的证明及求参数取值范围问题，题型多为解答题，难度为中档、考向预测：(1)绝对值不等式的解法；(2)不等式的证明；(3)绝对值不等式恒成立（存在）问题；必备知识1、绝对值不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立、定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立、2、绝对值不等式的解法(1)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c、②|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c、(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想、②利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想、③通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想、3、证明不等式的基本方法(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法、4、二维形式的柯西不等式若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立、【易错警示】1、应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件、特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立、2、利用基本不等式证明要注意“一正、二定、三相等”三个条件同时成立，缺一不可、3、在去掉绝对值符号进行分类时要做到不重不漏、真题体验1、（2020新课标Ⅰ卷理科T23）已知函数、（1）画出的图像；（2）求不等式的解集、【答案】（1）详解解析；（2）、【解析】（1）因为，作出图象，如图所示：（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：由，解得、所以不等式的解集为、【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题、2、（2020新课标Ⅱ卷理科T23）已知函数、（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围、【答案】（1）或；（2）、【解析】（1）当时，、当时，，解得：；当时，，无解；当时，，解得：；综上所述：的解集为或、（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为、【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型、3、（2020新课标Ⅲ卷理科T23）设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1、（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥、【解析】（1），、均不为，则，；（2）不妨设，由可知，，，、当且仅当时，取等号，，即、【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题、4、（2020江苏卷T23）设，解不等式、【答案】【解析】或或或或所以解集为：【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题、高频考点、热点题型强化考点一绝对值不等式的解法【典例】已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的定义域为实数集R、(1)当a＝5时，解关于x的不等式f(x)>9、(2)设关于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集为A，B＝{x∈R||2x－1|≤3}，如果A∪B＝A，求实数a的取值范围、[解析] (1)当a＝5时，关于x的不等式f(x)>9，即|x＋5|＋|x－2|>9，故有①；或②；或③、解①求得x<－6；解②求得x∈∅，解③求得x>3、综上可得，原不等式的解集为{x|x<－6或x>3}、(2)设关于x的不等式f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≤|x－4|的解集为A，B＝{x∈R||2x－1|≤3}＝{x|－1≤x≤2}，如果A∪B＝A，则B⊆A，所以即求得－1≤a≤0，故实数a的范围为[－1,0]、【备考策略】解决含绝对值不等式问题解形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)的不等式主要有两种方法:①分段讨论法:将数轴分为(-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此处设a<b)三个部分,在每部分区间内去掉绝对值符号并分别列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集;②图像法:作出函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图像,结合图像求解、【类比演练】已知函数、（1）解关于的不等式；（2）设，若关于的不等式的解集非空，求的取值范围、【解析】解：（1）由得，即或、解得或、由得，不成立、∴无实数解、∴原不等式的解集为、（2）∵解集非空，即有解，当时，由得，，∴当时，无解、①当时，不等式化为、∵函数在上为单调递减函数，∴当时，的最小值为、∴、②当时，由得，而（时，等号成立）即的最小值为4、∴、综上所述，的取值范围是、考点二不等式的证明【典例】设a>0，b>0，且a＋b＝＋、证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立、[证明] 由a＋b＝＋＝，a>0，b>0、得ab＝1、(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2、(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾、故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立、【备考策略】本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子作等价变形，再利用基本不等式即可求解；第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明，否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注、【类比演练】已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m 的最大值为M、（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c ＝M，求证：+≥1、【解析】（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|＝5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4、∴M＝4、（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c＝4，即[（a+b）+（b+c）]＝1∴+＝[（a+b）+（b+c）]（+）＝（1+1++）≥（2+2）≥4＝1，当且仅当＝即a+b＝b+c＝2，即a＝c，a+b＝2时，取等号、∴+≥1成立、考点二绝对值不等式恒成立（存在）问题【典例】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|，(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3、(2)如果任意x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围、[解析] (1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，由f(x)≥3有|x－1|＋|x＋1|≥3，据绝对值几何意义求解、|x－1|＋|x＋1|≥3几何意义是数轴上表示实数x的点距离实数1，－1表示的点距离之和不小3，由于数轴上数－左侧的点与数右侧的点与数－1与1的距离之和不小于3，所以所求不等式解集为(－∞，－]∪[，＋∞)、(2)由绝对值的几何意义知，数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于2恒成立，则1与a之间的距离必大于等于2，从而有a∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)、【备考策略】1、求含绝对值号函数的值的两种方法(1)利用|a|－|b|≤|ab|≤|a|＋|b|求解、(2)将函数化为分段函数，数形结合求解、2、恒成立(存在)问题的等价转化f(x)≥Mf(x)≤M任意x 恒成立⇔f(x)min≥Mf(x)max≤M存在x成立⇔f(x)max≥Mf(x)min≤M【类比演练】已知函数f(x)＝|x－5|－|x－2|、(1)若存在x∈R，使得f(x)≤m成立，求m的范围、(2)求不等式x2－8x＋15＋f(x)≤0的解集、[解析] (1)f(x)＝|x－5|－|x－2|＝当2<x<5时，－3<7－2x<3，所以－3≤f(x)≤3，所以m≥－3、(2)不等式x2－8x＋15＋f(x)≤0，即－f(x)≥x2－8x＋15由(1)可知，当x≤2时，－f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；当2<x<5时，－f(x)≥x2－8x＋15，即x2－10x＋22≤0，所以5－≤x<5，即x2－8x＋12≤0，所以5≤x≤6；当x≥5时，－f(x)≥x2－8x＋15，强化训练综上，原不等式的解集为{x|5－≤x≤6}、1、已知函数、（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集为，求的取值范围、【解析】（1）由已知得①；②；③；∵，∴不等式的解集为、（Ⅱ）不等式解集为恒成立，设，则①当时，；②当时，；③当时，、∴、∵恒成立，由，得、∴的取值范围是、2、已知函数、（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围、【解析】（1）当时，不等式可化为，两边平方化简整理得：，解得：，所以，不等式的解集为、（2）当时，恒成立等价于: 恒成立，即或恒成立，所以，即、3、已知函数、（1）若不等式恒成立，求实数的最大值；（2）当时，函数有零点，求实数的取值范围、【解析】XXXXX：（1）因为，所以，即的最大值为、（2），即，所以在上减函数，在上是增函数，所以，由题意得，解得，或，又，所以的取值范围是、4、已知函数、（1）求不等式的解集；（2）已知，M为的最大值，证明：、【解析】解：（1）当时，不等式不成立；当时，解得；当时，不等式恒成立、综上，不等式的解集为、（2）证明：，的最大值为12，即M=12、，，当且仅当时取“=”，，，，即、5、已知分别是的三个内角的对边、（1）若成等比数列，证明：；（2）若，证明：、【解析】证明: （1）依题意可得，因为，所以，（2）要证:,只需证: ,只需证: ,两边平方后化简整理即是: ,由题设知，成立，所以，不等式成立、。

考点53 不等式选讲一、选择题1.（2014·安徽高考文科·Ｔ9）与（2014·安徽高考理科·Ｔ9）相同 若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A.5或8B.1-或5C.1-或4-D.4-或8【解题提示】 以a 为目标进行分类讨论，去掉绝对值符号。

【解析】选D.（1）当a<2时， -31,(1)()1,(1)231,()2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪--<-⎪⎪=-+--≤≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩； （2）当a>2时，-31,()2()1,(1)231,(1)a x a x a f x x a x x a x ⎧--<-⎪⎪⎪=+--≤≤-⎨⎪++>-⎪⎪⎩， 由（1）（2）可得min ()()|1|322a a f x f =-=-+=，解得a=-4或8。

二、填空题2. （2014· 湖南高考理科·Ｔ13）若关于x 的不等式|2|3ax -<的解集为51{|}33x x -<<，则a =【解题提示】求解绝对值不等式。

【解析】由|2|3ax -<得到323<-<-ax ，51<<-ax ，又知道解集为51{|}33x x -<<所以3-=a 。

答案：3-=a3.(2014·广东高考理科)不等式+≥5的解集为 . 【解析】方法一:由2,(1)(2)5,x x x ≤-⎧⎨---+≥⎩得x ≤-3; 由21,(1)(2)5,x x x -<<⎧⎨--++≥⎩无解;由1,(1)(2)5xx x≥⎧⎨-++≥⎩得x≥2.即所求的解集为{x|x≤-3或x≥2}.方法二:在数轴上,点-2与点1的距离为3,所以往左右边界各找距离为1的两个点,即点-3到点-2与点1的距离之和为5,点2到点-2与点1的距离之和也为5,原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.答案:{x|x≤-3或x≥2}.【误区警示】易出现解集不全或错误.对于含绝对值的不等式不论是分段去绝对值号还是利用几何意义,都要不重不漏.4.(2014·陕西高考文科·T15)（文理共用）A.(不等式选做题)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为.【解题指南】本题考查运用柯西不等式求最值的问题.【解析】由柯西不等式得(a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2,即5(m2+n2)≥25,(m2+n2)≥5,所以的最小值为.答案:5.(2014·江西高考文科·T15)x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为.【解题指南】利用绝对值不等式及绝对值的几何意义求解.【解析】由|a|+|b|≥|a-b|知,|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,同理|y|+|y-1|≥1,故|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,所以0≤x≤1且0≤y≤1,即0≤x+y≤2.答案:[0,2]三、解答题6. (2014·福建高考理科·Ｔ21)不等式选讲已知定义在R 上的函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为a ．(1)求a 的值；(2)若,,p q r 是正实数，且满足p q r a ++=，求证：2223p q r ++≥．【解析】(1)∵12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立，∴()f x 的最小值为33a =；…………………………………………………3分(2)由(1)知3p q r ++=，又,,p q r 是正实数，∴22222222()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即2223p q r ++≥.……………………………………………………………7分7. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数f(x) =1x a++x a - (a>0) (1)证明:f ()x ≥2.(2)若f ()3<5,求a 的取值范围.【解题提示】(1)利用绝对值不等式和均值不等式的性质证明.(2)通过讨论脱去绝对值号,解不等式求得a 的取值范围.【解析】(1)由a ＞0，有f （x ）= 1x a ++|x -a |≥()1x x a a +-- = 1a +a ≥2.所以f (x )≥2.（2）f (3)= 13a++|3-a |.当a ＞3时，f (3)=a +1a,由f (3)＜5,得3＜a ＜52+.当0＜a ≤3时，f (3)=6-a +1a,由f (3)＜5＜a ≤3.综上，a 的取值范围是1522⎛++ ⎝⎭.8.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数f(x) =1x a ++x a - (a>0)(1)证明:f ()x ≥2.(2)若f ()3<5,求a 的取值范围.【解题提示】(1)利用绝对值不等式和均值不等式的性质证明.(2)通过讨论脱去绝对值号,解不等式求得a 的取值范围.【解析】(1)由a ＞0，有f （x ）= 1x a + +|x -a |≥()1x x a a +-- = 1a +a ≥2.所以f (x )≥2.（2）f (3)= 13a ++|3-a |.当a ＞3时，f (3)=a +1a ,由f (3)＜5,得3＜a .当0＜a ≤3时，f (3)=6-a +1a ,由f (3)＜5＜a ≤3.综上，a 的取值范围是1522⎛++ ⎝⎭.。