上海初二数学教学课件(11)一元二次方程公公共根问题
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初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题定稿版页数:17
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一元二次方程数学PPT课件
分析：正方形的面积=边长×边长
解：设正方形桌面的边长是
2 = 4
情景思考
问题2：一个数的平方是这个数的
6倍，求这个数？
解：设这个数为，得
2 = 6
思考
观察下列各方程有什么共同点？
2
=4
2
= 6
1 2 1
− = 28
2
2
2 − 75 + 350 = 0
①等号两边都是整式
解：∵一元二次方程
−1≠0
∴ቊ
+1=2
≠1
解得： ቊ
= ±1
∴ = −1
小组讨论
以－5、1、0三个数分别作为一个
一元二次方程的系数和常数项，请
尽可能多的写出满足条件的不同的
一元二次方程？
第一单元 一元二次方程
感 谢 聆 听
部 编 版 九 年 级 数 学 上 册
汇报人：XXX
求c 的值.
解：∵x=-2
∴(−2)2 −3 × −2 + = 0
∴c=-10
课堂测试
3.一元二次方程(m+3)x²+3x+m²-9=0有一个根为0，则
3
m 的值为_____
分析：将x=0带入方程求得m=3或-3，而一元二次方程二
次项系数不等于0，所以m=3
课堂测试
4.a为何值时，方程 − + − − = 为一元二次方程？
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
思考
将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项
及它们的系数：
3x(x − 1) = 5(x + 2)
解： 3x 2 − 3x = 5x + 10
解：设正方形桌面的边长是
2 = 4
情景思考
问题2：一个数的平方是这个数的
6倍，求这个数？
解：设这个数为，得
2 = 6
思考
观察下列各方程有什么共同点？
2
=4
2
= 6
1 2 1
− = 28
2
2
2 − 75 + 350 = 0
①等号两边都是整式
解：∵一元二次方程
−1≠0
∴ቊ
+1=2
≠1
解得： ቊ
= ±1
∴ = −1
小组讨论
以－5、1、0三个数分别作为一个
一元二次方程的系数和常数项，请
尽可能多的写出满足条件的不同的
一元二次方程？
第一单元 一元二次方程
感 谢 聆 听
部 编 版 九 年 级 数 学 上 册
汇报人：XXX
求c 的值.
解：∵x=-2
∴(−2)2 −3 × −2 + = 0
∴c=-10
课堂测试
3.一元二次方程(m+3)x²+3x+m²-9=0有一个根为0，则
3
m 的值为_____
分析：将x=0带入方程求得m=3或-3，而一元二次方程二
次项系数不等于0，所以m=3
课堂测试
4.a为何值时，方程 − + − − = 为一元二次方程？
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
思考
将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项
及它们的系数：
3x(x − 1) = 5(x + 2)
解： 3x 2 − 3x = 5x + 10
一元二次方程的解法配方法(沪科版)课件
整理得：X2+6X－16 = 0
怎样解这
学习交流PPT
个方程？
14
x 2 6 x 1 6 0
移项
x2 6x16
两边加上32,使左边配成
x2 2bxb2的形式
x 2 6 x 3 2 1 3 6 2
左边写成完全平方形式
(x3)2 25
降次
x35
x 3 5 ,x 3 5
得 :x12,x 学习2交 流P PT8
D .x 2 5 x 2 0 化x 为 2 .5 ） 2 （ 4 .25
学习交流PPT
21
理一理
用配方法解方程
x28x10
解: (1)x28x10
x2 8x1
移项转化
x28x42 142 配方
x 42 15
成式
x415,x415 开方
x1415,x2415 写解
学习交流PPT
22
比一比，赛一赛
7 2
)2=
65 4
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
2 D.3x2-4x-2=0化为(x- )2= 10 39
学习交流PPT
31
典型例题
2.用配方法解方程-3x2+4x+1=0
分析：对于二次项系数是负数的一元 二次方程，用配方法解时，为了便于配方，可把二 次项系数化为1，再求解
学习交流PPT
方程 x26x92呢？
学习交流PPT
5
方程 x26x92呢？
方程 x26x92的左边是_完_全__平__方_形__式_，
x 3 2 2
方程可化为____________，进行降次可得__
_x___3____2__和_x____3_______2__。解得
17.2.2一元二次方程的解法-公式法（课件ppt）
（1）x2 x 6 0 ；
（2）x2
3x 1 0； 4
（3）3x2 6x 2 0 ; （4）4x2 6x 0 .
解：（1）a 1, b 1, c 6 .
b2 4ac 12 4 1 6 25.
x 1 25 15, 21 2
x1 ２, x2 －3.
课堂练习
2 x2 3x 1 0
2a
a 2a
即
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
新知导入
由上式可知，
( x b )2 b2 4ac
2a
4a2
能用直接开平方解吗？
那么什么条件下就能用直接开平方解？
当 b2 4ac 0 , 且 a≠0 时，可以开平方
得 x b 2a
所以 x b 2a
b2 4ac 2a
b2 4ac 2a
a=1, b= 2 3 , c= 3. ∵b2 - 4ac=(2 3 )2 - 4×1×3=0,
x 2 3 0 2 3 3, 21 2
∴x1= x2= 3
新知讲解
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
1、把方程化成一般形式
2、写出a、b、c 的值
3、求出b2 4ac 的值，并判断是否大于,等于
∵b2-4ac=(-7)2 -4×3×8=49-96=-47< 0 提醒：因为在实数范围内，负数不能开平方，所 以方程没有实数根.
新知讲解
例3 解方程：x2 x 1 0（精确到0.001）.
解：a 1,b 1,c 1,
b2 4ac 12 4 1 (1) 5 0
x 1 5 2
即
x b
b2 4ac 2a
新知讲解
一般地，对于一元二次方程
（2）x2
3x 1 0； 4
（3）3x2 6x 2 0 ; （4）4x2 6x 0 .
解：（1）a 1, b 1, c 6 .
b2 4ac 12 4 1 6 25.
x 1 25 15, 21 2
x1 ２, x2 －3.
课堂练习
2 x2 3x 1 0
2a
a 2a
即
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
新知导入
由上式可知，
( x b )2 b2 4ac
2a
4a2
能用直接开平方解吗？
那么什么条件下就能用直接开平方解？
当 b2 4ac 0 , 且 a≠0 时，可以开平方
得 x b 2a
所以 x b 2a
b2 4ac 2a
b2 4ac 2a
a=1, b= 2 3 , c= 3. ∵b2 - 4ac=(2 3 )2 - 4×1×3=0,
x 2 3 0 2 3 3, 21 2
∴x1= x2= 3
新知讲解
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
1、把方程化成一般形式
2、写出a、b、c 的值
3、求出b2 4ac 的值，并判断是否大于,等于
∵b2-4ac=(-7)2 -4×3×8=49-96=-47< 0 提醒：因为在实数范围内，负数不能开平方，所 以方程没有实数根.
新知讲解
例3 解方程：x2 x 1 0（精确到0.001）.
解：a 1,b 1,c 1,
b2 4ac 12 4 1 (1) 5 0
x 1 5 2
即
x b
b2 4ac 2a
新知讲解
一般地，对于一元二次方程
【最新】沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程根的判别式》公开课课件1.ppt
(a≠0)的求根公式： x b b2 4ac 2a
因为a ≠0,所以
（1）当b2-4ac>0时， b2 4ac 是正实数，因此，
方程有两个不相等的实数根：
bb24a x1 2a
c,x2b2 ba 24a
c
（2）当b2-4ac=0时 ， b2 4ac 0 ，因此，方
程有两个相等的实数根：
x1
x2
b; 2a
解 : 4 m 2 4 2 m 4
4m28m16
4m 2 2 m 1 12
4m 121 20
所以,不论m为何值,这个方程总有两个不 相等的实数根。
Ø 要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根.
a2bc 0 b 3a 2c
a 2 (3a 2c) c 0 a 6a 4c c 0 5a 5c 0 ac 又 b3a2cc abc
A B C 是 等 边 三 角 形 。
问题 设关于x的方程,x2 2 m 2 x m 40
证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相 等的实数根。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
因为a ≠0,所以
（1）当b2-4ac>0时， b2 4ac 是正实数，因此，
方程有两个不相等的实数根：
bb24a x1 2a
c,x2b2 ba 24a
c
（2）当b2-4ac=0时 ， b2 4ac 0 ，因此，方
程有两个相等的实数根：
x1
x2
b; 2a
解 : 4 m 2 4 2 m 4
4m28m16
4m 2 2 m 1 12
4m 121 20
所以,不论m为何值,这个方程总有两个不 相等的实数根。
Ø 要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根.
a2bc 0 b 3a 2c
a 2 (3a 2c) c 0 a 6a 4c c 0 5a 5c 0 ac 又 b3a2cc abc
A B C 是 等 边 三 角 形 。
问题 设关于x的方程,x2 2 m 2 x m 40
证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相 等的实数根。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
【最新】沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程根的判别式》优质公开课课件.ppt
例1. 不解方程，判别下列方程 的根的情况。
15x2 3x 2 0 2 25 y2 4 20 y 3 2x2 3x 1 0
15x25 （ 2 ） 4 9 ＞0
原方程有两个不相等的实数根。
225y2420y
解：原方程可变形为
25y220y40
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/12
谢谢观看
足 b3a2c。试判断 ABC的形状。
解 原方程有两个相等的实数根
a411(2bc) 0 4
a2bc 0 b 3a 2c
a 2 (3a 2c) c 0 a 6a 4c c 0 5a 5c 0 ac 又 b3a2cc abc A B C 是 等 边 三 角 形 。
①本节课你学到了什么知识？ 掌握了什么方法？
（ 2 0 ） 2 4 2 5 4 0
原方程有两个相等的实数根。
32x2 3x10
解： （ 3 ） 242 1 5＜0
原方程没有实数根。
一元二次方程初中数学经典课件
2.需要注意的两点：
a≠0
(1)一元二次方程ax²+bx+c=0中，______是成为一元
二次方程的必要条件；
(2)找一元二次方程的二次项、一次项及其系数以及常
一般式
数项要先化为_________.
巩固提升
当m为何值时,方程 (m+2) +3mx+1=0
是关于x的一元二次方程?
解：根据一元二次方程定义，
常数项为-10.
小结
一元一次方程与一元二次方程有什么联系与区别？
一元一次方程
一般式
相同点
ax+b=0(a≠0)
一元二次方程
ax²+bx+c=0(a≠0)
整式方程，只含有一个未知数.
不同点 未知数最高次数是1.
未知数最高次数是2.
课堂检测
1.填表，将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次
项系数、一次项系数和常数项：
(1)一个直角三角形的两条直角边相差3cm,面积是9平方厘
米,求较长的直角边的长;
(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长.
解：(2)设长方形的长为xcm，则宽为(x-2)cm，
由长方形面积公式得
x(x-2)=100，整理得x²-2x-100=0.
课堂检测
3.若px²-3x+p²-p=0是关于x的一元二次方程，则( C )
米,求较长的直角边的长;
(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长.
解：(1)设较长的直角边长为xcm，则较短的直角边长为
(x-3)cm，由三角形面积公式得
x(x-3)=9，整理得x²-3x-18=0.
上海教育版数学八年级上册17.2《一元二次方程的解法》ppt课件2共33页文档
》ppt课件2
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
2022年秋沪教版(上海)数学八年级上学期-一元二次方程的解法 课件1
4.合并同类项
5.系数化为1
小明到体育用品商店购买羽毛球、乒乓球，需 购羽毛球的数量与乒乓球数量的两倍的和是22 只,商店里每只羽毛球的价格是2元，每只乒乓 球的价格是1.5元，小明共花费了29元.问小明 购买羽毛球、乒乓球的数量各是多少只？
分分析析:羽: 毛球只数+乒乓球只数×2=22
2×羽毛球个数+1.5×乒乓球个数=29
问题2. 等式的性质二是什么？
等式两边乘以同一个数（或除以同 一个不为 0的数），所得结果仍是等式。
<<孙子算经>>是中国古代的一部数学著作, 成书大约在公元400年前后,但不是孙子所作, 许多问题浅显有趣.其中下卷第31题“鸡兔 同笼”问题流传尤为广泛,飘洋过海传到了 日本等国.
“今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何？”
这四句话的意思是：有若干只 鸡兔同在一个笼子里，从上面数， 有35个头；从下面数，有94只脚。 求笼中各有几只鸡和兔？
自学课本95页—96页上的内容，思考以下问题：
问题1.利用等式的什么性质可将方程中的 分母去掉，怎么操作？
问题2.去分母时，方程两边不含分母的项 怎么处理，分数线和分子上的多项式怎 么处理？
17.2一元二次方程的解法
教学目标： 1、理解配方法的意义，能用配方法解简单数字系数 的一元二次方程； 2、熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤和技巧； 3、在用配方法解一元二次方程的过程中，体会转化 化归思想。
问题1.如何求几个数的最小公倍数？
方法是什么？
（1）2和3的最小公倍数是
；
（2）3、4、6 的最小公倍数是 ；
再见
(2)3x+ x-1 =3- 2x-1
5.系数化为1
小明到体育用品商店购买羽毛球、乒乓球，需 购羽毛球的数量与乒乓球数量的两倍的和是22 只,商店里每只羽毛球的价格是2元，每只乒乓 球的价格是1.5元，小明共花费了29元.问小明 购买羽毛球、乒乓球的数量各是多少只？
分分析析:羽: 毛球只数+乒乓球只数×2=22
2×羽毛球个数+1.5×乒乓球个数=29
问题2. 等式的性质二是什么？
等式两边乘以同一个数（或除以同 一个不为 0的数），所得结果仍是等式。
<<孙子算经>>是中国古代的一部数学著作, 成书大约在公元400年前后,但不是孙子所作, 许多问题浅显有趣.其中下卷第31题“鸡兔 同笼”问题流传尤为广泛,飘洋过海传到了 日本等国.
“今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何？”
这四句话的意思是：有若干只 鸡兔同在一个笼子里，从上面数， 有35个头；从下面数，有94只脚。 求笼中各有几只鸡和兔？
自学课本95页—96页上的内容，思考以下问题：
问题1.利用等式的什么性质可将方程中的 分母去掉，怎么操作？
问题2.去分母时，方程两边不含分母的项 怎么处理，分数线和分子上的多项式怎 么处理？
17.2一元二次方程的解法
教学目标： 1、理解配方法的意义，能用配方法解简单数字系数 的一元二次方程； 2、熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤和技巧； 3、在用配方法解一元二次方程的过程中，体会转化 化归思想。
问题1.如何求几个数的最小公倍数？
方法是什么？
（1）2和3的最小公倍数是
；
（2）3、4、6 的最小公倍数是 ；
再见
(2)3x+ x-1 =3- 2x-1
第17章一元二次方程-根的判别式 课件 22--23学年沪科版八年级下册数学
例6 已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋2）x＋2＝0（m≠0）．
（1）求证：方程一定有两个实数根； （2）若此方程的两根为不相等的整数，求整数m的值． 分析（2）利用因式分解法解方程可得出x1＝1，x2＝m2 ，根据整除的性质，结合m为整数即可求出m值． 解答（2）∵方程的两根为不相等的整数，∴ Δ＝(m﹣2)2＞0，∴m≠2，
当m≠0时，则方程mx2﹣4x＋1＝0为关于x的方程为一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x＋1＝0有实数根，
∴Δ＝(﹣4)2﹣4×m×1＝16﹣4m≥0， 解得：m≤4且m≠0．
综上所述，m的取值范围是m≤4．
易错点：忽略二次项系数可以为零的情况．
对于二次项系数含有参数的方程，要分两种情况考虑，第一种情况是二次项系数为零时，则此方程为一元一次方
A A′
bb
c′ c
⑥ 若a2＋b2＜c2，则△ABC为钝角三角形．
C
a
B
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=a，BC=b，AB=c′
作A′C=AC, 连接A′B
在△ A′ BC中， A′ C=a，BC=b，令A′ B=c
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：AC2+BC2=AB2 ，即a2＋b2=c′2. 因为c＜ c′，所以a2＋b2=c′2＞ c2 此时△ A′ BC为锐角三角形，且满足：a2＋b2＞c2 所以可得结论：若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形.
根的判别式
知识梳理
一元二次方程根的判别式的定义
ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
x2 b x c 0 aa
(x≥ 2b0a )2
b＞＜=2 40ac ＞4a02
根的判别式Δ
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例题4 例题
bxb为何值时，方程x2-bx-2=0和 为何值时， 2x-b(b有相同的根， x2-2x-b(b-1)=0有相同的根，并求出这个相同
的根。 的根。
例题5 例题
已知三个关于x的一元二次方程： 已知三个关于x的一元二次方程：
+ax+b=0。 ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0。
恰有一个公共实数根。 恰有一个公共实数根。 试证明a+b+c=0求 + + 的值 bc ca ab
例题6 例题
• 已知方程x2-3x+1=0的两个根α和β也是方程 的两个根α 的根。 的值。 x6-px2+q=0的根。求p和q的值。
课后作业
一元二次方程（ 一元二次方程（十）
——公共根问题
公共根
• 顾名思义，公共根问题指的是两个方程拥 顾名思义， 有相同的根。 有相同的根。 • 往往和一些含有字母的方程有关。 往往和一些含有字母的方程有关。 • 这类题目题型很活，知识迁移很多。往往 这类题目题型很活，知识迁移很多。 在数学竞赛和自主招生中常见。 在数学竞赛和自主招生中常见。
谢谢
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1.若方程x +ax+b=0和 +bx+a=0有一个公共根 有一个公共根， 1.若方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0有一个公共根，则（ 若方程 a+b) 2003=________ 答案： （答案：-1）
2.已知x2-x+m=0与x2+x+3m=0有一根相同，那么m的值 有一根相同， 2.已知x x+m=0与 +x+3m=0有一根相同 那么m 已知 是多少？ 是多少？ 答案： （答案：0或-2）
公共根问题
已知：两个方程： 已知：两个方程： ax + bx + c = 0,dx + ex + f = 0 用公共根t.那么： 为如下方程： t.那么 ，用公共根t.那么： t为如下方程： 2 2 的解。 A(ax +bx+ c)+B(dx +ex+f)= 0 的解。 其中，A、B为任意系数。 其中， 为任意系数。 证明比较简单，此处略。 证明比较简单，此处略。
2 2
例题1 例题
试用多种方法求方程 x2 - 3x + 2 = 0 和 x2 -x-2=0 的公共根。 的公共根。
例题2 例题
如果方程： 如果方程：x2+ax+1=0,x2+bx+c=0只有一个公 共根， 满足什么条件。 共根，则a，b满足什么条件。
x2
例题3 例题
如果方程x2+bx+1=0和x2-x-b=0至少有一个相同 的实数根。求实数b的值。 的实数根。求实数b的值。