新人教A版选修(22)《函数的最大(小)值和导数》word学案

《函数的最大（小）值与导数》教案§1.3.3 函数的最大(小)值与导数（1）【教学目标】1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤．【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法．【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．【教学过程】一、复习引入：1．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．2．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值 注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．5． 求可导函数f (x )的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )；（2）求方程f ′(x )=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值．二、讲解新课：1．函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4．例2 已知23()log x ax b f x x++=,x ∈(0,+∞)．是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由．解：设g (x )=xb ax x ++2 ∵f (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数∴g (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数．∴⎩⎨⎧==3)1(0)1('g g ∴⎩⎨⎧=++=-3101b a b 解得⎩⎨⎧==11b a 经检验，a =1,b =1时，f (x )满足题设的两个条件．四、课堂练习：1．下列说法正确的是( )A ．函数的极大值就是函数的最大值B ．函数的极小值就是函数的最小值C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值2．函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能3．函数y =234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－1 D ．1213 4．函数y =122+-x x x 的最大值为( ) A ．33 B ．1 C ．21 D ．23 5．设y =|x |3,那么y 在区间［－3，－1］上的最小值是( )A ．27B ．－3C ．－1D ．16．设f (x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >b ,则( )A ．a =2,b =29B ．a =2,b =3C ．a =3,b =2D ．a =－2,b =－3答案：1．D 2．A 3．A 4．A 5．D 6．B五、小结 ：⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．六、课后作业：§1.3.3 函数的最大(小)值与导数（2）【教学目标】1．进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；2．初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题．【教学重点】解有关函数最大值、最小值的实际问题．【教学难点】解有关函数最大值、最小值的实际问题．【教学过程】一、复习引入：1．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．2．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值．4．判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．5． 求可导函数f (x )的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) ；（2）求方程f ′(x )=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值．6．函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．（1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．7．利用导数求函数的最值步骤：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．二、讲解范例：例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为xcm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积 260)(322x x h x x V -== )600(<<x ． 令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x =0（舍去），x =40， 并求得 V(40)=16000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．答：当x =40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16000cm 3解法二：设箱高为xcm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积 x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值．例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πR h +2πR 2由V=πR 2h ，得2V h Rπ=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R+2πR 2 令 22()V s R R '=-+4πR=0 解得，R=32V π，从而h =2V R π=23()2V ππ=34V π=23V π即h =2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所x x xx6060x 60-2x 60-2x 60-2x x60-2x 6060用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =R R S ππ222- ⇒V (R )=R R S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭， 利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭(0100)q << 1214L q '=-+，令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q =． 答：产量为84时，利润L 最大．三、课堂练习：1．函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________．2．函数f (x )=sin 2x －x 在［－2π,2π］上的最大值为_____；最小值为_______． 3．将正数a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___．4．使内接椭圆2222by a x +=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____． 5．在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大． 答案：1． －15 2．2π －2π 3．2a 2a 4．2a 2b 5．23R 四、小结 ：（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单．五、课后作业：1．有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？ 解：（1）正方形边长为x ,则V =（8－2x )·(5－2x )x =2(2x 3－13x 2+20x )(0<x <25) V ′=4(3x 2－13x +10)(0<x <25),V ′=0得x =1 根据实际情况，小盒容积最大是存在的，∴当x =1时，容积V 取最大值为18． 2．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周l =AB +BC +CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b ． 解：由梯形面积公式，得S =21 (AD +BC )h ,其中AD =2DE +BC ，DE =33h ,BC =b ，∴AD =332h +b , ∴S =h b h h b h )33()2332(21+=+ ① ∵CD =h h 3230cos =︒,AB =CD ．∴l =h 32×2+b ②由①得b =33-h S h ,代入②,∴l =hS h h h S h +=-+333334 l ′=23h S -=0,∴h =43S , 当h <43S 时，l ′<0,h >43S 时，l ′>0． ∴h =43S 时，l 取最小值，此时b =S 3324． 六、板书设计（略）七、教学后记：b。

1．3.3 函数的最大(小)值与导数(二)学习目标 1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题．知识点用导数求函数f(x)最值的基本方法(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.类型一由极值与最值关系求参数范围例1 若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )A．(－1，11) B．(－1,4)C．(－1,2] D．(－1,2)考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案 C解析由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由此得a2－12<－1<a，解得－1<a<11.又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2.综上，－1<a≤2.反思与感悟函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内．跟踪训练1 若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 D解析 由题意得，函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 的导数f ′(x )＝3x 2－6b 在(0,1)内有零点， 且f ′(0)<0，f ′(1)>0，即－6b <0，且(3－6b )>0， ∴0<b <12，故选D.类型二 与最值有关的恒成立问题例2 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求实数c 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得a ＝－12，b ＝－2，所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23，(1，＋∞)；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.(2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2227＋c 为极大值，因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值．要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.故实数c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 引申探究若本例中条件不变，“把(2)中对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立”改为“若存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立”，结果如何？解 由典例解析知当x ＝1时，f (1)＝c －32为极小值，又f (－1)＝12＋c >c －32，所以f (1)＝c －32为最小值．因为存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立， 所以只需c 2>f (1)＝c －32，即2c 2－2c ＋3>0，解得c ∈R .故实数c 的取值范围为R .反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝2x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 答案 (－∞，4]解析 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 得a ≤2ln x ＋x ＋3x .设h (x )＝2ln x ＋3x＋x (x >0)． 则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x2， 当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． ∴h (x )min ＝h (1)＝4. ∴a ≤4.(2)设L 为曲线C ：y ＝ln xx在点(1,0)处的切线．①求L 的方程；②证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 恒成立中的证明问题 ①解 设f (x )＝ln x x，则f ′(x )＝1－ln x x2， 所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.②证明 设g (x )＝x －1－f (x )，除切点外，曲线C 在直线L 的下方等价于∀x >0且x ≠1，g (x )>0.g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0， 所以g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0， 所以g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增； 所以，∀x >0且x ≠1，g (x )>g (1)＝0. 所以除切点外，曲线C 在直线L 的下方.1．函数f (x )＝x e －x，x ∈[0,4]的最大值是( ) A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e 2考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 B解析 f ′(x )＝e －x－x e －x＝e －x(1－x )， ∴当0≤x ≤1时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增， 当1≤x ≤4时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，∴当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝1e .故选B.2．函数f (x )＝x ln x 的最小值为( ) A ．e 2B ．－eC ．－e －1D ．－103考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 C解析 ∵f (x )＝x ln x ，定义域是(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1＋ln x ， 令f ′(x )>0，解得x >1e ，令f ′(x )<0，解得0<x <1e，∴函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 故当x ＝1e 时，函数取最小值－1e，故选C.3．已知函数f (x )＝e x－x ＋a ，若f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－1]考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 答案 A解析 f ′(x )＝e x－1， 令f ′(x )>0，解得x >0， 令f ′(x )<0，解得x <0，故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 故f (x )min ＝f (0)＝1＋a ， 若f (x )>0恒成立，则1＋a >0，解得a >－1，故选A.4．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋2，x 1，x 2是区间[－1,1]上任意两个值，M ≥|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，则M 的最小值是________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 答案 4解析 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 当－1≤x <0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当0<x ≤1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，也为最大值，f (0)＝2， 又f (－1)＝－2，f (1)＝0， 所以f (x )的最小值为－2， 对[－1,1]上任意x 1，x 2，|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝4，所以M ≥|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，等价于M ≥4，即M 的最小值为4.5．已知函数f (x )＝ax 4ln x ＋bx 4－c (x >0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数． (1)试确定a ，b 的值； (2)讨论函数f (x )的单调区间；(3)若对任意x >0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，求实数c 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围解 (1)由f (x )在x ＝1处取得极值－3－c 知f (1)＝b －c ＝－3－c ，得b ＝－3. 又f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4·1x＋4bx 3＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )，由f ′(1)＝0，得a ＋4b ＝0，a ＝－4b ＝12. (2)由(1)知f ′(x )＝48x 3ln x (x >0)． 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．因此，f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(3)由(2)知f (1)＝－3－c 既是极小值，也是(0，＋∞)内的最小值，要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2，即2c 2－c －3≥0.从而(2c －3)(c ＋1)≥0，解得c ≥32或c ≤－1.故实数c 的取值范围为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.1．若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内．2．已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值.一、选择题1．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )在[－1,1]上的最大值、最小值分别为( ) A ．0，－4 B.427，－4 C.427，0 D ．2,0考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 B解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝1，3－2p －q ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1.则f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝13，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427，f (－1)＝－4，f (1)＝0，∴f (x )max ＝427，f (x )min ＝－4.2．已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]上的最小值为( ) A ．0 B.32 C ．－2D ．2考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求含参数函数的最值 答案 A解析 因为a ，b 为正实数， 所以f (x )＝ax 3＋bx ＋2是增函数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2在[0,1]上的最大值f (1)＝a ＋b ＋2＝4，a ＋b ＝2. 在[－1,0]上的最小值为f (－1)＝－(a ＋b )＋2＝0.3．若关于x 的不等式x 3－3x ＋3＋a ≤0恒成立，其中－2≤x ≤3，则实数a 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－5D ．－212019年考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 D解析 若关于x 的不等式x 3－3x ＋3＋a ≤0恒成立， 则a ≤－x 3＋3x －3在[－2,3]上恒成立， 令f (x )＝－x 3＋3x －3，x ∈[－2,3]， 则f ′(x )＝－3x 2＋3＝－3(x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )>0，解得－1<x <1， 令f ′(x )<0，解得x >1或x <－1，故f (x )在[－2，－1)上单调递减，在(－1,1)上单调递增，在(1,3]上单调递减， 而f (－2)＝－1，f (－1)＝－5，f (1)＝－1，f (3)＝－21， 故a ≤－21，故a 的最大值是－21.4．当x ∈(0,3)时，关于x 的不等式e x－x －2mx >0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，e －12 B.⎝⎛⎭⎪⎫e －12，＋∞C ．(－∞，e ＋1)D ．(e ＋1，＋∞)考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 A解析 当x ∈(0,3)时，关于x 的不等式e x－x －2mx >0恒成立， 即为2m ＋1<exx在(0,3)上的最小值，令f (x )＝e x x ，则f ′(x )＝e x(x －1)x2， 当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当1<x <3时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 可得f (x )在x ＝1处取得最小值e ， 即有2m ＋1<e ，可得m <e －12.5．若函数f (x )＝－x 3－3x 2＋1在[a ，＋∞)上的最大值为1，则a 的取值范围是( ) A ．[－3，＋∞) B ．(－3，＋∞) C ．(－3,0)D ．[－3,0]考点 导数在最值问题中的应用 题点 已知最值求参数 答案 D解析 ∵f (x )＝－x 3－3x 2＋1， ∴f ′(x )＝－3x 2－6x ，令f′(x)＝－3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由f(x)＝1，得－x3－3x2＋1＝1，解得x＝0或x＝－3.当x>0时，f(x)<f(0)＝1，当x<－3时，f(x)>f(－3)＝1，又f(x)＝－x3－3x2＋1在[a，＋∞)上的最大值为1，∴a的取值范围为[－3,0]．6．关于函数f(x)＝(2x－x2)e x的命题：①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；②f(－2)是极小值，f(2)是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值．其中正确的命题是( )A．①② B．①②③C．②③ D．①③考点导数在最值问题中的应用题点最值与极值的综合应用答案 A解析①由于e x>0，所以f(x)>0，即需2x－x2>0解得{x|0<x<2}，①正确．②因为f(x)＝(2x－x2)e x的定义域是R，f′(x)＝(2－2x)e x＋(2x－x2)e x＝(2－x2)e x，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝ 2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(－2)是极小值，f(2)是极大值，②正确．③由图象(图略)知f(2)为最大值，无最小值，③错误．7．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－7，－1) B ．(－7，－1] C ．(－7，－2)D ．(－7，－2]考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 D解析 由题意知f (x )＝x 3－3x ， 所以f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0， 故x ＝－1是函数f (x )的极大值点，f (－1)＝－1＋3＝2，令x 3－3x ＝2，解得x ＝2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <6－a 2，a <－1，6－a 2>－1，6－a 2≤2，解得－7<a ≤－2. 二、填空题8．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 [－4，－2]解析 f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m2.由题意得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．9．已知e 是自然对数的底数，若函数f (x )＝e x的图象始终在函数g (x )＝x －a 图象的上方，则实数a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 (－1，＋∞)解析 由题意知f (x )－g (x )＝e x－x ＋a >0，对一切实数x 恒成立， 令h (x )＝e x－x ＋a ，则h (x )min >0， ∵h ′(x )＝e x －1， 令h ′(x )＝0得x ＝0，当x <0时，h ′(x )<0，则h (x )在(－∞，0)上单调递减，当x >0时，h ′(x )>0，则h (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝0时，h (x )取得极小值，即最小值为h (0)＝1＋a ， ∴1＋a >0，即a >－1.10．已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1，且对任意x ∈(0,1]，f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 [4，＋∞)解析 当x ∈(0,1]时，不等式ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x －1x3.设g (x )＝3x －1x3，x ∈(0,1]，则g ′(x )＝3x 3－(3x －1)·3x 2x6＝－6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x4. 令g ′(x )＝0，得x ＝12.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：因此g (x )的最大值等于极大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，则实数a 的取值范围是[4，＋∞)．11．已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为正实数，若f (x )在(1，＋∞)上无最小值，且g (x )在(1，＋∞)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围为________． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 [1，e]解析 ∵f (x )＝ax －ln x (x >0)， ∴f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x，若f (x )在(1，＋∞)上无最小值， 则f (x )在(1，＋∞)上单调， ∴f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立， 或f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≥1x 或a ≤1x ，而函数y ＝1x在(1，＋∞)上单调递减，∴当x ＝1时，函数y 取得最大值1， ∴a ≥1或a ≤0，而a 为正实数，故a ≥1，① 又∵g (x )＝e x －ax ，∴g ′(x )＝e x－a ，∵函数g (x )＝e x－ax 在区间(1，＋∞)上单调递增， ∴g ′(x )＝e x－a ≥0在区间(1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤(e x)min 在区间(1，＋∞)上恒成立． 而e x>e ，∴a ≤e.② 综合①②，a ∈[1，e]． 三、解答题12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求实数c 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝2a3，－1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，令f ′(x )＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：而f (－1)＝c ＋5，f (3)＝c －27，f (－2)＝c －2，f (6)＝c ＋54，∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只需c ＋54<2|c |. 当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54； 当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18.故实数c 的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)．13．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋aex，若当x ∈[0,2]时，f (x )≥1e2恒成立，求a 的取值范围．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 解 f ′(x )＝－ax 2＋(2a －1)x ＋1－ae x＝－(ax ＋1－a )(x －1)ex. 当a ＝0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1.在(0,1)上，有f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(1,2)上，有f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 又f (0)＝0，f (2)＝2e 2，故函数f (x )的最小值为f (0)＝0，结论不成立．当a ≠0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝1－1a.若a <0，则f (0)＝a <0，结论不成立． 若0<a ≤1，则1－1a≤0.在(0,1)上，有f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(1,2)上，有f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 只需⎩⎪⎨⎪⎧f (0)≥1e 2，f (2)≥1e2，得到⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1e 2，a ≥－15，所以1e2≤a ≤1.若a >1，则0<1－1a<1，函数在x ＝1－1a处有极小值，只需⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ≥1e 2，f (2)≥1e2，得到⎩⎨⎧2a －1≥11ea--，a ≥－15.因为2a －1>1，11ea--<1，所以a >1.综上所述，a 的取值范围是a ≥1e 2.四、探究与拓展14．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( ) A ．1 B.12 C.52 D.22考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 D解析 由题意画出函数图象如图所示， 由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t >0)．y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t ＝2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t －22t.当0<t <22时，y ′<0，可知y 在⎝⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减； 当t >22时，y ′>0，可知y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增． 故当t ＝22时，|MN |有极小值也是最小值． 15．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 已知最值求参数解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得极大值且为最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．。

1.3.3 函数的最大(小)值与导数学习目标：1.理解函数的最值的概念．(难点)2.了解函数的最值与极值的区别与联系．(易混点)3.会用导数求在给定区间上函数的最值．(重点)[自主预习·探新知]1．函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．思考：函数的极值与最值的区别是什么？[提示]函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．[基础自测]1．思考辨析(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )[答案] (1)×(2)√(3)×2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值A[f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．]3．函数f(x)＝xe x在区间[2,4]上的最小值为( )A ．0B ．1eC ．4e4 D ．2e2 C [f ′(x )＝e x－x e xx 2＝1－xe x ，当x ∈[2,4]时，f ′(x )＜0，即函数f (x )在区间[2,4]上是单调递减函数，故当x ＝4时，函数f (x )有最小值4e4.]4．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋m (x ∈[－2,2])，f (x )的最小值为1，则m ＝________.【导学号：31062058】[解析] f ′(x )＝－3x 2＋6x ，x ∈[－2,2]． 令f ′(x )＝0，得x ＝0，或x ＝2， 当x ∈(－2,0)时，f ′(x )＜0， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＞0，∴当x ＝0时，f (x )有极小值，也是最小值． ∴f (0)＝m ＝1. [答案] 1[合 作 探 究·攻 重 难]角度1求下列各函数的最值． (1)f (x )＝3x 3－9x ＋5，x ∈[－2,2]；(2)f (x )＝sin 2x －x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2. [解] (1)f ′(x )＝9x 2－9＝9(x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化状态如下表：当x ＝－1或x ＝2时，函数f (x )取得最大值11. (2)f ′(x )＝2cos 2x －1，令f ′(x )＝0，得cos 2x ＝12，又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴2x ∈[－π，π]．∴2x ＝±π3.∴x ＝±π6.∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的两个极值分别为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32＋π6. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π2.比较以上函数值可得f (x )max ＝π2，f (x )min ＝－π2.角度2 含参数的函数最值a 为常数，求函数f (x )＝－x 3＋3ax (0≤x ≤1)的最大值.【导学号：31062059】[解] f ′(x )＝－3x 2＋3a ＝－3(x 2－a )．若a ≤0，则f ′(x )≤0，函数f (x )单调递减，所以当x ＝0时，有最大值f (0)＝0.若a ＞0，则令f ′(x )＝0，解得x ＝±a .∵x ∈[0,1]，则只考虑x ＝a 的情况． (1)若0＜a ＜1，即0＜a ＜1，则当x ＝a 时，f (x )有最大值f (a )＝2a a .(如下表所示)当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝3a －1.综上可知，当a ≤0，x ＝0时，f (x )有最大值0； 当0＜a ＜1，x ＝a 时，f (x )有最大值2a a ； 当a ≥1，x ＝1时，f (x )有最大值3a －1.[规律方法] 1.求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点对函数进行准确求导，并检验fx ＝0的根是否在给定区间内研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值比较极值与端点函数值的大小，确定最值.2.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.[跟踪训练]1．已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间[0,2]上的最大值． [解] f ′(x )＝3x 2－2ax .令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.①当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a . ②当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0.③当0＜2a 3＜2，即0＜a ＜3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a＜a ，＜a ＜， 综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4aa，a ＞29，求a ，b 的值.【导学号：31062060】[解] 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾． 求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．(1)当a >0，且x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)，∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29. [规律方法]已知函数在某区间上的最值求参数的值范围是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程不等式解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.[跟踪训练] 2．若函数f (x )＝xx 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________． [解析] f ′(x )＝x 2＋a －2x 2x 2＋a 2＝a －x 2x 2＋a2，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意．∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1. [答案]3－1[探究问题1．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若f (x )≥c 或f (x )≤c 恒成立，则c 满足的条件是什么？提示：c ≤f (x )min 或c ≥f (x )max .2．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x )≥c 或f (x )≤c 成立，则c 满足的条件是什么？提示：c ≤f (x )max 或c ≥f (x )min .设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围.【导学号：31062061】[思路探究](1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围．[解](1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g(h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m 的取值范围为(1，＋∞)．母题探究：1.(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？[解]令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立，等价于g(t)的最小值g(2)<0.∴－3－m<0，∴m>－3，所以实数m的取值范围为(－3，＋∞)．2．(变条件)若将本例(2)的条件改为“对任意的t1，t2∈(0,2)，都有h(t1)＜－2t2＋m”，求实数m的取值范围．[解]∵h(t)＝－t3＋t－1，t∈(0,2)∴h′(t)＝－3t2＋1由h ′(t )＝0得t ＝33或t ＝－33(舍) 又当0＜t ＜33时，h ′(t )＞0， 当33＜t ＜2时，h ′(t )＜0. ∴当t ＝33时，h (t )max ＝－39＋33－1＝23－99. 令φ(t )＝－2t ＋m ，t ∈(0,2)， ∴φ(t )min ＞m －4. 由题意可知 23－99≤m －4， 即m ≥239＋3＝23＋279.∴实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23＋279，＋∞.[规律方法] 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤所以实数的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23＋279，＋∞[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列结论正确的是( )A ．若f (x )在[a ，b ]上有极大值，则极大值一定是[a ，b ]上的最大值B ．若f (x )在[a ，b ]上有极小值，则极小值一定是[a ，b ]上的最小值C ．若f (x )在[a ，b ]上有极大值，则极小值一定是x ＝a 和x ＝b 时取得D ．若f (x )在[a ，b ]上连续，则f (x )在[a ，b ]上存在最大值和最小值D [函数f (x )在[a ，b ]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a ，b ]上一定存在最大值和最小值．]2．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1 B ．π2－1C ．πD ．π＋1C [因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C.]3．函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( )【导学号：31062062】A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值D [f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.]4．设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意x ∈[－1,2]，都有f (x )＞m ，则实数m 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝3x 2－x －2＝0，x ＝1，－23.f (－1)＝512，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝52227，f (1)＝312，f (2)＝7，∴m ＜312.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，312 5．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值，并求f (x )在[－2,2]上的最大值.【导学号：31062063】[解] f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)． 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：min所以当x＝0时，f(x)取到最大值3.。

1．3.3 函数的最大(小)值与导数预习课本P29～31，思考并完成下列问题(1)什么是函数的最值？函数在闭区间上取得最值的条件是什么？(2)函数的最值与极值有什么关系？(3)求函数最值的方法和步骤是什么？[新知初探]1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．[点睛] 对函数最值的三点说明(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a,_b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[点睛] 函数极值与最值的关系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )答案：(1)×(2)√(3)×2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A．－2 B．0 C．2 D．4答案：C3．函数f(x)＝3x＋sin x在x∈[0，π]上的最小值为________．答案：14．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．答案：(－4，－2)[典例] (1)f (x )＝4x 3＋3x 2－36x ＋5，x ∈[－2，＋∞)；(2)f (x )＝sin 2x －x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2.[解] (1)f ′(x )＝12x 2＋6x －36，令f ′(x )＝0， 得x ＝－2或x ＝32.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，2上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，＋∞上为增函数．因此，函数f (x )在[－2，＋∞)上只有最小值－1154，无最大值．(2)f ′(x )＝2cos 2x －1. 令f ′(x )＝2cos 2x －1＝0， 解得x ＝π6或x ＝－π6.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：由上表可知f (x )的最大值是π2，最小值是－π2.求函数最值的4个步骤[注意] 求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较． [活学活用]已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值和最小值．解：易知f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∵f (x )＝1－x x ＋ln x ＝1x－1＋ln x ，∴f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的变化情况如下表：∴在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，当x ＝1时，f (x )取得极小值，也是最小值，且f (1)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－ln 2，f (2)＝－12＋ln 2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f (2)＝32－2ln 2＝12×(3－4ln 2)＝12ln e 316>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f (2)，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－ln 2，最小值为f (1)＝0.[典例] 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．[解] 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常数函数，与题设矛盾．f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．(1)当a >0，则x 变化时，f ′(x )，f (x )在[－1,2]上的变化情况如下表：由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f(－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0，则x 变化时，f ′(x )，f (x )在[－1,2]上的变化情况如下表：当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也就是函数在[－1,2]上的最小值， ∴f (0)＝b ＝－29，又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.已知函数最值求参数的步骤(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值； (2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值； (3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决． [活学活用]已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，求a 的值．解：由题意知f ′(x )＝4－a x 2＝4x 2－ax 2.又x >0，a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝a2，当0<x <a2时，f ′(x )<0；当x >a2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递增，即当x ＝a2时，f (x )取得最小值，则a2＝3，解得a ＝36.[典例] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－3与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间．(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围． [解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得a ＝－12，b ＝－2，所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23和(1，＋∞)；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.(2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2227＋c 为极大值，因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值． 要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.故c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． [一题多变]1．[变设问]若本例中条件不变，“把(2)中对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立”改为“若存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立”，结果如何？解：由典例解析知当x ＝1时，f (1)＝c －32为极小值，又f (－1)＝12＋c >c －32，所以f (1)＝c －32为最小值．因为存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立， 所以只需c 2>f (1)＝c －32，即2c 2－2c ＋3＞0，解得c ∈R.2．[变条件，变设问]已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R)在x ＝2处取得极小值－43. (1)求f (x )的单调递增区间．(2)若f (x )≤m 2＋m ＋103在[－4,3]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x 2＋a ，由f ′(2)＝0，得a ＝－4； 再由f (2)＝－43，得b ＝4.所以f (x )＝13x 3－4x ＋4，f ′(x )＝x 2－4.令f ′(x )＝x 2－4>0，得x >2或x <－2.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)因为f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，所以函数f (x )在[－4,3]上的最大值为283.要使f (x )≤m 2＋m ＋103在[－4,3]上恒成立，只需m 2＋m ＋103≥283， 解得m ≥2或m ≤－3.所以实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．恒成立问题向最值转化的方法(1)要使不等式f (x )<h 在区间[m ，n ]上恒成立，可先在区间[m ，n ]上求出函数的最大值f (x )max ，只要h >f (x )max ，则上面的不等式恒成立．(2)要使不等式f (x )>h 在区间[m ，n ]上恒成立，可先在区间[m ，n ]上求出函数f (x )的最小值f (x )min ，只要f (x )min >h ，则不等式f (x )>h 恒成立．层级一 学业水平达标1．设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数解析：选A f ′(x )＝2－1x 2＝2x 2－1x2， 令f ′(x )＝0，得x ＝－22.当x <－22时，f ′(x )>0，当－22<x <0时，f ′(x )<0，∴x ＝－22是函数f (x )的极大值点，也是最大值点．2．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12，－8 B ．1，－8 C ．12，－15D ．5，－16解析：选A y ′＝6x 2－6x －12， 由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．x ＝－2时，y ＝1；x ＝－1时， y ＝12；x ＝1时，y ＝－8.∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A.3．函数f (x )＝2x ＋1x，x ∈(0,5]的最小值为( )A ．2B ．3 C.174D ．22＋12解析：选B 由f ′(x )＝1x －1x2＝x 32－1x2＝0，得x ＝1， 且x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1,5]时，f ′(x )＞0， ∴x ＝1时，f (x )最小，最小值为f (1)＝3. 4．函数y ＝ln x x的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D ．10解析：选A 令y ′＝ln x ′x －ln x x 2＝1－ln x x2＝0⇒x ＝e.当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x ＜e 时，y ′＞0，所以y 极大值＝f (e)＝e －1，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1.5．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， π2上取最大值时，x 的值为( )A ．0 B.π6C.π3D.π2解析：选B y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，得sin x ＝12，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＝π6. 由y ′>0得sin x <12，∴0≤x <π6；由y ′<0得sin x >12，∴π6<x ≤π2，∴原函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2上单调递减．当x ＝0时，y ＝2，当x ＝π2时，y ＝π2，当x ＝π6时，y ＝π6＋3，∵π6＋3>2>π2，∴当x ＝π6时取最大值，故应选B.6．函数f (x )＝x 2－54x(x <0)的最小值是________．解析：f ′(x )＝2x ＋54x2.令f ′(x )＝0，知x ＝－3.当x <－3时，f ′(x )<0； 当－3<x <0时，f ′(x )>0.所以当x ＝－3时，f (x )取得极小值，也是最小值， 所以f (x )min ＝27. 答案：277．函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最小值为________． 解析：f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1(e －x ＞0)， ∴f (1)＝1e ＞0，f (0)＝0，f (4)＝4e 4＞0，所以f (x )的最小值为0. 答案：08．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝________.解析：∵f ′(x )＝3x 2－3，∴当x ＞1或x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝1－3－a ＝－2－a ＝n . 又∵f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，∴f (0)＜f (3)． ∴f (x )max ＝f (3)＝18－a ＝m ， ∴m －n ＝18－a －(－2－a )＝20. 答案：209．已知k 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x ＋k )． (1)求导函数f ′(x )；(2)若x ＝－1是函数f (x )的极值点，求f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值． 解：(1)∵f (x )＝x 3＋kx 2－4x －4k ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2kx －4. (2)由f ′(－1)＝0，得k ＝－12.∴f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4.由f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝43.又f (－2)＝0，f (－1)＝92，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－5027，f (2)＝0，∴f (x )在区间[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a ，b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．解：(1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2， 又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得， 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎨⎧ a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：x －3 (－3，－2) －2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，2323⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 1 f ′(x )＋ 0 －0 ＋f (x )8极大值极小值4∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＝27，又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.层级二 应试能力达标1．函数f (x )＝xe x 在区间[2,4]上的最小值为( )A ．0 B.1e C.4e4 D.2e2 解析：选C f ′(x )＝e x －x e x e x 2＝1－xe x ，当x ∈[2,4]时，f ′(x )<0，即函数f (x )在[2,4]上是单调递减函数， 故当x ＝4时，函数f (x )有最小值4e4.2．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[0,1)B ．(0,1)C ．(－1,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0,1)，∴0＜a ＜1，故选B.3．若函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A ．－10B ．－71C ．－15D ．－22解析：选B f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5，∴f (x )min ＝k －76＝－71.4．已知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，函数f (x )＝tx －sin x (t ∈R)的值恒小于零，则t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，2πB.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，π2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，＋∞ 解析：选A f (x )＝tx －sin x <0在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内恒成立，即t <sin x x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内恒成立，令g (x )＝sin x x ，则g ′(x )＝x cos x －sin xx2. 令φ(x )＝x cos x －sin x ，则φ′(x )＝－x sin x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，φ′(x )<0，∴φ(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减， ∴φ(x )<φ(0)＝0，∴sin x >x cos x ，∴g ′(x )<0， ∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减，∴t ≤sinπ2π2＝2π.5．已知函数f (x )＝x ＋cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，当f (x )取得最大值时，x 的值为________．解析：由题意知f ′(x )＝1－sin x ≥0恒成立， 所以f (x )＝x ＋cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．所以当x ＝π2时，f (x )取得最大值．答案：π26．已知函数f (x )＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a ＝________.解析：f ′(x )＝－2x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝－1，∴函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a ＞－1，则最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－32舍去；若a ≤－1，则最大值为f (－1)＝－1＋2＋3＝4≠154.综上知，a ＝－12.答案：－127．已知a ≠0，函数f (x )＝ax (x －2)2(x ∈R)．若对任意x ∈[－2,1]，不等式f (x )<32恒成立，求a 的取值范围．解：因为f (x )＝ax (x 2－4x ＋4)＝ax 3－4ax 2＋4ax . 所以f ′(x )＝3ax 2－8ax ＋4a ＝a (3x 2－8x ＋4) ＝a (3x －2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝2(舍去)，当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，23上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1上单调递减．故f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3227a <32，即a <27.所以0<a <27.当a <0时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，23上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1上单调递增，又f (－2)＝－32a >f (1)＝a .所以f (x )的最大值为f (－2)＝－32a <32，即a >－1. 所以－1<a <0.综上可得，a 的取值范围为(－1,0)∪(0,27)．8．已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋1－x1＋x (x ≥0)，其中a >0.(1)若f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)若f (x )的最小值为1，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a ax ＋1－21＋x2＝ax 2＋a －2ax ＋11＋x2.因为f (x )在x ＝1处取得极值， 故f ′(1)＝0，解得a ＝1. (2)由(1)知，f ′(x )＝ax 2＋a －2ax ＋11＋x2，因为x ≥0，a >0，故ax ＋1>0,1＋x >0.当a ≥2时，在区间[0，＋∞)上f ′(x )≥0恒成立， 故f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 则f (x )的最小值为f (0)＝1.当0<a <2时，由f ′(x )>0，解得x >2－aa；由f ′(x )<0，解得x <2－aa.则f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2－a a ，单调递增区间为2－aa，＋∞.故f(x)在x＝2－aa处取得最小值，又f 2－aa<f(0)＝1，故与f(x)的最小值为1矛盾．综上可知，a的取值范围是[2，＋∞)．。

《函数的最大(小)值与导数》参考教案一、教学目标1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念，并掌握求解函数最大值和最小值的方法。

2. 让学生掌握导数的定义和性质，并能运用导数求解函数的极值。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 函数的最大值和最小值的概念。

2. 求解函数最大值和最小值的方法。

3. 导数的定义和性质。

4. 运用导数求解函数的极值。

5. 实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的最大值和最小值的求解方法，导数的定义和性质，运用导数求解函数的极值。

2. 教学难点：导数的运算规则，运用导数求解复杂函数的最大值和最小值。

四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的教学方法。

2. 使用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。

3. 引导学生通过合作、探究、实践等方式，提高解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引入函数的最大值和最小值的概念。

2. 讲解：讲解求解函数最大值和最小值的方法，并举例演示。

3. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

4. 讲解：讲解导数的定义和性质，并举例演示。

5. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

6. 讲解：讲解如何运用导数求解函数的极值，并举例演示。

7. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

8. 讨论：分组讨论实际问题，运用所学知识解决问题。

9. 总结：对本节课的内容进行总结，回答学生提出的问题。

10. 作业：布置作业，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 练习题：评估学生在练习题中的表现，检验学生对知识的掌握程度。

3. 实际问题解决：评估学生在讨论实际问题时的表现，检验学生运用知识解决问题的能力。

4. 作业：评估学生的作业完成情况，检验学生对知识的掌握程度。

七、教学资源1. 教材：《数学分析》2. 多媒体课件3. 练习题4. 实际问题案例八、教学进度安排1. 第一课时：介绍函数的最大值和最小值的概念，讲解求解方法。

§1.3.3函数的最大（小）值与导数学习目标 ⒈理解函数的最大值和最小值的概念；⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤.学习过程一、课前准备复习1：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值；如果)(xf '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值复习2：已知函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =±时取得极值，且(1)1f =-，（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断1x =±时函数有极大值还是极小值，并说明理由.二、新课导学学习探究探究任务一：函数的最大（小）值问题：观察在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？在图1中，在闭区间[]b a ,上的最大值是 ，最小值是 ；在图2中，在闭区间[]b a ,上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 .新知：一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值. 试试：上图的极大值点 ，为极小值点为 ；最大值为 ，最小值为 .反思：1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．2.函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的 条件图1 图23.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.典型例题例1 求函数31()443f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值.小结：求最值的步骤（1）求()f x 的极值；（2）比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小的值为最小值.例2 已知23()log x ax b f x x++=,x ∈(0,+∞).是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[1,)+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1； 若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由.变式：设213a <<，函数323()2f x x ax b =-+在区间[1,1]-上的最大值为1，最小值为，求函数的解析式.小结：本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法，从逆向思维出发，实现由已知向未知的转化，转化过程中通过列表，直观形象，最终落脚在比较极值点与端点值大小上，从而解决问题．动手试试练1. 求函数3()3,[1,2]f x x x x =-∈的最值．练2. 已知函数32()26f x x x a =-+在[2,2]-上有最小值37-.（1）求实数a 的值；（2）求()f x 在[2,2]-上的最大值．三、总结提升学习小结设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.知识拓展利用导数法求最值，实质是在比较某些函数值来得到最值，因些我们可以在导数法求极值的思路的基础上进行变通.令()0f x '=得到方程的根1x ，2x ，，直接求得函数值，然后去与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合，也可以求最值.学习评价当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若函数3()3f x x x a =--在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M N -的值为（ ）A ．2B ．4C ．18D ．202. 函数32()3(1)f x x x x =-< （ ）A ．有最大值但无最小值B ．有最大值也有最小值C ．无最大值也无最小值D ．无最大值但有最小值3. 已知函数223y x x =--+在区间[,2]a 上的最大值为154，则a 等于（ ） A ．32- B ．12 C ．12- D ．12或32-4. 函数y x =-[0,4]上的最大值为5. 已知32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值，那么此函数在[2,2]-上的最小值是课后作业1. a 为常数，求函数3()3(01)f x x ax x =-+≤≤的最大值.2. 已知函数32()39f x x x x a =-+++，（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间[2,2]-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.。

《函数的最大(小）值与导数》教案§1。

3.3 函数的最大(小)值与导数（1）【教学目标】1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念,掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,)处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤． 【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法．【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 【教学过程】 一、复习引入:1．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0），就说f (x 0)是函数f (x ）的一个极大值，记作y 极大值=f （x 0），x 0是极大值点．2．极小值：一般地,设函数f （x ）在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f （x ）＞f （x 0）．就说f （x 0）是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0),x 0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值 注意以下几点： （ⅰ)极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f 〉)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点． 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点．4． 判别f (x 0）是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号,则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”,则0x 是)(x f 的极大值点,)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．5． 求可导函数f (x ）的极值的步骤：(1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； （2)求方程f ′(x )=0的根；（3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负,那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f （x )在这个根处无极值．二、讲解新课:1．函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中值．函数)(x f 在[]b a ,上的)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大最大值是)(b f ,最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． ⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．⒉利用导数求函数的最值步骤：由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值;⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．三、讲解范例：例1求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上解：先求导数，得x x y 443/-=令/y ＝0即0443=-x x 解得1,0,1321==-=x x x 导数/的正负以及，如下表从上表知,当2±=x 时,函数有最大值13，当1±=x 时，函数有最小值4．例2 已知23()log x ax bf x x ++=，x ∈(0,+∞)．是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件:(1）)(x f ）在(0，1）上是减函数，在[1，+∞)上是增函数；（2))(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由．解:设g (x ）=xb ax x ++2∵f (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞）上是增函数∴g （x ）在（0，1）上是减函数，在［1，+∞）上是增函数．∴⎩⎨⎧==3)1(0)1('g g ∴⎩⎨⎧=++=-3101b a b 解得⎩⎨⎧==11b a 经检验，a =1,b =1时，f （x ）满足题设的两个条件． 四、课堂练习：1．下列说法正确的是（ ）A ．函数的极大值就是函数的最大值B ．函数的极小值就是函数的最小值C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值2．函数y =f （x ）在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′（x ) ( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能3．函数y =234213141x x x ++,在［－1,1］上的最小值为（ )A ．0B ．－2C ．－1D ．12134．函数y =122+-x x x 的最大值为（ )A ．33 B ．1 C ．21 D ．23 5．设y =|x |3,那么y 在区间［－3，－1］上的最小值是（ ) A ．27 B ．－3 C ．－1 D ．16．设f （x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2]上的最大值为3，最小值为－29，且a 〉b ,则（ ） A ．a =2,b =29 B ．a =2，b =3 C ．a =3,b =2 D ．a =－2,b =－3 答案：1．D 2．A 3．A 4．A 5．D 6．B五、小结 :⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于零的点，导数不存在的点,区间端点；⑵函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值． 六、课后作业：§1.3.3 函数的最大（小)值与导数(2)【教学目标】1．进一步熟练函数的最大值与最小值的求法； 2．初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题． 【教学重点】解有关函数最大值、最小值的实际问题． 【教学难点】解有关函数最大值、最小值的实际问题． 【教学过程】 一、复习引入：1．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点,都有f (x )＜f （x 0),就说f （x 0）是函数f （x ）的一个极大值，记作y 极大值=f （x 0），x 0是极大值点．2．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义,如果对x 0附近的所有的点，都有f (x ）＞f （x 0)．就说f （x 0）是函数f (x ）的一个极小值，记作y 极小值=f （x 0），x 0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值．4．判别f (x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值,并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点,)(0x f 是极小值．5． 求可导函数f （x )的极值的步骤：(1）确定函数的定义区间，求导数f ′（x ) ; (2）求方程f ′(x ）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f （x )在这个根处无极值．6．函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． （1)在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． （3）函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个． 7．利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值;⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值． 二、讲解范例:例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多少? 602xh -=cm ，得箱子容解法一:设箱底边长为xcm ，则箱高积260)(322x x h x x V -== )600(<<x ．23()602x V x x '=- )600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x =0（舍去）,x =40， 并求得 V(40）=16000由题意可知,当x 过小（接近0)或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值． 答：当x =40cm 时,箱子容积最大，最大容积是16000cm 3解法二：设箱高为xcm ，则箱底长为(60-2x ）cm ，则得箱子容积x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一,略） 由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小,所以最大值出现在极值点处．260)(322x x h x x V -==、事实上，可导函数x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值．例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省?解：设圆柱的高为h ,底半径为R ，则表面积S=2πR h +2πR 2由V=πR 2h ，得2V h R π=,则S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R +2πR 2令 22()Vs R R '=-+4πR=0解得，R=32Vπ，从而h =2V R π=23()2V V ππ=34V π=23Vπ即h =2R因为S(R ）只有一个极值,所以它是最小值． 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=RR S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大?分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解:收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭，利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭(0100)q <<1214L q '=-+，令0L '=,即12104q -+=，求得唯一的极值点84q =．答:产量为84时，利润L 最大．x60-2x60-2x60-2xx60-2x 6060三、课堂练习：1．函数y =2x 3－3x 2－12x +5在[0，3］上的最小值是___________． 2．函数f （x )=sin 2x －x 在[－2π，2π］上的最大值为_____;最小值为_______． 3．将正数a 分成两部分，使其立方和为最小,这两部分应分成______和___．4．使内接椭圆2222b y a x +=1的矩形面积最大,矩形的长为_____，宽为_____．5．在半径为R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为___时,它的面积最大．答案：1． －15 2．2π －2π 3．2a 2a 4．2a 2b 5．23R四、小结 :（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点,那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．（3)相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单．五、课后作业：1．有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒,要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？解：（1）正方形边长为x ,则V =（8－2x ）·(5－2x ）x =2（2x 3－13x 2+20x ）(0〈x 〈25)V ′=4(3x 2－13x +10)（0<x <25），V ′=0得x =1根据实际情况，小盒容积最大是存在的，∴当x =1时，容积V 取最大值为18．2．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示,在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周l =AB +BC +CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b ． 解：由梯形面积公式,得S =21 (AD +BC ）h ,其中AD =2DE +BC ,DE =33h ，BC =b ，∴AD =332h +b , ∴S =h b h h b h )33()2332(21+=+ ①∵CD =h h 3230cos =︒,AB =CD ．∴l =h 32×2+b②由①得b =33-h S h ，代入②,∴l =h Sh h h S h +=-+333334 l ′=23h S -=0，∴h =43S , 当h 〈43S 时,l ′<0，h 〉43S 时,l ′>0． ∴h =43S时，l 取最小值，此时b =S 3324． 六、板书设计（略)b七、教学后记：风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且,还有诗和远方的田野。

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1.3第三课时 函数的最大（小）值与导数一、课前准备 1．课时目标(1）了解函数最值的意义，了解最值与极值的区别和联系。

(2）会求闭区间上函数的最大值和最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 2．基础预探(1) 函数的最大值与最小值:在闭区间[]b a ,上图象连续不断的函数)(x f 在[]b a ,上 最大值与最小值． (2） 利用导数求函数的最值的基本步骤设函数)(x f 在在（a ,b ）内可导,在闭区间[]b a ,上图象是 的，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：①求)(x f 在(,)a b 内的 ；②将)(x f 的各极值与 比较，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 二、学习引领对于函数的最值问题，应该注意以下几点： 1. 依据最值的含义，在闭区间[]b a ,上图象连续不断的函数)(x f ,在[]b a ,上，既有最大值又有最小值．2。

在开区间(,)a b 内图象连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值。

河北省沙河市高中数学 1.3.3 函数的最大（小）值与导数学案（无答案）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省沙河市高中数学1.3.3 函数的最大（小）值与导数学案（无答案）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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§1。

3。

3函数的最大（小）值与导数【学法指导】：认真自学，激情讨论，愉快收获.●为必背知识【学习目标】：1。

理解函数的最大值、最小值的概念；2。

使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤。

【学习重点】:利用导数求函数的最大值和最小值的方法【学习难点】：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系 一：回顾预习案●1、 函数的单调性与其导数的正负关系 在某个区间(a ，b )内,如果________，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增; 如果________,那么函数()y f x =在这个区间内单调________.●2、利用导数判别函数的极大（小）值：解方程)(x f '=0，当)(x f '=0时，判别)(0x f 是极大(小）值的方法是：⑴如果在0x 附近的左侧)(x f '＞0，右侧)(x f '＜0，那么，)(0x f 是________⑵如果在0x 附近的左侧)(x f '＜0，右侧)(x f '＞0,那么，)(0x f 是________新知学习3、观察下面函数()y f x =在区间[],a b 上的图象， 回答:(1） 在哪一点处函数()y f x =有极大值和极小值?(2) 函数()y f x = 在[],a b 上有最大值和最小值吗?如果有， 最大值和最小值分别是什么？结论：一般地,如果在区间[],a b 上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值。

《函数的最大(小)值与导数》参考教案章节一：函数的导数与最大值1. 教学目标：让学生理解导数的定义和性质。

让学生学会使用导数来求函数的最大值。

2. 教学内容：导数的定义和性质。

利用导数求函数的最大值。

3. 教学步骤：引入导数的定义和性质，进行讲解和示例。

介绍利用导数求函数的最大值的方法，并进行讲解和示例。

章节二：函数的导数与最小值1. 教学目标：让学生理解导数的定义和性质。

让学生学会使用导数来求函数的最小值。

2. 教学内容：导数的定义和性质。

利用导数求函数的最小值。

3. 教学步骤：引入导数的定义和性质，进行讲解和示例。

介绍利用导数求函数的最小值的方法，并进行讲解和示例。

章节三：函数的单调性与最大值1. 教学目标：让学生理解函数的单调性。

让学生学会利用函数的单调性来求函数的最大值。

2. 教学内容：函数的单调性。

利用函数的单调性来求函数的最大值。

3. 教学步骤：引入函数的单调性，进行讲解和示例。

介绍利用函数的单调性来求函数的最大值的方法，并进行讲解和示例。

章节四：函数的单调性与最小值1. 教学目标：让学生理解函数的单调性。

让学生学会利用函数的单调性来求函数的最小值。

2. 教学内容：函数的单调性。

利用函数的单调性来求函数的最小值。

3. 教学步骤：引入函数的单调性，进行讲解和示例。

介绍利用函数的单调性来求函数的最小值的方法，并进行讲解和示例。

章节五：实际问题中的最大(小)值问题1. 教学目标：让学生学会将实际问题转化为函数的最大(小)值问题。

让学生学会利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题。

2. 教学内容：实际问题转化为函数的最大(小)值问题的方法。

利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题。

3. 教学步骤：介绍实际问题转化为函数的最大(小)值问题的方法，并进行讲解和示例。

介绍利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题的方法，并进行讲解和示例。

章节六：利用导数求函数的最大值和最小值1. 教学目标：让学生能够熟练运用导数求解函数的最大值和最小值。