算术平方根

算术平方根、平方根引入：小明家新买一套客厅面积是200平方米的房子，他家打算用4000块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的面积是多少平方分米，边长又是多少平方分米？一、算术平方根的概念：我们规定若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

记为“a ”，读作“根号a ”。

特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0=0。

6、算术平方根的性质：一个正数有 个算术平方根，是 ；0有 个算术平方根，是 ；负数 。

例1：填空：(1)因为（ ）2＝36，所以36的算术平方根是 ，即36＝ ； (2)因为( )2＝649，所以649的算术平方根是 ，即649＝ ； (3)因为( )2＝0.81，所以0.81的算术平方根是 ，即0.81＝ ；(4)因为( )2＝0.572，所以0.572的算术平方根是 ，即20.57＝ .例2：选择题1.4的算术平方根是（ ）A ．2B ．2-C ．2±D ．162.如果25.0=y ，那么y 的值是（）A. 0625.0B. 5.0-C. 5.0D.5.0± 3.3最接近的整数是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．5例3：求下列各数的算术平方根：(1)900； (2)1； (3)6449； (4)14。

变式：1.求值=81 =25.2=8149 =4122、求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：(1)、(7.4)2； (2)、(－3.9)2； (3)、2.25； (4)、241。

随堂练习：1.填空题（1）若一个数的算术平方根是5，则这个数是_________。

（2）94的算术平方根是_________。

（3）04.0=_________，±09.0= ，－972= 。

（4）62500＝ ， 6250000＝ ，0.0625＝ ， 0.000625＝ .（5）2)3(-的算术平方根是 .2．一个正方形的边长为a ，面积是10平方厘米，则a 可以表示为 厘米.3.小丽想用一块面积为400m 2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300m 2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2。

算术平方根知识点总结算术平方根是数学中重要的概念之一，在数学的学习过程中常常涉及到。

本文将对算术平方根的定义、性质及求解方法进行总结。

通过阅读本文，读者将能够准确理解算术平方根的概念，熟练运用相关方法，提高数学解题的能力。

一、算术平方根的定义算术平方根是指一个数的平方等于它的平方根的数。

以数a为例，如果一个正数x满足x^2=a，那么x就是a的算术平方根。

二、算术平方根的性质1. 非负数的算术平方根都是非负数。

即，如果a≥0且x^2=a，那么x≥0。

2. 正数的算术平方根只有一个。

即，如果a>0且x^2=a，那么x只有一个解。

3. 零的算术平方根是零。

即，0^2=0，所以0是0的算术平方根。

4. 负数没有实数算术平方根。

即，如果a<0，那么方程x^2=a没有实数解。

三、求解算术平方根的方法1. 常见正数的算术平方根可以通过手算方法求得。

例如，我们可以通过试探法或近似法，逐步逼近一个数的平方根。

2. 对于较大的数，可以利用计算器或电脑软件来求解算术平方根。

3. 在解题过程中，可以通过运用一些特定的运算性质来求解算术平方根。

例如，利用开方运算的性质，可以将复杂的问题简化为简单的计算。

四、算术平方根的应用算术平方根在生活中和其他学科中有广泛的应用。

下面列举一些常见的应用场景：1. 几何学中的勾股定理：勾股定理中涉及到了平方根的概念，通过找出两个边的平方和等于第三边的平方，可以判断三角形是否为直角三角形。

2. 物理学中的速度计算：在物理学的速度计算中，常常需要运用平方根来计算速度的大小。

3. 统计学中的标准差：在统计学中，标准差是一种衡量数据离散程度的指标，其计算过程需要使用平方根。

4. 金融学中的收益率计算：在金融学中，计算投资收益率时，常常需要运用平方根进行计算。

五、总结通过阅读本文，我们了解了算术平方根的定义、性质及求解方法。

算术平方根在数学中具有重要的地位，也广泛应用于其他学科和实际生活中。

第六章实数专题6 算术平方根与平方根的概念及性质知识要点1.算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即x ²=a ，那么这个正数x 叫作a 的算术，读作“根号a ”，a 叫作被开方数.规定：0的算术平方根是0.2.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x ²=a ，那么这个数x 叫作a 的平方根或二次方根，a 叫作被开方数.正数a 的正的平方根，即为a 的算术平方根。

①正数a 有两个互为相反数的平方根：，读作“正负根号a ”；②负数没有平方根；③0的平方根是0.3.求一个非负数的平方根的运算叫作开平方，平方和开平方互为逆运算。

4.如果被开方数的小数点向左（或向右)移动2位，它的算术平方根的小数点就相应向左（或向右）移动1b =10b 0.1b =.5.算术平方根的双重非负性满足关系式：①a ≥0（被开方数为非负数）；≥0（算术平方根为非负数）。

6.算术平方根的性质：若a ＞b ≥07.两个结论：①2a = (a ≥0)a =. 典例精析例1 （1）求下列各数的算术平方根：①81；②2536；③()23π-；④()2x - （2）求下列各数的平方根：①0.49；②124；③()232---；④4x【分析】分别按照平方根和算术平方根的定义来求值，要注意两者符号书写的不同.【解】（1）因为9²=81，所以；②因为2525636⎛⎫= ⎪⎝⎭56③因为π＞3，所以π-3＞0a =33ππ-=-；④因为()22x x =-==x（2）①因为()20.70.49±=，所以=±0.7；②因为23924⎛⎫±= ⎪⎝⎭，所以32==±；③因为()2525±=，5=±；④因为()()2222224x x x x x x x x x ±==⋅=⋅⋅⋅=，2x ±.【点评】①遇到带分数，需要先把带分数化为假分数；②求一个式子的平方根或算是平方根，需要先求出该算式的值；③一个正数的平方根总是成对出现的，不要遗漏.拓展与变式1 ___________.拓展与变式2 若m +1是9的平方根，则m =_________拓展与变式3 若一个正数的两个平方根为x -1和2x +1，则这个正数为_________. 拓展与变式4 若整式x -1和2x +1都可以表示一个正数的平方根，求这个正数.【反思】①审题时，要注意按照定义运算，”的作用.②需要灵活判断和运用平方运算和它的逆运算---开平方的运算例2 已知：（m +1）²，求式子3n m -的值.【分析】两个非负数的和为0，则这两个数均为0.【解】依题意得1030m n +=⎧⎨-=⎩解得13m n =-⎧⎨=⎩，所以3n m -=()331--=4 【点评】灵活借助平方结构和算式平方根的非负性进行分析和求解.拓展与变式5 已知：()21m -=m +n 的值为_________.拓展与变式6 0=，a 的值为___________拓展与变式7 已知：()2210m t n --=，代数式2m n t ++的值为_______.【反思】①学过的具有非负性的式子有20a ≥，0a ≥0≥（a ≥0）.②学会运用和区别算术平方根的非负和被开方数非负两个性质.例3 ）A .3与4之间B . 4与5之间C . 5与6之间D . 6与7之间【解】因为20＜30＜36且a ＞b ≥00>≥.所以答案为C【点评】利用被开平方数的范围进行估算，需要寻找与其大小最接近的两个平方数.拓展与变式8 1________3.拓展与变式9 a ，小数部分为b ，求a 、b 的值【反思】若1m m <+（m 为非负整数）m -m . 专题突破1.（1）x 是81的算术平方根，那么x 的算术平方根是（ ）A .3±B .9±C .3D .9（24±34132=+；④22，其中正确的个数是（ ）A .0B .1C .2D .32.如图6-1所示，点A ，B ，C ，D ，O 分别表示的数是1，2，3，4，0.图6-1（1）点P 从O 2秒后，点P 在线段______上；（2）点P 从B 1秒后，点P 在线段______上.3.a ，b 满足关系式b ab 的平方根.4.解方程：（1）x ²=4； （2）（a -1）²=4； （3）（x -2）²-1=4。

平方根与算术平方根1.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个x 就叫a 的平方根，表示为±a ，也叫二次方根，3和－3的平方都等于9，由定义可知3和－3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和－3，即±=9±3.2.算数平方根： 若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个正数x 就叫做a 的算术平方根.记为“a ”读作“根号a ”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即0=0. 9的算术平方根只有一个是3.即39=.3.平方根的性质：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根.4.算数平方根的性质：非负数（正数和0）才有算术平方根，负数没有算术平方根. 即用式子表示为a (a ≥0)一定为非负数4.平方根与算术平方根的区别与联系1、联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.(3)0的平方根，算术平方根都是0.2、区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫a 的算术平方根”.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同：正数a 的平方根表示为±a ，正数a 的算术平方根表示为a .(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个。

练 习1．9的平方根是（ ）A ．3B ．－3C ．±3D ．32．下列说法中正确的是（ ）A ．任何数都有平方根B ．一个正数的平方根的平方就是它的本身C ．只有正数才有算术平方根D ．不是正数没有平方根3．下列各式正确的是（ ）A ．1691=45B ．414=221 C ．25.0=0.05 D ．－49-=－（－7）=7 4.下列说法正确的是（ ）A.5是25的算术平方根B.±4是16的算术平方根C.－6是（－6）2的算术平方根D.0.01是0.1的算术平方根5．下列各式无意义的是（ ）A ．－5B ．25-C ．51- D ．2)5(- 6．3－2的算术平方根是（ ） A ．61 B ．31C ．3D ．6 7．（－23）2的平方根是（ ） A ．±8 B ．8 C ．－8D ．不存在 8．使x -有意义的x 的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．0D ．非正数9．一个自然数的算术平方根是n ，那么大于这个自然数且与它相邻的自然数是（ ）A.n +1B.n 2+1C.12+n D.n +110．若x 2=2,则x 的准确值是多少? 如何表示?请填写下列各空：（1）∵42=16，∴16的算术平方根是 ，用符号表示出来为 ； （2）∵94)32(2=，∴94的算术平方根是 ；用符号表示出来为 ； （3）∵( )2=6，∴6的算术平方根是 .11．若一个数的算术平方根是5，则这个数是_________.12．8116的平方根是____________，（21-）2的算术平方根是____________． 13．y =x x -+-33+2，则x =__________，y =__________．14．一个数的算术平方根是它本身，这个数是______________．15．252－242的平方根是__________，0.04的负的平方根是____________．16．若2-a +|b －3|=0，则a +b －5=____________．17．若4x 2=9，则x =____________．18．81的算术平方根为_________.16的平方根是____________19． (－π)2的算术平方根为_____.20．求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：(1)(7.1)2； (2)(－3.5)2； (4)241.21、求各式的值－01.0 2)5(- 610-22、计算32÷（－3）2+|－61|×（－6）+49．23、求下列各式中x 的值.(1) 25x 2－36=0； (2) (x +1)2－81=0；24、12-x +（y +2）2=0，求x －3+y 3的值．25、 |2a －5|与2+b 互为相反数，求ab 的值．26、已知x ，y 满足x x y 211121-+-=+3，求x y27、请你在数轴上画出表示5的点，并简要说出你的画法．。

13.1.1．算术平方根

教学目标：

【知识与技能】 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的双重非负性。 2.会用平方运算求某些非负数的算术平方根。 【方法与过程】 以实际问题出发，理解算数平方根的概念。 【情感态度与价值观】 通过学习算术平方根，认识数学与人类生活的紧密联系。 教学重点： 算术平方根的概念。 教学难点： 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。

教学过程

一、创设情境，导入新课：

导入：今天这节课我们上新的内容——实数，请同学们将数翻到67页，第十三章的章前页，了解这一章主要讲述了哪些内容。 课堂预习：下面请同学们将书翻到68页，花5分钟的时间将这个实际问题，表格，概念以及例题看一遍。 1、提出问题： 学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，这正方形的画布的边长应该为多少？实际上已知一个正数的平方，求这个正数的问题。 一、定义：

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2 =a，那么这个正数x叫做a

的算术平方根．a的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a叫做被开方数． 即 ax（0,0ax） 规定：0的算术平方根是0. 记作:0=0 概念练习题 下列各式是否有意义？

①2 ②22 ③2)2( ④12x 二，求算术平方根 1，求下列各数的算术平方根：

(1) 100 (2) 6449 (3) 0.0001 注意书写格式 练习 1,求下列各数的算术平方根

（1）0.0025 （2）121 （3）23 2,求下列各式的值

（1）1 (2) 259 (3) 22 三、判断题 （1）一个数的算术平方根一定是正数. （ ） （2）非正数都没有算术平方根. （ ）

（3）1691的算术平方根是431. （ ） （4）-4没有算术平方根. （ ） （5）2)5(的算术平方根是-5. （ ）

（6）81的算术平方根是9. ( ) 四、提高题 若049)1(2cba，求abc的算术平方根。 五、小结:

求算术平方根的步骤【实用版】目录1.引言2.算术平方根的定义3.求算术平方根的步骤a.确定问题b.估算c.迭代4.示例5.总结正文1.引言在数学中，算术平方根（Arithmetic Square Root，简称 ASR）是一个重要的概念。

当我们需要找到一个数的平方等于另一个数时，就需要用到算术平方根。

例如，找到一个数的平方等于 36，我们就需要求 36 的算术平方根。

本文将介绍如何求算术平方根的步骤。

2.算术平方根的定义算术平方根是一个非负数，它的平方等于给定的数。

例如，9 的算术平方根是 3，因为 3 的平方（3 × 3）等于 9。

3.求算术平方根的步骤求算术平方根的过程可以分为以下几个步骤：a.确定问题：首先，我们需要明确求解的问题，即找到一个数的平方等于给定的数。

b.估算：在求算术平方根之前，我们可以先对给定的数进行估算，以便更快地找到答案。

例如，在求 36 的算术平方根时，我们可以先估算36 的平方根大概在 6 左右。

c.迭代：根据估算的结果，我们可以从离答案较近的数字开始，通过迭代的方式逐渐逼近算术平方根。

迭代的方法有很多，如牛顿迭代法、二分法等。

这里以牛顿迭代法为例：假设我们已知一个近似值 x0，那么我们可以通过以下公式不断逼近算术平方根：x1 = (x0 + sqrt(x0^2 - 4 * a * x0)) / 2其中，a 为给定的数，x0 为初始近似值，x1 为迭代后的值。

我们可以不断更新 x0 为 x1，直到结果满足我们的精度要求。

4.示例以求 36 的算术平方根为例：a.估算：我们可以猜测 36 的平方根大约在 6 左右。

b.迭代：使用牛顿迭代法，我们可以得到以下结果：x0 = 6x1 = (6 + sqrt(6^2 - 4 * 36 * 6)) / 2 = 6可以看到，x1 与 x0 相等，说明我们已经得到了 36 的算术平方根，即 6。

5.总结求算术平方根的过程包括确定问题、估算、迭代等步骤。

平方根与算术平方根概念辨一、区别：1、定义不同。

平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根。

例如，，2是4的平方根，，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。

算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根（特别规定：0的算术平方根是0）。

例如，，正数2是4的算术平方根。

虽然，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根。

2、表示方法不同。

平方根：一个非负数a的平方根记做。

例如，5的平方根记做。

算术平方根：一个非负数a的算术平方根记作。

例如，5的算术平方根记作。

3、个数不同。

平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

例如，16的平方根有两个，一个是4，另一个是－4。

算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个，且这个数是正数。

例如，16的算术平方根只有一个，是4。

二、联系1、二者之间存在着从属关系。

一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根，算术平方根是平方根中的一个。

例如，的两个平方根是，其中是的算术平方根。

2、二者被开方数的取值范围相同。

只有非负数才有平方根，负数没有平方根。

只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根。

一个数没有平方根，它一定也没有算术平方根。

三、典型例题例1 求下列各数的平方根。

（1）121 （2）（3）0 （4）例2 求下列各数的算术平方根。

（1）225．（2）（3）0.49 （4）例3 下列说法是否正确？为什么？（1）5是25的平方根。

（2）25的平方根是5。

例4 下列说法正确的是（）A. －5是的算术平方根B. 81的平方根是C. 2是－4的算术平方根D. 9的算术平方根是例5 求下列各式的值。

（1）（2）（3）（4）例6 下列各式正确的是（）A. B.C. D.解：选D。

算术平方根知识点总结算术平方根是数学中一个基础且重要的概念。

在我们的日常生活和学习中，它有着广泛的应用。

接下来，让我们详细地了解一下算术平方根的相关知识。

一、算术平方根的定义若一个非负数 x 的平方等于 a，即\（x^2 ＝ a\），那么这个非负数x 叫做 a 的算术平方根，记作\（＼sqrt{a}＼），读作“根号a”，a 叫做被开方数。

特别地，0 的算术平方根是 0。

例如，因为\（2^2 ＝ 4\），所以 2 是 4 的算术平方根，即\（＼sqrt{4} ＝ 2\）；因为\（0^2 ＝ 0\），所以 0 是 0 的算术平方根，即\（＼sqrt{0} ＝ 0\）。

需要注意的是，负数没有算术平方根，因为任何数的平方都是非负数。

二、算术平方根的性质1、双重非负性算术平方根具有双重非负性，即被开方数\（a\geq 0\），算术平方根\（＼sqrt{a}＼geq 0\）。

这是因为一个数的平方不可能是负数，所以被开方数必须是非负的；同时，算术平方根表示的是一个非负的数。

2、唯一性一个正数的算术平方根是唯一的。

例如，9 的算术平方根只有一个，就是 3，而不是\（－3\）。

3、运算性质＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。

三、算术平方根的计算1、常见数的算术平方根要牢记一些常见数的算术平方根，例如：＼（＼sqrt{1} ＝ 1\），＼（＼sqrt{4} ＝ 2\），＼（＼sqrt{9} ＝3\），＼（＼sqrt{16} ＝ 4\），＼（＼sqrt{25} ＝ 5\）等等。

2、利用平方运算求算术平方根对于一个数 a，如果要计算它的算术平方根，可以通过试探找到一个数 x，使得\（x^2 ＝ a\），则\（x ＝＼sqrt{a}＼）。

例如，要计算\（＼sqrt{10}＼），因为\（3^2 ＝ 9\），＼（4^2 ＝16\），而 10 在 9 和 16 之间，所以\（＼sqrt{10}＼）在 3 和 4 之间。

平方根算术平方根经典题型
平方根是一个数的平方根的一种特殊形式。

在数学中，平方根
是指一个数的平方等于另一个数的运算。

例如，2的平方根是1.414，因为1.414乘以1.414等于2。

平方根经典题型通常涉及求解给定
数的平方根或者利用平方根来解决实际问题。

在求解平方根的经典题型中，常见的问题包括求解正整数的平
方根、求解小数的平方根、求解负数的平方根等。

这些问题可以通
过不同的方法来解决，比如数学公式、因式分解、逼近法等。

另外，还有一些与平方根相关的常见题型，比如求解平方根的近似值、判
断一个数是否为完全平方数等。

在实际问题中，平方根经典题型也经常被应用。

例如，在物理
学中，求解速度、加速度、能量等的平方根是常见的问题；在工程
学中，计算机算法、信号处理、图像处理等领域也会涉及到平方根
的运算。

此外，平方根还在金融数学、统计学和计量经济学等领域
有着广泛的应用。

总的来说，平方根经典题型涉及到了数学运算、实际问题的求
解以及跨学科的应用，对于学生和专业人士来说都具有重要的意义。

通过深入理解和掌握平方根的经典题型，可以帮助我们更好地理解数学知识，并且在实际问题中运用数学方法解决现实生活和工作中的挑战。