高三数学第一轮复习-第六十三课时 直接证明与间接证明

第五节 直接证明与间接证明[最新考纲] 1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点．1要证…，只需证…，即证…反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件． ( ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( ) (3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾． ( )(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0 ，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0D [a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.]3．用反证法证明命题：“已知a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根A [“方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”的反面是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”，故选A.]4．已知a ，b ，x 均为正数，且a >b ，则b a 与b ＋xa ＋x的大小关系是________．b ＋x a ＋x >b a [∵b ＋x a ＋x －b a ＝x (a －b )(a ＋x )a >0，∴b ＋x a ＋x >ba.] 5．(教材改编)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为__________三角形．等边 [由题意2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，又b 2＝ac ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴A ＝C ，∴A ＝B ＝C ＝π3， ∴△ABC 为等边三角形．]1．已知m ＞1， ) A ．a ＞b C ．a ＝b D ．a ，b 大小不定B [∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m ，b ＝m －m －1＝1m ＋m －1.而m ＋1＋m ＞m ＋m －1＞0(m ＞1)，∴1m ＋1＋m ＜1m ＋m －1，即a ＜b .]2．已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a ＞0，且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．[证明] (1)函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知y ＝－aa x ＋a，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a ，f (1－x )＝－a a 1－x ＋a＝－aa a x ＋a＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a ，∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称．(2)由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )，即f (x )＋f (1－x )＝－1.∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1， f (0)＋f (1)＝－1.分析法1．若a ，b ∈(1，＋∞)，证明a ＋b ＜1＋ab . [证明] 要证a ＋b ＜1＋ab ， 只需证(a ＋b )2＜(1＋ab )2， 只需证a ＋b －1－ab ＜0， 即证(a －1)(1－b )＜0.因为a ＞1，b ＞1，所以a －1＞0,1－b ＜0， 即(a －1)(1－b )＜0成立， 所以原不等式成立．2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.[证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，也就是c a ＋b ＋ab ＋c＝1，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°，由余弦定理，得，b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°， 即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立．►考法1 证明否定性命题【例1】 设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． [解] (1)设{a n }的前n 项和为S n . 则S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ，两式相减得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ＝a 1(1－q n )，当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1， 所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q，q ≠1.(2)证明：假设数列{a n ＋1}是等比数列，则(a 1＋1)(a 3＋1)＝(a 2＋1)2， 即a 1a 3＋a 1＋a 3＋1＝a 22＋2a 2＋1， 因为{a n }是等比数列，公比为q ，所以a 1a 3＝a 22，a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2， 所以a 1(1＋q 2)＝2a 1q .即q 2－2q ＋1＝0，(q －1)2＝0，q ＝1， 这与已知q ≠1矛盾，所以假设不成立，故数列{a n ＋1}不是等比数列． ►考法2 证明“至多”“至少”命题【例2】 已知a ，b ，c 是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0中至少有一个方程有两个相异实根．[证明] 假设三个方程都没有两个相异实根． 则Δ1＝4b 2－4ac ≤0， Δ2＝4c 2－4ab ≤0， Δ3＝4a 2－4bc ≤0， 上述三个式子相加得：a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2≤0， 即(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0.所以a ＝b ＝c 这与a ，b ，c 是互不相等的实数相矛盾． 因此假设不成立，故三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，22(1)已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1.(2)设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明： (1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．[证明] 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a >0，b >0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立， 则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾． 故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．课后限时集训(三十六) (建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设是( ) A ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．自然数a ，b ，c 都是奇数D ．自然数a ，b ，c 都是偶数B [“恰有一个”否定是“至少有两个或一个也没有”，故选B.] 2．(2019·西安模拟)若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值决定 C [P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12， ∵2a 2＋7a ＋12＞2a 2＋7a ， ∴P 2＜Q 2，∴P ＜Q ，故选C.]3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则下列三个数a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a( )A ．都大于6B ．至少有一个不大于6C ．都小于6D ．至少有一个不小于6 D [由a ，b ，c ∈(0，＋∞)知⎝⎛⎭⎫a ＋4b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋9c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋16a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋16a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋4b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋9c ≥18(当且仅当a ＝4，b ＝2，c ＝3时，等号成立)，因此三个数中至少有一个不小于6，故选D.]4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0 C [由题意知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2 ⇐(a ＋c )2－ac <3a 2⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0 ⇐－2a 2＋ac ＋c 2<0 ⇐2a 2－ac －c 2>0⇐(a －c )(2a ＋c )>0⇐(a －c )(a －b )>0.] 5．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤AA [因为函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数，且a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≤B ≤C ，故选A.] 二、填空题6．用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设________． x ≠－1且x ≠1 [“x ＝－1或x ＝1”的否定是“x ≠－1且x ≠1”．]7．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件的个数是__________．3 [要使b a ＋a b ≥2，只要b a >0，且ab >0，即a ，b 不为0且同号即可，故有3个．]8．在甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是________．甲 [假设甲获奖，则甲、乙、丙都说了假话，丁说了真话，满足题意，故获奖的歌手是甲．] 三、解答题9．已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . [证明] 要证明2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立， 只需证：2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0， 即2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0， 即(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.∵a ≥b >0，∴a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0， 从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立， ∴2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .10．已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1. [证明] 假设a ，b ，c 均小于1，即a ＜1，b ＜1，c ＜1，则有a ＋b ＋c ＜3，而a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋(2－x )＋(x 2－x ＋1)＝2x 2－2x ＋72＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋3≥3.这与a ＋b ＋c ＜3矛盾，假设不成立， 故a ，b ，c 至少有一个不小于1.B 组 能力提升1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒为负值 B ．恒等于零 C ．恒为正值 D ．无法确定正负 A [由题意知f (x )在R 上单调递减，由x 1＋x 2＞0得x 1＞－x 2，则f (x 1)＜f (－x 2)， 即f (x 1)＜－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)＜0，故选A.] 2．(2019·赤峰模拟)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁A [①假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故甲说的是假话；②假定乙说的是真话，则丁说“反正我没有责任”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故乙说的是假话；③假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故丙说的是假话；综上可得，丁说的真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，所以甲负主要责任，故选A.]3．(2018·长春模拟)若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎫－3，32 [若二次函数f (x )≤0在区间[－1,1]内恒成立，则⎩⎨⎧f (－1)＝－2p 2＋p ＋1≤0，f (1)＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥32，故满足题干要求的p 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－3，32.]4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．[解] (1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，即(p －r )2＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．第五节直接证明与间接证明[考纲传真] 1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点．1执果索因Q⇐P1→P1⇐P2→…反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( ) (3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾． ( )(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程． ( )2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0 ，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥03．用反证法证明命题：“已知a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根4．已知a ，b ，x 均为正数，且a >b ，则b a 与b ＋xa ＋x的大小关系是________．5．(教材改编)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为__________三角形．1．已知m ＞1， ) A ．a ＞b C ．a ＝b D ．a ，b 大小不定2．已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a ＞0，且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．分析法1．若a ，b ∈(1，＋∞)，证明a ＋b ＜1＋ab .2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c .►考法1 证明否定性命题【例1】 设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．►考法2 证明“至多”“至少”命题【例2】 已知a ，b ，c 是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0中至少有一个方程有两个相异实根．(1)已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1.(2)设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．课后限时集训(三十六) (建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设是( ) A ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．自然数a ，b ，c 都是奇数D ．自然数a ，b ，c 都是偶数2．(2019·西安模拟)若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ＝Q C ．P ＜Q D ．由a 的取值决定3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则下列三个数a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a ( ) A ．都大于6 B ．至少有一个不大于6 C ．都小于6 D ．至少有一个不小于64．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<05．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A二、填空题6．用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设________．7．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab≥2成立的条件的个数是__________．8．在甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是________．三、解答题9．已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .10．已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1.B 组 能力提升1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒为负值 B ．恒等于零 C ．恒为正值 D ．无法确定正负2．(2019·赤峰模拟)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．(2018·长春模拟)若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．。

高三一轮复习6。

6直接证明与间接证明【教学目标】1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点．2.了解反证法的思考过程和特点。

【重点难点】1。

教学重点:了解分析法、综合法及反证法的思考过程2。

教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】）f x归纳:综合法证题的思路考点二：分析法1. 已知a>0，求证：错误!－错误!≥a＋错误!－2。

【证明】要证错误!－错误!≥a＋错误!－2,只需证错误!＋2≥a＋错误!＋错误!.∵a〉0，故只需证错误!2≥错误!2，即a2＋错误!＋4错误!＋4≥a2＋2＋错误!＋2错误!错误!＋2,从而只需证2错误!≥错误!错误!,只需证4错误!≥2错误!，即a2＋错误!≥2，而上述不等式显然成立，的等比数列．（1）推导｛a n}的前n项和公式；（2)设q≠1，证明：数列｛a n ＋1}不是等比数列．【解】(1）设{a n｝的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时,S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①qS n＝a1q＋a1q2＋…＋a1q n，②①－②得,（1－q）S n＝a1－a1q n，∴S n＝a11－q n1－q，∴S n＝错误!（2)证明:假设{a n＋1｝是等比数列,则对任意的k∈N*，(a k＋1＋1)2＝（a k＋1)（a k＋2＋1），a错误!＋2a k＋1＋1＝a k a k＋2＋a k＋a k。

教
学
过
程
1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．
2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．
3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易
寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从
条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常
常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
4．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命
题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是
错误的．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2014·安阳模拟)若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是________．
①1
a＜
1
b；②a＋
1
b＞b＋
1
a；③b＋
1
a＞a＋
1
b；④
b
a＜
b＋1
a＋1
.
2．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应反设________成立．
3．(2014·上海模拟)“a＝1
4”是“对任意正数x，均有x＋
a
x≥1”的
________条件．教学效果分析。