77知识讲解 直接证明与间接证明(提高)

直接证明和间接证明例如，我们要证明一个分数小于1的正数与其倒数相乘的结果一定小于1、我们可以直接证明如下：设分数为a/b，其中a和b均为正整数。

则有a<b，因此，a/b<b/b，即a/b<1又因为倒数的定义为1/a，即倒数为1除以该数，所以可知a/b *1/a = a/ba = 1/b，而1/b小于1因此，我们可以得出结论：一个小于1的正数与其倒数相乘的结果一定小于1间接证明是通过反证法（或称间接推理）推导出结论的证明方法。

它包括以下步骤：首先，假设要证明的结论不成立；其次，根据该假设推导出与已知事实矛盾的结论；最后，得出假设的结论非真，因此原结论为真。

间接证明的特点是通过推理和推导推翻假设，从而得到结论。

例如，我们要证明根号2是无理数。

假设根号2是有理数，即可表示为a/b的形式，其中a和b是整数，且a和b没有公因数。

则根号2=a/b，即2=(a/b)^2，即2b^2=a^2根据等式两边平方数的性质可知，a^2必为偶数。

那么，根据整数的性质可知，a也必为偶数，即a=2c，其中c为整数。

将a=2c代入等式2b^2=a^2中，得到2b^2=(2c)^2，化简得到b^2=2c^2依据同样的推理，b也是偶数，与假设a和b之间没有公因数相矛盾。

因此，假设根号2是有理数的假设不成立，根号2是无理数。

总结来说，直接证明是通过逻辑推理和数学定义直接得出结论，而间接证明是通过反证法推导出结论。

这两种证明方法在数学中应用广泛，可以灵活运用于各类数学问题的证明中。

无论是选择直接证明还是间接证明，重要的是要严谨、清晰地阐述证明的过程和推理的逻辑，以确保结论的正确性。

直接证明与间接证明知识点：一、直接证明1、综合法（1）定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.（2）综合法的特点：综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论.2、分析法（1）定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。

（2）分析法的特点：分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.二、间接证明反证法1、定义：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.2、反证法的特点：反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.３、反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.４反证法主要适用于以下两种情形：（1）要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；（2）如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.例题讲解：一、选择题：1．命题“对于任意角θ，cos4θ－s in4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法答案：B2．已知x1>0，x1≠1且x n＋1＝x n·(x2n＋3)3x2n＋1(n＝1,2，…)，试证：“数列{x n}对任意的正整数n，都满足x n>x n＋1，”当此题用反证法否定结论时应为()A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1，且x n ≥x n ＋1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0解析：根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{x n }对任意的正整数n ，都满足x n >x n ＋1”的否定为“存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1”，故选B. 答案：B3．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 解析：因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0，故选D. 答案：D4．已知a 、b 是非零实数，且a >b ，则下列不等式中成立的是( )A.b a<1 B ．a 2>b 2 C ．|a ＋b |>|a －b | D.1ab 2>1a 2b 解析：b a <1⇔b －a a<0⇔a (a －b )>0. ∵a >b ，∴a －b >0.而a 可能大于0，也可能小于0，因此a (a －b )>0不一定成立，即A 不一定成立；a 2>b 2⇔(a －b )(a ＋b )>0，∵a －b >0，只有当a ＋b >0时，a 2>b 2才成立，故B 不一定成立；|a ＋b |>|a －b |⇔(a ＋b )2>(a －b )2⇔ab >0，而ab <0也有可能，故C 不一定成立；由于1ab 2>1a 2b ⇔a －b a 2b 2>0⇔(a －b )·a 2b 2>0. ∵a ，b 非零，a >b ，∴上式一定成立，因此只有D 正确．故选D.答案：D5．(2009·杭州市模拟)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b ∈(0，＋∞)，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( ) A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤BC ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析：因为当a ，b ∈(0，＋∞)时，a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，且函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，在R 上为减函数，所以A ≤B ≤C ，故选A.答案：A6．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( ) A ．aB ．bC ．cD ．不能确定解析：易得1＋x >2x >2x .∵(1＋x )(1－x )＝1－x 2<1，又0<x <1，即1－x >0.∴1＋x <11－x.答案：C 二、填空题：7．否定“任何三角形的外角都至少有两个钝角”其正确的反设应是________． 解析：本题为全称命题，其否定为特称命题．答案：存在一个三角形，它的外角至多有一个钝角8．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b 2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________． 解析：y 2＝(a ＋b )2＝a ＋b ＝2(a ＋b )2>(a ＋b )22＝x 2.答案：x <y 9．已知a ，b ，μ∈(0，＋∞)且1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的取值范围是________． 解析：因为a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝b a ＋9a b ＋10≥16(当且仅当b a ＝9a b，即b ＝3a 时取等号)，a ＋b ≥μ恒成立⇔μ≤(a ＋b )min ，所以μ≤16.又μ∈(0，＋∞)，故0<μ≤16.答案：(0,16]10．(原创题)如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________． 解析：∵a a ＋b b >a b ＋b a ⇔(a －b )2·(a ＋b )>0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b三、解答题：11．已知a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.证明：∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1， ∴a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ca ＋1ab <1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c. 12．已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1.求证： a ＋12＋b ＋12≤2. 证明：要证 a ＋12＋b ＋12≤2.只要证：a ＋12＋b ＋12＋2(a ＋12)(b ＋12)≤4， ∵由已知知a ＋b ＝1，故只要证：(a ＋12)(b ＋12)≤1， 只要证：(a ＋12)(b ＋12)≤1，只要证：ab ≤14， ∵a >0，b >0,1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，故原不等式成立． 13．(2010·浦东模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 分别为三内角A ，B ，C 的对边．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 解：要证明1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，只需证明a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，只需证明c a ＋b ＋a b ＋c＝1，只需证明c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )·(b ＋c )，只需证明c 2＋a 2＝ac ＋b 2.∵△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，∴B ＝60°，则余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ，∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立．故原命题成立，得证．。

直接证明与间接证明_分析法直接证明和间接证明是逻辑学中的两种证明方法。

直接证明是通过事实和逻辑推理直接得出结论的方法，而间接证明则是通过反证法来达到证明的目的。

下面将从分析法的角度来探讨直接证明和间接证明的特点和应用。

首先，直接证明是一种简洁明确的证明方法。

它通过逐步展示事实和推理过程，直接地得出结论。

直接证明要求每一步的推理都是严谨和合乎逻辑的，不允许出现漏洞和错误。

直接证明的优点在于它的证明过程清晰明了，逻辑性强，容易理解和接受。

对于一些简单的问题，直接证明是最常见和最有效的证明方法。

其次，直接证明适用于一些直观的、已知的情况。

例如，要证明一个三角形的三个内角之和等于180度，可以通过直接证明来达到目的。

我们可以利用平行线和同位角的性质，逐步推导出对应角相等，从而得出结论。

这种情况下，我们有直观的几何图形和一些已知的性质，通过推理和演绎可以直接得出结论。

然而，直接证明也有一定的局限性。

对于一些复杂的问题，直接证明可能会变得更加困难和繁琐。

有时候，问题本身的复杂性以及需要证明的结论的复杂性会导致直接证明的推理过程变得更加难以理解和掌握。

在这种情况下，间接证明就可以派上用场。

间接证明是一种通过反证法推导出结论的方法。

它假设待证命题的否定是成立的，然后通过推理和推导得出矛盾的结论，从而证明了原命题的正确性。

间接证明的优点在于它能够化复杂的问题为简单的矛盾，通过推理和演绎来证明原命题的正确性。

它可以避免直接证明中的复杂推理和繁琐的计算。

间接证明适用于一些复杂、难以直接证明的问题。

例如，欧几里得几何中的数学定理费马大定理就是一个典型的间接证明的例子。

费马大定理认为不存在任何正整数n大于2的整数解(x,y,z)，使得x^n+y^n=z^n成立。

然而，这个定理的直接证明非常困难。

数学家费马通过间接证明的方法证明了该定理的正确性，从而为数学界做出了重大贡献。

总结起来，直接证明和间接证明是逻辑学中两种常见的证明方法。

分析法与综合法分析法与综合法是两种思路截然相反的证明方法,既对立又统一.用综合法证题前往往可用分析法寻找解题思路,即所谓的分析.因此分析法既可用于寻找解题思路,也可以是完整的证明过程.在解决较为复杂的问题时,往往是两种方法相互结合使用.有些问题从正面解决有困难，或不好解决时，我们往往考虑反证法。

绝不放过你------反正我有法1.直接证明(1)综合法①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.综合法是一种由因导果的证明方法.②证明步骤用符号表示为: ()()结论已知n p p p p ⇒⇒⇒⇒......210。

(2)分析法①从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件或定理、定义、公理等)为止的证明方法.②证明步骤用符号表示为:B (结论) ⇐B 1⇐B 2⇐…⇐B n ⇐A (已知).2.间接证明反证法:假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出假设与已知矛盾或与某个真命题矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.综合法的应用例1：设a 、b 、c 三数成等比数列,而x 、y 分别为a 、b 和b 、c 的等差中项,试证: 2=+yc x a 思路分析：运用综合法进行证明有关问题时,常常先把已知条件“翻译”成一些字母或数字关系式,再找它们与所要求证命题之间的关系,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的结论.解析：依题意,a 、b 、c 三数成等比数列,即cb b a =， 由比例性质有:c b b b a a +=+，又由题设: 2,2c b y b a x +=+=， 所以()222222=++=+++=+++=+cb c b c b c c b b c b c b a a y c x a ，原题得证. 点评：巧妙利用比例的性质是解决本例的关键.变式练习：已知a 、b 、c 都是实数，求证：()ca bc ab c b a c b a ++≥++≥++222231。

2.2 直接证明与间接证明1．直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。

综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法（或顺推证法、由因导果法）。

分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。

2．间接证明是相对于直接证明说的，反证法是间接证明常用的方法。

3．反证法假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

1．用直接证法和反证法分别证明：如果a >b >0，那么；【解析】 （1）假设不大于，则或者<,或者=．∵a >0，b>0，∴<<，<， a <b ；=a =b .这些都同已知条件a > b >0矛盾，∴.证法二（直接证法），∵a >b>0,∴a - b >0 即，∴，∴．2．设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…． （Ⅰ）求a 1，a 2；（Ⅱ）猜想｛a n ｝的通项公式． 【解析】(Ⅰ)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12．当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是(a 2－12)2－a 2(a 2－12)－a 2＝0，解得a 1＝16．(Ⅱ)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，S n 2－2S n ＋1－a n S n ＝0．当n ≥2时，a n ＝S n －S n－1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0 ，①由(Ⅰ)知S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23．3． 已知0,,≠∈b a R b a 且，则在①ab b a ≥+222；②2≥+b aa b ； ③2)2(b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+ 这四个式子中，恒成立的个数是 （ ）A 1个B 2个C 3个D 4个 答案：C 。

数学证明中的直接证明与间接证明数学证明是数学领域中的重要内容，通过逻辑推理和严格的论证，以确保数学理论的正确性和可信度。

数学证明通常可以分为直接证明和间接证明两种形式。

本文将介绍直接证明和间接证明的含义、特点以及应用。

一、直接证明直接证明是一种常用的证明方法，它通过逻辑的推理和论证，直接从已知的命题出发，推导出所要证明的结论。

直接证明通常遵循以下步骤：1. 确定所要证明的命题或结论。

2. 列出已知条件和前提条件。

3. 运用逻辑推理、定义和定理等数学原理，一步一步地推导出结论。

4. 分析并验证证明过程中的每一步是否严谨、正确。

5. 结束证明，得出所要证明的命题。

直接证明的特点是逻辑性强、推理过程直观，并且能够根据已知条件直接得出结论。

因此，直接证明在数学证明中广泛应用于各个领域。

例如，我们来证明一个简单的数学定理：两个偶数的和是偶数。

定理：若a和b为偶数，则a+b为偶数。

证明：设a=2m，b=2n，其中m和n为整数。

则a+b=2m+2n=2(m+n)。

由于m和n为整数，所以m+n也是整数。

因此，a+b=2(m+n)为偶数。

证毕。

二、间接证明间接证明是一种通过反证法推导出结论的证明方法。

它假设所要证明的结论为假，通过运用逻辑推理和推导，得出与已知条件或已知结论相矛盾的结论，从而推断出所要证明的结论为真。

间接证明通常遵循以下步骤：1. 确定所要证明的命题或结论。

2. 假设所要证明的命题为假。

3. 运用逻辑推理和推导，推出与已知条件或已知结论相矛盾的结论。

4. 推断出所要证明的命题为真。

5. 结束证明，得出所要证明的命题。

间接证明的特点是通过对反证假设进行逻辑推理，将所要证明的结论转化为与已知条件相矛盾的结论。

它常常用于证明一些与质数、无理数、等级等有关的命题。

例如，我们来证明一个著名的数学定理：根号2是一个无理数。

定理：根号2是一个无理数。

证明：假设根号2是一个有理数，可以表示为根号2=p/q，其中p 和q互质。