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数学：2.2.2《直接证明与间接证明-反证法》PPT课件(新人教选修2-2)

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人教a版数学【选修2-2】2.2.2《反证法》ppt课件

人教a版数学【选修2-2】2.2.2《反证法》ppt课件
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤． 难点：反证法的应用．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q ＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法 ，但很难证，故考虑采用反证法.
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做 的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真 ．
典例探究学案
用反证法证明直接证明不易入手的问题
求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交，则另一条也与平面 α 相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反 证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能 推出命题结论正确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b 也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情 况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题 设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与 题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.2 2.2.2 反 证 法

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.2 2.2.2 反 证 法
栏 目 链 接
自 测 自 评
上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序 应为③①②. 答案：③①②
栏 目 链 接
自 测 自 评
3.“实数 a，b，c 不全大于 0”等价于( A．a，b，c 均不大于 0 B．a，b，c 中至少有一个大于 0 C．a，b，c 中至多有一个大于 0 D．a，b，c 中至少有一个不大于 0
栏 目 链 接
题型3
用反证法证明唯一性命题
例3 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直 线b与已知直线a平行．
栏 目 链 接
证明：假设过点 A 还有一条直线 b′与已知直 线 a 平行，即 b∩b′＝A，b′∥a.因为 b∥a，由平 行公理知 b′∥b.这与假设 b∩b′＝A 矛盾，所以 假设错误，故原命题成立．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
1．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数 列，求证： a， b， c不成等差数列．
解析： 假设 a， b， c成等差数列， 则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b， 而 b2＝ac，即 b＝ ac，所以 a＋c＋2 ac＝4 ac， 所以( a－ c)2＝0.即 a＝ c， 从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列．
证明：假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实 根，设 α、β 为其中的两个实根．因为 α≠β，不妨设 α ＜β，又因为函数 f(x)在[a，b]上是单调递减函数，所以 f(α)＞f(β)．这与假设 f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程 f(x) ＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．
2
栏 目 链 接

人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法》精品课件_15

人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法》精品课件_15

2 a 1且 2 b 1 a 0,b 0
0 a 1且0 b 1
而 由a b 1 1 a b a b ab
0 ab 1 矛盾！
ab 1
假设不成立，原结论成立，即证.
例2、(2015,湖南,理)已知a>0,b>0，且a b 1 1 .
高二数学 选修 2-2
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反 证 法
一、问题情境
小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上 全湿了。小华对婷婷说：
小
婷
华
婷
பைடு நூலகம்
学习目标
1、了解反证法的证明步骤 2、体会反证法证明问题的思想 3、并能够运用反证法来证明一些问题。
学习重难点
重点：反证法的证明步骤。 难点：运用反证法证题。
ab 求证：(2)a2 a 2 , b2 b 2不可能同时成立.
解题反思： 证明本题时，你是怎么想到反证法的？
正难则反!
注：否定型命题(命题的结论是“不可能……”，
“不能表示为……”，“不是……”，“不存 在……” ，“不等于……”，“不具有某种性质” 等) 常用反证法.
练习、已知x>0,y>0，x+y>2，
三个步骤：反设—归谬—存真
反设——假设命题的结论不成立；
归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理， ````````得出矛盾； 存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而
肯定原结论成立。
例题 例1、已知：一个整数的平方能被2整除，
求证：这个整数是偶数。
证明：假设a不是偶数， 则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数) ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1 ∴a2是奇数，与已知矛盾。 ∴假设不成立，所以a是偶数。

高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教A版选修2_2

高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教A版选修2_2
三、课后“静思2分钟”大有学问
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程 详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后 复习30分钟。
C.有一个内角大于60°
D.每一个内角都大于60°
12345
答案
4.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设
A.a不垂直于c
B.a，b都不垂直于c
C.a⊥b
√ D.a与b相交
12345
答案
5.用反证法证明：关于 x 的方程 x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0， x2＋2ax－2a＝0，当 a≤－32或 a≥－1 时，至少有一个方程有实数根.
第二章 §2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
学习目标
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点 反证法
王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结 满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们 摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的 呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结 满了李子，所以李子一定是苦的.” 思考 本故事中王戎运用了什么论证思想？ 答案 运用了反证法思想.
结论词
反设词
结论词
至少有一个 一个也没有 对所有x成立
至多有一个 至少有两个 对任意x不成立

人教A选修2-211-12学年高二数学：2.2.2 反证法 课件(人教A版选修2-2)

人教A选修2-211-12学年高二数学：2.2.2 反证法 课件(人教A版选修2-2)



[例3] 已知：一点A和平面α. 求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直． [分析]
[解析] 根据点A和平面α的位置关系，分 两种情况证明． (1)如图1，点A在平面α内，假设经过点A 至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、 AC是两条相交直线，它们确定一个平面β， 平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.

[点评] 1.本题的解答依赖于等差和等比 数列的概念和性质，体现了特殊化思想、 分类讨论思想和正难则反的思维策略．对 代数的推理能力要求较高． 2．结论中含有“不”、“不是”、“不 可能”、“不存在”等词语的命题，此类 问题的反面比较具体，适于应用反证法．


3．反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体 现在它的原理上，即“否定之否定等于肯 定”，其中：第一个否定是指“否定结论 (假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结 果否定了假设”．反证法属“间接解题方 法”，书写格式易错之处是“假设”易错 写成“设”．
2．命题“三角形中最多只有一个内角是 直角”的结论的否定是 ( ) A．两个内角是直角 B．有三个内角是直角 C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角 [答案] C [解析] “最多只有一个”即为“至多一 个”，反设应为“至少有两个”，故应选 C.

3．如果两个实数之和为正数，则这两个 数( ) A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数 C．至少有一个正数 D．两个都是负数 [答案] C [解析] 假设两个数都是负数，则两个数 之和为负数，与两个数之和为正数矛盾， 所以两个实数至少有一个正数，故应选C.

[分析] 本题中，含有“至少存在一个” 词，可考虑使用反证法．
[证明]
1 假设不存在 x∈[－1,1]上一个 x 满足|f(x)|≥2.

人教A选修二第2章2.2.2

人教A选修二第2章2.2.2

课堂互动讲练
考点突破 用反证法证明否定性命题 结论中含有“不 、 不是 不是”、 不可能 不可能”、 不存在 不存在” 结论中含有 不”、“不是 、“不可能 、“不存在 等词语的命题，此类命题的反面比较具体， 等词语的命题，此类命题的反面比较具体，适于 应用反证法． 应用反证法．
x－2 － 例1 已知 f(x)＝a ＋ (a>1)，证明 ＝ ， x＋1 ＋
2
用反证法证明唯一性问题 结论以“有且只有一个 、“只有一个 、“唯一存 结论以 有且只有一个”、 只有一个”、 唯一存 有且只有一个 只有一个 等形式出现的命题， 在”等形式出现的命题，由于反设结论易于导出 等形式出现的命题 矛盾，所以用反证法证其唯一性简单明了． 矛盾，所以用反证法证其唯一性简单明了． 例3 已知：一点 和平面 已知：一点A和平面 和平面α. 求证：经过点A只能有一条直线和平面 垂直． 只能有一条直线和平面α垂直 求证：经过点 只能有一条直线和平面 垂直．
在平面β内经过点 有两条直线都和 垂直， 在平面 内经过点A有两条直线都和 垂直，这 内经过点 有两条直线都和BC垂直 与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的 一条垂线相矛盾． 一条垂线相矛盾． 综上，经过一点A只能有平面 的一条垂线． 只能有平面α的一条垂线 综上，经过一点 只能有平面 的一条垂线．
(2)如图 ，点A在平面 外，假设经过点 至少有 如图2， 在平面α外 假设经过点A至少有 如图 在平面 平面α的两条垂线 的两条垂线AB和 为垂足)， 平面 的两条垂线 和AC(B、C为垂足 ，那么 、 为垂足 AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面 ， 是两条相交直线， 、 是两条相交直线 它们确定一个平面β， 平面β和平面 相交于直线BC，因为AB⊥平面α， 和平面α相交于直线 平面 和平面 相交于直线 ，因为 ⊥平面 ， AC⊥平面 ，BC⊂α，所以 ⊥BC，AC⊥BC. ⊥平面α， ⊂ ，所以AB⊥ ， ⊥ 图2

(人教A版)数学【选修2-2】2-2-2《反证法》ppt课件

(人教A版)数学【选修2-2】2-2-2《反证法》ppt课件

规律技巧 用反证法证明“至多”“至少”型命题，可减 少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什 么，避免出现错误．需仔细体会“至多有一个”“至少有一 个”的含义.
三 用反证法证明否定性命题 【例3】 求证抛物线上任取四点所组成的四边形不可能
是平行四边形．
已知：如图所示，A，B，C，D是抛物线y2＝2px(p>0)上的 任意四点，其坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4， y4)．连接AB，BC，CD，DA.
答案 D
3．求证：如果a>b>0，那么n
n a>
b(n∈N，且n>1)．
证明 假设n a不大于n b，则n a＝n b，或n a<n b.
当n a＝n b时，则有a＝b. 这与a>b>0相矛盾．
当n
n a<
b时，则有a<b，
这也与a>b相矛盾．
所以n
a>
b.
4．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋
求证：四边形ABCD不可能是平行四边形． 【分析】 解答本题的关键在于通过假设，根据平行四边 形对边所在直线的斜率相等，推出结论与已知条件相矛盾，从 而肯定原命题正确．
【证明】 由题意得，直线AB的斜率为 kAB＝xy22－－xy11＝y12＋py2，同理kBC＝y32＋py2， kCD＝y42＋py3，kDA＝y12＋py4. 假设四边形ABCD为平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kDA. 即有yy23＋ ＋yy12＝ ＝yy31＋ ＋yy44， ，① ② 由①－②，得y1－y3＝y3－y1，
π 2
，b＝y2－2z＋
π3，c＝z2－2x＋6π.

高中数学选修2-2课件：2.2 2.2.2 反证法

高中数学选修2-2课件：2.2 2.2.2 反证法

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自 主 预 习 • 探 新 知
[自 主 预 习· 探 新 知]
反证法的定义及证题的关键
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
课 时 分 层 作 业
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自 主 预 习 • 探 新 知
思考1：反证法的实质是什么？
[ 提示] 反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确 的． 思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推 理，这种说法对吗？为什么？ [ 提示] 反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的 演绎推理．
第二章
推理与证明
2反证法
自 主 预 习 • 探 新 知
学习目标： 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点) 2. 理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点)
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
课 时 分 层 作 业
至少有一个 至多有一个 至少有n个
课 时 分 层 作 业
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自 主 预 习 • 探 新 知
2.在反证法证明中，你能说出 “至少有一个、至多有一个、至少有n 个”等量词的反设词吗？
提示： 量词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有n－1个
当 堂 达 标 • 固 双 基
课 时 分 层 作 业
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自 主 预 习 • 探 新 知
3． 用反证法证明“如果 a＞b， 那么 a＞ b”， 假设的内容应是________.
3
3
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难

(教师用书)高中数学 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修2-2

(教师用书)高中数学 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修2-2
建议教师从直接证明的两种方法：综合法和分析法的特 点入手进行反证法概念的引入，使得学生明确反证法是一种 间接证明的方法，并能体会反证法的思维特点．
2．关于反证法证明步骤的教学 建议教师向学生强调指出，反证法作为一种特殊的间接 证明方法，有其独特的格式要求，它不同于一般的举反例或 者俗语中的“抬杠”，在使用时一定要严格按照其固有模式 进行表述． 3．关于反证法的应用 教学中，要明确教给学生，当一个问题从正面较难入手 时，可以考虑从反面入手，即用反证法解题，强化学生的应 用意识．
【解】 假设 x0 是 f(x)＝0 的负数根， x0－2 则 x0<0 且 x0≠－1 且 ax0＝－ ， x0＋1 x0－2 由 0<ax0<1⇒0<－ <1， x0＋1 1 解得2<x0<2，这与 x0<0 矛盾，所以假设不成立， 故方程 f(x)＝0 没有负数根.
用反证法证明“至多”、“至少” 类 问题
2 为 p，q，∴a2 ＝ a a ， b n n－1 n＋1 n＝bn－1bn＋1.
代入①并整理得： p q p q 2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbn( ＋ )，即 2＝ ＋ .② q p q p p q 当 p，q 异号时， ＋ ＜0，与②相矛盾； q p p q 当 p，q 同号时，由于 p≠q，所以 ＋ ＞2，与②相矛盾． q p 故数列{cn}不是等比数列．
公理、定理
、事实矛盾等.
用反证法证明否定性命题
设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn ＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
【思路探究】
－1
假设数列{cn}为等比数列，从而 C2 n＝Cn
· Cn＋1 推出矛盾，证明原命题成立．

2.2《间接证明-反证法》课件(新人教选修2-2).ppt

2.2《间接证明-反证法》课件(新人教选修2-2).ppt

逻辑矛盾归属哪一类？
例2.已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影． 求证：H不可能是△SBC的垂心．
S
D
H
A
C
B
•解题反思： 证明该问题的关键是哪一步？
本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？
例3 求证：正弦函数没有比2π小的正周期.
例4 求证：2不是有理数.
注：反证法是最常见的间接证法， 同一法也是一种间接证法.
•请你概括反证法的证明过程： • 否定结论——推出矛盾——肯定结论， • 即分三个步骤：反设—归谬—存真
反设－－假设命题的结论不成立， 即假设原结论的反面为真.
归谬－－从反设和已知条件出发， 经过一系列正确的逻辑推理， 得出矛盾结果.
存真－－由矛盾结果，断定反设不真， 从而肯定原结论成立.
•解题反思： 本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？
归纳总结：
1.哪些命题适宜用反证法加以证明？
•笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法； •具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或
含有“至多”、“至少”等不确定词， 此外，“存在性”、“唯一性”问题.
2.归谬是“反证法”的核心步骤，归谬 得
到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？
• 归谬包括推出的结果与已知定义、公 理、定理、公式矛盾，或与已知条件、 临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种 情形.
练习
1.若a≠0，证明：x的方程ax=b有且只有一个根.
2.证明： 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
3. 已知函数f (x)满足下列条件：(1) f (1 ) 1 2
(2) f (xy) f (x) f ( y); (3) f (x)的值域为

高中数学人教A版选修1-2第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2 反证法教学课件

高中数学人教A版选修1-2第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2 反证法教学课件
A 说：“我不是间谍.” B 说：“我是间谍.” 而真正的间谍 C，被法官这样问道：“B 是间谍吗？” 请问：为避免暴露身份，C 应该说真话还是假话呢？
反证法 演绎法 暴力列举法
课程小结
1、反证法证明命题的步骤：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过
一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定
原命成立。
2、反证法解决的问题类型：（正难则反） ①至多，至少； ②否定性命题； ③唯一，无穷，有限问题.
提升练习
已知：ab bc ca 1, 求证：a b c 3
谢谢聆听
例2
求证： 2是无理数.
例3
求证：质数的个数是无穷个.
数学应用
When an object falls from a height, the speed is determined by its weight. The heavier the object, the faster it falls.
运用反证法的解题步骤：
第一步，反设：作出与求证结论相反 的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并 由此通过一系列的正 确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从 而肯定原命成立。
练习1.
已知：a=x2 2 y ,b y2 2z ,
2
3
c z2 2x ，
6
求证：a, b, c中至少有一个大于0.
亚里士多德
Are you sure?
求证：“物体越重，下落越快”是假命题.
证明1：（实验法） 地 点：意大利比萨 时 间：1589年 实验者：伽利略
证明2： （反证法） 地 点：中国西安铁一中 时 间：2017年12月 实验者：在座诸位

2020学年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教A版选修2_2

2020学年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教A版选修2_2

∴b，c 为方程 x2＋ax＋1a＝0 的两根， ∴Δ＝a2－4a≥0，即 a3≥4. ∴a≥3 4> 3 287＝32，这与 a≤32矛盾， ∴a，b，c 中至少有一个大于32.
短板补救案·素养培优
规范解答(九) 反证法在证明问题中的应用
典题示例
【典例】 (12 分)已知 a，b，c∈（0，1） . 求证： （1－a）b，（1－b）c，（1－c）a不能都大于14 .
∵a2n＝an－1·an＋1，b2n＝bn－1·bn＋1， ∴2anbn＝an－1bn＋1＋bn－1an＋1 ＝apn·bn·q＋bqn·an·p， ∴2＝qp＋pq. ∵当 p≠q 时，qp＋pq＞2 或qp＋pq≤－2 与qp＋pq＝2 矛盾． ∴假设不成立，即{cn}不是等比数列．
题型二 用反证法证明唯一性命题 【例2】 若函数f(x)在区间[a，b]上的图像连续，且 f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x) 在(a，b)内有且只有一个零点．
变式训练
1．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝ an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
证明 假设{cn}是等比数列． 则当 n≥2 时，(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)·(an＋1＋bn＋1) ∴a2n＋2anbn＋b2n ＝an－1an＋1＋an－1bn＋1＋bn－1an＋1＋bn－1bn＋1. 设{an}，{bn}的公比分别为 p，q(p≠q)．
变式训练
2．求证：过直线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行．
解析 已知：点P在直线a外． 求证：过点P与直线a平行的直线有且只有一条． 证明：∵点P在直线a外， ∴点P和直线a确定一个平面， 设该平面为α，在平面α内，过点P作直线b， 使得b∥a，则过点P有一条直线与a平行．

人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法》精品课件_28

人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法》精品课件_28

补充
例例题1用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b
证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾, 若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾, 故假设不成立，结论 a > b成立。
注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，
从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从 而证明原命题成立,这样的的证明方法叫 反证法.
反证法的思维方法：正难则反
例1：
2, 3, 5 不可能成等差数列
•反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾是什么？
注：否定型命题(命题的结论是“不可能……”，
“不能表示为……”，“不是……”，“不存 在……” ，“不等于……”，“不具有某种性质” 等) 常用反证法
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2
反证法
复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 由因导果
分析法 结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
引例 例1：已知：一个整数的平方能被2整除，
归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。
归纳总结3
哪些命题适宜用反证法加以证明？ （1）直接证明有困难 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 （4）至多，至少型命题
正难则反!
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”

高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教B版选修2_2

高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教B版选修2_2
2.2.2 反证法
1.掌握间接证明的常见方法(反证法)的推理特点. 2.学会写出命题的否定,并以此作条件推出矛盾结论,即学习用反 证法证明简单题目.
反证法 一般地,由证明p⇒q转向证明:¬ q⇒r⇒…⇒t,t与假设矛盾,或与某 个真命题矛盾.从而判定¬ q为假,推出q为真的方法,叫做反证法.
名师点拨1.反证法适宜证明“存在性,唯一性,带有„至少有一个‟或 „至多有一个‟等字样”的一些数学问题. 2.应用反证法证明数学命题的一般步骤: (1)分清命题的条件和结论; (2)做出与命题结论相矛盾的假设; (3)由假设出发,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果; (4)断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原 结论成立,从而间接地证明命题为真. 常见的主要矛盾有:①与数学公理、定理、公式、定义或已证明 了的结论相矛盾; ②与临时假设矛盾; ③与公认的事实矛盾或自相矛盾等.
【做一做1】 应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪 些作为条件使用( ) ①结论的相反判断,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、定 义等;④原结论. A.①② B.①②④ C.①②③ D.②③ 答案：C
【做一做2】 用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝 角”时,假设正确的是( ) A.假设三角形的内角中至少有一个钝角 B.假设三角形的内角中至少有两个钝角 C.假设三角形的内角中没有一个钝角 D.假设三角形的内角中没有一个钝角或至少有两个钝角 解析：“至多有一个”的反面为“至少有两个”. 答案：B
0
������ -2
∴0<− ������ 0+1 < 1, 即 2 < ������0 < 2, 与假设x0<0 矛盾,故方程 f(x)=0
0
������ -2

高中数学《第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法...》718PPT课件

高中数学《第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法...》718PPT课件

B. abc≠0(D) NhomakorabeaC. a≠0，b≠0，c≠0
D. a≠0或b≠0或c≠0
课堂练习
2. 在△ABC中，若∠C是直角，则 ∠B 一定是锐角.
3. 求证： 2 ， 3 ， 5 不可能成 等差数列.
课堂练习
4. 已知a，b，c均为实数，且
a x2 2 y ，b y2 2z ，
2
3
c z2 2x .
例题讲解
例1. 已知a 0，证明x的方程ax b 有且只有一个根.
例题讲解
例2. 已知直线a，b 和平面，如果 a ，b ，且a // b，求证a // .
a
b
新课讲授
注 意：
反证法的关键是在正确的推理下得 出矛盾. 这个矛盾可以是与已知条件矛 盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、 公理、事实矛盾等.
6
求证：a，b，c中至少有一个大于0.
课堂小结
1.“反证法”的解题步骤： (1)提出反设（否定结论）； (2)推出矛盾（与已知、假设、定义、 定理、公理、事实矛盾，这是关键 的一步）； (3)否定假设，肯定结论.
2.反证法一般应用于证明“结论含有否定词、 至多、至少、唯一性”的问题.
课后作业
《学案》与《习案》.
课堂练习
1. 用反证法证明命题“若a2＋b2＋c2＝0，
则a＝b＝c＝0”时，第一步应假设
(
)
A. a≠b≠c≠0
B. abc≠0
C. a≠0，b≠0，c≠0
D. a≠0或b≠0或c≠0
课堂练习
1. 用反证法证明命题“若a2＋b2＋c2＝0，
则a＝b＝c＝0”时，第一步应假设
A. a≠b≠c≠0
2.2.2 反证法
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例3：证明：圆的两条不全是直径的相交 弦不能互相平分. 已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且 AB、CD不全是直径 求证：AB、CD不能互相平分。
C A O P B D
例4 求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n
∴ m = 2n
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
一般地，从要证明的结论出发，逐步 寻求推证过程中，使每一步结论成立的充 分条件，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件（已知条件、 定理、定义、公理等）为止，这种证明的 方法叫做分析法．
特点：执果索因.
用框图表示分析法
Q P1
P1 P2
P2 P3…ຫໍສະໝຸດ 得到一个明显 成立的结论2 2 2 2
∴ m = 2n
2
2
从而有4k = 2n ，即n = 2k ∴n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
作业
1:若p1 p2 = 2(q1 + q2 ),证明:关于x的方程 x + p1x + q1 = 0与x + p2x + q 2 = 0中至少有一 个有实根.
复习
经过证明 的结论
思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数 甲:208个,乙:112个,丙:64个
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论．
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷
多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明：
如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b, 与已知a > b矛盾,
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-2
2.2.2《直接证明与间接 证明-反证法》
教学目标
结合已经学过的数学实例，了解间接证明的
一种基本方法——反证法；了解反证法的思 考过程、特点. 教学重点：会用反证法证明问题；了解反证 法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证 明方法.
反证法的思维方法：
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
2 2
2:若a,b,c均为实数,且a = x - 2y + b = y - 2z +
2
2

2
,

3 6 求证:a,b,c中至少有一个大于0.
,c = z - 2x +
2

,
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾,
故假设不成立，结论 a > b成立。
例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。 证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2） 0 = ∵x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0 ∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立，结论成立。
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假; 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。