新高考数学理一轮总复习知能演练10.5古典概型(含答案详析)

第五节古典概型与几何概型1.古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.(2)古典概型的概率计算的基本步骤：①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A ；②分别计算基本事件的总数n 和所求的事件A 所包含的基本事件个数m ；③利用古典概型的概率公式P (A )＝，求出事件A 的概率.mn (3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同名称不同点相同点频率计算公式频率计算中的m ，n 均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值古典概型的概率计算公式是一个定值，对同一个随机事件而言，m ，n 都不mn 会变化都计算了一个比值m n2.几何概型(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.(2)几何概型的基本特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等.(3)计算公式：P (A )＝.构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)几何概型应用中的关注点(1)关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.(2)确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( )(2)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限.( )(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件.( )(4)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，所有的基本事件构成集合I ，则事件A 的概率为.( )card (A )card (I )答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√二、选填题1.一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为( )A. B.2314C. D.1312解析：选D 一枚硬币连掷2次可能出现(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，故P ＝＝.24122.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是( )A. B.3545C. D.2515解析：选C 试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P ＝.253.已知四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A. B.1－π4π4C. D.1－π8π8解析：选B 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P ＝＝＝1－.S 阴影S长方形ABCD2－π22π44.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________.解析：两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，故所求概率P ＝＝.21015答案：155.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.解析：P ＝1－＝1－＝.C 2C 241656答案：56考点一　古典概型[师生共研过关][典例精析](1)(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A. B.112114C.D.115118(2)(2019·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率是( )A. B.73612C. D.1936518[解析]　(1)不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C ＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，所以所求210概率P ＝＝.345115(2)投掷骰子两次，所得的点数a 和b 满足的关系为Error!所以a 和b 的组合有36种.若方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，则Δ＝b 2－4a ≥0，所以b 2≥4a .当b ＝1时，没有a 符合条件；当b ＝2时，a 可取1；当b ＝3时，a 可取1,2；当b ＝4时，a可取1,2,3,4；当b ＝5时，a 可取1,2,3,4,5,6；当b ＝6时，a 可取1,2,3,4,5,6.满足条件的组合有19种，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率P ＝.1936[答案]　(1)C (2)C[解题技法]1.古典概型的概率求解步骤(1)求出所有基本事件的个数n .(2)求出事件A 包含的所有基本事件的个数m .(3)代入公式P (A )＝求解.mn 2.基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型.(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法.(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求.(4)运用排列组合知识计算.[过关训练]1.(2019·益阳、湘潭调研)已知a ∈{－2,0,1,2,3}，b ∈{3,5}，则函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是( )A. B.31035C. D.2515解析：选C 若函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数，则a 2－2＜0，又a ∈{－2,0,1,2,3}，故只有a ＝0，a ＝1满足题意，又b ∈{3,5}，所以函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是2×25×2＝.252.从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A. B.51849C. D.5979解析：选C 由题意得，所求概率P ＝＝.5×4×29×8593.将A ，B ，C ，D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间。

2018版高考数学一轮总复习 第10章 计数原理、概率、随机变量及分布列 10.5 古典概型模拟演练 理[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2017·许昌联考]4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A.12B.13 C.23 D.34答案 B解析 因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3)，(2,4)，共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为13.2．[2017·孝感模拟]某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为( )A.12B.13C.14D.15答案 A解析 已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率是P ＝36＝12.3．[2015·广东高考]袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A.521B.1021C.1121 D ．1答案 B解析 由题意得基本事件的总数为C 215，恰有1个白球与1个红球的基本事件个数为C 110C 15，所以所求概率P ＝C 110C 15C 215＝1021.故选B.4．[2017·兰州调研]从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为( )A.15B.25C.35D.45答案 B解析 构成的两位数共有A 25＝20个，其中大于40的两位数有C 12C 14＝8个，所以所求概率为820＝25，故选B. 5．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，从中选2人，设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，P (ξ>0)＝710，则文娱队的人数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 根据会跳舞的有5人，可得文娱队的人数不小于5，排除A ，B ；假设文娱队恰有5人，则既会唱歌又会跳舞的有2人，从5人中选出2人有C 25＝10种选法，选出2人只会跳舞的有C 23＝3种选法，则有P (ξ>0)＝1－310＝710，故文娱队的人数为5人，故选C.6．[2017·南京模拟]盒中有3张分别标有1,2,3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为________．答案 59解析 对立事件为：两次抽的卡片号码中都为奇数，共有2×2＝4种抽法．而有放回的两次抽了卡片共有3×3＝9种基本事件，因此所求事件概率为1－49＝59.7．[2014·江西高考]10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．答案 12解析 本题属于古典概型，由古典概型概率公式可得所求概率为C 13C 37C 410＝12.8．[2017·武汉调研]某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e >5的概率是________．答案 16解析 由e ＝1＋b 2a2>5，得b >2a .当a ＝1时，b ＝3,4,5,6四种情况；当a ＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a ，b )共有36种结果．∴所求事件的概率P ＝636＝16.9．现有8个质量和外形一样的球，其中A 1，A 2，A 3为红球的编号，B 1，B 2，B 3为黄球的编号，C 1，C 2为蓝球的编号．从三种颜色的球中分别选出一个球，放到一个盒子内．(1)求红球A 1被选中的概率；(2)求黄球B 1和蓝球C 1不全被选中的概率．解 (1)从三种不同颜色的球中分别选出一球，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}，共18个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“红球A 1被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}，事件M 由6个基本事件组成，因而P (M )＝618＝13.(2)用N 表示“黄球B 1和蓝球C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，事件N 由3个基本事件组成，所以P (N )＝318＝16，由对立事件的概率计算公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.10．[2017·兰州双基测试]一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．解 (1)由题意，(a ，b ，c )所有可能的结果为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P (A )＝327＝19，因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89，因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·晋中市模拟]5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为( )A.35B.25C.34D.23答案 A解析 基本事件总数为C 25＝10,2张卡片上数字之和为奇数，需1为奇1为偶，共有C 13C 12＝6，∴所求概率为610＝35，选A.12．[2017·甘肃质检]将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是( )A.1564B.15128C.24125D.48125答案 A解析 由计数原理得基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式求解．将5本不同的书分给4名同学，共有45＝1024种分法，其中每名同学至少一本的分法有C 25A 44＝240种，故所求概率是2401024＝1564，故选A.13．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为________．(结果用最简分数表示)答案28145解析 解法一：由题意知本题属古典概型，概率为P ＝C 127C 13＋C 23C 230＝28145. 解法二：本题属古典概型，概率为P ＝1－C 227C 230＝28145.14．[2017·信阳模拟]在某项大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A 岗位服务的概率．解 (1)记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E －)＝1－P (E )＝910.(3)有两人同时参加A 岗位服务的概率P 2＝C 25A 33C 25A 44＝14，所以仅有一人参加A 岗位服务的概率P 1＝1－P 2＝34.。

第五节古典概型[ 通盘稳固 ]1．扔掷两颗骰子，获得其向上的点数分别为m 和 n，则获得点数同样的概率为 () 1111A. 3B.4C.6D.12分析：选C扔掷两颗骰子获得点数同样的状况只有 6 种，所以所求概率为61 6× 6＝6.2．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1 000 个大小同样的小正方体，若将这些小正方体平均地搅混在一同，则随意拿出一个正方体其三面涂有油漆的概率是() 1131A. 12B. 10C.25D.125分析：选D小正方体三面涂有油漆的有8 种状况，故所求概率为81 1 000＝125.3．连掷两次骰子分别获得点数m、n，则向量 (m， n)与向量 (－ 1,1)的夹角θ>90 °的概率是 () 5711A. 12B. 12C.3D. 2分析：选 A由于 (m，n) ·(－ 1,1)＝－ m＋n<0，所以 m>n.基本领件总合有6× 6＝ 36(个 )，切合要求的有(2,1) ， (3,1)， (3,2)， (4,1) ， (4,2)， (4,3) ， (5,1)，， (5,4) ， (6,1)，， (6,5) ，15 5共 1＋ 2＋3＋ 4＋ 5＝15(个 )．故 P＝36＝12.4．(2014 ·州模拟杭 )在一个盒子中有编号为从盒子中摸出两个球，每个球被摸到的概率同样，含有 2 个不一样编号的概率是()1,2 的红球 2 个，编号为 1,2则摸出的两个球中既含有的白球 2 个，现2 种不一样颜色又1111A. 6B. 4C.3D. 2分析：选C从 4 个球中摸出 2 个球的状况共有 6 种，此中 2 球颜色不一样且编号不一样的2 1状况有 2 种，故所求概率 P＝6＝3.5．已知 A＝{1,2,3}，B＝ { x∈R|x2－ ax＋ b＝ 0，a∈ A，b∈ A} ，则 A∩ B＝ B 的概率是 () 218A. 9B. 3C.9D． 1分析：选C由于 A∩ B＝B，所以 B 可能为 ?， {1} ， {2} ，{3} ， {1,2} ， {2,3} ，{1,3} ．当 B ＝ ?时， a 2－ 4b<0，知足条件的 a ， b 为 a ＝ 1，b ＝ 1,2,3； a ＝ 2， b ＝2,3； a ＝ 3， b ＝3.当 B ＝ {1} 时，知足条件的a ，b 为 a ＝ 2， b ＝1.当 B ＝ {2} ， {3} 时，没有知足条件的a ， b.当 B ＝ {1,2} 时，知足条件的a ，b 为 a ＝ 3， b ＝ 2.当 B ＝ {2,3} ， {1,3} 时，没有知足条件的a ， b.8 8故 A ∩ B ＝B 的概率为＝ .3×396．(2014 ·深圳模拟 )一名同学先后扔掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为 y ，在直角坐标系 xOy 中，以 ( x ，y)为坐标的点落在直线2x ＋ y ＝ 8 上的概率为 ()115 1 A.6 B.12 C.36 D.9分析：选 B基本领件的总数是36，随机事件包括的基本领件是 (1,6)，(2,4)，(3,2)，根据古典概型的公式，得所求的概率是3 ＝ 136 12.7． (2013 新·课标全国卷Ⅱ ) 从 1,2,3,4,5 中随意拿出两个不一样的数，其和为5 的概率是________ ．分析：任取两个不一样的数的状况有： (1,2)，(1,3) ，(1,4)，(1,5)，(2,3) ，(2,4) ，(2,5)，(3,4)，(3,5) ，(4,5)，共10 个，此中和为5 的有2 个，所以所求概率为210＝ 0.2.答案： 0.28． (2013 ·江高考浙 )从 3 男 3 女共 6 名同学中任选2 名 (每名同学被选中的时机均等)，这 2 名都是女同学的概率等于 ________．分析： 设 3 名男同学分别为a 1、 a 2、 a 3,3 名女同学分别为b 1、b 2、 b 3，则从 6 名同学中任选 2 名的结果有a 1 a 2，a 1a 3， a 2a 3， a 1b 1， a 1 b 2，a 1b 3， a 2b 1， a 2b 2， a 2b 3，a 3b 1，a 3b 2， a 3b 3，b 1b 2，b 1 b 3，b 2b 3，共 15 种，此中都是女同学的有 3 种，所以概率 P ＝31 15＝5.答案：159．从边长为 1 的正方形的中心和极点这五点中，随机(等可能 )取两点，则该两点间的距离为2的概率是 ________．2分析： 设正方形 ABCD 的中心为 O ，从 A 、 B 、C 、D 、O 五点中，随机取两点，全部可能的结果为 AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，AO ，BO ，CO ，DO ，共 10 种，此中距离为 2 的2 结果有 AO ，BO ， CO ， DO ，共 4 种，故所求概率为4 ＝210 5.答案：2510. (2013 江·西高考 )小波以游戏方式决定是去打球、唱歌仍是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从 A 1， A 2， A 3，A 4， A 5， A 6 (如图 )这 6 个点中任取两点分别为终点获得两个向量，记这两个向量的数目积为 X ，若 X>0 就去打球，若 X ＝0 就去唱歌，若 X<0 就去下棋．(1)写出数目积 X 的全部可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． 解： (1)X 的全部可能取值为－ 2，－ 1,0,1. (2)数目积为－ 2 的有 OA 2 ·OA 5 ，共 1 种；数目积为－ 1 的有 OA 1 ·OA 5 ， OA 1 ·OA 6 ， OA 2 ·OA 4 ， OA 2 ·OA 6 ， OA 3 ·OA 4 ，OA 3 ·OA 5 ，共 6 种；数目积为 0 的有 OA 1 ·OA 3 ， OA 1 ·OA 4 ， OA 3 ·OA 6 ， OA 4 ·OA 6 ，共 4 种；数目积为 1 的有OA 1 ·OA 2 ， OA 2 ·OA 3 ， OA 4 ·OA 5 ，OA 5 ·OA 6 ，共 4 种．故全部可能的状况共有 15 种．所以小波去下棋的概率为P 1＝ 157；4由于去唱歌的概率为P 2＝15，4 11所以小波不去唱歌的概率P ＝ 1－ P 2＝ 1－15＝ 15.11．将一颗骰子先后扔掷 2 次，察看向上的点数，求：(1)两数之和为 5 的概率；(2)两数中起码有一个奇数的概率．解： 将一颗骰子先后扔掷 2 次，此问题中含有36 个等可能的基本领件．4 1(1)记 “ 两数之和为 5” 为事件 A ，则事件 A 中含有 4 个基本领件，所以P(A)＝ 36＝ 9.所以两数之和为 5 1 的概率为 9.(2)记“两数中起码有一个奇数” 为事件B，则事件B与“ 两数均为偶数”为对峙事件．93所以 P(B)＝ 1－＝.3所以两数中起码有一个奇数的概率为4.12．(2014 ·安模拟雅 ) 甲、乙两人用 4 张扑克牌 (分别是红桃2，红桃 3，红桃 4，方片 4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，反面向上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设 (i ，j)表示甲、乙抽到的牌面数字(假如甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为 (2,3)) ，写出甲乙两人抽到的牌的全部状况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比 3 大的概率是多少？(3)甲乙商定，若甲抽到的牌面数字比乙大，则甲胜；不然，乙胜，你以为此游戏能否公正？请说明原因．解： (1)方片 4 用 4′表示，则甲乙两人抽到的牌的全部状况为：(2,3)， (2,4)， (2,4′ )，(3,2) ，(3,4)，(3,4′ )，(4,2) ， (4,3)，(4,4′ )，(4′， 2)，(4 ′， 3)，(4′，4)共 12 种不一样的情况2 (2)甲抽到 3，乙抽到的牌只好是2,4,4′，所以乙抽到的牌的数字大于3 的概率为3.(3)甲抽到的牌比乙大，有(4,2) ， (4,3)， (4′，2) ，(4′， 3)， (3,2)，共 5 种状况．5757甲胜的概率为P1＝12，乙胜的概率为P2＝12.由于12<12，所以此游戏不公正．[ 冲击名校 ]现有编号分别为1,2,3,4,5 的五道不一样的政治题和编号分别为6,7,8,9 的四道不一样的历史题．甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题，每道题被抽到的概率是相等的，用符号(x，y)表示事件“抽到的两道题的编号分别为x、 y，且 x<y”．(1)问有多少个基本领件，并列举出来；(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17 但不小于 11 的概率．解： (1)共有 36 个等可能的基本领件，列举以下：(1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (1,6)， (1,7) ， (1,8)， (1,9)，(2,3) ， (2,4)，(2,5) ， (2,6) ，(2,7) ，(2,8) ，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6) ，(3,7)，(3,8)，(3,9)， (4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8) ，(4,9)，(5,6)，(5,7) ，(5,8)， (5,9) ，(6,7) ，(6,8)， (6,9)， (7,8) ， (7,9)， (8,9)．(2)记“甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17 但不小于11”为事件 A，则事件 A 为“ x， y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9} ，且 x＋y∈[11,17) ，此中 x<y”．由 (1)可知事件 A 共包括 15 个基本领件，列举以下：(2,9)， (3,8)， (3,9)， (4,7)， (4,8)， (4,9) ， (5,6)， (5,7)，(5,8) ， (5,9)，(6,7) ， (6,8) ，(6,9) ，(7,8) ，(7,9)，所以 P(A)＝15536＝12.即甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17 但不小于11 的概率为5 12 .。

一、选择题1． (2013 ·城质检聊)先后投掷两枚平均的正方体骰子，骰子向上的面的点数分别为x， y，则log 2x y＝ 1 的概率为 ()1B.5A. 63611C.12D. 2分析：选 C.知足 log2 x y＝ 1 的(x，y)，有 (1,2)，(2,4)， (3,6)这 3 种状况，而总的可能数有3 136 种，所以所求概率为 P＝36＝12.2． (2011 高·考课标全国卷)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加此中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性同样，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为() 11A. 3B.223C.3D. 4分析：选 A. 记三个兴趣小组分别为1、 2、 3，甲参加 1 组记为“甲 1”，则基本领件为“甲 1，乙 1；甲 1，乙 2；甲 1，乙 3；甲 2，乙 1；甲 2，乙 2；甲 2，乙 3；甲 3，乙 1；甲 3，乙 2；甲 3，乙 3”，共 9 个．记事件 A 为“ 甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，此中事件 A 有“甲 1，乙 1；甲312，乙 2；甲 3，乙 3”，共 3 个．所以P(A)＝9＝3.3． (2012 高·考安徽卷 ) 袋中共有 6 个除了颜色外完整同样的球，此中有1个红球、 2个白球和 3 个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()1 B.2A. 5534C.5D. 5分析：选 B. 设袋中红球用 a 表示， 2 个白球分别用b1，b2表示， 3 个黑球分别用 c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本领件为：(a， b1)， (a， b2)， (a， c1)， (a， c2)， (a， c3)，( b1，b2)，(b1， c1)，(b1，c2) ，(b1， c3)， (b2，c1)， (b2，c2)， (b2， c3)， (c1，c2 )，(c1， c3)， (c2，c3)，共 15 个．两球颜色为一白一黑的基本领件有：(b1， c1)， (b1，c2)， (b1， c3)， (b2， c1)， (b2， c2)，( b2， c3)，共 6 个．62∴其概率为15＝5.应选 B.4． (2011 高·考安徽卷 )从正六边形的6个极点中随机选择 4 个极点，则以它们作为极点的四边形是矩形的概率等于 ()11A. 10B.811C.6D.5分析： 选 D.假定正六边形的6 个极点分别为 A 、 B 、C 、 D 、 E 、 F ，则从 6 个极点中任取 4 个极点共有15 种结果，以所取 4 个点作为极点的四边形是矩形有3 种结果，故所求概1率为 5.5．一个坛子里有编号为 1,2， ， 12 的 12 个大小同样的球，此中 1 到 6 号球是红球，其他的是黑球， 若从中任取两个球， 则取到的都是红球， 且起码有 1 个球的号码是偶数的概 率为 ( )A. 1B. 1 22 113 2C.22D. 11分析：选 D.基本领件总数为 C 122，事件包括的基本领件数为 C 62－C 32，故所求的概率为 PC 62－ C 32＝2＝C 12211.二、填空题6． (2011 高·考福建卷 )盒中装有形状、大小完整同样的 5 个球，此中红色球 3 个，黄色球 2 个．若从中随机拿出 2 个球，则所拿出的 2 个球颜色不一样的概率等于 ________．分析： 从 5 个球中任取 2 个球有 10 种取法， 2 个球颜色不一样的取法有 3× 2＝ 6(种 )，故6 3所求概率为 10＝ 5.答案：357．一笼里有 3 只白兔和 2 只灰兔， 现让它们一一出笼， 假定每一只跑出笼的概率同样，则先出笼的两只中一不过白兔，而另一不过灰兔的概率是 ________．分析： 从笼子中跑出两只兔子的状况有A 52＝ 20 种状况．设事件 A ：先出笼的两只中一1 1 1 13 2＋C 2 C 3 12 3C C不过白兔，另一不过灰兔．则 P(A)＝ A 52＝20＝ 5.答案： 358．(2013 ·城质检东 )某地为了检查职业满意度， 决定用分层抽样的方法从公事员、 教师、自由职业者三个集体的有关人员中， 抽取若干人构成检查小组， 有关数据见下表， 则检查小组的总人数为 ________；若从检查小组中的公事员和教师中随机选 2 人撰写检查报告， 则其中恰巧有 1 人是公事员的概率为 ________.有关人员数抽取人数公事员 32x教师48 y自由职业者644分析： 由从自由职业者64 人抽取 4 人可得，每一个个体被抽入样的概率为4 164＝16，则公事员应该抽取 32×1＝ 2(人 )，教师应该抽取 48×1＝ 3(人 )，由此可得检查小组共有 2＋31616＋ 4＝ 9(人 )．从检查小组中的公事员和教师中随机选2 人撰写检查报告，则此中恰有 1 人是C 12·C 31 3公事员的概率为 P ＝C ＝523 答案： 95三、解答题9． (2013 ·南质检济 )现有编号分别为 1,2,3,4,5 的五道不一样的政治题和编号分别为 6,7,8,9的四道不一样的历史题． 甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题， 每道题被抽到的概率是相等的，用符号 (x ， y)表示事件“抽到的两道题的编号分别为(1)问有多少个基本领件，并列举出来；(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17 但不小于x ， y ，且 x ＜ y ”．11 的概率．解： (1)共有 36 个等可能的基本领件，列举以下：(1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (1,6)， (1,7) ， (1,8)， (1,9)，(2,3) ， (2,4)，(2,5) ， (2,6) ，(2,7) ，(2,8) ，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6) ，(3,7)，(3,8)，(3,9)， (4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8) ，(4,9)，(5,6)，(5,7) ，(5,8)， (5,9) ，(6,7) ，(6,8)， (6,9)， (7,8) ， (7,9)， (8,9)．(2)记 “ 甲同学所抽取的两道题的编号之和小于 17 但不小于 11” 为事件 A.则事件 A 为“ x ， y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9} ，且 x ＋y ∈[11,17) ，此中 x ＜y ” ，由 (1)可知事件 A 共包括 15 个基本领件，列举以下：(2,9)， (3,8)， (3,9)， (4,7)， (4,8)， (4,9) ， (5,6)， (5,7)，(5,8) ， (5,9)，(6,7) ， (6,8) ，(6,9) ，(7,8) ，(7,9)，所以 15 5P(A)＝ 36＝ 12，即甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17 但不小于11 的概率为125.10．(2012·考天津卷高)某地域有小学21 所，中学14 所，大学7 所，现采纳分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校正学生进行视力检查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数量；(2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据剖析， ①列出全部可能的抽取结果；②求抽取的 2 所学校均为小学的概率．解： (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数量为3、 2、 1.(2)①在抽取到的 6 所学校中， 3 所小学分别记为 A 1， A 2， A 3, 2 所中学分别记为 A 4， A 5，大学记为 A 6，则抽取 2 所学校的全部可能结果为 { A 1，A 2 1，A 3 }，{ A1，A 4 1，A 5} ， } ，{A } ，{A 1 62， A 32 ，A 4 2， A 5 }，{A2，A 6 ，{ A 3，A 4 } ， { A3，A 5 ， { A 3， A 6 }，{ A 4，{A A }，{A}，{ A}，{A}}54， A 65，A 6种．A }，{A } ， { A }，共 15②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学 (记为事件 B)的全部可能结果为 { A 1，A 2 1，}，{A 3 2， A 3种．A }，{A}，共 33 1所以 P(B)＝ 15＝ 5.一、选择题1．甲从正方形四个极点中随意选择两个极点连成直线，乙也从该正方形四个极点中任意选择两个极点连成直线，则所得的两条直线互相垂直的概率是 ( )3 4A. 18B.1856C.18D. 18分析： 选 C.甲从正方形四个极点中随意选择两个极点连成直线，乙也从该正方形四个6× 6极点中随意选择两个极点连成直线，所得的直线共有2 ＝18 对，而互相垂直的有5 对，P ＝ 5故依据古典概型概率公式得 18.2．(2013 ·肥质检合 )已知 A ＝{1,2,3} ， B ＝ { x ∈R |x 2－ ax ＋b ＝ 0，a ∈ A ，b ∈ A} ，则 A ∩ B＝B 的概率是 ()21A. 9B.38C.9D． 1分析：选 C.∵A∩B＝ B，∴B 可能为 ?，{1} ， {2} ， {3} ， {1,2} ， {2,3} ， {1,3} ．当 B＝?时， a2－ 4b＜ 0，知足条件的a， b 为 a＝ 1， b＝ 1,2,3；a＝2， b＝ 2,3；a＝ 3， b＝ 3.当 B＝ {1}时，知足条件的a， b 为 a＝ 2， b＝ 1.当 B＝ {2} ， {3} 时，没有知足条件的 a， b.当 B＝{1,2}时，知足条件的a，b 为 a＝ 3，b＝ 2.当 B＝ {2,3} ， {1,3} 时，没有知足条件的 a， b.∴A∩ B＝8 ＝ 8B 的概率为3×39.应选 C.二、填空题3．盒子里共有大小同样的 3 只白球， 1 只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不一样的概率是 ________．分析：设 3只白球为 A，B， C,1 只黑球为 d，则从中随机摸出两只球的情况有：AB，1AC ，Ad，BC ，Bd， Cd，共 6 种，此中两只球颜色不一样的有 3 种，故所求概率为2.答案：124．(2012 高·考江苏卷 )现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，－ 3 为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于8 的概率是 ________．分析：由题意得 a n＝ (－ 3)n－1，易知前 10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于863的项为第一项和偶数项，共 6 项，即 6 个数，所以 P＝10＝5.3答案：5三、解答题5．一个袋中装有四个形状大小完整同样的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求拿出的球的编号之和不大于 4 的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，而后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求 n<m＋2 的概率．解： (1)从袋中随机取两个球，其全部可能的结果构成的基本领件有： 1 和 2,1 和 3,1和4,2和 3,2和 4,3和 4，共 6个．从袋中拿出的两个球的编号之和不大于 4 的事件有： 1 和2,1和3，共 2 个．所以所求2 1事件的概率为 P＝6＝3.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为 n，其全部可能的结果(m， n)有：(1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,1)， (2,2) ， (2,3)， (2,4)，(3,1) ， (3,2)，(3,3) ， (3,4) ，(4,1) ，(4,2) ，(4,3)， (4,4) ，共 16 个．又知足条件n≥m＋2 的事件有： (1,3)， (1,4)， (2,4)，共 3 个．3所以知足条件n≥ m＋ 2 的事件的概率为P1＝16.故知足条件n<m＋ 2 的事件的概率为1－P1＝ 1－163＝1316.。