一个集值映射的不动点定理

代数基本定理的几种证明作者：李志国邵泽玲李志新来源：《科技风》2020年第13期摘;要：代数基本定理是数学中最重要最基本的定理之一，不仅仅在代数学中起着重要的基础作用，乃至整个数学研究都有着广泛的应用基础。

本文通过利用拓扑、不动点、代数等理论给出了代数学基本定理的五种不同的证明。

关键词：代数基本定理;不动点定理;同伦;分裂域代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。

最早该定理由德国数学家罗特于1608年提出。

据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。

迄今为止，该定理尚无纯代数方法的证明。

大数学家J.P.塞尔曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。

美国数学家John Willard Milnor在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。

复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很多经典的复变函数的理论结果。

代数基本定理，一般高等代数的教材中都没有给出证明，这是因为它的纯代数方法的种种证明都很复杂。

大多数参考文献中都是利用维尔定理和儒歇定理等复变函数理论来证明代数基本定理。

本文从拓扑学，不动点理论，代数理论等角度分别列举了五种不同的证明方法。

1 代数学基本定理任何一个n次多项式f（z）=anzn+an-1zn-1+…+a1z1+a0，ai∈C，an≠0在复数域C中至少有一个根。

证法一：（代数拓扑方法）视S2=C∪{SymboleB@}，f（z）可以延拓为一个连续映射：F：S2=C∪{SymboleB@}→S2=C∪{SymboleB@};F（z）=f（z），z∈C;F（SymboleB@）=SymboleB@。

由此可知，只要证明0∈ImF即可。

定义H：S2×I→S2如下：H（z，t）=anzn+（1-t）（f（z）-anzn），z∈C，SymboleB@，z=SymboleB@。

令F1（z）=anzn，z∈CSymboleB@，z=SymboleB@，则H（z，t）定义了一个F与F1之间的一个同伦。

第4章连通性本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间．§4.1连通空间本节重点:掌握连通与不连通的定义；掌握如何证明一个集合的连通与否；掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性．我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间（0，l）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）∪［l，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）∪（1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果则称子集A和B是隔离的．明显地，定义中的条件等价于和同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l）和[1，2)不是隔离的．又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．定义4.1.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间．显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间．定理4.1.1 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价：（l）X是一个不连通空间；（2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；（3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；（4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集．证明条件（l）蕴涵（2）:设（1）成立．令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A∪B＝X，显然A∩B=，并且这时我们有因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集．这证明了集合A和B满足条件（2）中的要求．条件（2）蕴涵（3）．如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于这时有A＝和B=，因此A、B也是开集，所以A 和B也满足条件（3）中的要求．条件（3）蕴涵（4）．如果X的子集A和B满足条件（3）中的要求，所以A、B是开集，则由A＝和B=易见A和B都是X中的闭集，因此A、B 是X中既开又闭的真（∵A、B≠，A∪B=X，∴A、B≠X）子集，所以条件（4）成立．条件（4）蕴涵（l）．设X中有一个既开又闭的非空真子集A．令B=．则A和B都是X中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A∪B=X．易见两个无交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己）．因此（l）成立．例4.1.1 有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任何一个无理数r∈R-Q，集合（-∞，r）∩Q＝（－∞，r]∩Q是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集．定理4.1.2 实数空间R是一个连通空间．证明我们用反证法来证明这个定理．假设实数空间R是不连通空间．则根据定理4.1.1，在R中有两个非空闭集A和B使得A∩B=和A∪B＝R成立．任意选取a∈A和b∈B，不失一般性可设a＜b．令=A∩[a,b]，和=B∩[a,b]．于是和是R中的两个非空闭集分别包含a和b，并且使得∩=和∪=[a，b]成立．集合有上界b，故有上确界，设为．由于是一个闭集，所以∈，并且因此可见＜b，因为＝b将导致b∈∩，而这与∩=矛盾．因此（，b]．由于是一个闭集，所以∈．这又导致∈∩，也与∩=矛盾．定义4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集．如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是X的一个连通子集；否则，称Y是X的一个不连通子集．拓扑空间X的子集Y是否是连通的，按照定义只与子空间Y的拓扑有关(即Y的连通与否与X的连通与否没有关系．)．因此，如果，则Y是X 的连通子集当且仅当Y是Z的连通子集．这一点后面要经常用到．定理4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集，A，B Y．则A和B是子空间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集．因此，Y是X的一个不连通子集，当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B＝Y(定义)当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B＝Y．证明用、分别表示A在Y，X中的闭包．因为因此根据隔离子集的定义可见定理成立．定理4.1.4 设Y是拓扑空间X中的一个连通子集．如果X中有隔离子集A和B使得Y AUB，则或者Y A，或者Y B．证明如果A和B是X中的隔离子集使得Y AUB，则这说明A∩Y和B∩Y也是隔离子集．然而（A∩Y）∪（B∩Y）＝（A∪B）∩Y＝Y因此根据定理4.1.3，集合A∩Y和B∩Y中必有一个是空集．如果A∩Y=，据上式立即可见Y B，如果B∩Y＝，同理可见Y A．定理 4.1.5 设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z X满足条件．则Z也是X的一个连通子集．证明假设Z是X中的一个不连通子集．根据定理4.1.3，在X中有非空隔离子集A和B使得Z=A∪B，因此Y AUB．由于Y是连通的，根据定理4.1.4，或者Y A．或者Y B,同理,．这两种情形都与假设矛盾．定理4.1.6 设是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族．如果，则是X的一个连通子集．证明设A和B是X中的两个隔离子集，使得，＝A∪B．任意选取x∈，不失一般性，设x∈A．对于每一个γ∈Γ，由于连通，根据定理 4.1.4，或者或者；由于x∈∩A，所以．根据定理4.1.3，这就证明了是连通的．定理4.1.7 设Y是拓扑空间X中的一个子集．如果对于任意x，y∈Y存在X中的一个连通子集使得x，y∈Y，则Y是X中的一个连通子集．证明如果Y=，显然Y是连通的．下设Y≠,任意选取a∈Y，容易验证Y＝并且a∈．应用定理4.1.6，可见Y是连通的．我们曾经说过，拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质（参见§2．2）．所谓拓扑不变性质，乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间所具有的性质．事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其他概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质．拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质．因为同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质.拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质．因为拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质．以下定理4.1.8指出，连通性（即一个拓扑空间是连通的这一性质）是一个在连续映射下保持不变的性质．因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质．定理4.1.8 设f:X→Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射．则f（X）是Y的一个连通子集．证明如果f（X）是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A 和B使得f（X）＝A∪B．于是（A）和（B）是X的非空子集，并且所以（A）和（B）是X的非空隔离子集．此外，（A）∪（B）＝（A∪B）=(f(X))=X这说明X不连通．与定理假设矛盾．拓扑空间的某种性质P称为有限可积性质，如果任意n＞0个拓扑空间都具有性质p，蕴涵着积空间也具有性质p．例如，容易直接证明，如果拓扑空间都是离散空间（平庸空间），则积空间也是离散空间（平庸空间），因此我们可以说拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质．根据定理3．2．9以及紧随其后的说明可见：假设已知拓扑空间的某一个性质p是一个拓扑不变性质．为了证明性质p是一个有限可积性质，我们只要证明任何两个具有性质p的拓扑空间的积空间也是具有性质p的拓扑空间．定理4.1.9 设是n个连通空间．则积空间也是连通空间．证明根据前一段中的说明，我们只要对于n=2的情形加以证明．首先我们指出：如果两个点有一个坐标相同，则有一个连通子集同时包含x和y不失一般性，设定义映射k：使得对于任何有．由于是取常值的映射，为恒同映射，它们都是连续映射，其中分别是到第1和第2个坐标空间的投射．因此，k是一个连续映射．根据定理4.1.8，k()是连通的．此外易见，，因此它同时包含x和y．现在来证明：中任何两个点同时属于的某一个连通子集．这是因为这时若令，则根据前段结论，可见有的一个连通子集同时包含x和z，也有的一个连通子集同时包含y和z．由于z∈，因此根据定理4.1.6，是连通的，它同时包含x和y．于是应用定理4.1.7可见是一个连通空间．因为n维欧氏空间是n个实数空间R的笛卡儿积，而实数空间R又是一个连通空间，所以应用这个定理可见，n维欧氏空间是一个连通空间．作业:P116 3．5．6．8．14．§4.2连通性的某些简单应用本节重点:掌握实数空间R中的连通子集的“形状”掌握实数空间R的子集中常见的连通子集与不连通子集.掌握常见的几种空间的同胚与否的事实.让我们回忆实数集合R中区间的精确定义：R的子集E称为一个区间，如果它至少包含两个点，并且如果a，b∈E，a＜b，则有[a，b]={x∈R|a≤x≤b} E读者熟知，实数集合R中的区间共有以下9类：（-∞，∞），（a，∞），［a，∞），（-∞，a），(-∞，a］（a，b），（a，b］，［a，b），［a，b］因为，一方面以上9类集合中的每一个显然都是区间；另一方面，如果ER是一个区间，可视E有无上（下）界，以及在有上（下）界的情形下视其上（下）确界是否属于E，而将E归入以上9类之一在定理4．1．2中我们证明了实数空间R是一个连通空间．因为区间（a，∞），（－∞，a）和（a，b）都同胚于R（请读者自己写出必要的同胚映射），所以这些区间也都是连通的；由于根据定理4．1．5可见区间[a，∞），（－∞，a]，[a，b），（a，b]和[a，b］都是连通的．另一方面，假设E是R的一个子集，并且它包含着不少于两个点．如果E不是一个区间，则,也就是说,存在a<c<b,使得；从而，若令A=（－∞，c）∩E，B=(c，∞)∩E则可见A和B都是E的非空开集，并且有A∪B=E和A∩B=，因此E不连通.综合以上两个方面，我们已经证明了：定理4.2.1 设E是实数空间R的一个子集．E是包含着不少于两个点的一个连通子集当且仅当E是一个区间．定理4.2.2 设X是一个连通空间，f:X→R是一个连续映射．则f(X)是R 中的一个区间．因此，如果x，y∈X，则对于f(x)与f(y)之间的任何一个实数t（即当f(x)≤f(y)时，f(x)≤t≤f(y)；当f(y)≤f(x)时，f(y)≤t≤f(x))，存在z∈X 使得f(z)=t．证明这个定理的第一段是定理4．1．8和定理4.2.1的明显推论．以下证明第二段．设x，y∈X．如果f（x）＝f（y），则没有什么要证明的．现在设f（x）≠f（y），并且不失一般性，设f（x）＜f（y）．由于f（X）是一个区间，所以［f（x），f（y）］f（X）．因此对于任何t，f(x)≤t≤f(y)，有t∈f(X)，所以存在z∈X,使得f（z）=t.根据定理4.2.2，立即可以推出数学分析中的介值定理和不动点定理．定理4.2.3［介值定理］设f:[a，b]→R是从闭区间[a，b]到实数空间R的一个连续映射．则对于f（a）与f（b）之间的任何一个实数r，存在z∈［a，b］使得f(z)=r．定理4.2.4[不动点定理] 设f:[0，1]→［0，1］是一个连续映射．则存在z∈[0，1]使得f(z)=z证明如同数学分析中的证法那样,只需构造F(x)=x-f(x), 再利用介值定理即可证得.容易证明欧氏平面中的单位圆周是连通的.这是因为如果定义映射f:R→使得对于任意t∈R有f(t)=(cos2πt,sin2πt)∈，则易于验证f是一个连续映射，并且f(R)＝．因此是连通空间R在一个连续映射下的象，所以它是连通的．设点称为点x的对径点．映射r：使得任何x∈,有r(x)=-x，称为对径映射．对径映射是一个连续映射，因为它是欧氏平面到自身的反射l：在单位圆周上的限制．其中，映射l 定义为对于任何,有l（x）＝-x，容易验证（请读者自行验证)是一个连续映射．定理4.2.5[Borsuk-Ulam定理] 设f:→R是一个连续映射．则在中存在一对对径点x和-x，使得f(x)=f(-x)．证明(略)我们已经知道n维欧氏空间是连通空间，下面进一步指出：定理4.2.6 n＞1维欧氏空间的子集-{0}是一个连通子集，其中0=（0，0，…，0）∈．证明我们只证明n＝2的情形．根据定理4．1．9，中的子集(-∞，0)×R和（0，∞）×R都是连通的．由于所以根据定理4．1．5，Rn中的子集A=［0，∞）×R-{0}是连通的；同理，子集B=(-∞，0］×R-{0}是连通的．由于A∩B≠以及A∪B=-{0}，因此根据定理4.1．6可见，-{0}是连通的．一般情形的证明类似，请读者自行补证.定理4.2.6可以得到进一步的改善（参见习题第4题）定理4.2.7 欧氏平面和实数空间R不同胚．证明假设与R同胚，并且设f:→R是一个同胚．因此对于连续映射我们有．但根据定理 4.2.6，-{0}是连通的，而根据定理4.2.1，R-{f(0)}是不连通的．这与定理4．1．8矛盾．定理4.2.7给出了利用拓扑不变性质判定两个空间不同胚的第一个实例．定理4.2.4，定理4.2.5和定理4.2.7尽管简单但确有意思，特别是这几个定理都有高维“版本”，我们分别陈述如下：定理4.2.8[Brouwer不动点定理] 设f：是一个连续映射，其中是n维球体．则存在z∈使得f（z）=z．定理4.2.9[Borsuk－Ulam定理] 设f：是一个连续映射，其中n≥m，则存在x∈使得f（x）=f（-x）．定理4.2.10 如果n≠m，则欧氏空间和不同胚．这些定理的证明（除去我们已经证明过的情形）一般都需要代数拓扑知识，例如同调论或同伦论，请参阅有关的专门书籍．作业：P121 4.§4.3连通分支本节重点:掌握连通分支的定义(即连通”类”的分法)；掌握连通分支的性质(定理4.3.1)．从前面两节中的内容可以看出，知道一个拓扑空间是否连通给我们处理一些问题带来很大的方便．这导致我们去考察一个我们并不知道是否连通的拓扑空间中的“最大”连通子集（即连通分支）．定义4.3.1 设X是一个拓扑空间，x，y∈X．如果X中有一个连通子集同时包含x和y，我们则称点x和y是连通的．(注意:是点连通) 根据定义可见，如果x，y，z都是拓扑空间X中的点，则（1）x和x连通（因为每一个单点集都是连通子集）；（2）如果x和y连通，则y和x也连通；（显然）（3）如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通．（这是因为，这时存在X中的连通子集A和B使得x，y∈A和y，z∈B．从而由于y∈A∩B 可见A∪B连通，并且x，z∈A∪B．因此x和z连通．）以上结论归结为：拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系．定义4.3.2 设X是一个拓扑空间．对于X中的点的连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X的一个连通分支．如果Y是拓扑空间X的一个子集．Y作为X的子空间的每一个连通分支称为X的子集Y的一个连通分支．拓扑空间X≠的每一个连通分支都不是空集；X的不同的连通分支无交；以及X的所有连通分支之并便是X本身．此外，x，y∈X属于X的同一个连通分支当且仅当x和y连通．拓扑空间X的子集A中的两个点x和y属于A的同一个连通分支当且仅当A有一个连通子集同时包含点x和y．定理4.3.1 设X是一个拓扑空间，C是拓扑空间X的一个连通分支．则（1）如果Y是X的一个连通子集，并且Y∩C≠；（2）C是一个连通子集；（3）C是一个闭集．本定理中的条件（1）和（2）说明，拓扑空间的每一个连通分支都是X的一个最大的连通子集．证明（1）任意选取x∈Y∩C．对于任何y∈Y由于x和y连通，故y∈C．这证明Y C．（2）对于任何x，y∈C，根据定义可见，存在X的一个连通子集使得x，y∈．显然∩C≠，故根据（1），C．应用定理4．1．7可知，C是连通的．（3）因为C连通，根据定理4．1．5，连通．显然，．所以根据（1），．从而C是一个闭集．但是，一般说来连通分支可以不是开集．例如考虑有理数集Q（作为实数空间R的子空间）．设x，y∈Q，x≠y．不失一般性，设x＜y．如果Q的一个子集E同时包含x和y，令A=(-∞，r)∩E和B=(r，∞)∩E，其中r是任何一个无理数，x＜r＜y．此时易见A和B都是Q的非空开集，并且E＝A∪B．因此E不连通．以上论述说明E中任何一个包含着多于两个点的集合都是不连通的，也就是说，Q的连通分支都是单点集．然而易见Q中的每一个单点集都不是开集．记住这个事实:任一个集合A都可以由含于它内部的所有连通分支的并而成(且这些连通分支互不相交)．即使是离散空间,它的每一个点自成连通分支,这个结论也成立．作业:P123 1．3．4．8．§4.4局部连通空间本节重点:掌握局部连通的定义与性质(定理4.4.1-4.4.3)；掌握连通与局部连通的关系.引进新的概念之前，我们先来考察一个例子．例4.4.1 在欧氏平面中令S={(x,sin(1/x))|x∈(0,1]}．T={0}×[-1,1],其中S被称作拓扑学家的正弦曲线，它是区间（0，1]在一个连续映射下的象，因此是连通的．此外，也容易验证＝S∪T，因此＝S∪T也是连通的．尽管如此，倘若我们查看中的点，容易发现它们明显地分为两类：S中的每一个点的任何一个“较小的”邻域中都包含着一个连通的邻域，而T中的每一个点的任何一个邻域都是不连通的.我们用以下的术语将这两个类型的点区别开来．定义4.4.1 设X是一个拓扑空间，x∈X．如果x的每一个邻域U中都包含着x的某一个连通的邻域V，则称拓扑空间X在点x处是局部连通的．如果拓扑空间X在它的每一个点处都是局部连通的，则称X是一个局部连通空间．回到例4.4.1中所定义的拓扑空间．容易证明，在其属于S的每一个点处是局部连通的，而在其属于T的每一个点处都不是局部连通的．也因此，尽管是一个连通空间，但它却不是一个局部连通的空间．局部连通的拓扑空间也不必是连通的．例如，每一个离散空间都是局部连通空间，但包含着多于两个点的离散空间却不是连通空间．又例如，n维欧氏空间的任何一个开子空间都是局部连通的（这是因为每一个球形邻域都同胚于整个欧氏空间，因而是连通的），特别，欧氏空间本身是局部连通的．另一方面，欧氏空间中由两个无交的非空开集的并作为子空间就一定不是连通的（请读者自己证明）．此外根据定义立即可见：拓扑空间X在点x∈X处是局部连通的当且仅当x 的所有连通邻域构成点x处的一个邻域基，定理4.4.1 设X是一个拓扑空间．则以下条件等价：（1）X是一个局部连通空间；（2）X的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集；（3）X有一个基，它的每一个元素都是连通的．证明（1）蕴涵（2）．设C是X的一个连通分支,．如果x∈C，由于U是x的一个邻域，所以当（1）成立时x有一个连通邻域V包含于U．又由于V∩C包含着点x,所以不是空集，根据定理4．3．1可见．因此C∈．这证明C是属于它的任何一个点x的邻域，因此C是一个开集．条件（2）蕴涵（3）．若（2）成立，则X的所有开集的所有连通分支（它们都是开集）构成的集族，由于每一个集合是它的所有连通分支之并，恰是X 的一个基．条件（3）蕴涵(1)．显然．我们常用到定理4.4.1的一个推论：局部连通空间的每一个连通分支都是开集．定理4.4.2 设X和Y都是拓扑空间，其中X是局部连通的．又设f:X→Y 是一个连续开映射．则 f（X）是一个局部连通空间．证明根据定理4.4.1，可设B是X的一个基，其中的每一个元素都是连通的．对于每一个B∈B，集合f(B)是连通的，并且由于f是一个开映射，f（B）是Y中的一个开集，因此也是f（X）的一个开集．这证明集族B1={f（B）|B∈B}}是一个由f（X）的连通开集构成的族．我们指出B1是f(X)的一个基，这是因为，如果U是f(X)中的一个开集，则（U）是X中的一个开集，因此是B1中某些元素之并．于是根据定理4.4.l可知f（X）是局部连通的．根据定理4.4.2易见，拓扑空间的局部连通性是一个拓扑不变性质.定理 4.4.3设是n≥1个局部连通空间．则积空间也是局部连通空间．证明(略)应用这些定理，有些事情说起来就会简单得多．例如，实数空间R由于所有的开区间构成它的一个基，所以它是局部连通的；n维欧氏空间是n个R 的积空间，所以它也是局部连通的．当然这些事情我们早就知道了．作业:P127 1.2.3.§4.5道路连通空间较之于连通空间的概念，道路连通空间这个概念似觉更符合我们的直觉因而易于理解些．我们先定义“道路”．定义4.5.1 设X是一个拓扑空间．从单位闭区间[0，1]→X的每一个连续映射f:[0，1]→X叫做X中的一条道路，并且此时f(0)和f(1)分别称为道路f的起点和终点．当x＝f（0）和y＝f（1）时，称f是X中从x到y的一条道路．起点和终点相同的道路称为闭路，并且这时，它的起点（也是它的终点）称为闭路的基点．如果f是X中的一条道路，则道路f的象集f([0，l])称为X中的一条曲线或弧，并且这时道路f的起点和终点也分别称为曲线f([0,1])的起点和终点．或许应当提醒读者，“道路”这个词在这里所表达的意思已经与我们对它原有的理解颇有不同，希望读者不要因此而混淆了我们在这里严格定义的道路和曲线这两个不同的概念．定义4.5.2 设X是一个拓扑空间．如果对于任何x，y，存在着X中的一条从x到y的道路（或曲线），我们则称X是一个道路连通空间．X中的一个子集Y称为X中的一个道路连通子集，如果它作为X的子空间是一个道路连通空间．(Y是否道路连通与X是否道路连通没有关系)实数空间R是道路连通的．这是因为如果x，y∈R，则连续映射f:[0，1]→R 定义为对于任何t∈[0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一条以x为起点以y 为终点的道路、也容易验证任何一个区间都是道路连通的．定理4.5.1 如果拓扑空间X是一个道路连通空间，则X必然是一个连通空间．证明对于任何x，y∈X，由于X道路连通，故存在从x到y的一条道路f:[0，l]→X这时曲线f（[0,1]），作为连通空间[0，l]在连续映射下的象，是X中的一个连通子集，并且我们有x，y∈f（[0，1]）．因此根据定理4.1.7可见X是一个连通空间．连通空间可以不是道路连通的．我们已经指出例4．4．l中的是一个连通空间．不难证明（留作习题，见习题第3题）它不是道路连通的．道路连通与局部连通之间更没有必然的蕴涵关系、例如离散空间都是局部连通的，然而包含着多于两个点的离散空间不是连通空间，当然也就不是道路连通空间了．定理4.5.2 设X和Y是两个拓扑空间，其中X是道路连通的，f:X→Y是一个连续映射．则 f（X）是道路连通的．证明设．由于X是道路连通的，故X中有从到的一条道路g：[0，1]→X．易见，映射h：[0，1]→f(X)，定义为对于任意t∈[0，1]有h（t）=f g（t），是f（X）中从到的一条道路．这证明f（X）是道路连通的．根据定理4.5.2可见，空间的道路连通性是一个拓扑不变性质，也是一个可商性质.定理 4.5.3设是n≥1个道路连通空间．则积空间也是道路连通空间．证明我们只需要对n＝2的情形加以证明．设对于i=l，2，由于是道路连通空间，故在中有从到的一条道路：[0，1]→．定义映射f：[0，1]→，使得对于任何t∈[0，l]有f（t）＝（)．容易验证（应用定理3．2.7）f是连续的，并且有f(0)=x,f(1)=y．这也就是说f是中从x到y的一条道路．这证明是一个道路连通空间．作为定理4.5.3的一个直接的推论立即可见：n维欧氏空间是一个道路连通空间．（这个结论也容易直接验证．）为了今后的需要我们证明以下引理，定理4.5.4[粘结引理] 设A和B是拓扑空间X中的两个开集（闭集），并且有X＝A∪B．又设Y是一个拓扑空间，：A→Y和：B→Y是两个连续映射，满足条件：定义映射f:X→Y使得对于任何x∈X，f（x）＝则f是一个连续映射．证明首先注意，由于，映射f的定义是确切的．因为当x∈A∩B时，有．其次，我们有：对于Y的任何一个子集Z有这是由于现在设U是Y的一个开集．由于都连续，所以分别是A和B的开集．然而A和B都是X的开集，所以也都是X的开集．因此是X的一个开集．这便证明了f是一个连续映射．当A和B都是X的闭集时，证明是完全类似的．我们现在按建立连通分支概念完全类似的方式建立道路连通分支的概念．定义4.5.3 设X是一个拓扑空间，x，y∈X．如果X中有一条从x到y 的道路，我们则称点x和y是道路连通的．(注意:是“点”道路连通) 根据定义可见，如果x，y，z都是拓扑空间X中的点，则（1）x和x道路连通；（因为取常值的映射f: [0，1]→X（它必然是连续的）便是一条从x到x的道路．）（2）如果x和y连通，则y和x也连通；(设f:[0，1]→X是X中从x到y的一条道路．定义映射j：[0，l]→X，使得对于任何t∈[0，l]有j（t）＝f（1－t）．容易验证j是一条从y到x的道路．)（3）如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通．（设：[0，1]→X分别是X中从x到y和从y到z的道路．定义映射f:[0，1]→X使得对于任何t∈[0，l]，应用粘结引理立即可见f是连续的，此外我们有f（0）＝（0）=x和f(1)=(1)=z．因此f是从x到z的一条道路．）以上结论归结为：拓扑空间中点的道路连通关系是一个等价关系．。

约翰纳什—获得诺贝尔经济学奖的数学家，彻底改变了数学领域的博弈论1928年，数学家约翰·福布斯·纳什（John Forbes Nash Jr）出生于西弗吉尼亚州。

他于2015年5月23日在新泽西州的一场车祸中去世，几天前他在奥斯陆（挪威首都）获得了著名的阿贝尔奖。

在2001年奥斯卡获奖电影《美丽心灵》中，纳什的故事被广泛传播开来。

早年(1928-45)纳什在他的诺贝尔自传中描述了他小时候读了很多书，包括康普顿的《图画百科全书》。

纳什很早就表现出对实验的极大兴趣。

在他12岁的时候，他已经"把自己的房间变成了一个实验室。

他摆弄收音机，玩弄电器小玩意，做化学实验。

在他读高三时，他获得了乔治-威斯汀豪斯奖学金。

追随父亲的脚步，纳什于1945年申请进入卡内基技术学院学习工程。

在卡内基技术学院（1945-48年）纳什在卡内基理工学院（现在的卡内基梅隆大学）上了四年的大学。

纳什最初就读于化学工程专业，后来转到化学专业，他大部分时间都在反抗该专业的制度化和课程中缺乏数学的严谨性。

作为一个天生的研究者，他反对这样的观念，即衡量一个人的表现：不是看他的思维能力有多强，而是看他在实验室里能不能处理好吸管和进行滴定"（纳什，1998）。

当他回到大二时，纳什发现一群出色的新研究人员加入了大学的教员队伍，包括物理学家约翰-辛格、理查德-达芬，以及数学家劳尔-博特和亚历山大-温斯坦。

从一开始，纳什就以他的聪明才智吸引了他们的注意。

他们最终促使他从化学转向数学，并认真考虑学术生涯。

到了第二年的中期，他几乎只专注于数学。

最后我在数学方面学到了很多东西，并取得了很大的进步，以至于我毕业时，他们除了给我学士学位外，还给了我一个硕士学位。

到1948年春天，也就是他大三的时候，纳什已经被哈佛、普林斯顿、芝加哥和密歇根大学录取。

在卡内基，达芬和辛格都建议纳什选择普林斯顿。

尽管哈佛大学是他的第一选择（因为其声誉、社会地位和师资），但纳什在普特南竞赛中表现平平，导致哈佛大学提供的资金略低于普林斯顿大学。

一个随机不动点定理
杨云苏;邓志云;罗节英
【期刊名称】《井冈山大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2006(027)010
【摘要】利用文[1]在赋范线性空间E中定义的半序及由半序引出的锥,得到了Banach空间中随机单调增算子的一个随机不动点定理.
【总页数】2页(P51-52)
【作者】杨云苏;邓志云;罗节英
【作者单位】井冈山学院,数理学院,江西,吉安,343009;井冈山学院,数理学院,江西,吉安,343009;井冈山学院,数理学院,江西,吉安,343009
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.一个随机不动点定理 [J], 杨云苏;邓志云;罗节英;
2.一个一般的多值随机算子的随机不动点定理 [J], 侯友良
3.随机集值半闭1-集压缩映象的一个随机不动点定理 [J], 杨庚华;李国祯
4.集值映射的随机不动点指数及随机不动点定理 [J], 柴国庆
5.随机不动点指数和随机不动点定理 [J], 李国祯;盛梅波
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数学奥赛辅导 第六讲集合与映射知识、方法、技能这一讲主要介绍有限集的阶，有限集上的映射及其性质，这些在与计数有关的数学竞赛问题中应用极广，是参赛者必不可少的知识Ⅰ.有限集元素的数目1．有限集的阶有限集A 的元素数目叫做这个集合的阶，记作|A|[或n(A)].2．集族的阶若M 为由一些给定的集合构成的集合，则称集合M 为集族.设A 为有限集，由A 的若干个子集构成的集合称为集合A 的一个子集族，求满足一定条件的集族的阶是一类常见的问题.显然，若|A|=n ，则由A 的所有子集构成的子集族的阶为2n .Ⅱ.映射，映射法定义1 设X 和Y 是两个集合（二者可以相同）.如果对于每个X x ∈，都有惟一确定的Y y ∈与之对应，则称这个对应关系为X 到Y 的映射.记为.Y y X x Y X ∈→∈→或这时,Y x f y ∈=)(称为X x ∈的象,而x 称为y 的原象,特别当X 和Y 都是数集时，映射f 称为函数.定义2 设f 为从X 到Y 的一个映射.(1)如果对于任何x 1、.),()(,,21212为单射则称都有f x f x f x x X x ≠≠∈（2）如果对于任何Y y ∈，都有X x ∈，使得f (x )=y ，则称f 为满射;（3）如果映射f 既为单射又为满射，则称f 为双射；（4）如果f 为满射且对任何Y y ∈，恰有X 中的m 个元素x 1、x 2、…x m ，使得 .)(,,,2,1,)(倍数映射的倍数为为则称m f m i y x f i ==定理1 设X 和Y 都是有限集，f 为从X 到Y 的一个映射,（1）如果f 为单射，则|X|≤|Y|（2）如果f 为满射，则|X|≥|Y|（3）如果f 为双射，则|X|=|Y|（4）如果f 为倍数为m 的倍数映射，则|X|=m|Y|.这个定理的结果是显然的.定理2 设有限集f a a a A n },,,,{21 =是A 到A 上的映射，),()(1x f x f =),,)](([)(1*+∈∈=N r A x x f f x f r r 则f 是一一映射（即双射）的充要条件是：对任意).11,()(,)(1,,-≤≤∈≠=≤≤∈∈**i i i s i i m i i i m s N s a a f a a f n m N m A a i 而使得存在 证明：必要性.若f 是双射，则i i a a f ==)(1（此时m i =1）,或者.)(11i i i a a a f ≠=在后一种情形下，不可能有.)()(1112i i i a a f a f ==否则，a i 1在A 中有两个原象a i 和a i 1，与f 是双射不合，而只可能有2222)(,,)(),2()(12i i i i i i i i i a a f a a a a f m a a f =≠===如果或者此时，则依同样的道理，不可能有或者此时而只可能有),3()(,,)()(33212====i i i i i i i m a a f a a a f a f 213,,)(3i i i i i a a a a a f ≠=.如此等等.因为A 是有限集，所以经过有限次（设经过m 次）后，有i s i i m a ai f a a f i ≠=)(,)(而 ).11,(-≤≤∈*i m s N s这表明当f 是双射时，对任一A a i ∈都存在着映射圈:i im i i i a a a a a i →→→→-121在这个映射圈中，诸元素互异，且),1(1i i i a m n m 只有一个元素=≤≤充分性.如果对任意i i s i i m i i i i a a f a a f n m N m A a ≠=≤≤∈∈*)(,)(,1,,而使存在 )1,(1-*≤≤∈i m s N s ，这说明从A 中任一元素a i 出发，都可以得到一个包含m i 个互异元素的映射圈，显然f 是双射.定理3 在命题1的条件下，若对i i m i i i a a f N m A a =∈∈*)(,,使存在，则对任意 .)(,i i tm a a f N t i =∈*有这是明显的事实，证明从略.赛题精讲例1：设集合,30001|{},,14,20001|{≤≤=∈+=≤≤=y y B Z k k x x x A 集合 ||},,13B A Z k k y ⋂∈-=求.【解】形如4k +1的数的数可分三类：)(912,512,112Z l l l l ∈+++，其中只有形如12l +5的数是形如3k -1的数..167||},1997,,17,5{,1660),(20005121=⋂=⋂≤≤∈≤+≤B A B A l Z l l 所以所以得令例2：有1987个集合，每个集合有45个元素，任意两个集合的并集有89个元素，问此1987个集合的并集有多少个元素.【解】显然，可以由题设找到这样的1987个集合，它们都含有一个公共元素a ，而且每两个集合不含a 以外的公共元素.但是，是否仅这一种可能性呢？由任意两个集合的并集有89个元素可知，1987个集合中的任意两个集合有且仅有一个公共元素，则容易证明这1987个集合中必有一个集合中的元素a 出现在A 以外的45个集合中，设为A 1，A 2，…，A 45，其余的设为A 46，A 47，…，A 1996.设B 为A 46，…，A 1996中的任一个集合，且B a ∉，由题设B 和A ，A 1，A 2，…，A 45都有一个公共元素，且此46个元素各不相同，故B 中有46个元素，与题设矛盾，所以这1987个集合中均含有a .故所求结果为1987×44+1=87429.即这1987个集合的并集有87429个元素.例3：集合n B B B A ,,,},9,2,1,0{21 =为A 的非空子集族，并且当,2||≤⋂≠j i B B j i 时求n 的最大值.【解】首先考虑至多含三个元素的A 的非空子集族，它们共有175310210110=++C C C 个，这说明.175max ≥n下证，.175max ≤n 事实上，设D 为满足题设的子集族，若,,4||,B b B D B ∈≥∈设且 则B 与B-{b}不能同时含于D ，以B-{b}代B ，则D 中元素数目不变.仿此对D 中所有元素数目多于4的集合B 作相应替代后，集族D 中的每个集合都是元素数目不多于3的非空集合，故.175max ≤n .所以，.175max =n在许多问题中，计数对象的特征不明显或混乱复杂难以直接计数，这时可以通过适当的映射将问题划归为容易计数的对象，然后再解决，从而取得化难为易的效果.例4：设},,,2,1{n S =A 为至少含有两项的公差为正的等差数列，其项都在S 中且当将S 的其他元素置于A 中之后，均不能构成与A 有相同公差的等差数列.求这种A 的个数（只有两项的数列也视为等差数列）【解】当k n 2=为偶数时，满足题中要求的每个数列A 中必有连续两项，使其前一项在集{1,2,…,k}和{k +1,k +2,…,2k }中各任取一数，并以二数之差作为公差可以作出一个满足要求的数列A.容易看出，这个对应是双射.故知A 的个数为.422n k = 当n =2k +1为奇数时，情况完全类似.惟一的不同在于这时第二个集合},2,1{n k k ++ 有k +1个元素.故A 的个数为.4/)1()1(2-=+n k k例5：设a n 为下述自然数N 的个数：N 的各位数字之和为n 且每位数字都只能取1、3或4.求证对每个自然数n ，a 2n 都是完全平方数.【证明】记各位数字之和为n 且每位数字都是1或2的所有自然数的集合为S n ，并记 ,3,2,1,||2121--+=≥===n n n n n f f f n f f f S 时有且当则这意味着{f n }恰为菲波那契数列.作对应'1M M S n →∍如下：先将M 的数字中自左至右的第一个2与它后邻的数字相加，其和作为一位数字；然后再把余下数字中第一个2与它后邻的数字相加，所得的和作为下一位数字；依此类推，直到无数再相加为止.所得的新自然数M′除最后一位数可能为2之外，其余各位数字均为1、3或4.若记所有M ′的集合为T n ，则容易看出，上述对应是由S n 到T n 的双射，从而有n n n f S T ==||||，且显然有,4,3,2=+=-n a a f n n n ①对于任一数字和为2n ，各位数字均为1或2的自然数M ，必存在正整数k ，使得下列两条之一成立：（1）M 的前k 位数字之和为n ;（2）M 的前k 位数字之和为n -1，第k +1位数字为2.则立即可得 ,3,2,2122=+=-n f f f n n n ②由①和②得到 ,2122222--+==+n n n n n f f f a a),(122222----=-n n n n f a f a ③因为.0,2,4,2,12242432=-====f a f a a a 所以于是由③递推即得 ,,3,2,1,22 ==n f a n n即n a 2为完全平方数.应用映射还可以证明某些与计数相关的不等式和等式.这时可以通过分别计数来证明等或不等，也可以不计数而直接通过适当的映射来解决问题.例6：将正整数n 写成若干个1和若干个2之和，和项顺序不同认为是不同的写法，所有写法种数记为a (n ).将n 写成若干个大于1的正整数之和，和项顺序不同认为是不同的写法，所有写法的种数记为)(n β.求证对每个n ，都有).2()(+=n n βα【证法1】将每项都是1或2，各项之和为n 的所有数列的集合记为A n ，每项都是大于1的正整数，各项之和为n 的所有数列的集合记为B n ，则问题就是证明|,|||2+=n n B A 显然，只需在两集之间建立一个双射就行了.i k ik i i n m a m i i i a a a A a a a a 其余的其中设,1,2,),,,(212121≤<<≤≤====∈= 均为1且令.21n a a a m =+++1211i a a a b +++= ，,22112122121121+++++++++++=+++=+++=--m i i k iki i k i i i a a a b a a a b a a a b k k k k ),,,,,(121+=k k b b b b b①则定义.2+∈n B b 2+∈→∍n n B b a A ②则f 为双射.事实上，若a a A a a n '≠∈'且,,，则或者数列a 和a ′中的2的个数不同，或者2的个数相同但位置不全相同.无论哪种情形,由①和②知f a f b a f b 即不同与,)()('='=为单射，另一方面，对任何2+∈n B b 利用①式又可确定,n A a ∈使得,,)(为满射即f b a f =从而f 为由A n 到B n +2的双射.【证法2】使用证一中的记号.n n B A 和对于任意的令,),,,,(2121+-∈=n m m A a a a a a ,,2;,1,).,,,(11121A a a A a a a a a a m n m m ∈'=∈'=='+-时当时当显然 容易看出，映射n n n A A a af A ⋃∈'→∍++12是双射，故有).()1()2(n n n ααα++=+注意到2)2(,1)1(==αα，便知,)(n f n =α这里|f n |为菲波那契数列.对于任意的令2121),,,,(+-∈=n k k B b b b b b⎩⎨⎧>-=='--2)1,,,,(2),,,(121121k k k k k b b b b b b b b b b 当当则当,,,2;,2,21容易验证时当时时+∈'>∈'='=n k n k B b b B b b b 映射n n n B B b b B ⋃∈'→∍++12为双射，故有),()1()2(n n n βββ++=+==+n f n )2(β所以a (n )【证法3】显然有),4(2)2(),3(1)1(βαβα===即命题于n =1,2时成立.设命题于,.2,)1(1k n k n k k n =+=≥+≤既然命题于时命题成立须证当时成立 令与之间的双射与与故存在时都成立.,,11312+++++f k k k k n f f B A B A k⎩⎨⎧>∈=+2),()()(1k k kk b a f A a a f a f 当当则f 为由.321的双射到+++⋃⋃n n k k B B A A对于任意的令和任意,),,,(),,,,(32212121+++-⋃∈'=∈=k k l k m m B B b b b b A a a a a a⎩⎨⎧==∈='+-,1,,2,),,,(1121m k m k m a A a A a a a a 当当 ⎩⎨⎧∈'∈+∈'∈=++++.,)1,,,)2,,,(34212421k k l k k l B b B b b b B b B b b b b 当当43212:.:+++++∈→'∍⋃⋃∈'→∍k k k k k k B b b B B h A A a a A g 则映射 都是双射，从而复合映射42:++∈→∍k k B b a A g f h为双射，故有)4()2(+=+k k βα，于是由数学归纳法知命题对所有自然数n 都成立.映射法还可以与其他方法结合起来使用，而且大多数竞赛题是这种类型.例如映射法可与抽屉原理、构造法、反证法等各种方法结合起来.例7：设oxyz 是空间直角坐标系，S 是空间中的一个有限点集，S x ，S y ，S z 分别是S 中所有点的坐标平面oyz ，ozx ，oxy 上的正投影所成的集合.求证.||||||||2z y x S S S S ⋅⋅≤（1992年IMO 试题5）【证明】对每点令,),(x S j i ∈∑∈=∈=ix S j i ij ij T S S j i x j i x T ),(}},,(|),,{(显然有由柯西不等式有2),(2),(),(2||||||1||ij S j i x ij S j i S j i T S T S x x x ∑∑∑∈∈∈⋅=⋅⋅≤①考虑集合},,|),{(),(2121),(ij ij ij ij ij S j i T t t t t T T T T V x ∈=⨯⨯=∑∈其中显然，|V|=2),(||ij S j i T x ∑∈定义映射f 如下z y S S i x j x j i x j i x V ⨯∈'→'∍)),(),,((),,(),,,(，不难看出f 为单射，因此有||||||z y S S V ⋅≤由①、②即得||||||||2z y x S S S S ⋅⋅≤.例8：设集合},10,,2,1{ =A A 到A 的映射f 满足下列两个条件：①对任意;)(,30x x f A x =∈②对每个.)(,,291,a a f A a k Z k k ≠∈≤≤∈+使得至少存在一个求这样的映射的总数. (1992年日本奥林匹克预选赛题)【解】注意到10=5+3+2，30=5×3×2.这提示我们将A 划分成三个不相交的子集 },{},,{},,,,{2132154321c c b b b a a a a a A ⋃⋃=.因为f 满足条件①和②，所以f 是A 到A 上的双射，并且由定理2的证明过程得知A 中存在映射圈，因此，定义映射,)(,)(;)(,)(,)(,)(,)(:32211554433221b b f b b f a a f a a f a a f a a f a a f f ======= .)(,)(;)(122113c c f c c f b b f ===因为30是5、3、2的最小公倍数，故由定理2和定理3知f 是满足题目条件①和②惟一的一类映射.因此，f 的总数目相当于从10个元素中选取5个，再从剩下的5个中选取3个，最后剩下的两个也选上，它们分别作圆排列的数目，它等于.120960)!1)(!2)(!4(2235510=⋅⋅⋅C C C例9：设集合A={1，2，3，4，5，6}，映射A A f →:,其三次复合映射f ·f ·f 是恒等映射，这样的f 有多少个？ （1996年日本数学奥林匹克预选赛题）【解】因为集合A 上的三次复合映射是恒等映射，所以定理2和定理3推知符合条件的映射f 有三类：（1）f 是恒等映射；（2）A 中存在一个三元映射圈),,(互异c b a a c b a →→→，而其他三个元素是不动点；（3）A 中存在两个三元映射圈).,,,,,(互异和c b a c b a a c b a a c b a ''''→'→'→'→→→类型（1）的f 只有1个.对于类型（2），先从6个元素中选出3个元素20,,36=C c b a 的方法有种，又a 、b 、c 作圆排列有（3—1）！=2种，故这样的f 有20×2=40个.对于类型（3），首先6个元素平分成两组有10236=÷C 种分法，每组分别作圆排列又有（3—1）！（3—1）！=4种方式，所以这样的f 有10×4=40个.综上所述，所求的f 有1+40+40=81个.例10：把正三角形ABC 的各边n 等分，过各分点在△ABC 内作各边的平行线，得到的图形叫做正三角形ABC 的n 格点阵.（1）求其中所有边长为||1BC n的菱形个数； （2）求其中所有平行四边形的个数. （1988年国家集训队选拔考试题） 【解】延长AB 至.||1||||,,BC n C C B B C AC B ='='''使得至作出正三角形C B A ''的n+1格点阵（图I —3—1—1）.边2+''n C B 上有个点，依次编码为0，1，2，…，n+1. 在△ABC 中边长为n1|BC|的菱形可以按边不平 行于BC 、AC 与AB 分为三类.容易看出，这三类 中菱形个数相同.边不平行BC 且边长为n 1|BC|的 所有菱形集合记作S.由正整数1，2，…，n 组成的所有有序的数对（i ,j ）,i <j 所构成的集合记作T.很明显，,||2n C T =设菱形EFGH ∈S ，延长它的两条邻边HG 与GF ，分别交.),(,1,T j i n j i j i C B ∈≤<≤''则与于点令 （i ,j ）是菱形EFGH 在S 到T 的映射ϕ下的像，这样便建立了S 到T 的映射ϕ.容易验证，映射ϕ是双射.因此，,||||2n C T S ==所以所求的边长为n1|BC|的菱长个数为32n C . 其次，将平行四边形按边不平行于BC 、AC 与AB 分为三类，这三类的平行四边形个数应相同，边不平行BC 的所有平行四边形集合记作V.非负整数0,1,2,…,n+1构成的所有有序四元数组（i ,j ,k ,l ）,10+≤<<<≤n l k j i 构成的集合记作W.很明显，42||+=n C W .设α是V 中平行的四边形，延长它的四条边分别交l k j i C B ,,,于点''，其中10+≤<<<≤n l k j i ，则ϕαββ的映射到在是令W V W l k j i .),,,(∈=下的像.这样便定义了V 到W 的一个映射ϕ.容易验证，ϕ是双射.因此，.||||42+==n C W V 从而所求平行四边形的个数为423+n C .。

一个模糊压缩映射不动点定理范传强;徐宏达【摘要】证明了一个完备距离空间中模糊压缩映射公共不动点定理,并给出了一个合理的不等式.【期刊名称】《海南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(028)003【总页数】4页(P242-244,273)【关键词】压缩映射;不动点;模糊集【作者】范传强;徐宏达【作者单位】辽宁石油化工大学理学院,辽宁抚顺113001;辽宁石油化工大学理学院,辽宁抚顺113001【正文语种】中文【中图分类】O177;O159定义1 设集合X非空，若d∶X×X→[0，+∞）满足：（1）d（x，y）=0当且仅当x=y，（2）d（x，y）≤d（x，z）+ d（z，y），则称d是距离，（X，d）是距离空间.定义2 设（X，d）是距离空间，{xn}⊂X,x∈X,称{xn}收敛于x当且仅当X中的模糊集是域X的函数，在[0，1]取值.定义3 若A是模糊集，x∈X,则称函数值A（x）为x在A上的类属度.令F（X）为X的全体模糊子集，Aα={x∈X∶A(x)α}是A∈F(X)的α-截集，A的0-截集是{x∈X∶A(x)>0}的闭包.设（X，d）是线性距离空间，W（X）表示X中α-截集都为非空紧凸子集的所有模糊集的全体.定义4[1]设A,B∈W(X),α∈[0,1]，定义注：此处H（A，B）是定义在CB（X）上的Hausdroff距离，，而，其中A、B和C是X的任意非空有界闭子集，x∈X.令CB（X）是由X的所有非空有界闭子集所构成的集合.定义5[2]若T∶X→CB（X），且对任意x,y∈X，存在q∈(0,1)，使得H（T（x），T（y））≤qd（x，y），则称T是压缩映射.这里引理1[3]设（X，d）是一距离空间,A,B∈CB(X),则对任意的a∈A，都有d（a，B）≤H（A，B）.引理2[3]设（X，d）是一距离空间,A,B∈CB(X),则对任意的a∈A，k>0，存在b∈B，使得d（a，b）≤H（A，B）+k.Vijayaraju和Marudai在文献[2]中得到下面不动点定理：定理1 设（X，d）是完备距离空间，模糊映射F1，F2∶X→W（X）满足如下条件：（1）对每一个x∈X，存在α(x)∈(0,1]，使得[F1（x）]α（x）和[F2（y）]α（y）是X的非空有界闭子集；这里a1，a2，a3，a4，a5都是非负实数，且，a1=a2或a3=a4，则F1和F2有共同的不动点.2010 年Akbar和Muhammad对定理1.1进行了修正[4]：定理2 设（X，d）是完备距离空间，模糊映射F1，F2∶X→W（X），若对每一个x∈X，存在α(x)∈（0，1]，使得[F1（x）]α（x）和[F2（y）]α（y）是X的非空有界闭子集，并且这里a1，a2，a3，a4都是非负实数，且a1+a2+a3+a4<1，则F1，F2有共同的不动点.Park，Jeong和Cho等先后给出了如下一些模糊压缩映射不动点定理：定理3[5]设F1，F2∶X→W（X）是满足如下条件的模糊映射：存在k∈(0,1)，使得则F1和F2有共同的不动点.定理4[6]设（X，d）是一完备距离空间，若F∶X→X满足：其中α，β≥0，α+β<1，则F有唯一的不动点.定理5[1]设（X，d）是完备距离空间，模糊映射F1，F2∶X→W（X）满足如下条件：其中k∈(0,1)，则F1和F2有公共的不动点.定理6[1]设（X，d）是完备距离空间，模糊映射F1，F2∶X→W（X）满足如下条件：且x≠y其中α，β>0，α+β<1，则F1和F2有共同的不动点.定理7[5]设F1，F2∶X→W（X）是模糊映射，若满足：存在α，β>0，使得α+β<1，则F1和F2有一个公共的不动点.近些年，一些学者在模糊压缩映射不动点方面做出了深入的研究并且获得了一些重要成果，可参看文献[7-10].下面我们借用Vijayaraju和Marudai的概念，证明Cho的关于完备距离空间中模糊压缩映射公共不动点定理.定理8 设（X，d）是完备距离空间，F1和F2是从X到F（X）的模糊映射，且满足下列条件：（i）∀x,y∈X，存在α(x),α(y)∈(0,1]，使得[F（1x）]α（x）和[F（2y）]α（y）是X的非空有界闭子集；其中a1，a2>0，且a1+a2<1，则F1和F2有一个公共的不动点.证明令x0∈X，由条件（i），存在，使得是X的一个非空有界闭子集.取，则存在α2∈(0,1]，使得是X的一个非空有界闭子集.因为和都是X的非空有界闭子集，由引理2，存在使得【相关文献】[1]Park J Y,Jeong J U.Fixed point theorems for fuzzy map⁃pings[J].Fuzzy SetsSyst,1997:87:111-116.[2]Vijayaraju P,Marudai M.Fixed point theorems for fuzzy mappings[J].Fuzzy SetsSyst,2003,135:401-408.[3]Nadler S B.Multi valued contraction mappings[J].Pacific J Math,1969,30:475-488.[4]Akbar A,Muhammad A.A note on“Fixed point theorems for fuzzy mappings”byP.Vijayaraju and M.Marudai[J]. Fuzzy Sets and Systems,2010,161:1145-1149.[5]Cho S-H.Fixed point theorems for fuzzy mapping[J].Ap⁃pl Math Comput,2005,19:485-492.[6]Cabrea I,Harjani J K.Sadarangani A fixed point theorem for contractions of rational type in partially ordered metric spaces[J].Ann Univ Ferrara,2013,59:251-258.[7]范传强.模糊数值直觉模糊群的性质及一个重要结论[J].西南师范大学学报:自然科学版,2011,36(1):48-51.[8]汪凯,王莹.（ψ,φ）-g-弱压缩映射的公共耦合不动点定理[J].西南师范大学学报:自然科学版,2014,39(4):23-26.[9]Malhotra S K,Stojan R,Satish S.Some fixed point results without monotone property in partially ordered metic-like spaces[J].Journal of the Egyptian Mathematical Society, 2014,22:83-89.[10]Chandok S,Khan M S,Rao K P R.Some coupled com⁃mon fixed point theorems for a pair of mappings satisfying a contractive condition of rational type[J].Nonlinear Anal Appl,2013(2013):1-6.。