2010~2011学年度第二学期期中试卷高 一 数 学第Ⅰ卷 客观卷（共48分）一、选择题（每小题4分，共48分） 1． 已知角α嘚终边经过点P 33(sin,cos )44ππ，且2a απ≤<，则α嘚值为 A ．4πB ．34πC ．54πD ．74π2． 下列等式中恒成立嘚是A ．sin(2)sin x x π+=B ．sin()sin x x π-=-C ．sin()cos()22x x ππ-=-D ．cos()cos x x π+= 3． 已知向量(1,0)a =，11(,)22b =，则下列结论成立嘚是A ．||||a b =B ．22a b =C ．//a bD ．a b -与b 垂直 4． 在△ABC 中，AB c =，AC b =，若点D 在BC 上满足2BD DC =，则AD 等于A ．2133b c + B ．5233c b - C ．2133b c - D ．1233b c + 5． 已知角α是第二象限角，则πα-是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 6． 圆嘚半径为6cm ，则15°嘚圆心角与圆周围成嘚扇形嘚面积为 A ．22cm πB ．232cm πC ．2cm πD ．23cm π7． 已知tan 2α=，则2sin cos sin 2cos αααα-+嘚值为A ．0B ．34C ．1D ．548． 在△ABC 中，5tan 12A =-，则cos A = A ．1213 B ．513 C ．513- D ．1213-9． 函数1()|sin()|23f x x π=+嘚最小正周期为A ．4πB ．3πC ．2πD ．π10．直线3y =与函数tan y x ω= (0ω>)嘚图象相交，则相邻两交点间嘚距离为A ．πB ．2πωC ．πωD ．2πω11．如右图是函数2sin()y x ωϕ=+，(||2πϕ<)嘚图象，那么A ．1011ω=6πϕ= B ．1011ω= 6πϕ=-C ．2ω= 6πϕ=D ．2ω= 6πϕ=-12．已知点O 是△ABC 内一点，且OA OB OC O ++=，则O 是△ABC 嘚A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心第II 卷 主观卷（共52分）二、填空 (每小题4分，共16分)13．若向量1e ，2e 不共线，且12ke e +与12e ke +可以作为平面内嘚一组基底，则实数k 嘚取值范围为 ． 14．若02απ<<，且3sin 2α<和1cos 2α>同时成立，则α嘚取值范围 ．15．函数2sin 1y x =-+嘚单调递增区间为 ． 16．设a 、b 、c 是任意嘚非零向量，且相互不共线，给定下列结论① ()()0a b c c a b -= ② ||||||a b a b -<-xyo11112π③ ()()b c a c a b -不与c 垂直 ④22(32)(32)94a b a b a b +-=- 其中正确嘚叙述有 ． 三、解答题17．(12分) 求函数1tan tan()6x y x π-=+嘚定义域．18．(12分) 已知向量a 、b 满足||5a = (1,3)b =-且(2)a b b +⊥求：(1)向量a 嘚坐标；(2) 向量a 与b 嘚夹角．19．(12分) 已知函数sin()y A x ωϕ=+ (x R ∈；0A >；0ω>；||2πϕ<) 该函数图象上嘚一个最高点坐标为(,3)6π，与其相邻嘚对称中心嘚坐标是(,0)12π-，求该函数sin()y A x ωϕ=+嘚解析式．20．(10分) (附加题) 已知向量(cos 23,cos 67)a = (cos 68,cos 22)b =求：(1) a ·b ；(2) 若向量b 与向量m 共线，u a m =+，求u 嘚模嘚最小值．2010~2011学年度第二学期期中试卷高一数学答案。
10-11学年度第一学期高二数学（文）期中考试试题注意事项：1．满分150分，考试时间120分钟。
2．交卷时只交试卷和机读卡，不交试题，答案写在试题上的无效。
一.选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑机读卡上对应题目的答案标号) 1．“p ∨q 为真”是“⌝p 为假”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．已知R c b a ∈,,，那么下列命题中正确的是 A ．若b a >，则22bc ac > B ．若cbc a >，则b a > C ．若033<>ab b a 且，则1a >1bD ．若022>>ab b a 且，则1a <1b3．下列说法错误．．的是 A ．如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B.命题p ：042,0200<+-∈∃x x R x ,则042,:2≥+-∈∀⌝x x R x pC ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”D ．特称命题 “R x ∈∃，使2240x x -+-=”是真命题 4．下列命题中的真命题是A ．三角形的内角必是第一象限或第二象限的角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点C ．终边在第一象限的角是锐角D ．终边在第二象限的角是钝角 5．已知平面向量a →=(3,1)，b →=(x,-3)，且a →⊥b →，则x= A 3-B 1- C 3D 16．已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则A ．02300>+y xB ．<+0023y x 0C ．82300<+y xD ．82300>+y x7．已知等比数列{}n a 中，12340a a a ++=，45620a a a ++=，则前9项之和等于 A ．50 B ．70 C ．80 D ．908．在等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的第（ ）项A ．60B ．61C ．62D ．639．在∆ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝2bcosC ，则∆ABC 一定是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b 是方程x 2-23x ＋2＝0的两根，2cosC ＝1，则∆ABC 的面积为 A ．12B ．32C ．22D ． 311．函数1)(+=x xx f 的最大值是 A ．52 B ．1 C ． 22 D ．2112．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a ,则cosB 等于A ．43B ．41C ．42D ．32 二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13．一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）骰子四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．若连续抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于6的概率是． 14．已知⎩⎨⎧<-≥=01;01)(x x x f ，，，则不等式()5)2(2≤+⋅++x f x x 的解集是．15．等比数列{}n a 的各项均为正数，且469a a =，则313239log log log a a a ++=．16.已知数列1,,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，123499100a a a a a a ++++++=.三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17.（本小题满分10分）已知p ：28200x x -++≥，q ：22210(0)x x m m -+-≤>．（1）若p 是q 充分不必要条件，某某数m 的取值X 围；（2）若“非p ”是“非q ”的充分不必要条件，某某数m 的取值X 围．DA BCF E18.（本小题满分12分）设函数2()f x x ax b =-+（1）若不等式()0f x <的解集是{}|23x x <<，求不等式bx 2-ax+1>0的解集；（2）当3b a =-时，()0f x ≥恒成立，某某数a 的取值X 围．19.（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的前n 项的和记为n S .如果41284-=-=a a ,.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求S n 的最小值及其相应的n 的值。
2023级高二上学期11月期中考数学（人教A 版）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
请在答题卡上作答。
第I 卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的.1.在空间直角坐标系中，已知点，点，则（ ）A.点A 和点B 关于x 轴对称 B.点A 和点B 关于平面对称C.点A 和点B 关于y 轴对称D.点A 和点B 关于平面对称2.已知空间向量，，，若，，共面，则实数m 的值为（ ）A.1B.0C.-1D.-23.已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y 轴交于点（0，2），则经y 轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ）4.若点（-2，1）在圆的外部，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）A.B. C. D.6.已知椭圆C：（且），直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若（1，1）是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ）A.2B.4C.Oxyz ()2,1,4A --()2,1,4B ---Oyz Oxz ()2,1,3a =- ()1,2,2b =- ()1,,2c m =- a b cπ320y +-=20y ++=20y --=20y -+=220x y x y a ++-+=()2,-+∞(),2-∞-12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,2,2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭()2a = 12b ⎛= ⎝a b )()(14⎛ ⎝2216x y m+=0m >6m ≠340x y +-=AB7.古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上，且满足，当且时，点P 的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，，且，当面积取得最大值时，（ ）C.D.8.已知点P 在椭圆C ：上（点P 不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C 的左、右焦点，交y 轴于点G ，且，则线段的长为（ ）A.B.C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线：，：，则下列说法正确的是（ ）A.若，则或B.若，则C.若直线不经过第四象限，则D.若直线与x 轴负半轴和y 轴正半轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点，则面积的最小值是2010.已知椭圆C ：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A ，B ，M 是椭圆C 上的一个动点（不与A ，B 重合），则（ ）A.离心率 B.的周长与点M 的位置无关C. D.直线与直线的斜率之积为定值11.如图，正方体的棱长为2，P 为上底面内部一点（包括边界），M ，N 分别是棱和的中点，则下列说法正确的是（ ）PA PB λ=0λ>1λ≠ABC △2AB =2CA CB =ABC △cos C =354522143x y +=1F 2F 2PF 112PF G GF F ∠=∠1PF 3253851l ()1230m x y m +++-=2l 220x my m ++-=12l l ∥1m =2m =-12l l ⊥23m =-1l 1m <-1l AOB △2214x y +=1F 2F 1e 2=12MF F △122MF -<<MA MB 1111ABCD A B C D -1111A B C D AB BCA.当直线和直线所成的角是30°时，点PB.若平面，则C.若，则直线和底面所成的最大角是45°D.平面被正方体所截的截面形状是六边形第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知圆C 过，两点，且圆心C 在直线上，则该圆的半径为_________.13.已知实数x ，y 满足，则的取值范围为_________.14.已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程.（1）与直线：垂直；（2）两坐标轴上截距相反.16.（15分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，M ，N 分别为，的1AA AP AP ∥1B MN 1B P ()111111A P mA D m A B =+-AP ABCD 1D MN ()1,3A ()4,2B 30x y +-=1y =+14y x ++C ()222210x y a b a b+=>>1F 2F C 122F F c =P 12111PF PF c+=C l ()2,1A -l m 50x y +-=P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PB BC中点，，.（1）求证：异面直线和垂直；（2）求点A 到平面的距离17.（15分）已知过点的直线与圆O ：相交于A ，B 两点.（1）若弦的方程；（2）在x 轴正半轴上是否存在定点Q ，无论直线如何运动，x 轴都平分?若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.18.（17分）如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，.（1）求证：平面平面；（2）若点M 是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值.19.（17分）已知椭圆E ：的左、右焦点分别为，，离心率4.（1）求E 的标准方程；（2）过点的直线交E 于P ，Q 两点，若以为直径的圆过E 的右焦点，求直线的方程；2AF AE PGFD EB GC===3AB PA ==EF MN MFG ()1,0P l 224x y +=AB l l AQB ∠ABCD 2AB =BC =AC DAC △AC PAC △PB =PAC ⊥ABC PA MBC PAB ()222210x y a b a b+=>>1F 2F e =()2,0T PQ 2F PQ（3）两条不同的直线，的交点为E 的左焦点，直线，分别交E 于点A ，B 和点C ，D ，点G ，H 分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O 为坐标原点）1l 2l 1F 1l 2l AB CD 1l 2l 1k 2k 1240k k +=OGH △2023级高二上学期11月期中考数学（人教A 版）参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.题号12345678答案BDACABDC1.B 已知点A 和点B 的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点A 和点B 关于平面对称.故选B.2.D 由题意得，，即，所以，解得.故选D.3.A 由题意得，所求直线的斜率为，且与y 轴交于点（0，2），则所求直线的方程为.故选A.4.C 由点（-2，1）在圆的外部，得，解得，故选C.5.A 向量在向量上的投影向量为.故选A.6.B 设，，则，将A，B 的坐标代入椭圆方程得：，，两式相减，得：，变形为，又直线的斜率为，所以，即，Oyz c xa yb =+ ()()()1,,22,1,31,2,2m x y -=-+-122232x y m x y x y =-⎧⎪=+⎨⎪-=-+⎩012x y m =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩πtan 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭2y =+20y +-=220x y x y a ++-+=()()2222114021210a a ⎧+-->⎪⎨-+--+>⎪⎩122a -<<ab )212a bb a b b bb b⎛⋅⋅⋅=⋅== ⎝()11,A x y ()22,B x y 12122x x y y +=+=221116x y m +=222216x y m +=2222121206x x y y m--+=()()121212126m x x y y x x y y +-=--+AB 121213y y x x -=--12362m ⨯-=-⨯2m =因此椭圆的焦距为，故选B.7.D 由题意设，，，由化简得.∵，∴当时，面积最大，此时不妨设，则.∴.故选D.8.C 根据对称，不妨设，.由题意得，，，则离心率，左准线方程为，所以，因为，所以由角平分线定理得，即，解得，所以.故选C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
南安一中高二年上学期数学期中考试卷〔理科〕第一卷 选择题〔共50分〕一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．,a b 为非零实数，且a b <，那么以下命题成立的是( )A ．22a b <B ．22a b ab <C ．2211ab a b <D ．b a a b<2．椭圆2241x y +=的离心率为( )．A B C D 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，23a =，611a =，那么7S 等于( )． A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 4．命题“假设12<x ，那么11<<-x 〞的逆否命题是( )．A ．假设12≥x ，那么1≥x 且1-≤x B. 假设11<<-x ，那么12<x C. 假设1>x 或1-<x ，那么12>x D. 假设1≥x 或1-≤x ，那么12≥x5．方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么m 的取值范围是( )．A ．-16<m<25B ．-16<m<29 C ．29<m<25 D ．m>29 6．等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，那么1a = ( )． A.21B. 22C.2 D.27．不等式2()20ax a b x -++>的解集为{|12}x x x <>或，那么不等式2axx b +-<的解集为( )．A. {|21}x x x <->或B. {|12}x x x <->或C. {|12}x x -<<D. {|21}x x -<< 8．,a b 均为正数，141,a b+=那么使a b c +≥恒成立的c 的取值范围是( )． A ．9c ≥ B ．9c ≤ C ．10c ≤ D ．10c ≥9．设数列n a {}的前n 项之和为n S ，假设21(3)12n n S a =+(n N *∈)，那么{}n a ( ) A ．是等差数列，但不是等比数列； B ．是等比数列，但不是等差数列；C ．是等差数列，或是等比数列；D ．可以既不是等比数列，也不是等差数列． 10．记实数12,,x x …n x 中的最大数为max {12,,x x …n x }，最小数为min{12,,x x …n x }.ABC ∆的三边边长为a 、b 、c 〔a b c ≤≤〕,定义它的倾斜度为那么“t=1〞是“ABC ∆为等边三解形〞的( )． A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件第二卷 非选择题〔共100分〕二、填空题〔本大题共5小题，每题4分，总分值20分〕11．过椭圆2214x y +=的左焦点1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，椭圆的右焦点为2F ,那么△2AF B 的周长等于___.12．假设,x y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，那么z =的取值范围是 ．13．等比数列前n 项和k S nn +=)31(2，那么常数k 的值为 ． 14．0,a b >>那么21()y a b a b =+-的最小值为 ．15．设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=，假设数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，那么6q = .三、解答题〔本局部共计6小题，总分值80分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否那么该题计为零分．〕 16、〔本小题总分值13分〕如果有穷数列123ma a a a ，，，，〔m 为正整数〕满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a 〔12i m =，，，〕，我们称其为“对称数列〞 ． 例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列〞．〔Ⅰ〕设{}n b 是7项的“对称数列〞，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；〔Ⅱ〕设{}n c 是49项的“对称数列〞，其中252649c c c ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和 ．17．〔本小题总分值13分〕本公司方案2021年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？18．〔本小题总分值13分〕在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ,求k 的取值范围. 19.〔本小题总分值13分〕0,1,a a >≠且设P ：函数log (1)a y x =+在(0,)x ∈+∞内单调递减；Q ：曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，如果P 或Q 为真，P 且Q 为假，求a 的取值范围.20．〔本小题总分值14分〕椭圆C:2222x y a b+=1(a ＞b ＞0)短轴一个端点到. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l AOB 面积的最大值.21．〔本小题总分值14分〕数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈. 〔Ⅰ〕求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕假设对于任意的正整数m 、n ，都有||n m b b ω-<，那么称该数列为“ω域收敛数列〞. 试判断: 数列45nn n b a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，*N n ∈是否为一个“23域收敛数列〞，请说明你的理由.南安一中高二年上学期数学期中考试卷参考答案〔理科〕第一卷 选择题〔共50分〕 2010-11-12一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕4．命题“假设12<x ，那么11<<-x 〞的逆否命题是〔D 〕A ．假设12≥x ，那么1≥x 且1-≤x B. 假设11<<-x ，那么12<x C. 假设1>x 或1-<x ，那么12>x D. 假设1≥x 或1-≤x ，那么12≥x5．方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么m 的取值范围是 ( C )A ．-16<m<25B ．-16<m<29 C ．29<m<25 D ．m>29 6．等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，那么1a = (B ) A.21B. 22C.2 D.27．不等式2()20ax a b x -++>的解集为{|12}x x x <>或，那么不等式2ax x b +-<的解集为〔D 〕A. {|21}x x x <->或B. {|12}x x x <->或C. {|12}x x -<<D. {|21}x x -<< 8．,a b 均为正数，141,a b+=那么使a b c +≥恒成立的c 的取值范围是〔B 〕 A ．9c ≥ B ．9c ≤ C ．10c ≤ D ．10c ≥ 9．设数列{}n a 的前n 项之和为n S ，假设21(3)12n n S a =+(N n *∈)，那么{}n a ( C ) A ．是等差数列，但不是等比数列； B ．是等比数列，但不是等差数列；C ．是等差数列，或是等比数列；D ．可以既不是等比数列，也不是等差数列． 10．记实数12,,x x …n x 中的最大数为max {12,,x x …n x }，最小数为min{12,,x x …n x }.ABC ∆的三边边长为a 、b 、c 〔a b c ≤≤〕,定义它的倾斜度为那么“t=1〞是“ABC ∆为等边三解形〞的( B ) A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件第二卷 非选择题〔共100分〕二、填空题〔本大题共5小题，每题4分，总分值20分〕11．过椭圆2214x y +=的左焦点1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，椭圆的右焦点为2F ,那么△2AF B 的周长等于__8__.12．假设,x y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，那么z =的取值范围是13．等比数列前n 项和k S nn +=)31(2，那么常数k 的值为 2- ．14．0,a b >>那么21()y a b a b =+-的最小值为__4__.15．设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=，假设数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，那么6q = -9 .三、解答题〔本局部共计6小题，总分值80分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否那么该题计为零分．〕16、〔本小题总分值13分〕如果有穷数列123ma a a a ，，，，〔m 为正整数〕满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a 〔12i m =，，，〕，我们称其为“对称数列〞 ． 例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列〞．〔Ⅰ〕设{}n b 是7项的“对称数列〞，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；〔Ⅱ〕设{}n c 是49项的“对称数列〞，其中252649c c c ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和 ． 解：〔1〕设数列{}n b 的公差为d ，那么1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ，…4分∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．…………6分〔2〕4921c c c S +++= 25492625)(2c c c c -+++=()122212242-++++= ()3211222625-=--=〔=67108861．可以不算出这个值〕…13分17．〔本小题总分值13分〕本公司方案2021年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？max 30002000700000z x y ∴=+=〔元〕……………………12分答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．…………13分18．〔本小题总分值13分〕在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ,求k 的取值范围.解：由条件，直线l 的方程为2y kx =+2分代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ①………………6分直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=-> ⎪⎝⎭，………………8分解得2k <-或2k >．即k的取值范围为222⎛⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞．………………13分 19.〔本小题总分值13分〕0,1,a a >≠且设P ：函数log (1)a y x =+在(0,)x ∈+∞内单调递减；Q ：曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，如果P 或Q 为真，P 且Q 为假，求a 的取值范围. 解：函数log (1)a y x =+在(0,)x ∈+∞内单调递减可知，P 真那么a 的取值范围是〔0,1〕，P 假时a 的取值范围是〔1，+∞〕；………3分〔只有P 真的范围也可得分〕曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点可知， Q 真那么a 满足()22340a ∆=-->，又0,1,a a >≠且150,,22a ⎛⎫⎛⎫∴∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， Q 假时15,11,22a ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦………………6分〔只有Q 真的范围也可得分〕 由“P 或Q 为真，P 且Q 为假〞得到P 真Q 假，或者P 假Q 真…………8分当P 真Q 假时，(0,1)a ∈⋂〔15,11,22⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦〕即1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭……10分 当P 假Q 真时，(1,)a ∈+∞⋂〔150,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭〕即5,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭……12分 综上，5,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭的取值范围是1,12⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭…………13分20．〔本小题总分值14分〕椭圆C:2222b y ax +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值.解：〔Ⅰ〕设椭圆的半焦距为c，依题意3c aa ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=．〔Ⅱ〕设11()A x y ，，22()B x y ，． 〔1〕当AB x ⊥轴时，AB =．〔2〕当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+．=，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=， 122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+． 2422212121233(0)34196123696k k k k k k =+=+≠+=++⨯+++≤．当且仅当2219k k =，即k =时等号成立．当0k =时，AB = 综上所述max 2AB =．∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max12S AB =⨯=．21．〔本小题总分值14分〕数列{}n a 中，10a =，112n n a a +=-，*N n ∈.〔Ⅰ〕求证：11na ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕假设对于任意的正整数m 、n ，都有||n m b b ω-<，那么称该数列为“ω域收敛数列〞. 试判断: 数列45nn n b a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，*N n ∈是否为一个“23域收敛数列〞，请说明你的理由.解：〔Ⅰ〕证明：因为121111111112n n n n na a a a a +-===-+-----，所以111111n n a a +-=---，*N n ∈；故11na ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列.………………4分 由此可得，n n a a n -=-⨯-+-=-)1()1(11111，…………6分所以111n n a n n -=-=，*N n ∈.…………7分〔Ⅱ〕由条件45nn n b a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，可知当2n k =，0n b >；当21n k =-时，0n b ≤，*N k ∈. 令45nn n b a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，那么11414155n nn n n n b b n n ++-⎛⎫⎛⎫-=⋅-⋅ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭所以，当2502n n -+>⇒≤时，1n nb b +>；同理可得，当2503n n -+<⇒≥时，1n n b b +<；…………10分即数列{}nb 在1,2,3n =时递增；4n ≥时递减；即3b是数列{}nb 的最大项.然而因为{}n b 的奇数项均为n b -，故332412835375b ⎛⎫=-⋅=-⎪⎝⎭为数列{}n b 的最小项； 而221480.322525b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，44341920.307245625b ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，所以24b b >，故2b 是数列{}n b 的最大项.………………12分因此，对任意的正整数m 、n ，2381282482||253753753n m b b b b -≤-=+=<所以数列45nn n b a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，*N n ∈是一个“23域收敛数列〞.…………14分。
