大一第二学期高等数学期中考试试卷(答案)

华南理工大学期中考试2021-2021学年第二学期?高等数学?期中考试试卷考前须知：1. 考试形式：闭卷；．本试卷总分值100分，考试时间90分钟。

. 解答以下各题 (每题5分,共20分)设函数(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，求z z x y x y ∂∂+∂∂(),z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有二阶导数，且1'≠-.求dz .(),arctanxf x y y=在点()0,1处的梯度. 设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的一动点，假设S 在点P 处的切平面与xoy 面垂直，P 的轨迹C 。

. 解答以下各题 (每题10分,共30分)()()22,2ln f x y x y y y =++的极值(),u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式2222241250u u ux x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂。

确定的,b 值，使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下简化为20uξη∂=∂∂．曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求C 上距离xOy 面最远的点和最近的点。

三. 解答以下各题 (每题8分，共32分)８．设函数(),f x y 连续，交换二次积分的积分次序：()122,y dyf x y dx -⎰⎰.９．设函数f 连续，假设()22,uvD f x y F u v +=，其中区域D 为第一象限2221x y u ≤+≤与0arctany v x ≤≤的局部，求Fu∂∂ １０．计算二重积分()3Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由曲线x =与直线0x=及0x =围成。

11.计算二重积分2sin DI r θ=⎰⎰，其中(),0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. 四. 解答以下各题 (每题9分,共18分)12.求位于两球面()22224x y z ++-=和()22211x y z ++-=之间的均匀物体的质心.13. 计算由2212,0,0x y x y z xy ≤+≤≥≤≤所确定的立体的体积.华南理工大学期中考试2021-2021学年第二学期?高等数学?期中考试试卷考前须知：1. 考试形式：闭卷；．本试卷总分值100分，考试时间90分钟。

安徽大学2008--209高等数学A(二)试卷一、填空题(2×5=10分)1. 过点(1,2,3) 且与直线11233-==-z y x2. 设11),(-+=xy xy y x f ,则=→),(lim )0,0(),(y x f y x 2.3. 累次积分⎰⎰x xdy y x f dx 222),(4. 已知曲线222:a y x L =+(常数0>a ), 则⎰L5. 已知)(x f 是周期为π2的周期函数, 在],(ππ-上)(x f 的解析式为πππ≤<≤<-⎩⎨⎧-=x x x x f 00,,)(,则)(x f 的傅立叶级数在0=x 二、选择题(2×5=10分)6. 设)(1x y 、)(2x y 、)(3x y 是非齐次线性方程)(x f qy y p y =+'+''的三个线性无关的解,21,C C 是任意常数, 则该非齐次线性方程的通解可表示为( D ).A. 32211C y C y C ++B. 3212211)(y C C y C y C +-+C. 3212211)1(y C C y C y C ---+D. 3212211)1(y C C y C y C --++7. 已知二元函数00,1,),(22≠=⎩⎨⎧+=xy xy y x y x f , 则),(y x f 在(0,0)处 ( C ).A. 连续, 一阶偏导数不存在B. 不连续, 一阶偏导数不存在C. 不连续, 一阶偏导数存在D. 连续, 一阶偏导数存在8. 曲线t z t y t x L 4,8,:2===在点 (16,4,8) 处的法平面方程是( B ) .A. 10828=--z y xB. 268216=+-z y xC. 14028=--z y xD. 244216=+-z y x 9. 常数0>a , 则第一型曲面积分⎰⎰=++22222a z y x dS x的值为 ( A ).A.434a π B. 234a π C. 44a π D. 24a π 10. 下列级数中, 绝对收敛的是 ( D ).A.∑∞=-1)1(n nn B. ∑∞=-1)1(n nn C.∑∞=++-11)1(n nn n D. ∑∞=-12)1(n nn 三、计算题(8×8=64分) 11. 已知直线41033:1--==-z y x L , 平面522:=++∑z y x , 求直线1L 与平面∑的夹角. 解：设直线1L 的方向向量为l :则(30-4l =，，）平面∑的法向量 (122n =，，）1cos(,)3l nl n l n⋅==-⋅ 故直线arccos πθ=-或arcsin 3θ=) 12.设y x z arctan= , 求.,,yzx z dz ∂∂∂∂13. 求微分方程xe y y y 223-=+'-''的通解.解：齐次方程320y y y '''-+=对应的特征方程为：2320λλ-+=则 1,21,2λ=. 因此齐次方程对应的通解为：21212(),,x x y x C e C e C C =+其中为任意常数.14.计算二重积分中⎰⎰-Dy dxdy e22, 其中D 是由直线x=0、y=1及y=x 所围成的区域.15. 计算三重积分⎰⎰⎰≤++++2222)(22R z y x dxdydz xz y x , 其中常数R>0.解:⎰⎰⎰≤++++2222)(22R z y x dxdydz xz y x=2222222222()x y z R x y z R x y dxdydz xzdxdydz ++≤++≤++⎰⎰⎰⎰⎰⎰（对称性）提示：本题可以化为：2222222222()x y z R x y z R x y dxdydz xzdxdydz ++≤++≤++⎰⎰⎰⎰⎰⎰（对称性）16. 计算第二型曲线积分⎰-+-=Cx x dy y edx y y e I )2cos ()2sin (, 其中C 为上半圆周ax y x =+22, 方向为从A(a,0) 到O(0,0), 常数a>0.17.设抛物面)0(1:22≥--=∑z y x z 方向取其上侧,计算⎰⎰∑++dxdy dzdx y dydz x 22233 . 解：补充平面220:0(1)z x y ∑=+≤取下侧，则0∑与∑围成空间区域Ω,于是18. 将x f 1)(=展开为(x+2) 的幂级数, 并求该幂级数的收敛域.四、应用题(8分)19. 在椭圆4422=+y x 上求一点, 使该点到直线2x+3y-12=0的距离最短.解：设(,)x y 为椭圆2244x y +=上任一点，则该点到直线23120x y +-=的距离为:五、证明题(8分)20. 设数列{}n a 单调减小, 且),2,1(0⋅⋅⋅=≥n a n , 又级数∑∞=-1)1(n n na 发散.证明: 级数nn na ∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+011收敛. 证明：因为{}n a 单调减小，且0n a ≥，即单调减小有下界，故{}n a 收敛。

⾼数期中试题及解答武汉⼤学电信学院2009－2010学年第⼆学期⾼等数学期中考试试卷1．（6分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线⽅程。

2．（6分）给出平⾯lx my nz p ++=与⼆次曲⾯2221Ax By Cz ++=相切的条件并说明理由。

3．（12分）设函数arctan ,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),y x y f x y x y ì??1??=í??=，问在原点(0,0)处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由。

4．（6分）设()z xy xF u =+，其中F 为可微函数，且yu x=，试证明：z zxy z xy x y抖+=+抖。

5．（6分）设⽅程(,)z xy f xz yz +=确定可微函数(,)z z x y =，求zx。

6．（9分）设函数(,)u x y 满⾜0xx yy u u -=且(,2)u x x x =，2(,2)x u x x x =，求(,2)xx u x x ，(,2)xy u x x ，(,2)yy u x x 。

7．（8分）已知点(1,0,1)P -与(3,1,2)Q ，在平⾯212x y z -+=上求⼀点M ，使得PM MQ +最⼩。

8．（6分）设D 是矩形域：0xp＃，0y p ＃，计算⼆重积分max{,}sin sin d d Dx y x y x y 蝌。

=+++蝌?，其中W 是由平⾯1x y z ++=与三个坐标⾯所围成的空间区域。

10．（6分）设空间区域222:1x y z W ++?，0z 3，求2()x z dxdydz W+蝌?。

11．（6分）计算dDI x y =蝌，其中D 是由曲线4236x y xy 骣÷?+=?÷桫在第⼀象限中所围成的区域。

12．（6分）设(,)f x y 为连续函数,且(,)(,)f x y f y x =，证明：1100(,)(1,1)x x dx f x y dy dx f x y dy =--蝌蝌。

一、单项选择题（6×3分）1、设直线，平面，那么与之间的夹角为( )A.0B.C.D.2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（）A.充分条件B.充分必要条件C.必要条件D.既非充分又非必要条件3、设函数，则等于（）A. B.C． D.4、二次积分交换次序后为（）A. B.C. D.5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 C.不能确定其敛散性6、设是方程的一个解，若，则在处（）A.某邻域内单调减少B.取极小值C.某邻域内单调增加D.取极大值二、填空题（7×3分）1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝2、设，，那么3、D为，时，4、设是球面，则＝5、函数展开为的幂级数为6、＝7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分)1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。

2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。

3、计算二重积分，其中4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。

5、求级数的和。

四、综合题(10分)曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。

五、证明题 (6分)设收敛，证明级数绝对收敛。

一、单项选择题（6×3分）1、 A2、 C3、 C4、 B5、 A6、 D二、填空题（7×3分）1、22、3、 4 、5、 6、0 7、三、计算题(5×9分)1、解：令则，故2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为：3、解：＝＝＝4、解：令，则当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则＝＝＝5、解：令则，即令，则有＝四、综合题(10分)解：设曲线上任一点为，则过的切线方程为：在轴上的截距为过的法线方程为：在轴上的截距为依题意有由的任意性，即，得到这是一阶齐次微分方程，变形为： (1)令则，代入（1）得：分离变量得：解得：即为所求的曲线方程。

大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。

1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim()ex y x y x y xy x y +→-+=+5、设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。

1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．x O z 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．x O y 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．x O y 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．x O z 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数.(A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++;(B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++3、已知直线π22122:-=+=-zy x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ）(A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=；(B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ∂∂,22yz∂∂在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；(C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条件；(D) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微 的必要条件.5、设),2,2(y x y x f z -+=且2C f ∈（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则=∂∂∂yx z2（ ）(A)122211322f f f --; (B)12221132f f f ++; (C)12221152f f f ++; (D)12221122f f f --.三、计算题（本大题共29分） 1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。

大一下学期高等数学期中考试试卷及答案一、选择题（共40题，每题2分，共80分）1. 计算∫(4x-3)dx的结果是：A. 2x^2 - 3x + CB. 2x^2 - 3x + 4C. 2x^2 - 3x + 1D. 2x^2 - 3x答案：A2. 曲线y = 2x^3 经过点(1, 2)，则函数y = 2x^3的导数为：A. 2x^2B. 6x^2C. 6xD. 2x答案：D3. 若a,b为实数，且a ≠ 0，则 |a|b 的值等于：A. aB. abC. 1D. b答案：B4. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = 2x - 1，则f(g(-2))的值为：A. 19B. 17C. 16D. 15答案：C5. 已知√2是无理数，则2-√2是：A. 有理数B. 无理数C. 整数D. 分数答案：A二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 设函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，则f'(1)的值为____。

答案：42. 已知函数f(x) = 4x^2 + ax + 3，若其图像与x轴有两个交点，则a的取值范围是____。

答案：(-∞, 9/4) ∪ (9/4, +∞)3. 三角形ABC中，AB = AC，角A的度数为α，则角B的度数为____。

答案：(180°-α)/24. 若函数y = f(x)在点x = 2处的导数存在，则f(x)在点x = 2处____。

答案：连续5. 若直线y = kx + 2与曲线y = x^2交于两个点，则k的取值范围是____。

答案：(-∞, 1) ∪ (1, +∞)三、解答题（共5题，每题20分，共100分）1. 计算∫(e^x+1)/(e^x-1)dx。

解：令u = e^x-1，则du = e^xdx。

原积分变为∫(1/u)du = ln|u| + C = ln|e^x-1| + C。

2. 求函数y = x^3 + 2x^2 - 5x的驻点和拐点。

同济大学高等数学（下）期中考试试卷1一.填空题（每小题6分）1.有关多元函数的各性质：（A ）连续；（B ）可微分；（C ）可偏导；（D ）各偏导数连续，它们的关系是怎样的？若用记号“X ⇒Y ”表示由X 可推得Y ，则（ ）⇒（ ）⇒⎩⎨⎧)()(. 2.函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的梯度为 ，该点处各方向导数中的最大值是 .3.设函数),(y x F 可微，则柱面0),(=y x F 在点),,(z y x 处的法向为 ，平面曲线⎩⎨⎧==00),(z y x F 在点),(y x 处的切向量为 .4.设函数),(y x f 连续，则二次积分=⎰⎰1sin 2),(x dy y x f dx ππ . (A)⎰⎰+ππy dx y x f dy arcsin 10),(； (B) ⎰⎰-ππy dx y x f dy arcsin 10),(； (C)⎰⎰+y dx y x f dy arcsin 10),(ππ； (D) ⎰⎰-y dx y x f dy arcsin 10),(ππ.二.（6分）试就方程0),,(=z y x F 可确定有连续偏导的函数),(x z y y =，正确叙述隐函数存在定理.三.计算题（每小题8分）1.设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x f 所确定的隐函数，其中),(v u f 具有连续的偏导数且0≠∂∂+∂∂v f u f ，求y z x z ∂∂+∂∂的值.2.设二元函数),(v u f 有连续的偏导数，且1)0,1()0,1(==v u f f . 又函数),(y x u u =与),(y x v v =由方程组⎩⎨⎧-=+=bv au y bv au x （022≠+b a ）确定，求复合函数)],(),,([y x v y x u f z =的偏导数),(),(a a y x x z=∂∂，),(),(a a y x y z =∂∂.3.已知曲面221y x z --=上的点P 处的切平面平行于平面122=++z y x ，求点P 处的切平面方程.4计算二重积分：⎰⎰D d y x σsin ，其中D 是以直线x y =，2=y 和曲线3x y =为边界的曲边三角形区域.5.求曲线积分⎰-++Ldy y x dx y x )()(2222，L 为曲线|1|1x y --=沿x 从0增大到2的方向. 五.（10分）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”；同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明：球半径为R 高为h 的球冠的面积与整个球面面积之比为R h 2:.六.（10分）设线材L 的形状为锥面曲线，其方程为：t t x cos =，t t y sin =，t z =（π20≤≤t ），其线密度z z y x =),,(ρ，试求L 的质量.七.（10分）求密度为μ的均匀柱体122≤+y x ，10≤≤z ，对位于点)2,0,0(M 的单位质点的引力.同济大学高等数学（下）期中考试试卷2一.简答题（每小题8分）1.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛1,3,2π处的切线方程.2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路：设椭球面1222222=++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面之间的最小距离.4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f .二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u∂∂∂2.三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy.四.（8分）求曲线⎩⎨⎧=--=01,02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分）⎰⎰D y dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的三角形区域. 六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤-+-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线1000222=+y x 上的点.（1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率；（2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标.八.（14分） 设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行.（1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标；（2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.下面是古文鉴赏，不需要的朋友可以下载后编辑删除！！谢谢！！九歌·湘君屈原朗诵：路英君不行兮夷犹，蹇谁留兮中洲。

2017-2018第二学期《高等数学II 》期中考试试卷一、 填空题1、 二元函数f (x,y )=√4x−y 2ln⁡(1−x 2−y 2)的定义域是__________________2、 设f (x,y )=ln⁡(x −√x 2−y 2),(⁡x >0,y >0),则f (x +y,x −y )=__________________________ 3、 limx→0y→01−cos√x 2+y 2(x 2+y 2)e x 2+2y 2=___________________________ 4、 设z =y x,则∂2z∂xðy=___________________________________5、 设ln√x 2+y 2=arctan y x,则dy dx=__________________6、 设z =f(x +y +z,xyz),其中函数f(u,v)有一阶连续偏导数，则∂z ∂x=_____________________7、 曲线{z =√x 2+y 2x 2+y 2+z 2=4在xoy 面的投影方程为_______________ 8、 已知球面经过(0,−3,1)且与xoy 面交成圆周{x 2+y 2=16z =0,则此球面方程为________________________9、 已知空间曲线的方程为{z =√1−x 2−y 2(x −12)2+y 2=14,则其在xoy 面的投影曲线方程为_____________________________10、 曲面z =4−12(x 2+y 2)与平面z =2所围成立体的体积为_______________________ 11、极坐标下的二次积分∫dθ∫f (rcosθ,rsinθ)rdr 1π20转化为直角坐标系下的二次积分是___________________________12、 求积分∫dx ∫e −y2dy 2x20=________________________13、 计算二重积分∬(2−√x 2+y 2)dσD,其中D:x 2+y 2≤4.则其值等于_________________________14、 设闭区域D:x 2+y 2≤y,x ≥0.⁡f(x,y)为D 上的连续函数，且f (x,y )=√1−x 2−y 2−8π∬f(u,v)dudv D ,则f (x,y )等于_________________________15、 设 z =f (2x −y,ysinx ),其中f(u,v)有二阶连续偏导数，则ð2z ðxðy=___________________________16、 设区域D 由y =x 2,⁡y 2=x 所围成，将二重积分∬f (x,y )dσD化为累次积分_________17、 设z =f (x,y )连续且满足limx→0y→1√x 2+(y−1)2=0,则dz|(0,1)=____________________18、 设z =z(x,y)由方程(z +y)x =xy 确定，则dz |(1,2)=_________ 19、 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，并设∫f (x )dx =A 1,则∫dx ∫f (x )f (y )dy =1x10____________________20、 当x >0,y >0,z >0时，求函数u =lnx +2lny +3lnz 在球面x 2+y 2+z 2=6r 2上的最大值为________________________ 二、 计算题1、 求表面积为2a 2而体积最大的立方体的体积。

大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。

1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim ()ex y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。

1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ）（A ）．x O z坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．x O y坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．x O y坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．x O z 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数.(A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++;(B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++;(C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++;(D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++3、已知直线π22122:-=+=-z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ）(A).L 在π内; (B).L 与π不相交;(C).L 与π正交; (D).L 与π斜交.4、下列说法正确的是（ ）(A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=；(B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ∂∂,22yz ∂∂在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；(C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条件；(D) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微 的必要条件.5、设),2,2(y x y x f z -+=且2C f ∈（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则=∂∂∂y x z 2（ ）(A)122211322f f f --; (B)12221132f f f ++;(C)12221152f f f ++; (D)12221122f f f --.三、计算题（本大题共29分）1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。

卷号：（A ） （ 年 月 日） 机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在 该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ； （B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ； （C ）．10101zy x =-=+； （D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a 且,),(3π=∠b a则_______)()(=+⋅-b a b a 32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。

《高等数学AI 》期中考试参考答案及评分标准一、单项选择题（2分×8小题=16分）1、A2、B3、B4、B5、B6、B7、C8、A 二、填空题（3分×8小题=24分）1、ab2、23- 3. 32； 4、 1 ； 5、充分 6、)2,1(-； 7、 ),(+∞-∞ 8、)(0x f 三、计算题（10分×4小题=40分）1．解： 22x )2(sin ln lim x x -→ππ=)2(4sin cos lim 2x x x x--→ππ ………2分 =)2(4cos lim 2x x x --→ππ ………5分 =8sin lim 2x x -→π ………8分 =81- ………10分 2. 解： 两边对 x 求导数 y x y y x y -xy y xy ''1)1(1))((cos 2=+-⋅++ y y x -y xy x xy y ''011)(cos )(cos =+++ ………5分 时当 0 =x ，代入原方程，得 e y = ………7分把 0=x ， e y =代入上式，得 20x e e y -==‘ ………10分3、 解： )(''t f 存在且不为零 ∴ t t f t f t tf t f dx dy =-+=)('')(')('')(' ………5分 )(''122t f dxy d = ………10分4、 解：xx x x 30sin arcsin lim -→=2203111lim x x x --→=22201311lim x x x x ---→ ………5分 =)11(31lim 20+--→x x ………8分 =61- ………10分 四、证明题（本题10分）证明 2)1ln( )( 2x x x x f +-+=令 ………2分 时当 0 01 )(2'>>+=x x x x f 单增 )( x f ∴ ………6分 0 )0( )( =>∴f x f 2)1ln( 2x x x ->+即 ………10分 五、证明题（本题10分）证明：（1）设x x f x F -=)()(，则)(x F 在[0，1]上连续，且0)0()0(>=f F ，01)1()1(<-=f F ………2分 由零点定理，存在点），（10∈ξ，使得0)(=ξF ，即ξξ=)(f . ………5分 （2）假设1ξ，2ξ是)(x F 在（0，1）内的两个不同的零点，由罗而定理，有介于1ξ与2ξ之间的ξ，使得0)(=ξ‘F， ………8分 即1)(=ξ‘f .与1)(≠x f ‘矛盾所以 在（0，1）内存在惟一的点ξ，使得ξξ=)(f . ………10分。

高等数学期中试题一、填空题（每题3分，共15分）1、262sin0lim(1)x x x →+= ;2、设21y x ，则dy ；3、0000(2)()()2,lim h f x h f x f x h→+-'== ;4、曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ; 5、当0x →时，21cos 2x kx -，k = 。

二、选择题（每题3分，共15分）1、21()1x f x x 在1x 处为 （ ） A 无穷间断点； B 第一类可去间断点 ；C 第一类跳跃间断点 ；D 震荡间断点。

2、()1xf x x ，则(4)(0)f =（ ）A 4!-；B 4!；C 5!- ；D 5! 。

3、若()()f x f x =--，在()0,+∞内()()'0,''0f x f x >>，则在(),0-∞内（ ）.A ()()'0,''0f x f x <<；B ()()'0,''0f x f x <>；C ()()'0,''0f x f x ><；D ()()'0,''0f x f x >>.4.设3()(1)f x x x x =--，()f x 不可导点的个数为（ ）A 0；B 1；C 2 ；D 3 。

5.设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =处连续，但又不可导，又()'g a 存在，则()0g a =是()F x 在x a =处可导的（ ）条件.A 充要；B 充分非必要；C 必要非充分；D 非充分非必要三、求下列极限（20分）1．)tan 11(lim 20x x x x -→ ； 2. 2tan )1(lim 21x x x π-→；3.x x x x 10)cos sin 2(lim +→； 4．)2112111(lim n n +++++++∞→四、求下列导数或微分（20分）1．,2222x x x x y +++=求：y '2．)(,)(ln )(x f e x f y x f ⋅=二阶可导，求：dy dx3．33cos sin x t y t⎧=⎨=⎩求：224d ydx x π= 4．设)(x y y =是由方程arctan y x =所确定的函数，求：dy dx 。

《高等数学（Ⅰ）》试卷学院：______ 班级：_____学号：________姓名：________任课教师：_____一、选择题（每题2分，共16分）1、 下列极限存在的是…………………………………………………………( ) （A ）xx 21l i m ∞→（B ） 1310lim -→x x （C ） e x 1l i m ∞→ （D ） xx 3lim ∞→2、0)(lim =→x f ax ，∞=→)(lim x g ax ，则下列不正确的是…………………………( )（A ） ∞=+→)]()([lim x g x f ax （B ） ∞=→)]()([lim x g x f ax（C ） 0][lim )()(1=+→x g x f ax （D ） 0)](/)(lim[=→x g x f ax3、,0)(lim >=→A x f ax ,0)(lim <=→B x g ax 则下列正确的是…………………………( )（A ） f (x )>0, （B ） g(x )<0, （C ） f (x )>g (x ) （D ）存在a 的一个空心邻域，使f (x )g (x )<0。

4、已知， ,2lim)(0=→xx f x 则=→)2x (sin3x 0limf x ………………………………………………( )（A ） 2/3, （B ） 3/2 （C ） 3/4 （D ） 不能确定。

5、若函数在[1，2]上连续，则下列关于函数在此区间上的叙述，不正确的是……（ ） （A ） 有最大值 （B ） 有界 （C ） 有零点 （D ）有最小值6、下列对于函数y =x cos x 的叙述，正确的一个是………………………………………( ) （A ）有界，且是当x 趋于无穷时的无穷大，（B ）有界，但不是当x 趋于无穷时的无穷大， （C ） 无界，且是当x 趋于无穷时的无穷大，（D ）无界，但不是当x 趋于无穷时的无穷大。

一、计算题（每小题8分，共64分）：1、设函数()f x 满足 (0)0, (0)2f f '==，求222224()lim x y t t f x y dxdy t++≤→+⎰⎰。

2、2110y x e dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 。

3、已知(,)z f x y =由方程2222xyz x y z ++=(1,0,1)|dz -。

4、 22()Dx y dxdy +⎰⎰, 其中D 是由224, 2y x y x x =-=-及0x y +=所围的平面区域。

5、()2x z dv Ω+⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面222z x y =+和平面1z =所围的立体。

6、设(,,), (,), (,)u f x y z y x t t x z ϕψ===，求,u ux z∂∂∂∂。

7、设L 是圆周221x y +=，求2()Lx y ds -⎰。

8、[sin 2()][cos ]x x Le y x y dx e y x dy -++-⎰, 其中L 是从点(,0)A π沿曲线sin y x =到点(0,0)O 的弧。

厦门大学《高等数学（A ）》课程试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业主考教师：＿＿＿＿ 试卷类型：（A 卷/B 卷）二、综合题（每小题9分，共36分）：1、过曲线(0)y x =≥上的点A 作切线，使该切线与曲线y =x 轴所围平面图形的面积为34，（1）求点A 的坐标；（2）求该平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积x V 。

2、设(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且2222f fx y∂∂=∂∂。

已知(,2)f x x x =和21(,2)f x x x '=，求11(,2)f x x ''。

3、已知某工厂生产A 和B 两种产品，生产x 单位的产品A 和生产y 单位的产品B 的总成本是33(,)+C x y x ay bxy =+（,a b 是常数），总收入是334020(,)3510x yR x y x y xy x y =+++-++， 点(1,1)P 是函数(,)C x y 的极值点，（1） 问点P 是函数(,)C x y 的极大值点还是极小值点？ （2） 若25x y +=，求利润(,)L x y 的最大值。