10-11-2高数1(A)期中考试试卷答案

广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 1 页一、填空题（每题3分分）．已知{4,3,4}a =-在向量{2,2,1}b =t e e x,sin cos ==广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 2 页广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 3 页解：两边微分得 )()(21yz d f x z d f dx '+'= 2分2221yz d yy d z f x z d x x d z f dx -'+-'= 5分 整理得 dx f y x f xy f z x dx f y x f xy f zy y x dz 22122222121222)('+''+'+''+= 6分四、计算下列各题（每题7分，共28分）１．计算Dx ⎰⎰，其中Ｄ是由曲线.10y x y x ===及所围成的区域:2031441200:1112(1)31212311)18yD xx dxy y ====+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解２．计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中}20,20),{(≤≤≤≤=y x y x D．解：曲线1=xy 把区域D 分成三个区域1D 、2D 和3D21,221:1≤≤≤≤y x x D ；x y x D 10,221:2≤≤≤≤；20,210:3≤≤≤≤y x D 2分⎰⎰Ddxdy xy }1,max{＝dxdy xy D ⎰⎰1＋⎰⎰2D dxdy ＋⎰⎰3D dxdy＝212122121221⨯++⎰⎰⎰⎰x xdy dx xydy dx 6分 ＝2ln 419+ 7分 ３．设Ω是曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面8=z 围成的空间区域，求广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 4 页⎰⎰⎰+=Ωdv y x I )(22。

解：Ω由z y x 222=+与 8=z 所围成，在柱坐标系下 Ω：82,40,202≤≤≤≤≤≤z ρρπθ 3分⎰⎰⎰=8224202ρπρρρθdz d d I 5分＝π31024五、设),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddudv v u f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2xy =，1=x 所围成区域，求),(y x f （6分）五、解：设A dxdy y x f D=⎰⎰),(，则⎰⎰⎰⎰+=DDdxdy A dxdy xy A2分 A xydy dx A x 31210+=⎰⎰⇒81=A 5分 从而 81),(+=xy y x f 6分六、设曲线:C ⎩⎨⎧=++=-+5302222z y x z y x ，求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点。

一、填空：（10分）1. 平均指标和变异指标（或σ和x ）。

2．统计中，标志的承担者是总体单位 。

3．抽样平均误差的实质是样本平均数 的标准差。

4．由组距数列计算平均数，由组中值代表各组标志值的水平，其假定前提是组内标志值均匀分布 。

5．负责向上报告调查内容的单位，称为报告单位 。

6．在统计调查方法体系中，以普查为基础，以抽样调查 为主体。

7．现象总体在轻微偏态情况下，中位数与平均数的距离是平均数与众数距离的 1/3 。

8．社会经济统计学的研究对象是研究大量社会经济现象 总体 的数量方面。

9．在组距数列的条件下，众数的计算公式是 。

10．反映总体中各个组成部分之间数量对比关系的指标是比例相对 指标。

二、单项选择（20分）1．攻读某专业硕士学位的四位研究生英语成绩分别为75分、78分、85分、和88分，这四个数字是：（ D ）A.指标B.标志C.变量D.标志值2．已知：∑2x =2080，∑x =200，总体单位数为20。

则标准差为（ B ）A.1B.2C.4D.103.调查某地区1010户农民家庭，按儿童数分配的资料如下：根据上述资料计算的中位数为（ B ）A. 380B. 2C. 2.5D. 5054．某地区为了了解小学生发育状况，把全地区各小学按地区排队编号，然后按排队编号顺序每隔20个学校抽取一个学校，对抽中学校所有学生都进行调查，这种调查是（ D ）厦门大学《统计学》2010~2011第二学期期中试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业主考教师： 试卷类型：（A 卷）A. 简单随机抽样B. 等距抽样(系统抽样)C. 分层抽样D. 整群抽样5．统计工作中，搜集原始资料，获得感性知识的基础环节是（B ）A.统计设计B.统计调查C.统计整理D.统计分析6．人口普查的调查单位是（ B ）A.全部人口B.每个人C.全部人口数D.每户家庭7．对两工厂工人工资做纯随机不重复抽样，调查的工人数一样，两工厂工资方差一样，但第二个工厂工人数多一倍，则抽样平均误差：（ B ）A.第一个工厂大B.第二个工厂大C.两个工厂一样大D.不能做结论8．必要的样本容量不受下面哪个因素影响（ B ）。

中国传媒大学2010─2011学年第一学期期中考试试卷参考答案及评分标准考试科目：高等数学A 上 考试班级： 2010电气信息类、光电、游戏 考试方式： 闭卷 命题教师：一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共3小题，每题4分，共12分）1．==⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=a x x a x xe x xf ax 处连续，则在当 当0 , 001sin )(21-。

2．='→∆∆-∆+)(,02sin )()(000x f x x x f x x f 则时的等价无穷小为与若 2 。

3．曲线2)1(2-=x y 在=x 1 处具有最小的曲率半径=ρ 4 。

二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共4小题，每题4分，共16分）1．当0x x →时，)(),(x x βα都是无穷小，则当0x x →时，下列表示式哪一个不一定是无穷小？（ A ）;)()()];()(1ln[);()(;)()(222x x D x x C x x B x x A βαβαβαβα+++2．设2)()()(lim2=--→a x a f x f ax ，则在点a 处（ C ） ;)(;)(;)(;0)()(的导数不存在取得极小值取得极大值的导数存在，且x f D x f C x f B a f x f A ≠'3．设)(x f 在a x =的某邻域内有定义，则)(x f 在a x =处可导的一个充分条件是（ D ）;)()(lim ;2)()(lim ;)()2(lim;)]()1([lim 000存在存在存在存在h h a f a f D hh a f h a f C hh a f h a f B a f ha f h A h h h h ----++-+-+→→→+∞→4．设xx f ab b a 1)(,0,=<<在b x a <<内使))(()()(a b f a f b f -'=-ξ成立的点ξ（ C ）A 只有一点；B 有两点；C 不存在；D 是否存在，与b a ,的具体数值有关；三、解答下列各题（本大题共7小题，共51分） 1、（本小题7分）)1()1(21lim )(--∞→+-=x n x n n e e x x x ϕ，讨论其连续性，指出间断点及其类型。

《高等数学一》期中试卷答案与评分标准（2011. 10）大题 一二三四五附加题总 分小题 1-7 1-6 1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 题分 21 18 8 7 7 7 7 9 10 6 5 7 112一．填空题 (每小题3分，共21分) 1．计算极限：))12()12(1531311(lim +⋅−++⋅+⋅∞→n n n L = 1/2 ． 2．已知在点可导，且)(x f 0x 2)(0=′x f ，则极限xx f x x f x Δ−Δ−→Δ3)()(lim 000=3/2−．3．曲线在x y cos 1−=3π=x 点处的切线方程是 π632123−+=x y ． 4．已知当时，有等价式：0→x x ax 22arcsin ~11−−，则常数=a 2−．5．设10()1sin 0x ae x f x x x x ⎧−≥⎪=⎨<⎪⎩在0x =连续，则a =__1___． 6．抛物线在其顶点处的曲率342+−=x x y = 2 ． 7．已知，则极限2)(=′a f =−−→ax x af a xf ax )()(lima a f 2)(−．二、单项选择题 (每小题3分，共18分)1．函数()f x 在点存在极限0x A x f x x =→)(lim 0，是()f x 在点连续的（ A ）．0x （A ）必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ）无关条件2．函数)1( )(22−−=x x xx x f 的可去间断点是（ C ）． (A) 1−=x (B) 0=x (C) 1=x (D) 2=x3．已知函数在)(x f y =x 点可微，y Δ与是dy )(x f 在x 点相应于自变量增量x Δ的增量与微分，则当0→Δx 时，dy y −Δ是关于x Δ的（ D ）． （A ）低阶无穷小 （B ）等价无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）高阶无穷小.4．设函数)(x f 在区间I 内二阶可导，如果)(x f 在I 满足（ B ）， 则)(x f 在区间I 内是上凸的．(A) (B) "()0f x >"()0f x < (C) "()0f x ≡ (D) '()f x 单调递增5．如果的图像如右图所示，则()y f x ′=()y f x =的图像是（ A（A ） （B ） (C) (D) 6．设函数|)1(|)(x x x f −=，则（ C ）．（A ）0=x 是)(x f 的极值点，但不是曲线)0,0()(x f y =的拐点； （B ）0=x 不是)(x f 的极值点，但是曲线)0,0()(x f y =的拐点； （C ）0=x 是)(x f 的极值点，且是曲线)0,0()(x f y =的拐点； （D ）0=x 不是)(x f 的极值点，且也不是曲线)0,0()(x f y =的拐点． 三. 计算题（要求步骤合理，等式完整、计算正确、极限计算过程中极限符号不得随便漏写）（本大题第1题8分，第2-5题每题7分，第6题每题9分，共45分）1．求极限（每小题4分，共8分）（1）11lim 31−−→x x x （2）20sin 1lim ln(1)x x e x x →−−+解1 原式1111lim 3321−++⋅+−=→x x x x x x 原式201sin lim x x e x x −−=→ 11lim 3321+++=−x x x x 3分 x x e x x 2cos lim 0−=→ 2分23= 1分 2sin lim 0x e x x +=→解2 原式3/22/11321lim −−→=x xx 3分 21= 2分23=1分 解3 令，则原式6t x =2311lim 11lim 21231=+++=−−=→→t t t t t t t 4分2. 已知函数)(x y y =由方程1ln )sin(=−+y y x 所确定，求dy ，dxdy ． 解1 方程两边微分得01)cos()(=−++dy yy x dy dx 3分 解出得 dy dx y x y y x y dy )cos(1)cos(+−+=2分从而 )cos(1)cos(y x y y x y dx dy y +−+==′ 2分 解2 方程两边对x 求导得01)cos()1(=′−+′+y yy x y 3分解出 得 y ′)cos(1)cos(y x y y x y dx dy y +−+==′ 2分 从而 dx y x y y x y dy )cos(1)cos(+−+=2分3. 设参数方程 确定函数⎩⎨⎧−=−=)cos 1()sin (t a y t t a x ()y y x =, 求dx dy 、22dx y d . 解tt t a t a t x t y dx dy cos 1sin )cos 1(sin )()(−=−=′′=)(:t ω= 3分 2222)cos 1(1cot)1()cos 1(1cos )()(t a a t t t x t dx y d −−=−−−=′′=ω 4分 4. 求函数3412+−=x x y 的n 阶导数． )(n y 解 1131(213412−−−=+−=x x x x y 4分 ))1(1)3(1(!)1(2111)(++−−−−=n n n n x x n y 3分 5．设气球以100s cm /3的速度输入气体（假设气球是球体），求在充气过程中当气球半径cm 时，气球半径增加的速率（假设气球压力不变）.10=R 解 设充气t 秒后，气球的体积为V ，半径为r ，则 343V r π=， 3分上式两边对t 求导，得24343dV dr drr r dt dt dtππ=⋅=2， 3分 将100, 10dVr dt==代入，得 14dr dt π==0.08（cm/s ） 即气球半径增加的速率为0.08cm/s. 1分6．列表讨论函数的单调区间、极值、凹凸区间，以及对应曲线的拐点.3239y x x x =−−−2解 , 23693(3)(1y x x x x ′=−−=−+6(1)y x )′′=−−令，解得 ; 令0y ′=123, 1x x ==0y ′′=，解得 31x =. 3分所以，单调递增区间为(,，[31−∞−],)+∞，单调递减区间为[1,3]−， 极大值为，极小值为(1)3f −=(3)29f =−； 4分 凹区间为[1,，凸区间为(，拐点为)+∞,1−∞](1,13)−. 2分四、应用题（本题10分）设M 是曲线上一点， 22(0y x x =−>)（1）求曲线上点M 处的切线l 的方程； ),(00y x （2）切线l 与两坐标轴所围三角形的面积； S （3）问当点M 在何处时，出其最小值.解 (1)曲线在M 处切线的斜率为0002x x y y k y x ==′==−，所以该点处切线方程为002()0y y x x −=−−x 0. 2分(2) 令x =0，则；令y =0，则202y y x =+0002y x x x =+. 所以切线与两坐标轴围成三角形的面积为200001()(222y S x y x x =++0)2200(2)4x x += () 2分00x >(3) 因为 22(2)()4x S x x+=（）， 所以0x >222()(2)(32)4dS x x x dx x+−=， 3分 令()0dS x dx=，得驻点3x =，3x =−（舍去） 因为驻点唯一，由实际意义知，最小值在驻点处取得， 1分所以当3x =时，切线l 与两坐标轴所围三角形的面积最小， 且最小值为698)(=x S , 此时点M为4,33. 2分 五、证明题（本题6分）设函数()f x 在闭区间上连续，在开区间内可导，且．证明：对任意实数]1,0[ (0,1)(1)0f =λ0>，在开区间(0内存在一点,1)ξ，使得 0)()(=′+⋅ξξξλf f ． 证明：设， 3分 ()()F x x f x λ=显然在闭区间上连续，在开区间(0内可导，()F x ]1,0[ ,1)且 . 2分 (0)0(1)F ==F 所以由Rolle 定理知，在开区间内存在一点(0,1)ξ，使得 ()0F ξ′=，即 0)()(=′+⋅ξξξλf f . 1分附加题（共12分，其中第一小题5分、第二小题7分）1．计算极限)14(tan lim nnn +∞→π.解 令x n=1，并视x 为连续变量，则当∞→n 时，0x +→，从而 原式1tan(/4ln tan()40lim lim x n nn x ee ππ+)1x+−+→∞→== 3分2分20lim sec (/4)2x x eπ+→+=e =2．设函数在区间上具有二阶导数，而且当)(x f ]1,0[ ]1,0[ ∈x 时，恒有4/|)(|A x f ≤，B x f ≤′′|)(|证明：当时，成立不等式： ]1,0[ ∈x 2/2/|)(|B A x f +≤′.证明 对任一点]1,0[0∈x ，作Taylor 公式： 012010000,)(21)()()0(x x f x x f x f f ≤≤′′+′−=ξξ 1,)1)((21)1)(()()1(20202000≤≤−′′+−′+=ξξx x f x x f x f f 2分 两式相减得])()1)(([21)()0()1(2012020x f x f x f f f ξξ′′−−′′+′=− 1分 所以)122(212/])1[(21|)0(||)1(||)(|02020200+−+≤+−++≤′x x B A x x B f f x f 1分 令 ，]1,0[,122)(00200 ∈+−=x x x x g 则由 024)(00=−=′x x g 得210=x ，从而当]1,0[0 ∈x 时，有 1)}1(),2/1(),0({)(0=≤f f f Max x g 2分所以当时，有 ]1,0[0 ∈x 2/2/|)(|0B A x f +≤′ 1分。

一、 选择题（每小题4分，共16分）1、设()sin f x x x =, 则（ C ）。

（A ）在(,)-∞+∞内有界；（B ）当x →+∞时为无穷大； （C ）在(,)-∞+∞内无界； （D ）当x →+∞时有极限。

2、设(1)(2)(3)(4)(5)lim 0(32)x x x x x x x αβ→∞-----=≠-，则α、β的数值为 （ C ）。

（A ）1α=，13β= （B ）5α=，13β= （C ）5α=，513β= （D ）均不对 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时， （ B ）。

（A ）()f x 是x 的等价无穷小 （B ）()f x 与x 是同阶但非等价无穷小（C ）()f x 是比x 较低阶的无穷小 （D ）()f x 是比x 较高阶无穷小4、设11()1xx f x e -=-，则1x =是()f x 的 （ B ）。

(A)可去间断点 (B)跳跃间断点(C)第二类间断点 (D)连续点二、填空题：(每题4分，共16分)1、设2()45f x x x =-+，则[()]f f x '=______________ .应填 242437x x -+2. 设函数321y x =+-(1,2)处的切线方程为_____________ .（答案：1=x ）3、设方程2cos xy e y x +=确定y 为x 的函数，则dy =_________________ .厦门大学《高等数学B 》期中试卷 ＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业 主考教师：高数B 组 试卷类型：A 2010.11解 应填sin 2xy xy ye x dx xe y+-+。

4.若(1)()f x af x +=总成立，且(0)f b '=（a ，b 为非零常数），则(1)f '=_________ . 应填：(1)f ab '=。

三、计算题（每题10分，共50分）1、求极限()1ln 0lim cot x x x +→。

2010-1011学年第二学期高等数学（2-2）期中考试A 卷参考答案一、填空题（5525⨯=分分） 1.=++-+∞→+∞→)(22)(lim y x y x e y x .02. 如果直线⎩⎨⎧=+--=--+072072:1z y x z y x L 与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-=2513:2t z kt y t x L 垂直，则k =.34 3.函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处沿→→→+-k j i 42方向的方向导数值最大，最大的方向导数值为.214. (,)f x y 为连续函数，且(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰，其中D 由,0=y ,2x y =1=x 围成，则(,)f x y =.81+xy5. )11(21112edy e dx xy -=⎰⎰-二、选择题（5525⨯=分分）1. {}{},3,5,8,1,1,a b a b a b z +=-=-=-r r r r r r则z =（ B ）(A) 1-； (B) 1； (C)3 ； (D)-3.2．函数(,)f u v 有连续的偏导数,,122),(,2),(221342+-='++=x x x x f x x x x x f 则='),(22x x f ( A )(A)2221x x ++； (B) 221x x ++； (C) 2222x x ++； (D) 221x x ++. 3. 下列关于函数(,)z f x y =在000(,)P x y 处的性质描述正确的是（ D ） (A) f 在0P 处连续是函数f 在该点偏导数存在的必要条件； (B) f 在0P 处可微分是函数f 在该点偏导数存在的必要条件；(C) 如果f 在0P 处的两个偏导数为零，则函数f 在该点可以取得极值；(D) 如果f 在0P 处两个偏导数连续，则函数f 在该点沿任何方向的方向导数都存在.4. cos sin 02t tt x e t y e t t z e ⎧=⎪==⎨⎪=⎩曲线在对应处的切线与z 轴正向夹角的正弦是( C )(A) 2；(B) 3 ； (C)3；(D) 6.5. 设函数333),(y x xy y x f --= ，则 ),(y x f （ B ） (A) 在)0,0(点有极小值； (B) 在)1,1(点有极大值； (C) 在)2,1(点有极小值； (D) 没有极值.三、计算题 (6+7+7+8+7+7+8=50分) 1. 直线1123:101x y z L ---==-，221:,211x y zL +-== 求过1L 且与2L 平行的平面∏的方程，并求2L 到平面∏的距离.(6分)解1：120:40y L x z -=⎧⎨+-=⎩，过1L 的平面束方程为2(4)0y x z λ-++-=， 即 420x y z λλλ++--=………………………（2分）其法向量为 {,1,}n λλ=r，2{2,1,1}s =r2n s ⊥r r Q 21310λλλ∴++=+=，13λ=- .所求平面∏的方程为：320x y z -++= ………………………………（4分） 取2L 上一点(2,1,0)-，d ===…………………（6分） 解2：,}1,0,1{1-=→s ,}1,1,2{1=→s 则平面∏的法向量为}.1,3,1{11210121-=-=⨯=→→→→→→kj i s s n …………………………………………（2分）取1L 上一点,)3,2,1(所求平面∏的方程为：,0)3()2(3)1(=-+---z y x 即320x y z -++=. ………………………………………………………………（4分） 以下同解1.2. 计算二重积分,)1(2⎰⎰++Ddxdy y x 其中D 为.122≤+y x (7分)解⎰⎰++Ddxdy y x 2)1(⎰⎰+++++=Ddxdy xy y x y x ]2221)[(22 ⎰⎰+=Ddxdy y x )(22⎰⎰+Ddxdy ⎰⎰+Dxdxdy 2⎰⎰++Ddxdy x y )1(2（D Θ关于y 轴对称，x y x f =),(关于x 为奇函数，,0=∴⎰⎰DxdxdyD Θ关于x 轴对称，)1(),(x y y x f +=关于y 为奇函数，0)1(=+∴⎰⎰Ddxdy x y ） ⎰⎰+=Ddxdy y x )(2200+++π……………………………………………（4分）（令,sin ,cos θθr y r x ==则10,20≤≤≤≤r D πθ：）ππθπ2310220=+⋅=⎰⎰rdr r d ………………………………………………（7分）3.求空间区域y x e z y x x y x +≤≤+≤≤≤≤Ω,0,10：的体积V .(7分) 解 ⎰⎰⎰Ω=dxdydz V ………………………………………………………………（2分）⎰⎰⎰++=y x e yx xdz dy dx 010………………………………………………………（4分）⎰⎰+-=+xyx dy y x e dx 010)]([⎰==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=1002)2(dx y xy e xy y y x⎰--=122)23(dx e x exx.22e e -=………………………………………（7分） 4. 设),(y x z z =是由0),(=--z y z x f 确定的隐函数,其中f 有二阶连续偏导数,且,021≠'+'f f 求.22xz∂∂（8分）解 对方程 0),(=--z y z x f 两边关于x 求偏导数，得,0)()1(21=∂∂-⋅'+∂∂-⋅'x z f x z f 即 )1(0)(211=∂∂'+'-'xz f f f)2(211f f f x z '+''=∂∂∴， ……………………………………………（4分）对)1(式两边再关于x 求偏导数，得-∂∂-⋅''+∂∂-⋅'')()1(1211x z f x z f +∂∂-⋅''+∂∂-⋅'')()1([1211x z f x z f)1(21xzf ∂∂-⋅''+0)(])(222122=∂∂'+'-∂∂∂∂-⋅''+x z f f x z x z f ……………（6分） .)()(2)(32121222112221122f f f f f f f f f x z '+''⋅''+'⋅'⋅''-'⋅''=∂∂∴……………………………（8分） 5. 由曲线220y zx ⎧=⎪⎨=⎪⎩绕z 轴旋转一周形成的曲面与8z =围成的区域为Ω，求22()I x y dxdydz Ω=+⎰⎰⎰. （7分）解 旋转曲面的方程为：222x y z +=，…………………………………………（2分）利用柱面坐标变换：,,sin ,cos z z r y r x ===θθ则82,40,20:2≤≤≤≤≤≤Ωz r r πθ………………………………………（3分）22()I x y dxdydz Ω=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=82240202r rdz r dr d πθ……………………………………（5分）⎰-=4023)28(2dr r r π 10243π= …………………………………………（7分）6. 求极限⎰⎰⎰≤++→+++22222322260)sin(1lim t z y x t dxdydz z y x t（7分）解 利用球面坐标变换：,cos ,sin sin ,cos sin ϕθϕθϕr z r y r x ===⎰⎰⎰≤++++222223222)sin(t z y x dxdydz z y x ⎰⎰⎰⋅=tdr r r d d 023020sin sin ϕϕθππ⎰=t dr r r 032sin 4π………………………………………………………………………（4分）⎰⎰⎰≤++→++∴+2222232226)sin(1lim t z y x t dxdydz z y x t 6320sin 4lim tdrr r tt ⎰+→=π（利用罗比达法则）53206sin 4lim tt t t π+→=…………………………………………（6分） 330sin lim 32t t t +→=π.32π=……………………………………（7分） 7. 在曲面2222:()()0x y y z z x x y z ∑+++-+=上的点(0,0,0)处的切平面∏内求一点P ，使P 到(2,1,2)和(3,1,2)--的距离的平方和最小.（8分） 解 曲面∑在(0,0,0)处的法向量为22222222{2()(2)1,2()(2)1,n x y y z z x xy z x y y z z x x yz =+++++++-r2222(0,0,0)2()(2)1}x y y z z x y zx ++++{1,1,1}=-切平面方程为 1(0)(0)1(0)0x y z ⋅---+⋅-=，即0.x y z -+=……………………（2分） 假设所求点的坐标(,,)P x y z ，2222222(2)(1)(2)(3)(1)(2)d x y z x y z =-+-+-+++-++令222222(,,,)(2)(1)(2)(3)(1)(2)()L x y z x y z x y z x y z λλ=-+-+-+++-+++-+………………………………………………………………………………………（4分）2(2)2(3)0,2(1)2(1)0,2(2)2(2)0,0,Lx x x Ly y yLz z z Lx y z λλλλ∂⎧=-+++=⎪∂⎪⎪∂=-+--=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+++=⎪∂⎪⎪∂=-+=⎪∂⎩ ……………………………（6分） 解得110,,22x y z ===是唯一驻点，所求点即为11(0,,)22.………………………（8分）。

2021学年天津高一下学期人教A版高中数学期中考试【含解析】(一)姓名：__________ 班级：__________学号：__________题号一二三四五六总分评分一、选择题（共12题）1、在复平面内表示复数的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2、已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（）A. 2B.C.D. -23、已知向量，，则（）A. B. C. D.4、已知向量，若，则实数（）A. 2B.C. - 2D. 05、已知是虚数单位，，，则等于（）A. -1B. 1C. 3D. 46、若为虚数单位，则复数的模是（）A. B. C. 5 D.7、复数满足，则的值是（）A. B. C. D.8、已知向量，，则＝（）A. B. C. D.9、已知点，则线段的中点坐标为（）A. B. C. D.10、设向量，若，则实数（）A. ±1B. 0C.D. ±211、已知，，且，则向量与夹角的大小为( )A. B. C. D.12、已知，则（）A. B. C. D.二、填空题（共8题）1、是虚数单位，则__________．2、是虚数单位，则复数的实部为__________．3、计算：__________．4、已知，且向量的夹角为，则__________．5、已知，且三点共线，则__________．6、若向量，则的夹角的度数为__________．7、已知，是虚数单位．若与互为共轭复数，则__________．8、在平行四边形中，若，则向量的坐标为__________．三、解答题（共4题）1、已知是虚数单位，复数．（Ⅰ）当复数为实数时，求的值；（Ⅱ）当复数为虚数时，求的值；（Ⅲ）当复数为纯虚数时，求的值．2、在中，内角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值．3、设的内角所对边的长分别是，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．4、已知分别为三个内角的对边，．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若的面积为，求．============参考答案============一、选择题1、 A【解析】把展开即得.【详解】，复数对应的点的坐标为，在第一象限. 故选：.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.2、 D【解析】把复数展开，由实部为0，虚部不为0，即求实数.【详解】复数为纯虚数，.故选：.【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的分类，属于基础题.3、 A【解析】因为，所以=（5，7），故选A.考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.4、 B【解析】根据向量共线的坐标表示，可求.【详解】由，可得.故选：.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题.5、 A【解析】根据复数的除法化简，再根据复数相等的充要条件求出，即得答案. 详解】，.故选：.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.6、 B【解析】根据复数的除法运算把化成的形式，则模为. 【详解】，.故选：.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题.7、 D【解析】由，求出复数，把写出的形式，即求. 【详解】，故选：.【点睛】本题考查复数的运算和共轭复数，属于基础题.8、 C【解析】由向量的坐标运算表示，再由数量积的坐标运算即可得解.【详解】解：因为，则；故选C．【点睛】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．9、 B【解析】根据线段的中点坐标公式即得.【详解】线段的中点坐标为，即.故选：.【点睛】本题考查线段的中点坐标公式，属于基础题.10、 C【解析】写出向量的坐标，由，得，即求. 【详解】.，.故选：.【点睛】本题考查向量垂直的性质，属于基础题.11、 C【解析】可知，，由向量夹角的公式求解即可【详解】可知，，，所以夹角为，故选C. 【点睛】本题考查向量的模的定义和向量夹角的计算公式．12、 D【解析】根据复数乘法运算的三角表示，即得答案.【详解】.故选：.【点睛】本题考查复数乘法的三角表示，属于基础题.二、填空题1、【解析】根据复数的除法运算即得答案.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.2、【解析】把展开，代入即得.详解】,复数的实部为.故答案为：.【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题.3、【解析】根据向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则进行运算，即得答案. 【详解】由向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则可得.故答案为：.【点睛】本题考查向量加减法的运算法则和向量加法的交换律，属于基础题.4、【解析】根据数量积的定义即求.【详解】,且向量的夹角为，.故答案为：.【点睛】本题考查向量数量积的定义，属于基础题.5、【解析】由三点共线，得，根据向量共线坐标表示求.【详解】三点共线，.，.故答案为：.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题.6、【解析】设向量的夹角为.由，得，再根据数量积的定义求夹角.【详解】设向量的夹角为.，又.故答案为：.【点睛】本题考查向量垂直的性质和数量积的定义，属于基础题.7、【解析】根据共轭复数的定义，求出，再把展开即得.【详解】与互为共轭复数，,.故答案为：.【点睛】本题考查共轭复数和复数的乘法，属于基础题.8、【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，可求的坐标. 【详解】平行四边形中，..故答案为：.【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，属于基础题.三、解答题1、（Ⅰ）0或3；（Ⅱ）且；（Ⅲ）2.【解析】（Ⅰ）根据虚部为0，求；（Ⅱ）根据虚部不为0，求；（Ⅲ）根据实部为0，虚部不为0，求.【详解】复数.（Ⅰ）当复数为实数时，有或.（Ⅱ）当复数为虚数时，有且.（Ⅲ）当复数为纯虚数时，有，解得.【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.2、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由余弦定理求.根据平方关系式求，再根据正弦定理求；（Ⅱ）根据三角形中大边对大角，得为锐角.由（Ⅰ）知，根据平方关系式求，再根据两角和的余弦公式求.【详解】（Ⅰ）中，已知．由余弦定理得，．又．由正弦定理，可得.（Ⅱ）为锐角.由（Ⅰ）知..【点睛】本题考查正余弦定理、同角三角函数基本关系式和两角和的余弦公式，属于基础题.3、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由正弦定理和倍角公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知.根据平方关系式求出，根据倍角公式求出，最后根据两角差的正弦公式求.【详解】（Ⅰ）中，.由正弦定理,可得，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，..【点睛】本题考查正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式和两角差的正弦公式，属于中档题.4、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由正弦定理把化为，约去，利用辅助角公式，可求；（Ⅱ）根据面积公式和余弦定理求【详解】（Ⅰ），由正弦定理可得.又，由辅助角公式得.，.（Ⅱ）的面积为，，由（Ⅰ）知.又，由余弦定理得，即，又.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式和面积公式，属于中档题.。

2010-2011学年春季高等数学A(二)期中考试答案及评分D解：根据叉积的几何意义||→⨯=AD AB S =|312131--k j i | …………5分=||k j i 58+--=103 …………8分2. 求过直线1223x z y +=+=与平面150x y z +++=的交点，且与平面23450x y z -++=垂直的直线方程。

解：联立直线方程1223x z y +=+=和平面方程150x y z +++=，求得交点坐标为（-4，-4，-7） …………4分 根据直线的点向式方程，所求直线的方程为473424+=-+=+z x x …………8分三、按要求解答下列各题（每小题8分，共16分）1．求过点203-（，，）且与直线2470:35210x y z L x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩垂直的平面方程。

解：依题意，所求平面的法向量k j i k j i n 111416253421++-=--= …………4分 根据平面的点法式方程，所求平面的方程为0311014216=++-+--)()()(z y x ………8分2． 设一个立体由上半球面224y x z --=和锥面)(223y x z +=所围成，求它在xoy 坐标面上的投影曲线方程。

解：联立上半球方程和锥面方程得⎪⎩⎪⎨⎧+=--=)(222234y x z y x z 消去z 得122=+y x …………6分立体在xoy 坐标面上的投影曲线方程⎩⎨⎧==+0122z y x …………8分 四、按要求解答下列各题（每小题8分，共16分）1、设z uv =，,cos xu ye v x y ==，求,z z x y ∂∂∂∂。

解：z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ cos x vye u y =+ ……4分 z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ sin x ve ux y =- ……8分2.设,,cos ,,sin 2t w t v e u w uv z t ===+=求全导数dtdz 。

2010-2011高等数学C(二)期中考试试卷(答案)姓名 学号 班级 成绩注:该试卷中含有微分方程的题目,不属于本次期中考试内容。

一、选择填空题(每空3分,共36分)1、300ln(1)lim sin x x t dt t x x→+-⎰= 2 ; 解:上式=22/lim cos 1)1ln(lim 22030==-+→→x x xx x x x 等价无穷小代换 2、曲线1y x =与直线,2y x y ==所围的平面图形的面积为2ln 23- 解:积分区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤y x y y D 121:,所以所求面积=-=⎰dy y y S )1(212ln 23- 3、121sin x xdx -⎰= 0 ;解:奇函数在对称区间上的定积分为零 4、已知函数()f x 可导,(1)2f =,10()5f x dx =⎰,则10()xf x dx '⎰=3- 解:根据分部积分:10()xf x dx '⎰352)()()(101010-=-=-==⎰⎰dx x f x xf x xdf 5、已知22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-就是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,则该方程的通解为 , 该微分方程对应的二阶线性齐次微分方程为 。

6、方程2214y x +=所表示的曲面类型就是 椭圆柱面 ; 7、设22(,)f u v u v v u +-=-,则(,)f x y =xy -8、二重极限22(,)(0,0)limx y xy x y →+ 不存在 ;解:由于2222001lim kk x k x kx x kx y x +=+⨯→=→,与k 有关,所以极限不存在 9、函数(,)z f x y =在点(,)P x y 偏导数存在就是函数在该点连续的 D ;A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 无关条件10、二元函数sin ,0,R (,)20,0R xy x y f x y x x y ⎧≠∈⎪=⎨⎪=∈⎩，,则(0,3)x f = 不存在解:(0,3)x f =∞=∆-∆∆=∆-∆→∆→∆xx x x f x f x x 023sin lim )3,0()3,(lim 00 11、设函数2x z y =,则全微分dz =dy xy ydx yx x 1222ln 2-+ 解:dy xy ydx y dz x x 1222ln 2-+=二、计算题(共52分)1、(6分)计算0-⎰ 解:被积函数在积分区域上连续所以0-⎰2ln 32332124-=-=⎰=+dt t t t x 2、(6分)计算222||2x x dx x -++⎰解:利用定积分的奇偶性222||2x x dx x -++⎰3ln )2ln(222202202222=+=+=+=⎰⎰-x dx x x dx x x 3、(6分)计算401x dx x+∞+⎰ 解:401x dx x +∞+⎰4arctan 21)(121020222π==+=∞+∞+⎰x x dx 4、(6分)计算1sin(ln )e x dx ⎰ 解:1sin(ln )ex dx ⎰⎰⎰-===101010ln cos )sin (sin tdt e t e de t t t t t x ⎰⎰--=-=101010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t所以1sin(ln )e x dx ⎰)11cos 1sin (21+-=e e 5、(6分)求微分方程12sin ,()xy y x y ππ'+==的特解6、(6分)求微分方程ln 0dy x y y dx-=的通解。

⾼等数学1期中考试试题参考答案《⾼等数学（Ⅰ）》试卷学院：______ 班级：_____学号：________姓名：________任课教师：_____⼀、选择题（每题2分，共16分）1、下列极限存在的是…………………………………………………………( ) （A ）xx 21l i m ∞→（B ） 1310lim -→x x （C ） e x 1l i m ∞→（D ） xx 3lim ∞→2、0)(lim =→x f ax ，∞=→)(lim x g ax ，则下列不正确的是…………………………( )（A ） ∞=+→)]()([lim x g x f ax （B ） ∞=→)]()([lim x g x f ax（C ） 0][lim )()(1=+→x g x f ax （D ） 0)](/)(lim[=→x g x f ax3、,0)(lim >=→A x f ax ,0)(lim <=→B x g ax 则下列正确的是…………………………( )（A ） f (x )>0, （B ） g(x )<0, （C ） f (x )>g (x ) （D ）存在a 的⼀个空⼼邻域，使f (x )g (x )<0。

4、已知， ,2lim )(0=→xx f x 则=→)2x (sin3x 0f x ………………………………………………( )（A ） 2/3, （B ） 3/2 （C ） 3/4 （D ）不能确定。

5、若函数在[1，2]上连续，则下列关于函数在此区间上的叙述，不正确的是……（）（A ）有最⼤值（B ）有界（C ）有零点（D ）有最⼩值6、下列对于函数y =x cos x 的叙述，正确的⼀个是………………………………………( ) （A ）有界，且是当x 趋于⽆穷时的⽆穷⼤，（B ）有界，但不是当x 趋于⽆穷时的⽆穷⼤，（C ）⽆界，且是当x 趋于⽆穷时的⽆穷⼤，（D ）⽆界，但不是当x 趋于⽆穷时的⽆穷⼤。

高数期中考试试题高数期中考试试题一、概述高等数学是大学理工科专业中的一门重要课程，也是对学生数学思维和逻辑推理能力的一次全面考验。

期中考试是对学生基础知识和能力的一次检验，下面将给出一些典型的高数期中考试试题，帮助学生更好地复习和备考。

二、选择题1. 设函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 4，求f'(x)的导函数。

2. 已知函数f(x) = ln(x^2 + 1)，求f'(x)的导函数。

3. 求曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x的拐点坐标。

4. 设函数f(x) = sin^2(x)，求f''(x)的导函数。

5. 求函数f(x) = e^x在点x = 1处的切线方程。

三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的最大值和最小值。

解：首先求f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，令f'(x) = 0，解得x = 1和x = 2。

将x = 1和x = 2代入f(x)得到f(1) = 0和f(2) = 2。

由于f''(x) = 6x - 6 > 0，所以x = 1是最小值点，x = 2是最大值点。

因此，f(x)的最小值为0，最大值为2。

2. 求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的反函数。

解：令y = ln(x^2 + 1)，则e^y = x^2 + 1，再令u = x^2 + 1，则e^y = u。

对u求导得到du/dx = 2x，对e^y = u求导得到d(e^y)/dy * dy/dx = 1，即e^y * dy/dx = 1。

将du/dx = 2x和e^y * dy/dx = 1代入，得到2x = 1，解得x = 1/2。

因此，函数f(x) = ln(x^2 + 1)的反函数为f^(-1)(x) = sqrt(e^x - 1)。

四、证明题证明：对任意实数x，有sin^2(x) + cos^2(x) = 1。

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高一数学期中考试试卷及答案（考试时间：120分钟）一、 选择题（10⨯5分）1． 下列四个集合中，是空集的是（ ）A ． }33|{=+x xB ． },,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ． }0|{2≤x xD ． },01|{2R x x x x ∈=+- 2． 下面有四个命题: （1）集合N 中最小的数是1； （2)若a -不属于N ,则a 属于N ； (3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2； （4）x x 212=+的解可表示为{}1,1；其中正确命题的个数为( ）A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个 3． 若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长,则△ABC 一定不是（ ）A ． 锐角三角形B ． 直角三角形C ． 钝角三角形D ． 等腰三角形4． 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A ． )2()1()23(f f f <-<- B ． )2()23()1(f f f <-<-C ． )2()1()2(-<-<f f f D ． )1()23()2(-<-<f f f5． 下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（) A ． x y = B ． x y -=3 C ． xy 1= D ． 42+-=x y6． 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x =⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f ．A ． ⑴、⑵B ． ⑵、⑶C ． ⑷D ． ⑶、⑸ 7 。

高等数学期中试题一、填空题（每题3分，共15分）1、262sin0lim(1)x x x →+= ;2、设21y x ，则dy ；3、0000(2)()()2,lim h f x h f x f x h→+-'== ;4、曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ; 5、当0x →时，21cos 2x kx -，k = 。

二、选择题（每题3分，共15分）1、21()1x f x x 在1x 处为 （ ） A 无穷间断点； B 第一类可去间断点 ；C 第一类跳跃间断点 ；D 震荡间断点。

2、()1xf x x ，则(4)(0)f =（ ）A 4!-；B 4!；C 5!- ；D 5! 。

3、若()()f x f x =--，在()0,+∞内()()'0,''0f x f x >>，则在(),0-∞内（ ）.A ()()'0,''0f x f x <<；B ()()'0,''0f x f x <>；C ()()'0,''0f x f x ><；D ()()'0,''0f x f x >>.4.设3()(1)f x x x x =--，()f x 不可导点的个数为（ ）A 0；B 1；C 2 ；D 3 。

5.设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =处连续，但又不可导，又()'g a 存在，则()0g a =是()F x 在x a =处可导的（ ）条件.A 充要；B 充分非必要；C 必要非充分；D 非充分非必要三、求下列极限（20分）1．)tan 11(lim 20x x x x -→ ； 2. 2tan )1(lim 21x x x π-→；3.x x x x 10)cos sin 2(lim +→； 4．)2112111(lim n n +++++++∞→四、求下列导数或微分（20分）1．,2222x x x x y +++=求：y '2．)(,)(ln )(x f e x f y x f ⋅=二阶可导，求：dy dx3．33cos sin x t y t⎧=⎨=⎩求：224d ydx x π= 4．设)(x y y =是由方程arctan y x =所确定的函数，求：dy dx 。

2019－2020学年度上学期期中考试高一年级数学参考答案一．选择题：1.A2.A3.B4.D5.C6.D7.D 8.D 9.A 10.B 11.D 12.B二．填空题：13. (1,1)(1,)-⋃+∞ 14. (,3)(1,)-∞-⋃+∞15. ①③ 16. 17(2,]4 三．解答题17. 解：（1）原式= 231(212+++-=（2）原式=242lg5lg 2(2lg 2)(lg 2)++-+42lg52lg 26=++=18.解：(1)根据题意,当m =2时,A ={x|1≤x ≤7},B ={x|−2<x <4}, 则A ∪B ={x|−2<x ≤7},又∁R A ={x|x <1或x >7},则(∁R A)∩B ={x|−2<x <1}；(2)根据题意,若A B B ⋃=,则A ⊆B ,分2种情况讨论：①当A =⌀时,有m −1>2m +3,解可得m <−4,②当A ≠⌀时,若有A ⊆B ,必有{m −1≤2m +3m −1>−22m +3<4,解可得−1<m <12,综上可得：m 的取值范围是：(−∞,−4)∪(−1,12).19.解：(1)由题意可知f(x)定义域在R 上的奇函数可得f(0)=0,f(2)=65即： {f(0)=a+b+12=0f(2)=4a+b+15=65,解得：{a =2b =−3 即实数a =2、b =−3 临川一中 临川一中实验学校(2)由(1)f(x)=2⋅2x −22x +1=2−42x +1函数f(x)在R 上为增函数,证明：在R 上任x 1,x 2,且x 1<x 2,则f(x 1)−f(x 2)=2−42x 1+1−(2−42x 2+1)=4(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1) ∵x 1<x 2,∴0<2x 1<2x 2,∴4(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1)<0 即f(x 1)−f(x 2)<0∴函数f(x)在R 上为增函数．(3)不等式：1(1)(22)222[log][log ]0x x f f ---+≥ 等价转化为：1(1)(22)222[log][log ]x x f f --≥-- ∵f(x)定义域在R 上的奇函数 1(1)(22)222[log ][log ]x x f f --≥ 又∵函数f(x)是R 上的增函数, 由110222011222x x x x ⎧->⎪⎪->⎨⎪⎪-≥-⎩解得： {x >1x <2x ≤65 ∴原不等式的解集为{x|1<x ≤65}. 20.解：(1)由题意知,当0≤x ≤8时,y =0.6x +0.2(14−x)−120x 2=−120x 2+25x +145 当8<x ≤14时,y =0.6x +0.2(14−x)−3x+810=110x +2, 即y ={−120x2+25x +145,0≤x ≤8110x +2,8<x ≤14 (2)当0≤x ≤8时,y =−120x 2+25x +145=−120(x −4)2+185, 所以 当x =4时,y max =185. 当8<x ≤14时,y =110x +2,所以当x =14时,y max =175因为 185>175,所以当x =4时,y max =185．答：当精加工蔬菜4吨时,总利润最大,最大利润为185万21.解：(1)因为函数f(x)=√x 在区间[0,1]上的值域为[0,1],所以f(x)=√x 是“优美函数”,此时a =0,b =1.(2)因为函数f(x)=√x +t 为递增函数,要使f(x)在定义域区间上存在[a,b],使得f(x)的值域[a,b],则只需√x +t =x 有两个不等的实根,由√x +t =x 得x 2−x −t =0在[0,+∞)有两个不等的实根,{Δ=1+4t >0x 1+x 2>0x 1x 2≥0 解得t ∈(−14,0].(3)由题意得{m −√a +3=b m −√b +3=a两式相减,得√b +3−√a +3=b −a ,可得√b +3+√a +3=1.①将①式代入方程组得{m −(1−√b +3)=b m −(1−√a +3)=a ∴a ,b 是方程m −1+√x +3=x 的两根． 令√x +3=t ∴t 2−t −m −2=0在[0,+∞)上有两个不同的实根． ∴m ∈(−94,−2]． 22. 解： （1）因为函数2()h x x bx c =++是偶函数，所以(2)420(2)420h b c h b c -=-+=⎧⎨=++=⎩，解得0,4b c ==-.故2()4h x x =-，244()x f x x x x -==-. 当[1,2]x ∈时，函数4y x=-和y x =都是单调递增函数， 故函数()f x 在[1,2]上单调递增，(1)143f =-=-，(2)220f =-=，所以当[1,2]x ∈时，函数()f x 的值域是[]30-,.（2）22216444()2()()2()8F x x a x x a x x x x x =+--=---+, 令4m x x=-，由（1）知[]30m ∈-,，则2()28F x m am =-+， 因为二次函数228y m am =-+开口向上，对称轴为x a =，故3a <-时，228y m am =-+在[]30-,上单调递增，最小值为617a +； 30a -≤≤时，228y m am =-+在[]3a -,上单调递减，在(],0a 上单调递增，最小值为28a -；0a >时，228y m am =-+在[]30-,上单调递减，最小值为8.故函数()F x 的最小值()()()()2617,38,308,0a a g a a a a ⎧+<-⎪=--≤≤⎨⎪>⎩. （3）当(3,0)a ∈-时，()28g a a =-， 则2()24g a a at >-++即22824a a at ->-++，整理得24a at +>， 因为(3,0)a ∈-，所以4t a a >+对于任意的(3,0)a ∈-恒成立， 令()4T a a a=+， 只需令t 大于()T a 在(3,0)-上的最大值即可.()T a 在()3,2--上单调递增；在()2,0-上单调递减；所以函数()T a 在(3,0)-上的最大值为()42242T -=--=-，故4t >-. 所以实数t 的取值范围是()4,-+∞.。