2017级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A类)

沁县中学2017-2018学年度第二学期期中考试高二数学（理）答题时间：120分钟，满分：150分一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)1．已知复数z 满足，那么的虚部为（） A ．1B ．-iC ．D ．i2. 函数1()f x x=在点（1,1）处的切线方程为：（ ） A.20x y -+= B.20x y --=C.20x y ++=D.20x y +-=3.定积分0⎰的值等于（ ） A.2π B.4π C.12 D.14 4.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A.某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人B.由三角形的性质,推测空间四面体的性质C.平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D.在数列{}n a 中，11=a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--11121n n n a a a ，由此归纳出{}n a 的通项公式 5．曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围成图形面积是（ ） A ．4B ．2C ．D ．36.函数()ln 3f x x x =-的单调递减区间是( )A.(,0)-∞B.1(0,)3C.1(,)3+∞D.(,0)-∞和1(,)3+∞7、函数1()sin 2f x x x =-的图象大致是（ ）8. 已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）A.0x R ∃∈，0()0f x =B.函数()y f x =的图象是中心对称图形C.若是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若是()f x 的极值点，则0'()0f x =9．在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前100个圈中的●的个数是( )A. 12B. 13C. 14D. 1510.已知复数23i -是方程220x px q ++=的一个根，则实数，的值分别是（ ）A.12，26B.24，26C.12，0D.6，8 11.已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+在[1,)+∞上是减函数，则实数的取值范围为（ ） A ．1a < B ．2a ≤ C ．2a < D ．3a ≤12.已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①()f x 为奇函数，()g x 为偶函数； ②(1)0,()0f g x =≠；③当0x >时，总有()()()()f x g x f x g x ''<.则(2)0(2)f xg x ->-的解集为（ ） A ．(1,2)(3,)+∞ B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(3,2)(1,)---+∞ D ．(1,0)(3,)-+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、给出下列不等式:………则按此规律可猜想第个不等式为14、利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++”时，从“k n =”变到 “1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 ________．15.曲线ln y x =上的点到直线230x y -+=的最短距离是________16．若函数32()1f x x x mx =+++在上无极值点，则实数的取值范围是_________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(10分)已知复数226(m 56)3m m z m i m --=++++ （1）m 取什么值时，z 是实数？（2）m 取什么值时，z 是纯虚数？18.(12分) 已知函数21()ln 2f x x x =-. （1）求函数()f x 的极值；（2）求函数()f x 在[1,]e 上的最大值和最小值.19.（12分）数列{}n a 中，)1(1+=n n a n ，前项的和记为． （1）求321,,S S S 的值，并猜想的表达式；（2）请用数学归纳法．．．．．证明你的猜想． 20. (12分)如图计算由直线y ＝6－x ，曲线y ＝8x 以及x 轴所围图形的面积．。

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分2. 函数f(x)在x=a处可导，那么f'(a)等于（）A. f(a)的值B. f(x)在x=a处的斜率C. f(a)的极限D. f(a)的平均变化率3.下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x²B. f(x) = x³C. f(x) = cos(x)D. f(x) = e^x4. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）A. ln|x| + CB. x + CC. 1/x + CD. e^x + C5. 多元函数f(x, y)的偏导数f_x表示（）A. 仅对x求导B. 对x和y同时求导C. x和y的乘积求导D. f对x的积分二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限相等。

（）2. 一切初等函数在其定义域内都可导。

（）3. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调增加，则f'(x)≥0。

（）4. 二重积分可以转化为累次积分。

（）5. 泰勒公式是麦克劳林公式的推广。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在点x=a处的极限为______，记作______。

2. 若f(x) = 3x² 5x + 2，则f'(x) =______。

3. 不定积分∫sin(x)dx的结果是______。

4. 二重积分∬D dA表示______的面积。

5. 泰勒公式中，f(n)(a)表示______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述导数的定义。

2. 解释什么是函数的极值。

3. 简述定积分的基本思想。

4. 举例说明如何应用微分方程解决实际问题。

5. 简述多元函数求导的基本法则。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x) = x²e^x的导数。

2. 计算定积分∫(从0到π) sin(x)dx。

浙江省宁波市诺丁汉大学附中2017届高三下学期期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z 的对应点为1n =()1,1，则2z =( ) AB ．2iCD ．2+2i2．命题p x ∈R ：且满足sin21x =．命题q x ∈R ：且满足tan 1x =．则p 是q 的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知实数,x y 满足不等式组330300x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的取值范围是( )A ．[]13-，B ．[]31--，C ．[]1-，6D ．[]6,1-4．如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于( )A．34+ B．44+ C．34+ D．32+5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0+∞，单调递减，若实数a 满足()()313lo log g 21f a f a f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是( )A ．(]03，B ．103⎛⎤⎥⎝⎦，C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,36．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A B 、，双曲线左顶点为M ，若120AMB ∠=o ，则该双曲线的离心率为( )ABC ．3D ．27．在ABC △中，76cos BC AC C ===，，．若动点P 满足()()213AP AB AC λλλ=-∈R u u u r u u u r u u u r +，，则点P的轨迹与直线BC AC ，所围成的封闭区域的面积为( )A ．5B ．10 C． D．8．已知()()2ln 1,0,x x f x x ax x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，且()()2xg x f x =+有三个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．[)1+∞，C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．(]0,19．已知数列{}a 满足()21413n n n a a a a n +*==--∈N ，，则122017111m a a a =+++L 的整数部分是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数()[)2,bf x x a x a x=++∈+∞，，其中0a b >∈R ，，记(),m a b 为()f x 的最小值，则当(),2m a b =时，b 的取值范围为( )A ．13b >B ．13b <C ．12b >D ．12b <二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知全集为R ，集合{}{}2 31680x A y y x B x x x -==≤=+≤，，，则A B =U ____，A B =R I ð____．12．已知数列{}n a 的前n 项和()2*21n S n n n N =+-∈，则1a =____；数列{}n a 的通项公式为n a ____． 13．已知抛物线()220C y px p =>：的焦点()1,0F ，则p =____；M 是抛物线上的动点，()64A ,，则MA MF +的最小值为____．14．若()()1sin πcos π2x x +++=，则sin2x =____，1tan πsin cos 4xx x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=____． 15．已知直线280x my +-=与圆()224C x m y -+=：相交于A B 、两点，且ABC △为等腰直角三角形，则m =____．16．若正数a b c ，，满足1b c a c a b a b c ++++=+，则a bc+的最小值是____． 17．如图，矩形ABCD中，1AB BC ==，ABD △沿对角线BD 向上翻折，若翻折过程中AC长度在⎣⎦内变化，则点A 所形成的运动轨迹的长度为____．三、解答题：（第18题）18．已知函数()()πsin 03f x x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，＞的图象如图，P 是图象的最高点，Q 是图象的最低点．且PQ =（Ⅰ）求函数()y f x =的解析式；（Ⅱ）将函数()y f x =图象向右平移1个单位后得到函数()y g x =的图象，当[]0,2x ∈时，求函数()()()h x f x g x =g 的最大值．19．三棱锥A BCD -中，E 是BC 的中点，AB AD BD DC =⊥， （Ⅰ）求证：AE BD ⊥；（Ⅱ）若22DB DC ==，且二面角A BD C --为60o ，求AD 与面BCD 所成角的正弦值．20．已知函数()()ln 0af x x a x=+>． （1）判断函数()f x 在(]0,e 上的单调性（e 为自然对数的底）； （2）记()f x '为()f x 的导函数，若函数()()3222g x x x a x f x -=+'在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围．21．已知椭圆22149x y +=上任一点P ，由点P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 在PQ 上，且2PM MQ =u u u u r u u u u r ，点M 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点()02D ，-作直线l 与曲线C 交于A B 、两点，设N 是过点40,17⎛⎫- ⎪⎝⎭且平行于x 轴的直线上一动点，满足ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r（O 为原点），问是否存在这样的直线l ，使得四边形OANB 为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由．22．已知数列{}n a 满足21132n n n a a a a n N *+==+∈，，*，设()2log 1n n b a =+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：()11112231n n n b ++++<≥-L ； （Ⅲ）若2nC n b =，求证：123nn n C C +⎛⎫≤< ⎪⎝⎭．。

2017年山东成人高考专升本高等数学(二)真题及答案一、选择题：1－10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将近选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。

确答案：A【解析】根据函数的连续性立即得出结果【点评】这是计算极限最常见的题型。

在教学中一直被高度重视。

正确答案：【解析】使用基本初等函数求导公式【点评】基本初等函数求导公式是历年必考的内容，我们要求考生必须牢记。

正确答案：C【解析】使用基本初等函数求导公式【点评】基本初等函数求导公式是历年必考的内容，我们要求考生必须牢记。

【答案】D【解析】本题考查一阶求导简单题，根据前两个求导公式选D正确答案：D【解析】如果知道基本初等函数则易知答案；也能根据导数的符号确定【点评】这是判断函数单调性比较简单的题型。

正确答案：A【解析】基本积分公式【点评】这是每年都有的题目。

【点评】用定积分计算平面图形面积在历年考试中，只有一两年未考。

应当也一直是教学的重点正确答案：C【解析】变上限定积分求导【点评】这类问题一直是考试的热点。

正确答案：D【解析】把x看成常数，对y求偏导【点评】本题属于基本题目，是年年考试都有的内容【点评】古典概型问题的特点是，只要做过一次再做就不难了。

二、填空题：11－20小题，每小题4分，共40分，把答案写在答题卡相应题号后。

【解析】直接代公式即可。

【点评】又一种典型的极限问题，考试的频率很高。

【答案】0【解析】考查极限将1代入即可，【点评】极限的简单计算。

【点评】这道题有点难度，以往试题也少见。

【解析】求二阶导数并令等于零。

解方程。

题目已经说明是拐点，就无需再判断【点评】本题是一般的常见题型，难度不大。

【解析】先求一阶导数，再求二阶【点评】基本题目。

正确答案：2【解析】求出函数在x=0处的导数即可【点评】考查导数的几何意义，因为不是求切线方程所以更简单了。

【点评】这题有些难度。

很多人不一定能看出头一步。

浙江省宁波市诺丁汉大学附中2017届高三下学期期中数学试卷答 案1~5．BCCAC 6~10．DAABD11．(]0,4；()02，． 12．2；2,121,2n n n =⎧=⎨+≥⎩13．2；714．34-； 15．2或1416．521718．解：（Ⅰ）过P 作x 轴的垂线PM 过Q 作y 轴的垂线QM ，则由已知得2PM =，PQ = 由勾股定理得3QM =， ∴6T =，又2πT ω=，∴π3ω=， ∴函数()y f x =的解析式：()ππsin 33f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（Ⅱ）将函数()y f x =图象向右平移1个单位后得到函数()y g x =的图象， ∴()πsin3g x x =． 函数()()()πππsin sin 333h x f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭g21ππsin cos 2333πx x x =+ 12π2π1cos sin 433x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 12ππ1sin 2364x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭当[]02x ∈，时，2πππ7π,3666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当2πππ362x -=， 即1x =时，()34max h x =． 19．证明：（Ⅰ）如图，取BD 的中点F ，连EF AF ，， Q E 为BC 中点，F 为BD 中点，∴//FE DC ．又BD DC ⊥，∴ BD FE ⊥． Q AB AD =∴BD AF ⊥又AF FE F AF FE =⊂I ，，面AFE ， ∴BD ⊥面AFE ，AE ⊂面AFE ，Q AE BD ⊥，∴BD FE ⊥．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD AF ⊥，∴AFE ∠即为二面角A BD C --的平面角∴60AFE ∠=o Q 2AB AD ==， ∴ABD △为等腰直角三角形，故112AF BD ==， 又1122FE DC ==， ∴2221132cos 121cos60424AE AF FE AF FE AFE =+∠=+-⨯⨯⨯-=o g g ，即2AE =，∴2221AE FE AF +==，∴AE FE ⊥， 又由（1）知BD AE ⊥，且BD FE F =I ，BD ⊂面BDC ，FE ⊂面BDC ，∴AE ⊥平面BDC ，∴ADE ∠就是AD 与面BDC 所成角，在Rt AED △中，2AE AD =，∴AD 与面BDC 所成角的正弦值sin 4AE ADE AD ∠==．20．解：（1）Q ()()ln 0af x x a x=+＞． ∴()221a x af x x x x-'=-+=，若0e a <<，当()0x a ∈，时，()0f x '<，函数()f x 在(]0a ，上单调递减， 当()e x a ∈，时，()0f x '>，函数()f x 在(],e a 上单调递增， 若e a ≥，()0f x '<，函数()f x 在(]0,e 上单调递减． （2）()()3223222g x x x x f x x ax x a a =+'-=+--∴()231g x x ax '=-+Q 函数()()322g x x x x f x =+'-在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，等价于关于x 的方程2310x ax +=-在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有异号实根，Q 231x a x+=，又13a x x =+在12⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，∴283a ≤<，当a =())210g x '=≥不存在极值，∴实数a的取值范围为283⎛⎫ ⎪⎝⎭） 21．解：（1）设()M x y ，是曲线C 上任一点，因为PM x ⊥轴，2PM MQ =u u u u r u u u u r，所以点P 的坐标为()3x y ，点P 在椭圆22149x y +=上，所以()223149y x +=，因此曲线C 的方程是2214x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足条件所以设直线l 的方程为2y kx =-与椭圆交于()()1122A x y B x y N ，，，，点所在直线方程为4,17y =由22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +-+=，1212221612,1414k x x x x k k +==++， 由()2221648140k k ∆=-+>得234k >即k ><因为ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OANB 为平行四边形 假设存在矩形OANB ，则0OA OB =u u u r u u u rg ，即()()()2212121212121212241240x x y y x x k x x k x x k x x k x x +=++-+=+++=-，所以()22212161201414kk k kk +-=++gg 即24,2k k ==± 设()00N x y ，，由ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，得()0121222164444141417k y y y k x x k k -=+=+-=-==-++，即N 点在直线417y =-，所以存在四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为22y x =±-22．解：（Ⅰ）由212n n n a a a +=+，则()2211211n n n n a a a a ++=++=+，由13a =，则0n a >，两边取对数得到()()()22122log 1log 12log 1n n n a a a ++=+=+，即12n n b b +=又()121log 120b a =+=≠，∴{}n b 是以2为公比的等比数列．即2n n b =又Q ()2log 1n n b a =+， ∴221nn a =-（Ⅱ）用数学归纳法证明：1o 当2n =时，左边为111112236++=<=右边，此时不等式成立； 2o 假设当2n k =≥时，不等式成立， 则当1n k =+时，左边11111111232122121k k k k +=+++++++-+-L L 21111111122121222kk k k k k k k k k +<+++<+++<+--6447448L L =右边 ∴当1n k =+时，不等式成立．综上可得：对一切*2n N n ∈≥，，命题成立． （3）证明：由2nC n b =得n c n =，∴1111n nn n C n C n n +⎛⎫+⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 首先012111112nk n n n n n k nC C C C n n n n ⎛⎫+=+++++≥ ⎪⎝⎭L L ， 其次Q ()()()()11111112!n !11knk k n n n k C k n k k k k k k--+=≤≤=-≥--L ， ∴01222111111nk n n n n n n k n C C C C C n n n n n ⎛⎫+=++++++ ⎪⎝⎭L L ，111111111332231n n n<++-+-+-=-<-L ，当1n =时显然成立．所以得证．浙江省宁波市诺丁汉大学附中2017届高三下学期期中数学试卷解析1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的几何意义、运算法则即可得出．【解答】解：在复平面内，复数z的对应点为（1，1），∴z=1+i．z2=（1+i）2=2i，故选：B．2．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由sin2x=1得2x=+2kπ，k∈Z，即x=，k∈Z，由tanx=1，得x=，k∈Z，∴p是q的充要条件．故选：C．3．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x﹣y，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的取值范围．【解答】解：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点B（0，1）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小，最小值z=0﹣1=﹣1当直线y=2x﹣z经过点C（3，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．z的最大值为z=2×3=6，．即﹣1≤z≤6．即[﹣1，6]．故选：C4．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2，底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，根据勾股定理做出三角形的高，写出所有的面积表示式，得到结果．【解答】解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，∴四棱锥的表面积是2×6+2×+6×+=34+6，故选A．5．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），f（log3a）+f （﹣log3a）≥2f（1），即为f（|log3a|）≥f（1），再由f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，得到|log3a|≤1，即有﹣1≤log3a≤1，解出即可．【解答】解：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），由实数a满足f（log3a）+f（）≥2f（1），则有f（log3a）+f（﹣log3a）≥2f（1），即2f（log3a）≥2f（1）即f（log3a）≥f（1），即有f（|log3a|）≥f（1），由于f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则|log3a|≤1，即有﹣1≤log3a≤1，解得≤a≤3．故选C．6．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】依题意，作出图形，易求该双曲线的离心率e===2，从而得到答案．【解答】解：依题意，作图如下：∵OA⊥FA，∠AMO=60°，OM=OA，∴△AMO为等边三角形，∴OA=OM=a，在直角三角形OAF中，OF=c，∴该双曲线的离心率e====2，故选：D．7．【考点】98：向量的加法及其几何意义；HP：正弦定理．【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．【解答】解：设=，∵=（1﹣λ）+=（1﹣λ）+λ∴B，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线BC．在△ABC中，BC=7，AC=6，cosC=，∴sinC=∴S△ABC=×7×6×=15，∴S△BCD=S△ABC=5．故选：A8．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】根据图象得出g（x）在（﹣∞，0）上的零点个数，得出g（x）在[0，+∞）上的零点个数，利用二次函数的性质得出a的范围．【解答】解：令g（x）=0得f（x）=﹣，作出f（x）=ln（1﹣x）与y=﹣的函数图象，由图象可知f（x）与y=﹣在（﹣∞，0）上只有1个交点，∴g（x）=0在（﹣∞，0）上只有1个零点，∴f（x）=﹣在[0，+∞）上有2个零点，即得到x2﹣ax+=0在[0，+∞）上有两解，解方程x2﹣ax+=0得x1=0，x2=a﹣，∴a﹣＞0，即a．故选A．9．【考点】8E：数列的求和．【分析】先判断数列{a n}是单调递增数列，再根据数列的递推公式利用裂项求和即可得到m=++…+ =3﹣，再根据数列的单调性判断出a2018＞2，问题得以解决【解答】解：∵a=，a n+1﹣1=a n2﹣a n（n∈N*），∴a n+1﹣a n=a n2+1＞0，∴a n+1＞a n，∴数列{a n}是单调递增数列，由a n+1﹣1=a n2﹣a n=a n（a n﹣1），∴==﹣，∴=﹣，∴m=++…+=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=3﹣，由a=＞1，则a n+1﹣a n=（a n﹣1）2＞0，∴a2=1+，a3=1+，a4=1+＞2，…，a2018＞2，∴0＜＜1，∴2＜m＜3，∴整数部分是2，故选：B10．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】求出f（x）的导数，讨论当b≤0时，当b＞0时，判断函数f（x）的单调性，可得f（x）的最小值，解方程可得b的范围．【解答】解：函数f（x）=x++a，x∈[a，+∞），导数f′（x）=1﹣，当b≤0时，f′（x）＞0，f（x）在x∈[a，+∞）递增，可得f（a）取得最小值，且为2a+，由题意可得2a+=2，a＞0，b≤0方程有解；当b＞0时，由f′（x）=1﹣=0，可得x=（负的舍去），当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，+∞）递增，可得f（a）为最小值，且有2a+=2，a＞0，b＞0，方程有解；当a＜时，f（x）在[a，）递减，在（，+∞）递增，可得f（）为最小值，且有a+2=2，即a=2﹣2＞0，解得0＜b＜．综上可得b的取值范围是（﹣∞，）．故选：D．11．【考点】1H：交、并、补集的混合运算；1D：并集及其运算．【分析】求函数值域得集合A，解不等式求集合B，根据集合的运算性质计算即可．【解答】解：全集为R，集合A={y|y=3x，x≤1}={y|y≤3}=（0，3]，B={x|x2﹣6x+8≤0}={x|2≤x≤4}=[2，4]∴A∪B=（0，4]，∁R B=（﹣∞，2）∪（4，+∞），∴A∩∁R B=（0，2）．故答案为：（0，4]、（0，2）．12．【考点】8H：数列递推式．【分析】本题直接利用数列前n项和与数列通项的关系，可得到本题结论【解答】解：∵S n=n2+2n﹣1，当n=1时，a1=1+2﹣1=2，当n≥2时，∴a n=S n﹣S n﹣1=n2+2n﹣1﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣1]=2n+1，∵当n=1时，a1=﹣2+1=3≠2，∴a n=，故答案为：2，=．13．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据焦点坐标，求出p，求出准线方程，把|MA|+|MF|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值．【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），∴=1，∴p=2．准线方程为x=﹣1，设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=6﹣（﹣1）=7，故答案为2，7．14．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式求得sinx+cosx=﹣，两边平方，根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式即可求得sinx2x=﹣， =，化简整理即可求得答案．【解答】解：sin（π+x）+cos（π+x）=﹣sinx﹣cosx=，即sinx+cosx=﹣，两边平方得：sin2x+2sinxcosx+cos2x=，即1+sin2x=，则sinx2x=﹣，由=====﹣，故答案为：﹣，﹣．15．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由三角形ABC 为等腰直角三角形，得到圆心C 到直线的距离d =rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a 的值．【解答】解：∵由题意得到△ABC 为等腰直角三角形， ∴圆心C （m ，0）到直线2x +my ﹣8=0的距离d =rsin45°，即=，解得：m =2或14， 故答案为2或14．16．【考点】7F ：基本不等式． 【分析】根据题意，对+=+1变形可得++=2（）+1，又由基本不等式的性质分析可得++=+++++≥6，即可得2（）+1≥6，化简可得答案． 【解答】解：根据题意，若+=+1，则有++=2（）+1，而++=+++++=（+）+（+）+（+）≥2+2+2=6，则有2（）+1≥6， 化简可得≥，即的最小值是；故答案为：．17．【考点】J3：轨迹方程．【分析】过A 作BD 的垂线AE ，则A 点轨迹是以E 为圆心的圆弧，以E 为原点建立坐标系，设二面角A ﹣BD ﹣A ′的大小为θ，用θ表示出A 和C 的坐标，利用距离公式计算θ的范围，从而确定圆弧对应圆心角的大小，进而计算出圆弧长．【解答】解：过A 作AE BD ⊥，垂足为E ，连接CE A E '，．∵矩形ABCD 中，1AB BC =，∴22AE CE ==．∴A 点的轨迹为以E 为半径的圆弧． A EA ∠'为二面角A BD A -'-的平面角．以E 为原点，以EB EA EA '，，为坐标轴建立空间直角坐标系E xyz -， 设A EA θ∠'=，则022A θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，102C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭-，，∴AC =解得10cos 2θ≤≤，∴6090θ≤≤o o ，∴A 点轨迹的圆心角为30o ， ∴A 点轨迹的长度为=．故答案为：18．【考点】HK ：由y =Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式；HJ ：函数y =Asin （ωx +φ）的图象变换． 【分析】（Ⅰ）由余弦定理得cos ∠POQ 的值，可得sin ∠POQ ，求出P 的坐标可得A 的值，再由函数的周期求出ω的值，再把点P 的坐标代入函数解析式求出φ，即可求得 y =f （x ） 的解析式．（Ⅱ）求出g （x ） 的解析式，化简h （x ）=f （x ）g （x ）的解析式，再根据x 的范围求出h （x ） 的值域，从而求得h （x ） 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）过P 作x 轴的垂线PM 过Q 作y 轴的垂线QM ，则由已知得2PM =，PQ =勾股定理得3QM =，∴6T =， 又2πT ω=，∴π3ω=， ∴函数()y f x =的解析式：()ππsin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）将函数()y f x =图象向右平移1个单位后得到函数()y g x =的图象， ∴()πsin3g x x =．函数()()()2πππ1ππsin sin sincos 3332π333h x f x g x x x x x x ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭g12π2π12ππ11cos sin sin 4332364x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当[]02x ∈，时，2πππ7π,3666⎡⎤⨯-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当2πππ362⨯-=， 即1x =时，()34max h x =． 19．【考点】MI ：直线与平面所成的角；LO ：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I ）取BD 的中点F ，连EF ，AF ，推导出FE ∥DC ．从而BD ⊥FE ．再求出BD ⊥AF ，从而BD ⊥面AFE ，由此能证明BD ⊥FE ．（II ）由BD ⊥AF ，得∠AFE 即为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，由此能求出AD 与面BCD 所成角的正弦值． 【解答】证明：（I ）如图，取BD 的中点F ，连EF AF ，， ∵E 为BC 中点，F 为BD 中点，∴//FE DC ． 又BD DC ⊥，∴BD FE ⊥． ∵AB AD =∴BD AF ⊥又AF FE F AF FE =⊂I ，，面AFE ， ∴BD ⊥面AFE ，AE ⊂面AFE ， ∵AE BD ⊥，∴BD FE ⊥． 解：（II ）由（I ）知BD AF ⊥，∴AFE ∠即为二面角A BD C --的平面角 ∴60AFE ∠=o ∵2AB AD ==， ∴ABD V 为等腰直角三角形，故112AF BD ==， 又1122FE DC ==， ∴2221132cos 121cos60424AE AF FE AF FE AFE =+∠=+-⨯⨯⨯-=o g g，即AE =2221AE FE AF +==，∴AE FE ⊥， 又由（1）知BD AE ⊥，且BD FE F =I ，BD ⊂面BDC ，FE ⊂面BDC ，∴AE ⊥平面BDC ，∴ADE ∠就是AD 与面BDC 所成角，在Rt AED V 中，2AE AD ==，∴AD 与面BDC 所成角的正弦值sin AE ADE AD ∠=．20．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6D ：利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）先求导，再根据a 与e 的关系，得到函数的单调区间，（2）先求出g （x ），再求导，函数g （x ）有极值等价于关于x 的方程3x 2﹣ax +1=0在区间（，3）上有异号实根，继而求得a 的范围． 【解答】解：（1）∵()()ln 0af x x a x=+＞． ∴()221a x a f x x x x-'=-+=， 若0e a <<，当()0x a ∈，时，()0f x '<，函数()f x 在(]0a ，上单调递减， 当()e x a ∈，时，()0f x '>，函数()f x 在(],e a 上单调递增， 若e a ≥，()0f x '<，函数()f x 在(]0,e 上单调递减． （2）()()3223222g x x x x f x x ax x a a =+'-=+--∴()231g x x ax '=-+∵函数()()322g x x x x f x =+'-在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，等价于关于x 的方程2310x ax +=-在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有异号实根，∵231x a x+=，又13a x x =+在12⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，∴283a ≤<，当a =())210g x '=≥不存在极值，∴实数a 的取值范围为283⎛⎫ ⎪⎝⎭）21．【分析】（1）设M （x ，y ）是所求曲线上的任意一点，然后得出的坐标代入方程，化简即可求出轨迹C 的方程．（2）设出直线l 的方程，以及与椭圆的交点坐标，将直线方程代入已知C 的方程，联立并化简，根据根的判别式计算【解答】解：（1）设()M x y ，是曲线C 上任一点，因为PM x ⊥轴，2PM MQ =u u u u r u u u u r，所以点P 的坐标为()3x y ，点P 在椭圆22149x y +=上，所以()223149y x +=，因此曲线C 的方程是2214x y +=…（2）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足条件所以设直线l 的方程为2y kx =-与椭圆交于()()1122A x y B x y N ，，，，点所在直线方程为4,17y =由22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +-+=， (1212)221612,1414k x x x x k k +==++，… 由()2221648140k k ∆=-+>得234k >即k ><因为ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OANB 为平行四边形，…假设存在矩形OANB ，则OA OB =u u u r u u u r g ，即()()()2212121212121212241240x x y y x x k x x k x x k x x k x x +=++-+=+++=-，所以()22212161201414kk k kk +-=++gg 即24,2k k ==±… 设()00N x y ，，由ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，得()0121222164444141417k y y y k x x k k -=+=+-=-==-++， 即N 点在直线417y =-，所以存在四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为22y x =±-…22．【考点】8K ：数列与不等式的综合；8H ：数列递推式． 【分析】（I ）由题意可知：，，两边取对数，即可求得b n +1=2b n ，则{b n }是以2为公比的等比数列，利用等比数列通项公式即可求得a n ，代入即可求得a n ； （II ）利用数学归纳法即可求证1+++…+＜n （n ≥2）；（III ）．证明：由得c n =n ，，利用二项式定理展开，，当n =1时显然成立．所以得证．【解答】解：（I ）由212n n n a a a +=+，则()2211211n n n n a a a a ++=++=+，由13a =，则0n a >，两边取对数得到()()()22122log 1log 12log 1n n n a a a ++=+=+，即12n n b b +=又()121log 120b a =+=≠，∴{}n b 是以2为公比的等比数列．即2n n b =又∵()2log 1n n b a =+， ∴221nn a =-（2）用数学归纳法证明：1o 当2n =时，左边为111112236++=<=右边，此时不等式成立； 2o 假设当2n k =≥时，不等式成立， 则当1n k =+时，左边11111111232122121k k k k +=+++++++-+-L L 21111111122121222kk k k k k k k k k +<+++<+++<+--6447448L L =右边 ∴当1n k =+时，不等式成立．综上可得：对一切*2n N n ∈≥，，命题成立． （3）证明：由2nC n b =得n c n =，∴1111nnn n C n C n n +⎛⎫+⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，首先012111112nk n n n n n k nC C C C n n n n ⎛⎫+=+++++≥ ⎪⎝⎭L L ， 其次∵()()()()11111112!n !11knk k n n n k C k n k k k k k k--+=≤≤=-≥--L ， ∴01222111111nk n n n n n n k n C C C C C n n n n n ⎛⎫+=++++++ ⎪⎝⎭L L ， 111111111332231n n n<++-+-+-=-<-L ，当1n =时显然成立．所以得证．。

2017级第二学期《高等数学》期中考试试卷 (A 类)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 已知函数sin(23)z x y =+，则734(0,0)z x y ∂=∂∂ （ ）（A ）32-； （B ）43； （C ）3423-⋅； （D ）3423⋅。

2. 设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =，则 （ ）（A ）(0,0)d 3d 4d z x y =+ ；（B ）曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为(3,1,1)；（C ）曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为(3,0,1)； （D ）曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为(1,0,3)。

3. 曲线3cos x t =，4sin y t =，z t =在0t =处的法平面方程是 （ ）（A ）40y z -=； （B ）40y z +=；（C ）3041x y z -==； （D ）3041x y z -==-。

4. 设常数0a >，平面闭区域{(,)|,}D x y x y a a x a =≤≤-≤≤，1{(,)|,0}D x y x y a x a =≤≤≤≤，则(cos sin )d Dxy x y σ+=⎰⎰ （ ） （A ）12cos sin d D x y σ⎰⎰； （B ）12d D xy σ⎰⎰； （C ）12(cos sin )d D xy x y σ+⎰⎰； （D ）14(cos sin )d D xy x y σ+⎰⎰。

5. 已知函数(,)f x y 在点(0,0)O 的某个邻域(,)U O δ内有定义。

对于下列两个命题（I ）若(,)f x y 在点O 连续，且2200(,)(0,0)lim 01sin cos x y f x y f A x x y y →→-=>+--，则(,)f x y 在点O 取到极大值；（II ）若在(,)U O δ中(,)xy f x y 和(,)yx f x y 均存在，且极限00lim xy x y f A →→=和00lim yx x y f B →→=也均存在，则A B =；下列选项正确的是 （ ）（A ）仅（I ）正确； （B ）仅（II ）正确；（C ）（I ）和（II ）都正确； （D ）（I ）和（II ）都错误。

浙江省诸暨市2016-2017学年高二数学下学期期中试题（A ）一、 选择题（每小题4分，共48分）1．曲线313y x =在1x =处的切线的倾斜角为 （ ） A. 1 B. 4π- C. 4π D. 54π2．已知复数2i1i z +=-（i 为虚数单位），那么z 的共轭复数为 （ ）A. 33i 22+B. 13i 22-C. 13i 22+D. 33i 22-3. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为,,a b c ，当且仅当,a b b c ><时称为“凹数”（如213），若{},,1,2,3,4a b c ∈，且,,a b c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的有（ ）个A. 6B. 7C. 8D. 94. 书架上有2本不同的语文书，1本数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是语文书的概率为 （ ） A.31 B. 21 C. 32 D. 435. ()52y x x +-的展开式中，34y x的系数为 （ ）A. 8B. 9C. 10D. 126. 若n n x a x a x a a x +++=-22102013)21()(R x ∈，则201420133221222a a a ++值为 A. 1 B. 0 C.21-D. （ ） 7. 《中国诗词大会》（第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ）A. 144种B. 288种C. 360种D. 720种8. 定义方程()()f x f x ='的实数根0x 叫做函数的“新驻点”，若函数x x g =)(，()1ln )(+=x x h ，1)(3-=x x t 的“新驻点”分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B.b a c >>C. a c b >>D. b a c >>9. 设函数()()0sin f x x =，定义()()()()10'f x f f x ⎡⎤=⎣⎦， ()()()()21'f x f f x ⎡⎤=⎣⎦，…，()()()()1'n n f x f f x -⎡⎤=⎣⎦，则()()()()()()()()123201715151515f f f f ︒+︒+︒+⋯+︒的值是（ ）10. 设曲线()1*n y x n N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则2017120172log log x x ++⋯+ 20172016log x 的值为（ ）A. 2017log 2016-B. 1-C. 2017log 20161-D. 1 11. 已知()()()2017201722102017111)21(-++-+-+=-x a x a x a a x ，则20172016432120172016432a a a a a a ++-+- （ ）A. 2017B. 4034C.—4034D. 012. 8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法？ （ ）A. 1094B. 966C. 5796D.6561 注意：选择题答案涂在答题卡上二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 与直线2610x y -+=垂直，且与曲线()3231f x x x =+-相切的直线方程是__________． 14. 若函数x e mx x x f )()(2+=的单调减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,23,则实数m 的值为__________．15. 二项式n⎛⎝的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项为160-，则a =_____16 若直线b kx y +=是曲线2+=x e y 的切线，也是曲线1+=x e y 的切线，则b=__________． 17.若复数1z ，2z 满足12z =，23z =，123322z z i -=-，则=⋅21z z .18. 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 种。

2017春期期中考试 高二数学（理）一.选择题：1.复数i iz 2121-+=的实部与虚部的和等于（ C ） A ．i 5453+- B ． i 541+ C ．51 D ．59解析：i i i i z 54535432121+-=+-=-+=2.汽车以13+=t V (单位：s m /)作变速直线运动时，在第s 1至第s 2间的s 1内经过的位移是( C ) A.m 5.4 B.m 5 C.m 5.5 D.m 6 解析：5.5|)23()13(21212=+=+=⎰t t dt t S3.下列命题错误．．的是( B )． A ．三角形中至少．．有一个内角不小于60°； B ．对任意的R a ∈，函数12131)(23+++=ax ax x x f 至少．．存在一个极值点. C ．闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多．．有一个零点； D ．在锐角．．三角形中，任意．．一个角的正弦大于另两个角的余弦； 解析：a ax x x f ++=2)('，当042≤-=∆a a ，即40≤≤a 时，)(x f 是单调增加的，不存在极值点，故B错误．4．已知函数xe x x xf )2()(3-=，则xf x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim 0的值为（D ）A ．e -B ．1C ．eD ．0解析：)1(')1()1(limf xf x f x =∆-∆+→∆5．若曲线1sin )(+=x x x f 在点)12,2(+ππ处的切线与直线012=+-y ax 互相垂直，则实数=a （A ）A ．－2B ．2C ． 1D ．－1解析：12cos22sin)2('=+=ππππf ，所以，12)2('-=⋅af π，得2-=a6.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅．生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.第12行的实心圆点的个数为（ B ）. A. 88 B. 89 C.90 D.91解析：第n 行实心圆点有n a 个，空心圆点有n b 个，由树形图的生长规律可得⎩⎨⎧+==---111n n n n n b a a a b ，∴21--+=n n n a a a （即斐波那契数列），可得数列}{n a 为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…， 即8912=a7.设)('x f 是函数)(x f 的导函数，)('x f y =的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ C ）8．某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题。

河北定州中学2017-2018学年第二学期高二数学承智班期中考试试题一、单选题1．正方体1111ABCD A BC D -棱长为3，点E 在边BC 上，且满足2BE EC =，动点M 在正方体表面上运动，并且总保持1ME BD ⊥，则动点M 的轨迹的周长为（ ）A. B. C. D.2．如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中,点E 、F 是棱BC 、1CC 的中点, P 是底面ABCD 上（含边界）一动点,满足1A P EF ⊥,则线段1A P 长度的取值范围是( )A. ⎡⎢⎣⎦B. 32⎤⎥⎣⎦C. ⎡⎣D. 3．如图，在单位正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在线段1AD 上运动，给出以下四个命题：①异面直线1A P 与1BC 间的距离为定值； ②三棱锥1D BPC -的体积为定值；③异面直线1C P 与直线1CB 所成的角为定值； ④二面角1P BC D --的大小为定值．其中真命题有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4．现有两个半径为2的小球和两个半径为3的小球两两相切，若第五个小球和它们都相切，则这个小球的半径是 （ ） A.611 B. 311 C. 411 D. 5115．设是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线和的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线和的两个平行平面；③经过直线有且只有一个平面垂直于直线；④经过直线有且只有一个平面平行于直线，其中正确的个数有（ ）A. B. C. D.6．已知12,l l 分别是函数()ln f x x =图像上不同的两点12,P P 处的切线， 12,l l 分别与y 轴交于点,A B ，且1l 与2l 垂直相交于点P ，则ABP ∆的面积的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. ()0,2 C. ()0,+∞ D. ()1,+∞7．已知1F ， 2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ， B 两点， 12AF F ∆的内切圆半径为1r ， 12BF F ∆的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为（ ）A. 1B.C. 2D. 8．设A ， B 为双曲线()22220x y a bλλ-=≠同一条渐近线上的两个不同的点，若向量()0,2n =， 3AB =且1AB nn⋅=-，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 32C. 25D. 3 9．已知双曲线22x 12y -=，直线l 的斜率为-2，与双曲线交于A ，B ，若在双曲线上存在异于A ，B 的一点C ，使直线AB ，BC ，AC 的斜率满足111k AB BC ACk k ++=3，若D ，E ，H 三点为AB ，BC ，AC 的中点，则k OE +k OH =（ ） A. -6 B. 5 C. 6 D. 710．已知抛物线C: 24x y =，直线:1l y =-，PA,PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为A,B ，则“点P 在直线l 上”是“PA ⊥PB ”的( )条件A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充要D. 既不充分也不必要11．已知双曲线C ： 22194x y -=的两条渐近线是1l ， 2l ，点M 是双曲线C 上一点，若点M 到渐近线1l 距离是3，则点M 到渐近线2l 距离是 A.1213 B. 1 C. 3613D. 3 12．已知函数()()()()223x f x x m ae mm R =-+-∈的最小值为910，则正实数a =（ ） A. 3 B. 23e - C. 23e D. 3或23e -二、填空题13．菱形ABC D 边长为6， 60BAD ∠=，将BC D ∆沿对角线BD 翻折使得二面角C BD A --的大小为120，已知A 、B 、C 、D 四点在同一球面上，则球的表面积等于__________．14．如图，等腰PAB 所在平面为α， PA PB ⊥， 6AB =. G 是PAB ∆的重心.平面α内经过点G 的直线l 将PAB 分成两部分，把点P 所在的部分沿直线l 翻折，使点P 到达点'P （'P ∉平面α）.若'P 在平面α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上，则线段'P H 的长度的取值范围是__________．15．过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于22b a(a 、b 分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线222:1x C y a -=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，若点M 是双曲线C 上位于第四象限的任意一点，直线l 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线， MQ l ⊥于点Q ，且1M Q M F +的最小值为3，则双曲线C 的通径为__________.16．已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA , 1BB , 1CC 分别交于三点M , N , Q ,若MNQ ∆为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为____________三、解答题17．四棱锥P A B C D -中,底面A B C D 是边长为2的菱形,侧面PAD ⊥底面A B C D ,BCD ∠=60°, PA PD == E 是BC 中点,点Q 在侧棱PC 上.（Ⅰ）求证: AD PB ⊥;（Ⅱ）是否存在Q ,使平面DEQ ⊥平面PEQ ？若存在,求出,若不存在,说明理由. （Ⅲ）是否存在Q ,使//PA 平面DEQ ？若存在,求出.若不存在,说明理由.18．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，,，,侧面底面,且是以为底的等腰三角形.（Ⅰ）证明：（Ⅱ）若四棱锥的体积等于.问：是否存在过点的平面分别交，于点，使得平面平面？若存在，求出的面积；若不存在，请说明理由.19．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，交y 轴于点,C O 为坐标原点.（1）若4OA OB k k +=,求直线l 的方程；（2）线段AB 的垂直平分线与直线,l x 轴， y 轴分别交于点,,D M N ，求N D CFDMS S ∆∆ 的最小值. 20．已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR∥FQ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.参考答案ADDAC ADBDC 10．C 11．A 12．D 13．84π14．(15．216．17．（I ）详见解析；（II ）详见解析；（III ）详见解析. （Ⅰ）取AD 中点O ,连接,,OP OB BD . 因为PA PD =,所以PO AD ⊥.因为菱形ABCD 中, 60BCD ∠=,所以AB BD =. 所以BO AD ⊥.因为BO PO O ⋂=,且,BO PO ⊂平面POB ,所以AD ⊥平面POB . 所以AD PB ⊥.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ,BO AD PO AD ⊥⊥,因为侧面PAD ⊥底面ABCD ,且平面PAD ⋂底面ABCD AD =,所以PO ⊥底面ABCD .以O 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系O xyz -. 则()()()()1,0,0,,0,0,1,D E P C ---,因为Q 为PC 中点,所以12Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以()10,3,0,0,2DE DQ ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,所以平面DEQ 的法向量为()11,0,0n =. 因为()311,3,0,0,2DC DQ ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,设平面DQC 的法向量为()2,,n x y z =,则220{0DC n DQ n ⋅=⋅=,即301022x yy z -+=+=. 令3x =,则1,y z ==即(23,1,n =.所以12121221cos ,7n n n n n n ⋅==. 由图可知,二面角E DQ C --为锐角, （Ⅲ）设()01PQ PC λλ=≤≤由（Ⅱ）可知()()2,3,1,1,0,1PC PA =--=-. 设(),,Qx y z ,则(),,1PQ x y z =-,又因为()2,PQ PC λλλ==--,所以2{ 1x y z λλ=-==-+,即()2,1Qλλ--+.所以在平面DEQ 中, ()()0,3,0,12,1DE DQ λλ==--, 所以平面DEQ 的法向量为()11,0,21n λλ=--, 又因为//PA 平面DEQ ,所以10PA n ⋅=, 即()()()11210λλ-+--=,解得23λ=.所以当23λ=时,//PA平面DEQ18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.（Ⅰ）证明：取的中点，连接，∵，∴.∵且，∴是正三角形，且，又∵，平面∴平面，且平面∴（Ⅱ）解：存在，理由如下：分别取的中点，连接，则；∵是梯形，且，∴且，则四边形为平行四边形，∴又∵平面，平面 ∴平面，平面且平面，∴平面平面∵侧面，且平面平面由（Ⅰ）知，平面，若四棱锥的体积等于，则，所以在和中，∴，则∴是直角三角形，则.19．（1）10x y +-=；（2）2（1）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由24{1y x x my ==+得y 2－4my －4＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4．所以k OA ＋k OB ＝()121212444y y y y y y ++=＝－4m ＝4． 所以m ＝－1，所以l 的方程为x ＋y －1＝0． （2）由（1）可知，m ≠0，C (0，－1m)，D (2m 2＋1，2m )． 则直线MN 的方程为y －2m ＝－m (x －2m 2－1)，则M (2m 2＋3，0)，N (0，2m 3＋3m )，F (1，0)，S △NDC ＝12·|NC |·|x D |＝12·|2m 3＋3m ＋1m |·(2m 2＋1)＝()2221)212||m m m ++（，S △FDM ＝12·|FM |·|y D |＝12·(2m 2＋2)·2|m |＝2|m | (m 2＋1)， 则NDCFDMS S ∆∆＝()2222221144m m m m+=+＋1≥2， 当且仅当m 2＝214m ，即m 2＝12时取等号． 所以，NDCFDMS S ∆∆的最小值为2． 20．（1）见解析；（2）21y x =- (1)证明 由题意可知F，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，且ab≠0，A ，B，P，Q，R.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b)y ＋ab ＝0. 因为点F 在线段AB 上，所以ab ＋1＝0， 记直线AR 的斜率为k 1，直线FQ 的斜率为k 2，所以k 1＝，k 2＝＝－b ，又因为ab ＋1＝0， 所以k 1＝＝＝＝＝－b ，所以k 1＝k 2，即AR∥FQ.(2)解 设直线AB 与x 轴的交点为D(x 1，0)， 所以S △ABF ＝|a －b|FD ＝|a －b|，又S △PQF ＝，所以由题意可得S △PQF ＝2S △ABF 即：＝2××|a－b|·，解得x 1＝0(舍)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E(x ，y). 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得＝ (x≠1).又＝，所以y2＝x－1(x≠1).当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.。

一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集,集合, ,则集合( )A. B. C. D.【答案】D【解析】，，选D.2. 已知函数, ,则函数的最小正周期、最大值分别为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用辅助角公式进行化简，然后可求得最小正周期和最大值.详解：,其中所以的最小正周期为最大值为故选C.点睛：本题主要考查应用辅助角公式化简三角函数、三角函数的最小正周期和最值，属于基础题。

3. 已知平面平面,且,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先证充分性，再证必要性。

详解：平面平面且，故为充分条件由可知，故为必要条件综上：“”是“”的充要条件选C.点睛：本题主要考查平面与平面之间的位置关系、以及平面与直线、直线与直线之间的位置关系，考查充分必要条件相关知识，考查了学生的空间想象能力、推理论证能力、逻辑思维能力，属于基础题。

4. 椭圆与双曲线有相同的焦点坐标,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，，，（舍去），故选A.5. 已知变量满足约束条件,则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由约束条件作出可行域，由的几何意义求解即可。

详解：由约束条件作出可行域的几何意义是可行域的点与点（0，1）的距离，结合图形可知的最小值为点（0，1）到A(2,2)的距离，即故选B.点睛：本题主要考查线性规划的简单应用，属于基础题。

6. 已知函数和均为上的奇函数, 的最大值为,那么的最小值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据条件构造新函数，判断函数的奇偶性,结合函数奇偶性和最值之间的关系建立方程进行求解即可详解：由，得,函数和均为奇函数,是奇函数,的最大值为5,即,是奇函数,,即所以B选项是正确的点睛：本题主要考查函数的奇偶性和最值，由条件构造新函数，判断函数为奇函数是本题的关键，属于较难题型。

考试答案一、 填空题：w W w .x K b 1.c o M1、 异面、平行；2、1i --；3、24y x =；4、52；5、垂直；6、43y x =±；7、4i -；8、38；9、1(,1)2；10、③④；1112、取1BB 中点R ，P 的轨迹即为线段RC 。

二、选择题：13、A ；14、D ；15、A ；16、A ；17、A ；18、C 三、解答题：19、<1）由(2i)i 5ib c -=-252,5c i bi b c ⇒+=+⇒==………3分故：2250x x ++=两根为1,224122ix i -±==-± 所以：225(12)(12)x x x i x i ++=+++-………6分新 课 标 第 一 网W2WB3qbx5G <2）证明:假设直线AB 与11A B 共面，设该平面为α。

………2分 可知直线AB 与11A B 在平面α上，所以11,,,A B A B α∈……………4分 即11,AA BB αα≠≠⊂⊂即直线,a b 为共面直线，与已知,a b 为异面直线矛盾。

故原假设不成立，则直线AB 与11A B 为异面直线。

……………6分 20、解：<1）12||10F F =………3分 <2）12||||32PF PF ⋅=………4分2221212(||||)36||||100PF PF PF PF -=⇒+=22212121212||||||cos 02||||PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅。

6分122F PF π⇒∠=………8分21、解：(1>222212x y c a a =⇒+=-,将代入，得2224142x y a =⇒+=。

3分<2）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点(,).M x y221112121222122224()()2()024x y y y x x y y x x x y ⎧+=-⇒+++=⎨-+=⎩。

山西省范亭中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理本试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分， 考试时间120分钟第I 卷（选择题）一、 选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1．设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是 ( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．1或－12．若(2)a i i b i -=-，其中,a b R ∈，i 是虚数单位，复数a bi +=（ ）A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -3.sin 47sin17cos30cos17-的值为（ ）A 32-B 12-C 12D 32 4．已知nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12的展开式的各项系数和为32，则展开式中x 的系数为（ ）A.5B.40C.20D.105．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和， 有1038=-S S ，则11S 的值为（ ） A. 22 B. 18 C. 12 D. 44 6．如图所示程序框图运行后输出的结果为 A.36 B.45 C.55 D.56( 题6图 ) 7．若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是（ ） A.245 B. 285C.5D.6 8．下列有关命题的说法正确的是（ ） A ．命题“若1,12==x x 则”的否命题为：“若1,12≠=x x 则”B ．“x=-1”是“0652=--x x ”的必要不充分条件C ．命题“01,2<++∈∃x x R x 使得”的否定是：“01,2<++∈∀x x R x 均有”D ．命题“若y x y x sin sin ,==则”的逆否命题为真命题9．方程0)1lg(122=-+-y x x 所表示的曲线图形是（ ）10．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，则213b a+的最小值为（ ）A ．33B ．233C ．2D ．111．若直线01-+-y x 与圆2)(22=+-y a x 有公共点，则实数a 取值范围是 （A ） [-3，-1] （B ）[-1，3] （C ） [ -3，1] （D ）（-∞，-3]U[1，+∞）12．已知两点(1,0),(1,3),A B O 为坐标原点，点C 在第二象限，且 120=∠AOC ，设2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R 则等于（ ） A ．1- B ．２C ．1D ．2-第II 卷（非选择题） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

卷号：（A ） （ 年 月 日） 机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在 该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ； （B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ； （C ）．10101zy x =-=+； （D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a 且,),(3π=∠b a则_______)()(=+⋅-b a b a 32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。

陕西省西安市17学年高二数学下学期期中试卷文（平行班，含解析）内部文件，版权追溯2021-2021学年陕西省西安市平行班高二（下）期中数学试卷（文科）一、多项选择题（本主题共有12个子题，每个子题得5分，总计60分。

每个子题给出的四个选项中只有一个符合问题要求）1．设复数z=34i（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部是（）a．4b．3c、四,d．4i2.根据流程图的程序进行计算。

如果初始输入值为x=3，则x的输出值为（）a．6b、 21c.156d.2313．下列命题中的真命题是（）a、如果a＞B |，那么a＞BB。

如果a＞b，那么a＞BC。

如果≥ B、然后A2≥ B2D。

如果a>b，C>D，那么AC>BD4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）二2二2a、 6n2b.8n2c.6n+2d.8n+25．关于复数z的方程|zi|=1在复平面上表示的图形是（）a．圆b．椭圆c．抛物线d．双曲线6．有下列关系：其中有相关关系的是（）①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④ 森林中同一棵树的横截面直径和高度之间的关系。

A.① ② ③ B① ② C① ③ ④ D② ③ 7.对于相关系数r，以下陈述是正确的：（1）A.r越大，线性相关度越大-1-b、 R越小，线性相关性越大c．|r|越大，线性相关程度越小，|r|越接近0，线性相关程度越大d、|r|≤ 1，|R |越接近1，线性相关度越大。

|R|越接近0，线性相关度越小。

8.求s=1+3+5+…+的程序框图101如图所示，其中① 应该是（）a．a=101b．a≥101c．a≤101d．a＞1019.用反证法证明命题：“三角形中不能有两个直角”的过程可以概括为以下三个步骤：① a+B+C=90°+90°+C>180°，与三角形内角之和为180°相反，且a=B=90°不成立；② 因此，三角形中不可能有两个直角；③假设三角形的三个内角a、b、c中有两个直角，不妨设a=b=90°，正确顺序的序号为（）A.① ② ③ B① ③ ② C② ③ ① D③ ① ② 10.以下陈述是正确的：（1）归纳推理是从局部到整体的推理；② 归纳推理是从一般推理到一般推理；③ 演绎推理是从一般推理到特殊推理；④ 类比推理是从特殊推理到一般推理；⑤ 类比推理是从特殊推理到特殊推理的过程a．①②③b．②③④c．①③⑤d．②④⑤11.如果一种商品的销售量y（件）与售价x（元/件）呈负相关，则回归方程可以是（）a=10x+170b．=18x170c。

2016-2017学年湖北省普通高中联考高二（下）期中数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．椭圆+=1的长轴长是（）A．2 B．3 C．4 D．62．双曲线﹣x2=1的一条渐近线方程为（）A．2x﹣y=0 B．x﹣2y=0 C．4x﹣y=0 D．x﹣4y=03．命题p“若x=2，则（x﹣2）（x+1）=0”，其否命题记为q，则下列命题中，真命题是（）A．￢p B．q C．p∧q D．p∨q4．“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件5．下列命题中，假命题是（）A．对任意双曲线C，C的离心率e＞1B．椭圆C：=1的左、右焦点分别为F1，F2，在C上存在点P，使|PF1|+|PF2|=4 C．抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线L：x=﹣2，在C上存在点P，点P到直线L的距离等于|PF|D．椭圆C：=1，直线l：y=kx+1，对任意实数k，直线l与椭圆C总有两个公共点6．“方程=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件是（）A．1＜m＜2 B．0＜m＜2 C．m＜2 D．m≥27．在空间直角坐标系o﹣xyz中，A（2，0，0），B（1，0，1）为直线l1上的点，M（1，0，0），N（1，1，1）为直线l2上的两点，则异面直线l1与l2所成角的大小是（）A．75° B．60° C．45° D．30°8．已知曲线C的方程为=1（m∈R），命题p：∃m∈R使得曲线C的焦距为2，则命题p的否定是（）A．∀m∈R曲线C的焦距都为2 B．∀m∈R曲线C的焦距都不为2C．∃m∈R曲线C的焦距不为2 D．∀m∈R曲线C的焦距不都为29．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为e=，点为C上的一个动点，A1A2分别为的左、右顶点，则直线A1P与直线A2P的斜率之积为（）A．﹣2 B．2 C．3 D．10．在空间直角坐标系o﹣xyz中，A（0，1，0），B（1，1，1），C（0，2，1）确定的平面记为α，不经过点A的平面β的一个法向量为=（2，2，﹣2），则（）A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．α，β所成的锐二面角为60°11．已知椭圆+=1（a＞0）与双曲线+=1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．抛物线y2=8x的焦点为F，在该抛物线上存在一组点列P1（x1，y1），P2（x2，y2）…P1（x2017，y2017），使得|P1F|+|P2F|+…+|P2017F|=6051，则y12+y22+…+y20172=（）A．10085 B．16128 C．12102 D．16136二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若“存在实数x，使x2﹣2x+m=0”为真命题，则实数m的取值范围是．14．椭圆C：=1的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|=10，则|AB|的值为．15．已知点F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，M（4，t）（t＞0）为抛物线C上的点，且|MF|=5，线段MF的中点为N，点T为C上的一个动点，则|TF|+|TN|的最小值为．16．双曲线C：=1的、左右焦点分别为F1，F2，M（1，4），点F1，F2分别为△MAB的边MA，MB的中点，点N在第一象限内，线段MN的中点恰好在双曲线C上，则|AN|﹣|BN|的值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知命题p：曲线C：（m+2）x2+my2=1表示双曲线，命题q：方程y2=（m2﹣1）x表示的曲线是焦点在x轴的负半轴上的抛物线，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，=﹣12求抛物线的解析式．19．如图所示的三棱锥P﹣ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，PA=4，E，F，G分别为棱PB，BC，AC的中点，点H在棱AP上，AH=1．（1）试判断与是否共线；（2）求空间四面体EFGH的体积．20．已知动圆M经过点A（﹣2，0），且与圆B：（x﹣2）2+y2=4相内切（B为圆心）．（1）求动圆的圆心M的轨迹C的方程；（2）过点B且斜率为2的直线与轨迹C交于P，Q两点，求△APQ的周长．21．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点．（1）求CD与平面CFG所成角的正弦值；（2）是探究棱PD上是否存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．22．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，F，A为椭圆C的右焦点和右顶点，B（0，b），且=（1）求椭圆C的方程；（2）设M是第三象限内且椭圆上的一个动点，直线MB与x轴交于点P，直线MA与y轴交于点Q，求证：四边形ABPQ的面积为定值．2016-2017学年湖北省普通高中联考协作体高二（下）期中数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．椭圆+=1的长轴长是（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】直接利用椭圆的标准方程求解实轴长即可．【解答】解：椭圆+=1的实轴长是：2a=6．故选：D．2．双曲线﹣x2=1的一条渐近线方程为（）A．2x﹣y=0 B．x﹣2y=0 C．4x﹣y=0 D．x﹣4y=0【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得a、b的值以及焦点位置，进而计算可得其渐近线方程，分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣x2=1，则其焦点在x轴上，且a==2，b=1，则其渐近线方程：y=±2x，即2x±y=0；分析可得：A是双曲线的一条渐近线方程；故选：A．3．命题p“若x=2，则（x﹣2）（x+1）=0”，其否命题记为q，则下列命题中，真命题是（）A．￢p B．q C．p∧q D．p∨q【考点】2E：复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p“若x=2，则（x﹣2）（x+1）=0”是真命题，其否命题记为q，故q是假命题，故p∨q是真命题，故选：D．4．“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；2E：复合命题的真假．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，则“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的必要不充分条件，故选：B5．下列命题中，假命题是（）A．对任意双曲线C，C的离心率e＞1B．椭圆C：=1的左、右焦点分别为F1，F2，在C上存在点P，使|PF1|+|PF2|=4 C．抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线L：x=﹣2，在C上存在点P，点P到直线L的距离等于|PF|D．椭圆C：=1，直线l：y=kx+1，对任意实数k，直线l与椭圆C总有两个公共点【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】A根据双曲线离心率的定义即可判断结论正确；B根据椭圆的定义即可判断结论正确；C根据抛物线与准线的定义即可判断结论错误；D根据直线l恒过定点，且定点在椭圆C内部，即可判断结论正确．【解答】解：对于A，对任意双曲线C：﹣=1中，c=＞a，∴C的离心率为e=＞1，A正确；对于B，椭圆C：=1的左、右焦点分别为F1，F2，∴a2=4，∴a=2；根据椭圆的定义知，在C上存在点P，使|PF1|+|PF2|=2a=4，B正确；对于C，抛物线C：y2=4x的焦点为F，则F（1，0），准线是x=﹣1，在C上存在点P，点P到直线x=﹣1的距离等于|PF|，直线L：x=﹣2，在C上存在点P，点P到直线L的距离等于|PF|+1，∴C错误；对于D，椭圆C：=1，直线l：y=kx+1恒过A（0，1）点，且点A在椭圆C内部，∴对任意实数k，直线l与椭圆C总有两个公共点，D正确．故选：C．6．“方程=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件是（）A．1＜m＜2 B．0＜m＜2 C．m＜2 D．m≥2【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出条件的等价条件，结合必要不充分条件的定义进行求解即可．【解答】解：若方程=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则等价为，得得0＜m＜2，则方程=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆的必要不充分条件m＜2，故选：C7．在空间直角坐标系o﹣xyz中，A（2，0，0），B（1，0，1）为直线l1上的点，M（1，0，0），N（1，1，1）为直线l2上的两点，则异面直线l1与l2所成角的大小是（）A．75° B．60° C．45° D．30°【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】求出=（﹣1，0，1），=（0，1，1），设异面直线l1与l2所成角为θ，则cosθ=，由此能求出异面直线l1与l2所成角的大小．【解答】解：∵空间直角坐标系o﹣xyz中，A（2，0，0），B（1，0，1）为直线l1上的点，M（1，0，0），N（1，1，1）为直线l2上的两点，∴=（﹣1，0，1），=（0，1，1），设异面直线l1与l2所成角为θ，则cosθ==，∴θ=60°．∴异面直线l1与l2所成角的大小为60°．故选：B．8．已知曲线C的方程为=1（m∈R），命题p：∃m∈R使得曲线C 的焦距为2，则命题p的否定是（）A．∀m∈R曲线C的焦距都为2 B．∀m∈R曲线C的焦距都不为2C．∃m∈R曲线C的焦距不为2 D．∀m∈R曲线C的焦距不都为2【考点】2J：命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题p是特称命题，则命题的否定是：∀m∈R曲线C的焦距都不为2，故选：B9．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为e=，点为C上的一个动点，A1A2分别为的左、右顶点，则直线A1P与直线A2P的斜率之积为（）A．﹣2 B．2 C．3 D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b的关系，设P（m，n），代入双曲线的方程，设A1（﹣a，0），A2（a，0），运用直线的斜率公式，化简整理即可得到所求积．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为e=，可得=，即c=a，b==a，设P（m，n），可得﹣=1，即有n2=b2•，A1（﹣a，0），A2（a，0），直线A1P与直线A2P的斜率之积为•===2，故选：B．10．在空间直角坐标系o﹣xyz中，A（0，1，0），B（1，1，1），C（0，2，1）确定的平面记为α，不经过点A的平面β的一个法向量为=（2，2，﹣2），则（）A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．α，β所成的锐二面角为60°【考点】MD：平面的法向量．【分析】求出=（1，0，1），=（0，1，1），设平面α的法向量=（x，y，z），列出方程组，求出=（1，1，﹣1），由此能求出α∥β．【解答】解：∵A（0，1，0），B（1，1，1），C（0，2，1）确定的平面记为α，∴=（1，0，1），=（0，1，1），设平面α的法向量=（x ，y ，z ），则，取x=1，得=（1，1，﹣1），∵不经过点A 的平面β的一个法向量为=（2，2，﹣2），=（2，2，﹣2）=2（1，1，﹣1）=2，∴α∥β． 故选：A ．11．已知椭圆+=1（a ＞0）与双曲线+=1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】K4：椭圆的简单性质；KC ：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的焦点在x 轴上，且c=，又由题意，椭圆与双曲线有相同的焦点，则有a 2＞a ＞0且a 2﹣a=6，解可得a 的值，即可得椭圆的方程，由椭圆的离心率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为： +=1，必有m 2+2＞0，而m 2﹣4＜0，其焦点在x 轴上，且c==，若椭圆+=1（a ＞0）与双曲线+=1有相同的焦点，则有a 2＞a ＞0且a 2﹣a=6， 解可得a=3或﹣2（舍），故椭圆的方程为：+=1，则其离心率e=；故选：C ．12．抛物线y2=8x的焦点为F，在该抛物线上存在一组点列P1（x1，y1），P2（x2，y2）…P1（x2017，y2017），使得|P1F|+|P2F|+…+|P2017F|=6051，则y12+y22+…+y20172=（）A．10085 B．16128 C．12102 D．16136【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质计算各点横坐标之和，从而得出结论．【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣2，由抛物线的性质可知：|P1F|=x1+2，|P2F|=x2+2，…，|P2017F|=x2017+2，∵|P1F|+|P2F|+…+|P2017F|=6051，∴x1+x2+…+x2017=6051﹣2×2017=2017，∴y12+y22+…+y20172=8x1+8x2+…+8x2017=8（x1+x2+…+x2017）=8×2017=16136．故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若“存在实数x，使x2﹣2x+m=0”为真命题，则实数m的取值范围是m≤1 ．【考点】2I：特称命题．【分析】根据“存在x∈R，x2﹣2x+m=0”为真命题，△≥0解不等式求出m的取值范围．【解答】解：∵“存在x∈R，x2﹣2x+m=0”为真命题，即△=4﹣4m≥0，解得m≤1．∴实数m的取值范围是：m≤1．故答案为：m≤1．14．椭圆C：=1的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|=10，则|AB|的值为 6 ．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义即可得出．【解答】解：由题意可得：|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=10+|AB|=4a=16，解得|AB|=6．故答案为：6．15．已知点F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，M（4，t）（t＞0）为抛物线C上的点，且|MF|=5，线段MF的中点为N，点T为C上的一个动点，则|TF|+|TN|的最小值为．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得p的方程，求得p=2，可得焦点和准线，再由中点坐标公式，可得N的横坐标，结合抛物线的定义和三点共线取得最小值，即可得到所求值．【解答】解：点F（，0）为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，准线方程为x=﹣，M（4，t）（t＞0）为抛物线C上的点，且|MF|=5，由抛物线的定义可得4+=5，解得p=2，即有抛物线的方程为y2=4x，M（4，4），F（1，0），准线方程为x=﹣1，设TK垂直于准线于K，由|TF|+|TN|=|TK|+|TN|≥|NK|，当K，T，N三点共线时，取得等号．由中点坐标公式可得N的横坐标为，即有|TF|+|TN|的最小值为+1=．故答案为：．16．双曲线C：=1的、左右焦点分别为F1，F2，M（1，4），点F1，F2分别为△MAB的边MA，MB的中点，点N在第一象限内，线段MN的中点恰好在双曲线C上，则|AN|﹣|BN|的值为16 ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】连接PF1，PF2，运用双曲线的定义和三角形的中位线定理，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线C：=1中，a=4，连接PF1，PF2，由PF1是△MAN的中位线，可得|AN|=2|PF1|，由PF2是△MBN的中位线，可得|BN|=2|PF2|，由双曲线的定义可得：|PF1|﹣|PF2|=2a=8，则|AN|﹣|BN|=2（|PF1|﹣|PF2|）=2×8=16．故答案为：16．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知命题p：曲线C：（m+2）x2+my2=1表示双曲线，命题q：方程y2=（m2﹣1）x表示的曲线是焦点在x轴的负半轴上的抛物线，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【考点】2E：复合命题的真假．【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，根据p，q一真一假，得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：若（m+2）x2+my2=1表示双曲线，则m（m+2）＜0，解得：﹣2＜m＜0，故p：（﹣2，0），若方程y2=（m2﹣1）x表示的曲线是焦点在x轴的负半轴上的抛物线，则m2﹣1＜0，解得：﹣1＜m＜1，故q：（﹣1，1），若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，故或，故m∈（﹣2，﹣1]∪．∴棱PD上存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，此时=．22．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，F，A为椭圆C的右焦点和右顶点，B（0，b），且=（1）求椭圆C的方程；（2）设M是第三象限内且椭圆上的一个动点，直线MB与x轴交于点P，直线MA与y轴交于点Q，求证：四边形ABPQ的面积为定值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的离心率，F，A为椭圆C的右焦点和右顶点，B（0，b），且=，列出方程组，求出a=3，b=2，c=，由此能求出椭圆C的方程．（2）求出A（3，0），B（0，2），设M（m，n），（m＜0，n＜0），则9n2+4m2=36，直线BM的方程为，令y=0，得x P=，直线AM的方程为，令x=0，得y Q=，四边形ABPQ的面积为：S四边形==ABPQ，由此能证明四边形ABPQ的面积为定值．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，F，A为椭圆C的右焦点和右顶点，B（0，b），且=，∴，解得a=3，b=2，c=，∴椭圆C的方程为=1．（2）证明：∵椭圆C的方程为=1，∴A（3，0），B（0，2），设M（m，n），（m＜0，n＜0），则=1，∴9n2+4m2=36，直线BM的方程为，令y=0，得x P=，直线AM的方程为，令x=0，得y Q=，∴四边形ABPQ的面积为：S四边形ABPQ======6．∴四边形ABPQ的面积为定值6．。

（下）高二年段期中考试题理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分.考试时间120分钟.选择题的答案一律写在答题卷上，凡写在试卷上的无效；解答题请写出完整步骤。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1． 《新课程标准》规定,那些希望在理学、工科等方面发展的学生,除了修完数学必修内容和选修系列二的全部内容外,基本要求是还要在系列四的4个专题中选修2个专题,则每位同学的不同选课方案有( )种A.4B.6C.8D.12 2.函数2sin y x x =的导数为（ ）A ．22sin cos y x x x x '=+B ．22sin cos y x x x x '=-C ．2sin 2cos y x x x x '=+D ．2sin 2cos y x x x x '=- 3．下列积分值为2的是( )A.12xdx ⎰ B . 1xe dx ⎰ C . 11edx x⎰D .sin xdx π⎰4，则a 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 5. 设函数()x f x xe =,则（ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为3181233y x x =-+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件 7. 在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10个红球，10个白球，则在第一个人摸出1个红球的条件下，第二个人摸出1个白球的概率为（ ）(A) 1019 (B) 519 (C) 12 (D) 19208.若n xx )2(-展开式中二项式系数之和为64，则展开式中常数项为 （ ）A ．20B ．－160C ．160D ．—2709． 位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向左或向右，并且向左、向右移动的概率都是12，质点P 移动6次后回到原点的概率是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．63612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．33612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6336612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是 （ ）A ．56B ．84C ．112D ．16811. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。

2017年级期中试卷数学【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若函数f(x) = x^3 3x在x=0处的导数为-2，则f(x)在x=0处的切线方程为：A. y = -2x + 1B. y = -2x 1C. y = 2x + 1D. y = 2x 12. 设矩阵A为对称矩阵，则下列选项中正确的是：A. A的转置矩阵与A相等B. A的转置矩阵与A不相等C. A的逆矩阵与A相等D. A的逆矩阵与A不相等3. 若函数f(x) = e^x sinx在x=0处的极限为1，则：A. f'(0) = 1B. f'(0) = 0C. f'(0) = -1D. f'(0)不存在4. 设函数f(x) = x^2 2x + 3，则f(x)的最小值为：A. 1B. 2C. 3D. 45. 若级数∑(n=1 to ∞) a_n收敛，则级数∑(n=1 to ∞) (a_n / n^2)也收敛的是：A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 无法确定二、判断题（每题1分，共5分）1. 若函数f(x)在区间(a, b)上单调增加，则f'(x)在区间(a, b)上恒大于0。

（）2. 若矩阵A为上三角矩阵，则A的特征值为其对角线上的元素。

（）3. 若函数f(x)在x=0处连续，则f(x)在x=0处可导。

（）4. 若函数f(x)在区间(a, b)上可积，则f(x)在区间(a, b)上连续。

（）5. 若级数∑(n=1 to ∞) a_n收敛，则级数∑(n=1 to ∞) (a_n / n)也收敛。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若函数f(x) = x^3 3x + 2，则f'(x) = _______。

2. 设矩阵A = [1 2; 3 4]，则A的特征值为_______和_______。

3. 若函数f(x) = e^x sinx，则f'(0) = _______。