第二章 随机变量及其分布

解析：(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击 5 次只击 中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为 P＝C15×23×134＋135， 所以所求的概率为 1－P＝1－C15×23×134＋135＝223423.
(2)当 ξ＝4 时，记事件为 A， P(A)＝C13×23×132×23＝247， 当 ξ＝5 时，意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件 B. 则 P(B)＝C14×23×133＋134＝19， 所以所求概率为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝247＋19＝277.
解析：(1)记事件 A1 为“从甲箱中摸出的 1 个球是红球”， A2 为“从乙箱中摸出的 1 个球是红球”， B 为“顾客抽奖 1 次能获奖”， 则 B 表示“顾客抽奖 1 次没有获奖”． 由题意 A1 与 A2 相互独立，则 A 1 与 A 2 相互独立，且 B ＝ A 1·A 2， 因为 P(A1)＝140＝25，P(A2)＝150＝12， 所以 P( B )＝P( A 1·A 2)＝1－25·1－12＝130， 故所求事件的概率 P(B)＝1－P( B )＝1－130＝170.
[例 2] 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6. 本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影 响，求前三局比赛甲队领先的概率． [解析] 单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6，乙队胜甲队的概率为 1－0.6＝0.4， 记“甲队胜三局”为事件 A，“甲队胜二局”为事件 B，则： P(A)＝0.63＝0.216； P(B)＝C23×0.62×0.4＝0.432， ∴前三局比赛甲队领先的概率为 P(A)＋P(B)＝0.648.
X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1 且 X1 的均值 E(X1)＝6，求 a，b 的值；

实用文档第二章 随机变量及其分布(B)一、选择题1、假设每一架飞机的引擎在飞机中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是相互独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行，要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p 的取值范围是( )A ．(23，1)B ．(13，1) C ．(0，23) D ．(0，13)2、盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，取两次．已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是( )A ．310B ．35C ．12D ．253、若P (ξ≤n )＝1－a ，P (ξ≥m )＝1－b ，其中m <n ，则P (m ≤ξ≤n )等于( )A ．(1－a )(1－b )B ．1－a (1－b )C ．1－(a ＋b )D ．1－b (1－a )4、函数φμ，σ(x)＝12πσe－(x－u)22σ2，x∈R，其中μ<0时，其图象大致是图中的( )A BC D5、若随机变量X只可取1,2,3，且已知P(X＝1)＝0.3，P(X＝2)＝0.4，那么P(X＝3)的值为( )A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.56、在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )A．320B．15C．25D．920实用文档7、袋子里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15只，白色手套10只，现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．试问：甲、乙获胜的机会是( )A．甲多B．乙多C．一样多D．不确定8、在比赛中，如果运动员A胜运动员B的概率是23，那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是( )A．40243B．80243C．110243D．202439、某校14岁女生的平均身高为154.4 cm，标准差是5.1 cm，如果身高服从正态分布，那么在该校200个14岁的女生中，身高在164.6 cm以上的约有( )A．5人B．6人C．7人D．8人10、从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有( )实用文档实用文档A ．17个B ．18个C ．19个D ．20个11、节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X 服从如下表所示的分布：若进这种鲜花500A ．706元B ．690元C ．754元D ．720元12、任意确定四个日期，其中至少有两个是星期天的概率为( )A ．2412 401B ．1 1052 401C ．12D ．47二、填空题实用文档13、事件A ，B ，C 相互独立，若P (A ·B )＝16，P (B ·C )＝18，P (A ·B ·C )＝18，则P (B )＝________.14、某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．15、某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果．16、设X ～N (－2，14)，则X 落在(－∞，－3.5]∪[－0.5，＋∞)内的概率是________．三、解答题17、有10张卡片，其号码分别为1,2,3，…，10.从中任意抽取3张，记号码为3的倍数的卡片张数为X，求X的数学期望、方差及标准差．18、甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%.问：(1)乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？(2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？19、某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走．．．实用文档实用文档出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望．20、甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求 (1)恰有1人译出密码的概率；(2)若达到译出密码的概率为99100，至少需要多少乙这样的人．21、张华同学上学途中必须经过A ，B ，C ，D 4个交通岗，其中在A ，B 岗遇到红灯的概率均为12，在C ，D 岗遇到红灯的概率均为13.假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，X 表示他遇到红灯的次数．实用文档(1)若X ≥3，就会迟到，求张华不迟到的概率；(2)求E (X )．22、在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．以下是答案一、选择题1、B [4引擎飞机成功飞行的概率为C 34p 3(1－p )＋p 4，2引擎飞机成功飞行的概率为p 2.若要使C 34p 3(1－p )＋p 4>p 2，则必有13<p <1.]实用文档2、D [令第二次取得一等品为事件A ，第一次取得二等品为事件B .则P (AB )＝C 12·C 14C 16·C 15＝415， P (A )＝C 14·C 13＋C 12·C 14C 16·C 15＝23， 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝415×32＝25.]3、C [P (m ≤ξ≤n )＝1－P (ξ>n )－P (ξ<m )＝1－[1－(1－a )]－[1－(1－b )]＝1－(a ＋b )．]4、A5、B [1－0.3－0.4＝0.3.]6、C [先求无人去此地的概率为34×45＝35，所以至少有1人去此地的概率是1－35＝25.]7、C8、B [所求概率为C 35(23)3×(1－23)2＝80243.]9、A [设某校14岁女生的身高为X (cm)，则X ～N (154.4,5.12)．由于P (154.4－2×5.1<X ≤154.4＋2×5.1)＝0.954 4，所以P (X >164.6)＝12×(1－0.954 4)＝0.022 8.因为200×0.022 8＝4.56，所以实用文档 身高在164.6 cm 以上的约有5人．]10、A [X 的可能的取值为3,4,5,6,7,8,9，…，19，共有17个．]11、A12、A [记“取到的日期为星期天”为事件A ，则P (A )＝17，A i 表示取到的四个日期中有i (i ＝0,1,2,3,4)个星期天， 则P (A 0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫170⎝ ⎛⎭⎪⎫1－174＝1 2962 401， P (A 1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫171⎝ ⎛⎭⎪⎫1－173＝8642 401， 故至少有两个星期天的概率为1－[P (A 0)＋P (A 1)]＝2412 401.]二、填空题13、1214、0.128实用文档解析 由题设，分两类情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4；(2)第1、2个错误，第3、4个正确，此时概率P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6.由互斥事件概率公式得P ＝P 1＋P 2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128.15、4 76016、0.002 6解析 ∵μ＝－2，σ2＝14，σ＝12∴X 在(－3.5，－0.5)内的概率为99.74%，故X 落在(－∞，－3.5]∪[－0.5，＋∞)内的概率为0.0026.三、解答题17、解 X 的可能值为0,1,2,3，所以P (X ＝0)＝C 03C 37C 310＝724；P (X ＝1)＝C 13C 27C 310＝2140；实用文档P (X ＝2)＝C 23C 17C 310＝740；P (X ＝3)＝C 33C 07C 310＝1120，故X 的数学期望为E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910，D (X )＝(0－910)2×724＋(1－910)2×2140＋(2－910)2×740＋(3－910)2×1120＝49100；DX ＝49100＝710.18、解 设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则根据题意有：P (A )＝0.20，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12.(1)P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.120.18≈0.67，∴乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率约为0.67.(2)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.20＝0.60， ∴甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为0.60.19、解 (1)ξ的所有可能取值为1,3,4,6.实用文档P (ξ＝1)＝13，P (ξ＝3)＝16，P (ξ＝4)＝16，P (ξ＝6)＝13，ξ的分布列为(2)E (ξ)＝1×13＋3×16＋4×16＋6×3＝2(小时)．20、解 设“甲译出密码”为事件A ；“乙译出密码”为事件B ，则P (A )＝13，P (B )＝14，(1)P ＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝13×34＋23×14＝512.(2)n 个乙这样的人都译不出密码的概率为(1－14)n .∴1－(1－14)n ≥99100.解得n ≥17. ∴达到译出密码的概率为99100，至少需要17人．21、解 (1)P (X ＝3)＝C 12×(12)2×(13)2＋C 12×13×23×(12)2＝16；实用文档P (X ＝4)＝(12)2×(13)2＝136. 故张华不迟到的概率为P (X ≤2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝2936.(2)X 的分布列为∴E (X )＝0×19＋1×13＋2×36＋3×6＋4×36＝3.22、解 分别记这段时间内开关S A ，S B ，S C 能够闭合为事件A ，B ，C .由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是：P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027，所以这段时间内线路正常工作的概率是：1－P (A ·B ·C )＝1－0.027＝0.973.。

分布函数还具有相当好的性质，有利于用数 学分析方法来处理；
引入随机变量和分布函数，在随机现象与数 学分析之间搭起了桥梁。
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
连续型随机变量（random variables of continuous type)
四、几种重要的连续型分布 均匀分1. 布均的匀实分际布背景是： 并概f ( x率且)随=与取⎪⎩⎪⎨⎧机0b这值−1变a个在量小（其x ∈X它区a取[a,,间bb值）] 的在中是 记长区一 为任度个间意成概X（小正~率aU区比密,[ab间度。,)b上内]函，的数.
利用分布函数与概率密度函数之间的关系，可以求得服从均匀 分布的随机变量 X 的分布函数
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨
1 3
,
⎪⎩0 ,
0≤ x≤3 其它
∫ ∫ 所求概率 P{0 ≤ X ≤ 2}=
2 f (x )dx =
0
2 0
1 3
dx
=
2 3
四、几种重要的连续型分布
2.指数分布
定义: 若随机变量X的概率密度函数
X
~
f
(
x)
=
⎧λ
⎨
e−λ
x
⎩0
x>0 x≤0
称 X 服从参数为λ的指数分布,记为X~E(λ) (λ>0),
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
§2.2节学习的分布律对于非离散型型随 机变量失效

因此事件A在n次试验中发生k次的概率为
n
P (X k ) C n kp k q n k ,k 0 ,1 , ,n
C
k n
p
k
q
n k C n 0 p 0 q n C n 1 p q n 1 C n n p n q 0 1
.
k 0
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二项分布（Binomial distribution）
k! n
nn
li(1 m )n k li(1 m )nli(1 m ) k
n nln in C lnm in k m p (1kqn nn )k nn ( k )k !ee n ,k0,1,2,
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将 样 本 空 间 与 实 数 值 之 间 建 立 一 种 对 应 关 系 ， 以 便 利 用 数 学
分 析 的 方 法 对 随 机 试 验 的 结 果 进 行 深 入 广 泛 的 研 究 和 讨 论 .
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1. 随机变量的定义
定义: 设随机试验E的样本空间为 S {e}, 若对于每 一个样本点 eS, 变量X 都有唯一确定实数与之对应, 则X是定义在 S上的单值实函数, 即 XX(e), 称
辆汽车通过的概率.
解： 由题意知
P(X0)0e0.2, 则1.61.
0! 而 P ( X 1 ) 1 P ( X 0 ) P ( X 1 )
10.21 e 1 0 .2 1 .6 0 1 .2
1!
0.478.
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P ( X 2 ) P ( A ) P ( A B ) P ( B |A ) 0 . 7 0 . 8 5 0 . 6