概率论二维随机变量及其分布

前面我们介绍了二维随机变量的概 念, 二维随机变量的分布函数及其性质。
二维随机变量也分为离散型和连续型, 下面我们分别讨论它们。
三、二维离散型随机变量 及其概率分布
如果二维随机变量(X,Y)的每个分 量都是离散型随机变量,则称(X,Y)是 二维离散型随机变量.
二维离散型随机变量(X,Y)所有可 能取的值也是有限个或可列无穷个.
求: 二维随机变量(X,Y)的概率分布和其边缘分 布.
解: (X,Y)所有可能取的值是
(0,0),(0,1),(1,0,),(1,1).
P{X=0,Y=0}
=P{第一次取到正品且第二次也取到正品},
利用古典概型,得: P{X=0,Y=0}=(76)/(109)=7/15
同理求得:
P{X=0,Y=1}=(73)/(109)=7/30
第三章
多维随机变量及其分布
一般地，我们称n个随机变量的整体
X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随
机向量. 以下重点讨论二维随机变量.
请注意与一维情形的对照 .
第三章 第一节
二维随机变量及其分布函数
一、二维随机变量
设随机试验E的样本空间是Ω，X=X() 和Y=Y()是定义在Ω上的随机变量, 由它们 构成的向量(X,Y),称为二维随机变量(向量)。
而把F(x,y)称为X和Y的联合分布函数。
注意
X与Y的边缘分布函数,实质上就是一维随 机变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数 的原因是相对于(X,Y)的联合分布而言的。
同样地,(X,Y)的联合分布函数F(x, y)是相 对于(X,Y)分量X与Y的分布而言的。
求法
FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞) FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y)

定义3-1 n个随机变量X1，X2，…，X n构成的整体X=(X1，X2，…，X n)称为一个n维随机变量或n维随机向量，X i称为X的第i(i=1，2，…，n)个分量.
定义3-2 设(x，Y)为一个二维随机变量，记
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}，-∞<z<+∞，-∞<y<+∞，< p="" style="padding: 0px; list-style: none;">
称二元函数F(x，y)为X与y的联合分布函数或称为(X，Y)的分布函数.
(X，Y)的两个分量X与y各自的分布函数分别称为二维随机变量(X，Y)关于X与关于y的边缘分布函数，记为F X(x)与F Y(y).
边缘分布函数可由联合分布函数来确定，事实上，一元函数
几何上，若把(X，Y)看成平面上随机点的坐标，则分布函数F(x，y)在(x，y)处的函数值就是随机点(X，Y)落在以(x，y)为顶点、位于该点左下方的无穷矩形D内的概率.
分布函数F(x，y)具有下列性质：
(1)F(x，y)是变量x(或y)的不减函数.
(2)0≤F(x，y)≤l，
对任意固定的y，F(-∞，y)=0
对任意固定的x，F(x，-∞)=0;
F(-∞, -∞)=0，F(+∞，+∞)=1. (3)F(x，y)关于x和关于y均右连续，即F(x,y)=F(x+0,y);F(x，y)=F(x,y+0). (4)对任意固定的x1<x2，y1<y2
F(x2 ,y2)-F(x2,yl)-F(xl，y1)+F(x1+yl)≥0.。

(4)
fX Y (x
y)
f (x, y) fY ( y)
= ex
fY X ( y
x)
f (x, y) fX (x)
= ey
(5)
f (x, y) exy fX (x) fY ( y)
因此X ,Y相互独立。
二、二维连续型随机变量函数的分布
1.Z=X+Y的分布 设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)，则由分布函数的定义知， Z=X+Y的分布函数为：
3. F (x , y) 为连续函数，且在f(x,y)的连续点处，
2F(x, y) f (x, y) xy
一、二维连续型随机变量概念
定义8 称
f X (x)
f (x, y)dy
( x )
为X的边缘密度函数。
称
fY ( y)
f (x , y)dx
( y )
为Y的边缘密度函数。一、二维连ຫໍສະໝຸດ 型随机变量概念定义9称
fX Y (x
y)
f (x, y) fY ( y)
为在Y=y条件下X的条件概率密
度,称
f (x, y) fY X ( y x) fX (x)
为在X=x条件下Y的条件概率密度.
定理2 设(X,Y)为二维连续型随机变量，则X与Y相互独 立等价于 f (x, y) fX (x) fY ( y)
y)
一、二维随机变量的概念
联合分布函数F(x,y)有如下的性质：
1. 0 F(x , y) 1
2. F(x , y) 关于x、关于y单调不减；
3. F(x , y) 关于x、关于y右连续
4.
lim F(x , y) 0 , lim F(x , y) 1

概率论二维随机变量总结二维随机变量是指具有两个随机变量组成的随机向量，用(X, Y)表示。

概率论中研究二维随机变量的分布、期望、方差以及其它统计特性。

1. 二维随机变量的联合分布：联合分布是描述二维随机变量X 和Y的取值情况和对应的概率的函数。

可以通过联合概率密度函数或联合分布函数来表示。

2. 边缘分布：边缘分布是指某个变量的分布，不考虑另一个变量的取值情况。

对于二维随机变量(X, Y)，X的边缘分布是通过对所有可能的Y求和或积分得到的函数，Y的边缘分布同理。

3. 条件分布：条件分布是指在已知一个变量的取值情况下，另一个变量的分布情况。

对于二维随机变量(X, Y)，给定X的条件下Y的条件分布可以通过联合分布和边缘分布得到，形式为P(Y|X)。

4. 期望和方差：对于二维随机变量(X, Y)，期望E(X)表示X的平均取值，E(Y)表示Y的平均取值，方差Var(X)表示X的取值的离散程度，Var(Y)表示Y的取值的离散程度。

5. 协方差和相关系数：协方差描述了X和Y之间的线性相关程度，可以通过公式Cov(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))计算得到。

相关系数表示X和Y之间的线性相关程度的强度，公式为Corr(X, Y) = Cov(X, Y) / (SD(X) * SD(Y))，其中SD(X)和SD(Y)分别表示X和Y的标准差。

6. 独立性：如果二维随机变量(X, Y)的联合分布可以拆分为X 的边缘分布和Y的边缘分布的乘积形式，即P(X, Y) = P(X) * P(Y)，则称X和Y是独立的。

独立性意味着X和Y之间没有任何关联。

7. 协变和不相关性：如果协方差Cov(X, Y)为0，则X和Y是不相关的，不相关性不一定意味着独立性。

如果协方差Cov(X, Y)大于0，则X和Y是正相关的，如果Cov(X, Y)小于0，则X和Y是负相关的。

以上是二维随机变量的一些基本概念和理论，这些知识可以用于分析和解决涉及二维随机变量的问题。