二维随机变量及其联合分布

3.3二维随机变量及其分布一、联合分布函数1、定义：设(X, Y)是二维随机变量，(x,y)∈R 2,则称F(x,y)=P{X<x,Y<y}为(X,Y)的分布函数，或X 与Y 的联合分布函数。

几何意义：分布函数F(00,y x )表示随机点(X,Y)落在区域{}00,),(y y x x y x <<-∞<<∞-中的概率。

如图阴影部分： 对于(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈R 2,(x 1<x 2，y 1<y 2),则P{x 1≤X<x 2，y 1≤y<y 2}＝F(x 2,y 2)－F(x 1,y 2)－F(x 2,y 1)＋F(x 1,y 1)2、分布函数F(x, y)具有如下性质(p119)：(1)归一性：对任意(x,y)∈R 2, 0≤F(x,y)≤1,(2)单调不减：对任意y ∈R,当x 1<x 2时，F(x 1,y)≤F(x 2,y)；对任意x ∈R ，当y 1<y 2时，F(x,y 1)≤F(x,y 2)。

(3)左连续：对任意x ∈R,0y ∈R,1),(lim ),(==∞∞∞→∞→y x F F y x 0),(lim ),(==-∞-∞-∞→-∞→y x F F y x 0),(lim ),(==-∞-∞→y x F y F x 0),(lim ),(==-∞-∞→y x F x F y ).,(),(lim )0,(000y x F y x F y x F y y ==--→(4)矩形不等式：对于任意(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈R 2,(x 1<x 2，y 1<y 2),F(x 2,y 2)－F(x 1,2)－F(x 2,y 1)＋F(x 1,y 1)≥0.反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。

例1:已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为:1)求常数A ，B ，C ；2)求P{0≤X<2,0≤Y<3}。

第三章 二维随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→分布分布分布三大统计分布函数分布正态分布均匀分布常见二维分布独立性条件分布边缘分布连续型分布密度离散型分布律联合分布F t X X X Z Y X Z Y X n 221),,min(max,),(χξΛ2、重要公式和结论例3．1 二维随机向量（X ，Y ）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X ，Y ）取得它们的概率相同，则（X ，Y ）的联合分布},1||,1|:|),{(≤-≤+=y x y x y x D求X 的边缘密度f X (x)例3．3：设随机变量X 以概率1取值0，而Y 是任意的随机变量，证明X 与Y 相互独立。

例3．4：如图3.1，f(x,y)=8xy, f X (x)=4x 3, f Y (y)=4y-4y 3，不独立。

例3．5：f(x,y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤其他,010,20,2y x Axy例3．6：设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，且X ～U （0，1），Y ～e （1），求Z=X+Y 的分布密度函数f z (z)。

例3．7：设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为,6.04.021~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡X 而Y 的概率密度为e(1)，求随机变量U=1+Y X的概率密度g(u)。

【关键字】学习《概率论与数理统计》学习指导·内容提要·疑难分析·例题解析·自测试题安徽工业大学应用数学系编目录第三章多维随机变量及其分布内容提要1、二维随机变量及其联合分布函数设，为随机变量，则称它们的有序数组（）为二维随机变量.设（）为二维随机变量，对于任意实数、，称二元函数为（）的联合分布函数.联合分布函数具有以下基本性质：（1）是变量或的非减函数；（2）且；（3）关于右连续，关于也右连续；（4）对任意点，若，则.上式表示随机点落在区域内的概率为：.2、二维离散型随机变量及其联合分布律如果二维随机变量所有可能取值是有限对或可列对，则称为二维离散型随机变量.设为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为将或表3.1称为的联合分布律.表3.1联合分布律具有下列性质：（1）；（2）.3、二维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在一个非负函数,使得二维随机变量的分布函数对任意实数有，则称是二维连续型随机变量，称为的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）对一切实数，有；（2）；（3）在任意平面域上，取值的概率；（4）如果在处连续，则.4、二维随机变量的边缘分布设为二维随机变量，则称，分别为关于和关于的边缘分布函数.当为离散型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘分布律.当为连续型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘密度函数.5、二维随机变量的条件分布（1）离散型随机变量的条件分布设为二维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布律分别为),2,1,(}{,}{,},{.. ========j i p y Y P p x X P p y Y x X P j j i i ij j i ，则当j 固定，且0}{.>==j j p y Y P 时，称,2,1,}{},{}|{.========i p p y Y P y Y x X P y Y x X P jij j j i j i 为j y Y =条件下随机变量X 的条件分布律.同理，有 ,2,1,}|{.====j p p x X y Y P i ij i j（2）连续型随机变量的条件分布设),(Y X 为二维连续型随机变量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为：)(),(),,(y p x p y x p Y X .则当0)(>y p Y 时，在),(y x p 和)(x p X 的连续点处，),(Y X 在条件y Y =下，X 的条件概率密度函数为：)(),()|(|y p y x p y x p Y Y X =.同理，有)(),()|(|x p y x p y x p X X Y =. 6、随机变量的独立性设),(y x F 及)()(y F x F Y X 、分别是),(Y X 的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数y x ,有)()(),(y F x F y x F Y X ⋅=则称随机变量X 与Y 相互独立.设),(Y X 为二维离散型随机变量，X 与Y 相互独立的充要条件是),2,1,(.. ==j i p p p j i ij . 设),(Y X 为二维连续型随机变量，X 与Y 相互独立的充要条件是对任何实数y x ,，有)()(),(y p x p y x p Y X =.7、两个随机变量函数的分布设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为),(y x p ，),(Y X Z ϕ=是Y X ,的函数，则Z 的分布函数为dxdy y x p z F zy x Z ⎰⎰=≤),(),()(ϕ.（1）Y X Z +=的分布若),(Y X 为离散型随机变量，联合分布律为ij p ，则Z 的概率函数为： ∑-=ii k i k Z x z x p z P ),()(或∑-=jj k j k Z y z y p z P ),()(.若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p ，则Z 的概率函数为：dy y y z p dx x z x p z p Z ⎰-=⎰-=+∞∞-+∞∞-),(),()(.（2）YXZ =的分布 若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p ，则Z 的概率函数为：⎰=+∞∞-dy y yz p y z p Z ),()(.疑 难 分 析1、事件},{y Y x X ≤≤表示事件}{x X ≤与}{y Y ≤的积事件，为什么},{y Y x X P ≤≤不一定等于}{}{y Y P x X P ≤⋅≤？如同仅当事件B A 、相互独立时，才有)()()(B P A P AB P ⋅=一样，这里},{y Y x X P ≤≤依乘法原理}|{}{},{x X y Y P x X P y Y x X P ≤≤⋅≤=≤≤.只有事件}{x X P ≤与}{y Y P ≤相互独立时，才有}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤，因为}{}|{y Y P x X y Y P ≤=≤≤.2、二维随机变量),(Y X 的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布.但由)|()(),(|x y p x p y x p X Y X ⋅=知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布.但是，如果Y X 、相互独立，则}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤，即)()(),(y F x F y x F Y X ⋅=.说明当Y X 、独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布. 3、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？两个随机变量Y X 、相互独立，是指组成二维随机变量),(Y X 的两个分量Y X 、中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤.而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有)()()(B P A P AB P ⋅=.两者可以说不是一个问题.但是，组成二维随机变量),(Y X 的两个分量Y X 、是同一试验E 的样本空间上的两个一维随机变量，而B A 、也是一个试验1E 的样本空间的两个事件.因此，若把“x X ≤”、“y Y ≤”看作两个事件，那么两者的意义近乎一致，从而独立性的定义几乎是相同的.例 题 解 析例 1 设某班车起点站上的乘客数X 服从参数为)0(>λλ的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为)10(<<p p ，且中途下车与否相互独立，以Y 表示中途下车的人数，求二维随机变量),(Y X 的分布律．解例2 设随机变量),(Y X 的概率密度为 试求（1）系数c ；(2)),(Y X 落在圆)0(222R r r y x <<≤+内的概率．解 所以 33Rc π=(2) 设{},:,222r y x y)(x D ≤+=注: 利用分布函数的基本性质可以确定待定系数，从而可以计算二维随机变量落在某一区域内的概率，值得注意的是计算过程中，由于),(y x f 通常是分区域函数，故积分区域要特别小心，以免出错．例3 考虑一元二次方程02=++C Bx x ，其中C B ,分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q ．解 方程02=++C Bx x 有实根的充要条件是判别式042≥-=∆C B 或4/2B C ≤，由条件知，0＋1＋2＋4＋6＋6＝19所以36/19=p ，使方程有重根的充要条件是C B 42=，满足此条件的基本事件个数为0＋1＋0＋1＋0＋0＝2因此 18/136/2==q例4 设随机变量),(Y X 均匀分布于以)1,0(),0,1(),1,0(),0,1(--四项点所构成的正方形中，求X 与Y 的边缘密度函数．解1º当01<<x －时，⎰+==⎰=+--∞∞-11121),()(x x X x dy dy y x f x f当10<≤x 时，121),()(11+-=⎰=⎰=+--∞∞-x dy dy y x f x f x x X 所以2º类似1º可得例5 随机变量),(Y X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>++= 其它,00,0,)1/(2),(3y x y x y x p ，求1=X 条件下Y 的条件分布密度.分析：通过),(Y X 的联合密度和边缘密度函数，来求在1=X 条件下Y 条件分布密度.解：当0>x 时，有203)1/(1)1/(2)(x dy y x x p X +=⎰++=∞，故 .例6 在),0(a 线段上任意抛两个点（抛掷二点的位置在),0(a 上独立地服从均匀分布），试求两点间距离的分布函数．解 设抛掷两点的坐标分别为X 和Y ，则X 与Y 相互独立，且都服从）（a ,0上的均匀分布，故),(Y X 的联合概率密度为记两点距离为Z ，则||Y X Z -=的分布函数为 )|(|)(z Y X P z F Z ≤-=当0<z 时，显然0)(=z F Z ； 当a z <≤0时，当a z ≥时，1)(=z F Z 故两点距离Z 的分布函数为例7 假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障时间都服从参数为0>λ的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T 的概率分布．解 设)3,2,1(=i X i 为第i 个电子元件无故障工作的时间，则321,,X X X 是独立同分布的随机变量，其分布函数为记)(t G 为了T 的分布函数，则 当0<t ，0)(=t G ； 当0≥t 时，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=λ-0,00,1)(3t t e t G t即电路正常工作时间T 服从参数为λ3的指数分布．例8 设随机变量X 与Y 独立同分布，其概率密度为 求随机变量22Y X Z +=的概率密度．解 由于X 与Y 独立同分布，故),(Y X 的联合概率密度为当0≤z 时，显然0)(=z F Z 当0>z 时，故22Y X Z +=的概率密度为例9.已知随机变量1}2/1{,4/34/110~=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Y P X ，又n 维向量123,,a a a 线性无关。

二维随机变量的联合分布函数随机变量是概率论和数理统计中的重要概念之一，它可以描述一个随机事件以及该事件可能出现的结果。

二维随机变量则是另一种更为复杂的随机变量类型，它可以同时描述两个随机事件之间的关系。

在二维随机变量中，我们有一个联合分布函数，它描述了两个随机变量的值同时出现的可能性，也就是两个随机变量之间的联合关系。

二维随机变量的联合分布函数定义为：F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
其中，X和Y是两个二维随机变量，F(x,y)表示X≤x且Y≤y的概率。

联合分布函数可以用来描述两个随机变量之间的关系，从而可以计算出相应的统计特征，如均值、方差、协方差等。

在实际应用中，联合分布函数也可以用于概率分布估计、预测和建模等问题。

例如，如果我们有两个随机变量X和Y，它们分别表示某个商品的价格和销量。

我们可以通过计算它们之间的联合分布函数，来研究价格和销量之间的关系。

如果联合分布函数的曲线表现为随价格上升而
销量下降的趋势，那么我们可以得出这个商品的价格和销量之间是负
相关的。

另外，联合分布函数还可以衍生出边际分布函数和条件分布函数。

边际分布函数指的是某一个随机变量的概率分布函数，而条件分布函
数则指的是在已知另一个随机变量取某一值的情况下，另一个随机变
量的概率分布函数。

总之，二维随机变量的联合分布函数是概率论和数理统计中重要
的概念之一。

通过联合分布函数，我们可以研究和描述两个随机变量
之间的相互关系，从而得出相应的统计特征，如均值、方差、协方差等。

同时，联合分布函数还可以衍生出边际分布函数和条件分布函数，有助于在实际应用中进行概率分布估计、预测和建模等问题的解决。

二维随机变量与联合概率分布随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机试验的结果。

而在某些情况下，我们需要考虑两个或者多个随机变量之间的关联关系，这就引出了二维随机变量的概念。

本文将介绍二维随机变量以及联合概率分布的相关知识。

一、二维随机变量的定义在概率论中，二维随机变量由两个随机变量组成，通常用大写字母（如X、Y）表示。

二维随机变量可以表示为(X,Y)。

二、联合概率分布的定义联合概率分布是二维随机变量(X,Y)所对应的概率分布。

对于任意的(x,y)，联合概率分布可以表示为P(X=x,Y=y)，其中P表示概率。

三、联合概率密度函数如果二维随机变量的取值是连续的，那么联合概率分布可以用联合概率密度函数来描述。

记为f(x,y)，则对于任意的(x,y)，联合概率密度函数满足以下条件：1. f(x,y)大于或等于0；2. 在整个定义域上的积分等于1，即∬f(x,y)dxdy=1；3. 对于任意的事件A，有P((X,Y)∈A)=∬Af(x,y)dxdy。

四、边缘概率分布边缘概率分布是指在二维随机变量的联合分布中，只考虑某一个随机变量的概率分布。

对于离散型二维随机变量，边缘概率分布可以通过联合概率分布进行计算。

对于连续型二维随机变量，边缘概率分布可以通过联合概率密度函数积分得到。

五、条件概率分布条件概率分布是指在给定一个随机变量的取值时，另一个随机变量的概率分布。

对于二维随机变量(X,Y)，在给定X=x的条件下，Y的条件概率为P(Y=y|X=x)，表示Y取值为y的条件下，X取值为x的概率。

六、独立性如果二维随机变量X和Y的联合概率分布等于边缘概率分布之积，即P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)，那么称X和Y是相互独立的。

七、联合分布函数与边缘分布函数联合分布函数是指二维随机变量(X,Y)的分布函数，记为F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)。

边缘分布函数是指在联合分布函数中，只考虑某一随机变量的取值的分布函数。