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中考数学压轴题专项汇编专题22直角三角形的存在性

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专题 直角三角形的存在性 破解策略 以线段AB为边的直角三角形构造方法如右图所示：

AB ABECF EFABC 直角三角形的另一个顶点在以A在以AB为直径的圆上，或过A、B且与AB垂直的直线上（A，B两点除外）． 解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有： （1）几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算． 如图，若∠ACB＝90°．过点A、B作经过点C的直线的垂线，垂足分别为E、F．则△AEC∽△CFB．从而得到线段间的关系式解决问题．

（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股定理列出方程，然后解方程并检验． 有时候将几何法和代数法相结合．可以使得解题又快又好！ 例题讲解 例1 如图，抛物线l：y＝ax2＋2x－3与r轴交于A，B（3，0）两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C（0，3）．已知对称轴为x＝1． （1）求抛物线的表达式； （2）设点P是抛物线l上任意一点，点Q在直线x＝－3上，问：△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．

xyC

BAO

l

xy

CMN

ABO

QlP

x

yl

Q

AONB

PM

解：（1）由题意可得点A的坐标为（1，0）． 所以抛物线表达式可变为y＝a（x－3）（x＋1）＝ax2－2ax－3a 由点C的坐标可得－3a＝3，a＝－1 所以抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3． （2）如图，过点P作PM垂直于直线l，垂足为M．过点B作BN垂直于直线PM．垂足为N． 若△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， 无论点P在BQ的上方或下方，由“弦图模型”均可得△PQM∽△BPN． 所以PM＝BN． 设点P的坐标为（m，H，－m2＋2m＋3）．则PM＝|m＋3|，BN＝|－m2＋2m＋3|，所以|m＋

3|＝|－m2＋2m＋3|．解得m1＝0，m2＝1，m3＝3+332，m4＝3332－

所以点P的坐标为（0，3（1，4（3+132，332－9－（3332－，32+3－9） 例2 如图，一次函数y＝－2x＋10的图象与反比例函数y＝kx（k＞0）的图象相交于A、B两点（点A在点B的右侧分别交x轴．y轴于点E，F．若点A的坐标为（4，2）．问：

反比例函数图象的另一支上是否存在一点P．使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由，

xy

BAF

POE

x

yOP

E

BFA

解：将点A（4，2）代入反比例函数表达式，得k＝8， 所以反比例函数为y＝8x，

联立方程纽组8210yxyx ， 解得1142xy，2218xy 所以点B的坐标为（1，8）． 由题意可得点E．F的坐标分剐为（5，0（0，10 以AB为直角迎的直角三角形有两种情况：

如图1，当∠PAB＝90°时，

连结OA，则OA＝2242＝25．

而AE＝2212＝5，OE＝5，所以OA2＋AE2＝OE2， 即OA⊥AB．所以A，O，P三点共线． 由O、A两点的坐标可得直线AP的表达式为y＝12x． 联立方程组812yxyx 解得1142xy，2242xy 所以点P的坐标为（－4，－2）． ②如图2，当∠PBA＝90°时，记BP与y轴的交点为G．

易证△FBC∽△FOE，所以FBFOFGFE，

而FO＝10．FE＝2251055，FB＝2212＝5 可求得FG＝52，所以点G的坐标为（0，152）．由B，G两点的坐标可得直线BP的表达式为y＝12x＋152，

联立方程组115228yxyx＝＋，＝， 解得1118xy＝，＝；221612xy＝－，＝－. 所以点P的坐标为（－16，－12）； 综上可得，满足条件的点P坐标为（－4，－2）或（－16，－12）．

图2FGxyAEOP 例3 如图，抛物线C1：y＝a（x－2）2－5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧点A的横坐标是－1．D是x轴负半轴上的一个动点，将抛物线C1绕点D旋

转180°后得到抛物线C2．抛物线C2的顶点为Q，与x轴相交于E，F两点（点E在点F的左侧）．当以点P，Q，E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点Q的坐标． C1

BADOF EQ

C2P

x

y

解 由题意可得点A（－1，0P（2，－5B（5，0）． 设点D的坐标为（m，0则点Q的坐标为（2m－2，5E的坐标为（2m－5，0 所以PQ2＝（2m－4）2 ＋102，PE2＝（2m－7）2＋52，EQ2＝32＋52＝34． △PQE为直角三角形有三种情况： ①当∠PQE＝ 90°时，有PE2＝PQ2＋ EQ2，

即（2m－7）2＋52＝（2m－4）2＋102＋34，解得m＝－193，所以点Q的坐标为（－443，5）；

②当∠QEP＝90°时，有PQ2＝PE2 ＋EQ2， 即（2m－4）2＋102＝（2m－7）2＋52＋34，解得m＝－23，所以点Q的坐标为（－103，5）；

③当∠QPE＝ 90°时，有EQ2＝PE2 ＋ PQ2， 即（2m－7）2＋52＋（2m－4）2＋102＝34，方程无解，所以此种情况不成立，

综上可得，当△PQE为直角三角形时，顶点Q的坐标为（－443，5）或（－103，5）． 例4 如图．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝ 90°，AD＝2，BC＝6，AB＝3．E为BC边上一点，当BE＝2时，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．当正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B'EFG的边EF与AC交于点M，连结B′D，B'M，DM．问：是否存在这样的t，使△B'DM是直角三角形，若存在，求出t的值；

若不存在，请说明理由．

EB'MFGC

DA

B 解 存在满足条件的t．理由如下： 如图，过点D作DH⊥ BC于点H，过点M作MN⊥DH于点N， 则BH＝AD＝2，DH＝AB＝3． 所以BB′＝HE＝t，HB′＝|t－2|，EC＝4－t． 易证△MEC∽△ABC，

可得MEAB＝ECBC，即3ME＝46t－，所以ME＝2－12t．

在Rt△B′ME中，有B′M2＝ME2＋B′E2＝14t2－2t＋8． 在Rt△DHB′中，有B′D2＝DH2＋B′H2＝t2－4t＋13． 在Rt△DMN中，DN＝DH－NH＝12t＋1．

则DM2＝DN2＋MN2＝54t2＋t＋1． ①若∠DB'M＝90°，则DM2＝B'M2＋B'D2， 即54t2＋t＋1＝（14t2－2t＋8）＋（t2－4t＋13

解得t1＝207； ②若∠B'MD＝90°，则B'D2＝B'M2＋DM2， 即t2－4t＋13＝（14t2－2t＋8）＋（54t2＋t＋1

解得t2＝－3＋17，t3＝－3－17（舍）； ③若∠B'DM＝90°，则B'M2＝B'D2＋DM2， 即14t2－2t＋8＝（t2－4t＋13）＋（54t2＋t＋1 此方程无解． 综上所得，当t＝207或－3＋17时，△B'DM是直角三角形．

NHBADCGFMB'E

进阶训练 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA ＝4，AB＝3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1．25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x（0＜

x＜4）时，解答下列问题：

（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）； （2）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． y

MNO

解：（1）N（x，34x）； （2）当△OMN是直角三角形时，x的值为2或6441． 提示（1）过点N作NP⊥OA于点P，由△PON∽△AOB即可求得； （2）分类讨论，通过△OMN和△OAB相似即可列出等式求得x的值．

POB

A NMxy

2．如图，在平面直角坐标xOy中，直线y＝kx－3与双曲线y＝4x的两个交点为A，B．其中A（－1，a）．若M为x轴上的一个动点，且△AMB为直角三角形，求满足条件的点M的坐标．

A xy

BO

解：满足条件的点M的坐标为（－5，0（5，0（3412－，0）或（3412＋，0）． 提示先求出点A，B的坐标，再设点M的坐标，从而用待定字母表示AM2，BM2，AB2．然后讨论直角，根据勾股定理列方程即可．

3．如图，抛物线233384yxx与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧与y轴交于点C．

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2021年数学中考专题复习 直角三角形的存在性

2021年数学中考专题复习 直角三角形的存在性

九年级数学专题直角三角形的存在性解题策略：1.直角三角形的构造方法以线段AB为边的直角三角形的另一个顶点在以AB为直径的圆上,或在分别过点A,B且与AB垂直的直线上(A,B两点除外).2.直角三角形存在性问题的解题策略解直角三角形的存在性问题时,若没有明确指出直角三角形的直角,则需要分类讨论.(1)几何法:先分类讨论直角,再画出直角三角形,从而构造弦图解决问题.如图,若∠ACB=90°,分别过点A,B作经过点C的直线的垂线,垂足为E,F,则△AEC∽△CFB,从而得到线段间的关系式.(2)代数法:先罗列三边长,再分类讨论直角,根据勾股定理列出方程,然后解方程并检验.能力训练：1.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴上,且OA=4,AB=3,动点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动,同时点N从点O出发以每秒1.25个单位长度的速度沿OB向终点B 移动.问:在两个动点运动过程中,是否存在某一时刻t,使得△OMN为直角三角形?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.2.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线G 1:y=a(x-25)2+6415与x 轴交于点A(-65,0)和点B. (1)求抛物线G 1的表达式;(2)如图2,将抛物线G 1先向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到抛物线G 2,若抛物线G 1与抛物线G 2相交于点D,连接BD.问:抛物线G 2上是否存在点P,使得△BDP 为等腰直角三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+2x+c(a ≠0)与x 轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y 轴交于点C.试探究:在抛物线上是否存在点P,构成以A,P,C 为顶点,AC 为直角边的直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.4.如图,在平面直角坐标系中,函数y=-ax 2+2ax+3a(a>0)的图象交x 轴于点A,B,交y 轴于点C,它的对称轴交x 轴于点E.过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D,连接DE 并延长交y 轴于点F,直线AF 交CD 于点H,连接HE.若△HEF 是直角三角形,求a 的值.5.如图,在平面直角坐标系中,顶点为P(4,-4)的抛物线经过原点O(0,0),点A在抛物线上,OA与其对称轴l 交于点M,点M与点N关于点P对称,连接AN,ON问:点A在对称轴l右侧的抛物线上运动时,△ANO能否为直角三角形?如果能,请求出所有符合条件的点A的坐标;如果不能,请说明理由.6.如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx-3与反比例函数y=4的图象有A(-1,a),B两个交点,若M是x轴上x的一个动点,且△AMB为直角三角形,求满足条件的点M的坐标.7.如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上,抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时,那么我们称抛物线C1与C2是“互x2+x与C2:y=ax2+x+c是“互为关联”的抛物为关联”的抛物线.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=14线,A,B分别是抛物线C1,C2的顶点,抛物线C2经过点D(6,-1).问:抛物线C2上是否存在点E,使得△ABE为直角三角形?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由.8.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.F是直线AC上的动点.问:在抛物线上是否存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.9.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E是BC边上一点.当BE=2时,以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧,当正方形BEFG沿BC向右平移,记平移中的正方形BEFG为正方形B＇EFG,当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形B＇EFG的边EF与AC交于点M,连接B＇D,B＇M,DM.问:是否存在这样的t,使△BDM为直角三角形?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.10.如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+1与直线l2:x=-2相交于点D,A是直线l2上的动点,过点A作AB ⊥l1于点B,点C的坐标为(0,3),连接AC,BC.问:在l2上是否存在点A,使得△ABC是直角三角形?若存在,请求出此时点A的坐标;若不存在,请说明理由.。

中考数学压轴题解题策略(3)-直角三角形的存在性问题解题策略

中考数学压轴题解题策略(3)-直角三角形的存在性问题解题策略

直角三角形的存在性问题解题策略专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．例题解析例❶如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝45．D、E为线段BC上的两个动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E 作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值．图1-1【解析】△BDF中，∠B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况．如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点．在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝45，所以BH＝8．所以BC＝16．由EF//AC，得BF BEBA BC=，即31016BF x+=．所以BF＝5(3)8x+．图1-2 图1-3 图1-4①如图1-3，当∠BDF＝90°时，由4cos5BDBBF∠==，得45BD BF=．解方程45(3)58x x=⨯+，得x＝3．②如图1-4，当∠BFD ＝90°时，由4cos 5BF B BD ∠==，得45BF BD =． 解方程5154885x x +=，得757x =． 我们看到，在画示意图时，无须受到△ABC 的“限制”，只需要取其确定的∠B ． 例❷ 如图2-1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，，，．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成 △ABC ，设AB ＝x ，若△ABC 为直角三角形，求x 的值．图2-1【解析】△ABC 的三边长都可以表示出来，AC ＝1，AB ＝x ，BC ＝3－x ．如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根．②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x （如图2-2）． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x （如图2-3）． 因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形．图2-2 图2-3例❸ 如图3-1，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2, 0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数)0(2>=x xy 图象上的一点，且△ABP 是直角三角形，求点P 的坐标．图3-1【解析】A 、B 两点是确定的，以线段AB 为分类标准，分三种情况．如果线段AB 为直角边，那么过点A 画AB 的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点B 画AB 的垂线，有1个交点．以AB 为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那4=MN 1=MA 1>MB么就有交点．如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点．由题意，得点B 的坐标为（2，0），且∠BAP 不可能成为直角．①如图3-2，当∠ABP ＝90°时，点P 的坐标为（2，1）．②方法一：如图3-3，当∠APB ＝90°时，OP 是Rt △APB 的斜边上的中线，OP ＝2．设P 2(,)x x ，由OP 2＝4，得2244x x+=．解得x =P (2,2)．图3-2 图3-3方法二：由勾股定理，得P A 2＋PB 2＝AB 2．解方程2222222(2)()(2)()4x x x x +++++=，得x =方法三：如图3-4，由△AHP ∽△PHB ，得PH 2＝AH ·BH ．解方程22()(2)(2)x x x =+-，得x =图3-4 图3-5这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x 2－2)2＝0．这个四次方程的解是x 1＝x 2＝2，x 3＝x 4＝它的几何意义就是以AB 为直径的圆与双曲线相切于P 、P ′两点（如图3-5）．例❹ 如图4-1，已知直线y ＝kx －6经过点A (1,－4)，与x 轴相交于点B ．若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．图4-1【解析】和例题3一样，过A 、B 两点分别画AB 的垂线，各有1个点Q ．和例题3不同，以AB 为直径画圆，圆与y 轴有没有交点，一目了然．而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的．将A (1,－4)代入y ＝kx －6，可得k ＝2．所以y ＝2x －6，B (3,0)．设OQ 的长为m ．分三种情况讨论直角三角形ABQ ：①如图4-2，当∠AQB ＝90°时，△BOQ ∽△QHA ，BO QH OQ HA =．所以341m m -=． 解得m ＝1或m ＝3．所以Q (0,－1)或(0,－3)．②如图4-3，当∠BAQ ＝90°时，△QHA ∽△AGB ，QH AG HA GB =．所以4214m -=． 解得72m =．此时7(0,)2Q -． ③如图4-4，当∠ABQ ＝90°时，△AGB ∽△BMQ ，AG BM GB MQ =．所以243m =． 解得32m =．此时3(0,)2Q ．图4-2 图4-3 图4-4三种情况的直角三角形ABQ ，直角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点为公共顶点，构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便．已知A (1,－4)、B (3,0)，设Q (0, n )，那么根据两点间的距离公式可以表示出AB 2，AQ 2和BQ 2，再按照斜边为分类标准列方程，就不用画图进行“盲解”了．例❺ 如图5-1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只．．．有．三个时，求直线l 的解析式．图5-1【解析】有且只有三个直角三角形ABM 是什么意思呢？过A 、B 两点分别画AB 的垂线，与直线l 各有一个交点，那么第三个直角顶点M 在哪里？以AB 为直径的⊙G 与直线l 相切于点M 啊！ 由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得A (－4, 0)、B (2, 0)，直径AB ＝6． 如图5-2，连结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．因此3tan 4GEM ∠=． 设直线l 与y 轴交于点C ，那么OC ＝3．所以直线l （直线EC ）为334y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =-．图5-2例❻ 如图6-1，在△ABC 中，CA ＝CB ，AB ＝8，4cos 5A ∠=．点D 是AB 边上的一个动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，连结CE 、DE ．（1）求底边AB 上的高；（2）设CE 与AB 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求AD 的长；（3）连结AE ，当△ADE 是直角三角形时，求AD 的长．图6-1【解析】这道题目画示意图有技巧的，如果将点D 看作主动点，那么CE 就是从动线段．反过来画图，点E 在以CA 为半径的⊙C 上，如果把点E 看作主动点，再画∠ACE 的平分线就产生点D 了．（1）如图6-2，设AB 边上的高为CH ，那么AH ＝BH ＝4．在Rt △ACH 中，AH ＝4，4cos 5A ∠=，所以AC ＝5，CH ＝3． （2）①如图6-3，当∠AFC ＝90°时，F 是AB 的中点，AF ＝4，CF ＝3． 在Rt △DEF 中，EF ＝CE －CF ＝2，4cos 5E ∠=，所以52DE =．此时52AD DE ==．②如图6-4，当∠ACF＝90°时，∠ACD＝45°，那么△ACD的条件符合“角边角”．作DG⊥AC，垂足为G．设DG＝CG＝3m，那么AD＝5m，AG＝4m．由CA＝5，得7m＝5．解得57m=．此时2557AD m==．图6-2 图6-3 图6-4 （3）因为DA＝DE，所以只存在∠ADE＝90°的情况．①如图6-5，当E在AB下方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝135°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH－DH＝1．②如图6-6，当E在AB上方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝45°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH＋DH＝7．图6-5 图6-6。

中考数学专题：直角三角形存在性问题

中考数学专题：直角三角形存在性问题


坐标为
3 2
,
0
．
确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~
【小结】 几何法：（1）“两线一圆”作出点；
（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．
代数法：（1）表示点 A、B 、C 坐标； （2）表示线段 AB 、AC、BC； （3）分类讨论 ①AB²+AC²=BC²、②AB ²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²； （4）代入列方程，求解．
垂线，长度必为 1，故 P 的纵坐标为±1．如下图，不难求出 P 点坐标．
设
P
点坐标为
m,
1 2
m2
m
3 2
，
可得： 1 m2 m 3 1 ．
2
2
解得： m1 1 2 ， m2 1 2 ， m3 1 6 ， m4 1 6 （舍）．
如下图，对应 P 点坐标分别为 1 2,1 、 1 2, 1 、 1 6,1 ．
2
2
若
1 2
m2
m
3 2
m
1 ，解得： m1
5 ， m2 5 （舍）．
若
1 2
m2
m
3 2
m
1 ，解得：
m1
2
5 ， m2 2
5 （舍）．
如下图，对应 P 点坐标分别为 5,1 5 、 2 5,1 5 ．
y
D AO
C
M Bx
P
y
D O
A
P
Q
C Bx
Q
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对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！ 也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键． 其实只要再明确一点，构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即 可．
初中数学中考专题2：直角三角形的存在性问题探究

初中数学中考专题2：直角三角形的存在性问题探究

中考专题（二） 直角三角形的存在性问题探究一、专题攻略1、解直角三角形存在性问题，一般分三步，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．2、一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．3、有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．4、解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．5、如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．6、在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．7、怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．二、例题解析例1：（可以按照直角的顶点分类）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，cos ∠B ＝45．D 、E 为线段BC 上的两个动点，且DE ＝3（E 在D 右边），运动初始时D 和B 重合，当E 和C 重合时运动停止．过E 作EF //AC 交AB 于F ，连结DF ．设BD ＝x ，如果△BDF 为直角三角形，求x 的值．例2： （可以按照斜边分类）如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，，，．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设AB ＝x ，若△ABC 为直角三角形，求x 的值．4=MN 1=MA 1>MB例3：（以线段AB 为分类标准）如图，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2, 0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数)0(2>=x xy 图象上的一点，且△ABP 是直角三角形，求点P 的坐标．练习1、如图，已知直线y ＝kx －6经过点A (1,－4)，与x 轴相交于点B ．若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．练习2、如图，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．若直线l 过点 E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．练习3、如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，AB ＝8，4cos 5A ∠=．点D 是AB 边上的一个动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，连结CE 、DE ．（1）求底边AB 上的高；（2）设CE 与AB 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求AD 的长；（3）连结AE ，当△ADE 是直角三角形时，求AD 的长．练习4：如图，抛物线()2230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点. （1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标；（2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.练习5：在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0) ．如图所示，B 点在抛物线y ＝12x 2＋12x －2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为－3．（1）求证：△BDC ≌△COA ；（2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。