(完整版)2019年中考数学复习题方法技巧专题9角的存在性问题

方法技巧专题(九)　角的存在性问题1.[2018·乐山] 如图F9-1,曲线C 2是双曲线C 1:y=(x>0)绕原点O 逆时针旋转45°得到的图形,P 是曲线C 26x 上任意一点,点A 在直线l :y=x 上,且PA=PO ,则△POA 的面积等于( )图F9-1A .B .6C .3D .1262.[2018·宿迁] 如图F9-2,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数y=kx ,y=x (k>1)的2x 1k 图象分别交于点A,B.若∠AOB=45°,则△AOB 的面积是 .图F9-23.如图F9-3,在平面直角坐标系xOy 中,点A (-1,0),B (0,2),点C 在第一象限,∠ABC=135°,AC 交y 轴于点D ,CD=3AD ,反比例函数y=的图象经过点C ,则k 的值为 .kx 图F9-34.如图F9-4,点P 是正方形ABCD 内一点,点P 到点A ,B 和D 的距离分别为1,2,.△ADP 沿点A 旋转至△210ABP',连结PP',并延长AP 与BC 相交于点Q.(1)求证:△APP'是等腰直角三角形;(2)求∠BPQ的大小;(3)求CQ的长.图F9-45.如图F9-5,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下,连结BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.图F9-56.如图F9-6,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.(1)求点M,A,B的坐标;(2)连结AB,AM,BM,求∠ABM的正切值;(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x轴正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求点P的坐标.图F9-67.如图F9-7,抛物线y=-x 2+bx+c 与直线y=x+2交于C ,D 两点,其中点C 在y 轴上,点D 的坐标为(3,).点P 1272是y 轴右侧的抛物线上一动点,过点P 作PE ⊥x 轴于点E ,交CD 于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)若存在点P ,使∠PCF=45°,求点P 的坐标.图F9-78.[2018·莱芜] 如图F9-8,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A (-1,0),B (4,0),C (0,3)三点,D 为直线BC 上方抛物线上一动点,DE ⊥BC 于点E.(1)求抛物线的函数表达式.(2)如图①,求线段DE 长度的最大值.(3)如图②,设AB的中点为F,连结CD,CF,是否存在点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等?若存在,求点D 的横坐标;若不存在,请说明理由.图F9-8参考答案1.B [解析] 如图,将点P 绕点O 顺时针旋转45°,得到点P 的对应点P',∵曲线C 2是双曲线C 1:y=(x>0)绕原点O 逆时针旋转45°得到的图形,6x ∴点P'在双曲线y=上,且OP=OP',6x 过点P'作P'M ⊥y 轴于点M ,过点P 作PH ⊥OA 于点H.∴△OP'M 的面积=|k|=3.12∵PA=PO ,∴OH=AH.又∵点A 在直线l :y=x 上,∴∠AOM=45°,而∠POP'=45°,不妨设∠MOP'=α,∴∠OP'M=90°-α,∠POA=45°+(45°-α)=90°-α,∴∠POA=∠OP'M.又∵∠PHO=∠P'MO=90°,OP=OP',∴△OPH ≌△P'OM (AAS ),∴△OPH 的面积=△OP'M 的面积=3.又∵OH=AH ,∴△OPA 的面积为6.故选B .2.2　[解析] 如图,过点O 作OC ⊥AB ,垂足为C ,过点A 作AM ⊥y 轴,垂足为M ,过点B 作BN ⊥x 轴,垂足为N.设点A 的横坐标为a ,则点A 的纵坐标为.2a∵点A 在正比例函数y=kx 的图象上,∴=ka ,k=.∴OB 所在直线的解析式为y=x.2a 2a 2a 22令x=,得x=,此时y=a.∴点B 的坐标为(,a ).a 222x 2a 2a ∴OA=OB ,∴∠AOC=∠BOC ,△OAM ≌△OBN.∵∠AOB=45°,∴∠AOC=∠AOM.∴△OAM ≌△OAC.∴S △OAB =2S △OAM =2.3.94.解:(1)证明:∵△ABP'是由△ADP 顺时针旋转90°得到的,∴AP=AP',∠PAP'=90°, ∴ △APP'是等腰直角三角形.(2)∵△APP'是等腰直角三角形,AP=1,∴∠APP'=45°,PP'=.2又∵BP'=DP=,BP=2,102∴PP'2+BP 2=BP'2,∴∠BPP'=90°.∵∠APP'=45°,∴∠BPQ=180°-∠APP'-∠BPP'=45°.(3)过点B 作BE ⊥AQ 于点E ,则△PBE 为等腰直角三角形,∴BE=PE ,BE 2+PE 2=PB 2,∴BE=PE=2,∴AE=3,∴AB==,则BC=.AE 2+BE 21313∵∠BAQ=∠EAB ,∠AEB=∠ABQ=90°,∴△ABE ∽△AQB ,∴= ,即 =,∴AQ=,AE AB AB AQ 31313AQ 133∴BQ==,AQ 2-AB 22133∴CQ=BC-BQ=.1335.解:(1)∵抛物线y=ax 2+bx-4a 经过A (-1,0),C (0,4)两点,∴{a -b -4a =0,-4a =4,解得{a =-1,b =3,∴抛物线的解析式为y=-x 2+3x+4.(2)∵点D (m ,m+1)在抛物线上,∴m+1=-m 2+3m+4,即m 2-2m-3=0,∴m=-1或m=3.∵点D 在第一象限,∴点D 的坐标为(3,4).由(1)知OC=OB ,∴∠CBA=45°.如图①,设点D 关于直线BC 对称的点为点D'.∵C (0,4),∴CD ∥AB ,且CD=3,∴∠D'CB=∠DCB=45°,∴点D'在y 轴上,且CD'=CD=3,∴OD'=1,∴D'(0,1),即点D 关于直线BC 对称的点的坐标为(0,1).(3)如图②,过点P 作PF ⊥AB 于点F ,过点D 作DE ⊥BC 于点E.由(1)有OB=OC=4,∴∠OBC=45°.∵∠DBP=45°,∴∠CBD=∠PBA.∵C (0,4),D (3,4),∴CD ∥OB 且CD=3,∴∠DCE=∠CBO=45°,∴DE=CE=.322∵OB=OC=4,∴BC=4,2∴BE=BC-CE=,522∴tan∠PBF=tan∠CBD==.DE BE 35设PF=3t ,则BF=5t ,OF=5t-4,∴P (-5t+4,3t ).∵P 点在抛物线上,∴3t=-(-5t+4)2+3(-5t+4)+4,∴t=0(舍去)或t=,∴P (-,).22252566256.解:(1)∵抛物线y=x 2-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=(x-1)2-3.∴顶点M (1,-3),令x=0,则y=(0-1)2-3=-2,∴点A (0,-2).当x=3时,y=(3-1)2-3=4-3=1,∴点B (3,1).(2)如图,过点B 作BE ⊥y 轴于点E ,过点M 作MF ⊥y 轴于点F ,∵EB=EA=3,∴∠EAB=∠EBA=45°,同理可求∠FAM=∠FMA=45°,∴△ABE ∽△AMF ,∴==.AM AB AF AE 13又∵∠BAM=180°-45°×2=90°.∴tan∠ABM==.AM AB 13(3)如图,过点P 作PH ⊥x 轴于点H.∵y=(x-1)2-3=x 2-2x-2, ∴设点P (x ,x 2-2x-2),①点P 在x 轴上方时,=,x 2-2x -2x 13整理,得3x 2-7x-6=0,解得x 1=-(舍去),x 2=3,23∴点P 的坐标为(3,1).②点P 在x 轴下方时,=,-(x 2-2x -2)x 13整理,得3x 2-5x-6=0,解得x 1=(舍去),x 2=.5-9765+976当x=时,y=x 2-2x-2=-,5+9765+9718∴点P 的坐标为(,-).5+9765+9718综上所述,点P 的坐标为(3,1)或(,-).5+9765+97187.解:(1)由抛物线过点C (0,2),D (3,),可得72解得{-0+0+c =2,-9+3b +c =72,{c =2,b =72,故抛物线的解析式为y=-x 2+x+2.72(2)设P (m ,-m 2+m+2).如图,当点P 在CD 上方且∠PCF=45°时,过点P 作PM ⊥CD 于点M ,过点C 作CN ⊥PF 于72点N ,则△PMF ∽△CNF,∴===2,∴PM=CM=2MF=2CF.PM MF CN FN m12m ∴PF=FM=CF=×CN=CN=m.555525252又∵PF=-m 2+3m ,∴-m 2+3m=m.52解得m 1=,m 2=0(舍去),∴P (,).121272当点P 在CD 下方且∠PCF=45°时,同理可以求得另外一点为P (,).23613188.[解析] (1)由抛物线经过A ,B ,C 三点,用待定系数法可求函数表达式;(2)先求出直线BC 的函数关系式,再过点D 作DM ⊥x 轴交BC 于点M ,设点D 的坐标,表示出点M 的坐标,利用相似三角形将线段DE 的长转化为DM 的长,得到一个二次函数表达式,再根据二次函数的性质求最值;(3)由∠CED=∠COF=90°,分两种情况求解:①∠DCE=∠CFO ;②∠CDE=∠CFO.解:(1)由题意,得解得{a -b +c =0,16a +4b +c =0,c =3,{a =-34,b =94,c =3.∴y=-x 2+x+3.3494(2)设直线BC 的解析式为y=kx+m ,则有解得∴y=-x+3.{4k +m =0,m =3,{k =-34,m =3,34设D (n ,-n 2+n+3) (0<n<4).3494如图①,过点D 作DM ⊥x 轴交BC 于点M,∴M (n ,-n+3).34∴DM=(-n 2+n+3)-(-n+3)=-n 2+3n.34943434∵∠DME=∠OCB ,∠DEM=∠COB ,∴△DEM ∽△BOC ,∴=.DE DM OB BC ∵OB=4,OC=3,∴BC=5,∴DE=DM.45∴DE=-n 2+n=-(n-2)2+.∴当n=2时,DE 取最大值,最大值是.3512535125125(3)假设存在这样的点D ,使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等.∵F 是AB 的中点,∴OF=1,tan∠CFO==2.OC OF 如图②,过点B 作BG ⊥BC 交CD 的延长线于点G ,过点G 作GH ⊥x 轴于点H.∵DE ⊥BC ,∴∠CED=90°,则只可能是另外两个角与∠CFO 相等.①∠DCE=∠CFO ,则tan∠DCE===2,BC=5,∴BG=10.BG CB OC OF ∵△GBH ∽△BCO ,∴==,∴GH=8,BH=6.∴G (10,8).GH BO HB OC GB BC 设直线CG 的解析式为y=kx+t ,∴解得∴y=x+3.{t =3,10k +t =8,{k =12,t =3,12依题意,得解得x=或x=0(舍).{y =12x +3,y =-34x 2+94x +3,73②若∠CDE=∠CFO ,同理可得,BG=,GH=2,BH=,∴G (,2).5232112同理可得直线CG 的解析式为y=-x+3.211依题意,得解得x=或x=0(舍).{y =-211x +3,y =-34x 2+94x +3,10733综上所述,存在点D 使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等,其横坐标为或.7310733。

方法技巧专题(九) 角的存在性问题1.[2018·乐山] 如图F9-1,曲线C2是双曲线C1:y=(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,P是曲线C2上任意一点,点A在直线l:y=x上,且PA=PO,则△POA的面积等于()图F9-1A.B.6 C.3 D.122.[2018·宿迁] 如图F9-2,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数y=kx,y=x(k>1)的图象分别交于点A,B.若∠AOB=45°,则△AOB的面积是.图F9-23.如图F9-3,在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,0),B(0,2),点C在第一象限,∠ABC=135°,AC交y轴于点D,CD=3AD,反比例函数y=的图象经过点C,则k的值为.图F9-34.如图F9-4,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,2,.△ADP沿点A旋转至△ABP',连结PP',并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证:△APP'是等腰直角三角形;(2)求∠BPQ的大小;(3)求CQ的长.图F9-45.如图F9-5,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下,连结BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.图F9-56.如图F9-6,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.(1)求点M,A,B的坐标;(2)连结AB,AM,BM,求∠ABM的正切值;(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x轴正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求点P的坐标.图F9-67.如图F9-7,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)若存在点P,使∠PCF=45°,求点P的坐标.图F9-78.[2018·莱芜] 如图F9-8,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,3)三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE ⊥BC于点E.(1)求抛物线的函数表达式.(2)如图①,求线段DE长度的最大值.(3)如图②,设AB的中点为F,连结CD,CF,是否存在点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.图F9-8参考答案1.B[解析] 如图,将点P绕点O顺时针旋转45°,得到点P的对应点P', ∵曲线C2是双曲线C1:y=(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,∴点P'在双曲线y=上,且OP=OP',过点P'作P'M⊥y轴于点M,过点P作PH⊥OA于点H.∴△OP'M的面积=|k|=3.∵PA=PO,∴OH=AH.又∵点A在直线l:y=x上,∴∠AOM=45°,而∠POP'=45°,不妨设∠MOP'=α,∴∠OP'M=90°-α,∠POA=45°+(45°-α)=90°-α,∴∠POA=∠OP'M.又∵∠PHO=∠P'MO=90°,OP=OP',∴△OPH≌△P'OM(AAS),∴△OPH的面积=△OP'M的面积=3.又∵OH=AH,∴△OPA的面积为6.故选B.2.2[解析] 如图,过点O作OC⊥AB,垂足为C,过点A作AM⊥y轴,垂足为M,过点B作BN⊥x轴,垂足为N.设点A的横坐标为a,则点A的纵坐标为.∵点A在正比例函数y=kx的图象上,∴=ka,k=.∴OB所在直线的解析式为y=x.令x=,得x=,此时y=a.∴点B的坐标为(,a).∴OA=OB,∴∠AOC=∠BOC,△OAM≌△OBN.∵∠AOB=45°,∴∠AOC=∠AOM.∴△OAM≌△OAC.∴S△OAB=2S△OAM=2.3.94.解:(1)证明:∵△ABP'是由△ADP顺时针旋转90°得到的,∴AP=AP',∠PAP'=90°,∴△APP'是等腰直角三角形.(2)∵△APP'是等腰直角三角形,AP=1,∴∠APP'=45°,PP'=.又∵BP'=DP=,BP=2,∴PP'2+BP2=BP'2,∴∠BPP'=90°.∵∠APP'=45°,∴∠BPQ=180°-∠APP'-∠BPP'=45°.(3)过点B作BE⊥AQ于点E,则△PBE为等腰直角三角形,∴BE=PE,BE2+PE2=PB2,∴BE=PE=2,∴AE=3,∴AB==,则BC=.∵∠BAQ=∠EAB,∠AEB=∠ABQ=90°,∴△ABE∽△AQB,∴= ,即=,∴AQ=,∴BQ==,∴CQ=BC-BQ=.5.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,∴解得∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.(2)∵点D(m,m+1)在抛物线上,∴m+1=-m2+3m+4,即m2-2m-3=0,∴m=-1或m=3.∵点D在第一象限,∴点D的坐标为(3,4).由(1)知OC=OB,∴∠CBA=45°.如图①,设点D关于直线BC对称的点为点D'.∵C(0,4),∴CD∥AB,且CD=3,∴∠D'CB=∠DCB=45°,∴点D'在y轴上,且CD'=CD=3,∴OD'=1,∴D'(0,1),即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1).(3)如图②,过点P作PF⊥AB于点F,过点D作DE⊥BC于点E.由(1)有OB=OC=4,∴∠OBC=45°.∵∠DBP=45°,∴∠CBD=∠PBA.∵C(0,4),D(3,4),∴CD∥OB且CD=3,∴∠DCE=∠CBO=45°,∴DE=CE=.∵OB=OC=4,∴BC=4,∴BE=BC-CE=,∴tan∠PBF=tan∠CBD==.设PF=3t,则BF=5t,OF=5t-4,∴P(-5t+4,3t).∵P点在抛物线上,∴3t=-(-5t+4)2+3(-5t+4)+4,∴t=0(舍去)或t=,∴P(-,).6.解:(1)∵抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=(x-1)2-3.∴顶点M(1,-3),令x=0,则y=(0-1)2-3=-2,∴点A(0,-2).当x=3时,y=(3-1)2-3=4-3=1,∴点B(3,1).(2)如图,过点B作BE⊥y轴于点E,过点M作MF⊥y轴于点F,∵EB=EA=3,∴∠EAB=∠EBA=45°,同理可求∠FAM=∠FMA=45°,∴△ABE∽△AMF,∴==.又∵∠BAM=180°-45°×2=90°.∴tan∠ABM==.(3)如图,过点P作PH⊥x轴于点H.∵y=(x-1)2-3=x2-2x-2,∴设点P(x,x2-2x-2),①点P在x轴上方时,=,整理,得3x2-7x-6=0,解得x1=-(舍去),x2=3,∴点P的坐标为(3,1).②点P在x轴下方时,=,整理,得3x2-5x-6=0,解得x1=(舍去),x2=.当x=时,y=x2-2x-2=-,∴点P的坐标为(,-).综上所述,点P的坐标为(3,1)或(,-).7.解:(1)由抛物线过点C(0,2),D(3,),可得解得故抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)设P(m,-m2+m+2).如图,当点P在CD上方且∠PCF=45°时,过点P作PM⊥CD于点M,过点C作CN⊥PF于点N,则△PMF∽△CNF,∴===2,∴PM=CM=2MF=2CF.∴PF=FM=CF=×CN=CN=m.又∵PF=-m2+3m,∴-m2+3m=m.解得m1=,m2=0(舍去),∴P(,).当点P在CD下方且∠PCF=45°时,同理可以求得另外一点为P(,).8.[解析] (1)由抛物线经过A,B,C三点,用待定系数法可求函数表达式;(2)先求出直线BC的函数关系式,再过点D作DM ⊥x轴交BC于点M,设点D的坐标,表示出点M的坐标,利用相似三角形将线段DE的长转化为DM的长,得到一个二次函数表达式,再根据二次函数的性质求最值;(3)由∠CED=∠COF=90°,分两种情况求解:①∠DCE=∠CFO;②∠CDE=∠CFO.解:(1)由题意,得解得∴y=-x2+x+3.(2)设直线BC的解析式为y=kx+m,则有解得∴y=-x+3.设D(n,-n2+n+3) (0<n<4).如图①,过点D作DM⊥x轴交BC于点M,∴M(n,-n+3).∴DM=(-n2+n+3)-(-n+3)=-n2+3n.∵∠DME=∠OCB,∠DEM=∠COB,∴△DEM∽△BOC,∴=.∵OB=4,OC=3,∴BC=5,∴DE=DM.∴DE=-n2+n=-(n-2)2+.∴当n=2时,DE取最大值,最大值是.(3)假设存在这样的点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等.∵F是AB的中点,∴OF=1,tan∠CFO==2.如图②,过点B作BG⊥BC交CD的延长线于点G,过点G作GH⊥x轴于点H.∵DE⊥BC,∴∠CED=90°,则只可能是另外两个角与∠CFO相等.①∠DCE=∠CFO,则tan∠DCE===2,BC=5,∴BG=10.∵△GBH∽△BCO,∴==,∴GH=8,BH=6.∴G(10,8).设直线CG的解析式为y=kx+t,∴解得∴y=x+3.依题意,得解得x=或x=0(舍).②若∠CDE=∠CFO,同理可得,BG=,GH=2,BH=,∴G(,2).同理可得直线CG的解析式为y=-x+3.依题意,得解得x=或x=0(舍).综上所述,存在点D使得△CDE中有一个角与∠CFO相等,其横坐标为或.。

中考数学几何模型22个精选——存在性问题
1.三角形存在性问题
2.平行四边形存在性问题
目录1
一、直角三角形的存在性
1.几何法平面直角坐标系中已知条线段，构造直角三角形，用的是“两线圆':分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆。

2.两点间距离公式代数法，代数法解题步：
•(1)表示出A、B、C的坐标
•(2)表示出线段AB、AC、BC的长（两点间距离公式）
•(3)分类列方程
•3)解方程
•(4)检验。

二、等腰三角形的存在
1.“两圆一线”几何法，又叫两圆一中垂。

2.两点间距离公式代数法，代数法解题步骤：
•(1)列出三边长的平方
•(2)分类列方程；
•(3)解方程；
•(4)检验。

注：若△ABC是等腰三角形，那么可以分为①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC三种情况
练习
三、平行四边形的存在性
分析：平移法的原理是平行四边形的对应边平行且相等；对点法的原理平行四边形对角线互相平分.
常考类型：1.三定一动2.二定二动。

等角存在性问题
一．学习目标
1．掌握有关等角存在性问题中的分类．
2．掌握有关等角存在性问题中的基本计算．
3．了解有关倍角存在性问题中的计算．
二．学习重难点
有关等角存在性问题中的基本计算．
三．例题分析
例题 如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴正半轴交于点A 和B （9，0），与y 轴正半
轴交于点C （0，3），已知∠OAC =∠OCB ， 点P 在y
轴上．
（1）求点A 的坐标
思考：x 轴上是否还存在满足∠OA ′C =∠OCB 的点A ′？若存在，请直接写出点A ′的坐标．
（2）若存在满足∠PBA =∠OCA 的点P ，请直接写出点P 的坐标．
变式1 抛物线c bx ax y ++=2
上满足∠DBA =∠OCA 的点D 是否存在？若存在，求点D
的坐标，若不存在，说明理由．
变式2 若存在满足∠PBC =∠OCA 的点P ，请求出点P 的坐标．
变式3满足∠PBC =∠ACB 的点P 是否存在？若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.
变式4 x 轴上满足∠CEA =2∠OCA 的点E 是否存在？若存在，求点E 的坐标，若不存在，
说明理由．
拓展 满足sin ∠APB =23
的点P 是否存在？若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由．。

线段与角考点图解技法透析1．与直线、射线、线段有关的知识(1)直线：①直线的概念，一根拉得很紧的线，给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．②直线的表示方法：如图记作“直线AB”或“直线BA”；l 记作“直线l”．③直线的性质：过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线．(2)射线：①射线的概念，直线上一点和它一旁的部分叫射线，这一点叫射线的端点．射线向一方无限延伸．②射线的表示方法：如图记作“射线AB”；l记作射线l，注意必须把表示端点的字母写在前面．(3)线段：①线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点，线段不延伸．②线段的表示方法：如图记求“线段AB”或“线段BA”或“线段a”．③线段的性质：两点的所有连线中，线段最短．即两点之间，线段最短．(4)直线、射线、线段的区别与联系．①联系：直线、射线都可以看作是线段无限延伸得到的；反过来，射线和线段都是直线的一部分，线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分，射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分．②区别：如下表(5)线段的画法：①用直尺可以画出以A、B为端点的线段，画时不能向任何一方延伸．②“连接AB”的意义就是画出以A、B为端点的线段．③线段的延长线，如图，延长AB是指按由A向B的方向延长．延长BA是指按由B向A的方向延长．(也可说反向延长AB)(6)线段的比较①度量法：测量线段的长度后比较大小，②叠合法：用圆规把一条线段移到另一条线段上比较大小．(7)画一条线段等于已知线段，如：已知线段a，画一条线段AB＝a，有两种画法：①先画射线AC，再在射线AC上截取AB＝a．②先测量线段a的长度、再画一条等于这个长度的线段AB即可．(8)线段的中点及等分点的概念①如图①点O把线段AB分成相等的两条线段，AO与OB，点O叫线段AB的中点，显然有AO＝OB＝12AB（或AB＝2AO＝2OB）②如图②点O1，O2把线段AB分成相等的三条线段AO1＝O1O2＝O2B，则点O1，O2叫做线段AB 的三等分点，显然有：AO 1＝O 1O 2＝O 2B ＝13AB(或AB ＝3AO ，＝3O 1O 2＝3O 2B) ③如图③，点O 1，O 2，O 3把线段AB 分成相等的四条线段，则点O 1，O 2，O 3叫做线段AB的四等分点，显然有：AO 1＝O 1O 2＝O 2O 3＝O 3B ＝14AB(或AB ＝4AO 1＝4O 1O 2＝4O 2O 3＝4O 3B) (9)两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．2．与角有关的知识(1)角的概念：角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，又可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形．(2)角的四种表示方法：①一般可以用三个大写字母表示，且表示顶点的字母必须写在中间．如图①，记作∠AOB （或∠BOA ）；②当角的顶点处只有一个角时，可以用角的顶点字母来表示这个角，如图①可记作∠O ；③可以用一个小写希腊字母（如α、β、γ等）表示，如图②∠BOC 记作∠a ；④用一个阿拉伯数字表示如图②∠AOC 记作∠1．(3)特殊角及角的分类：①平角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置在同一条直线上时所成的角． ②周角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置重合时所成的角． ③直角：等于90°的角叫直角．④锐角：小于直角的角叫锐角．⑤钝角：大于直角而小于平角的角叫钝角．(4)角度制及角的画法：①角度制：以度、分，秒为单位的角的度量制，1°＝60'，1'＝60"．②借助三角尺和量角器画角．(5)角的和、差、倍、分的关系①每的和、差，如图所示：∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ，∠AOB ＝∠AOC －∠BOC②角的倍、分：角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，如图所示，若∠1＝∠2，则OC 是∠AOB 的平分线，此时有∠1＝∠2＝12∠AOB （或∠AOB ＝2∠1＝2∠2）． 同理，还有角的三等分线、四等分线……等．(6)余角和补角：①定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角．②性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等(7)方位角：方位角是表示方向的角．具体表示时．是南（或北）在先，再说偏东（或偏西）3．钟表上有关角的问题(1)钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如果与角度联系起来，每一小格对应6°；(2)秒针每分钟转过360°，分钟每分钟转过6°，时针每分钟转过0.5°．(3)时针与分针成一直线必须成180°的角，两针重合必须成0°的角，名题精讲考点1例1 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为_______个，最多为_______个．【切题技巧】可以通过画图来探求，先从简单情形、特殊情形考虑，再进行归纳，得出结论．①当平面内两两相交的6条直线相交于一点，此时交点的个数最少为1个，②当平面内两两相交的5条直线相交于一点，第6条直线与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋5＝6个，③当平面内两两相交的4条直线相交于一点，第5条直线与前面的4条直线都相交，第6条直线再与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋4＋5＝10个……，因此为使平面内两两相交的直线的交点个数最多，则要使任意两直线相交都产生新的交点，即任意两条直线相交都确定一个交点，且任意三条直线都不过同一点，于是可得交点数最多为：1＋2＋3＋4＋5＝()1552+⨯＝15(个)【规范解答】分别填1个，15个．(1)本例可进行如下推广：若平面内有两两相交的n条直线，其交点最少为1个，最多为1＋2＋3＋…＋（n＋1）＝12n（n－1）个交点；(2)一般地，平面内n条直线两两相交，且任意三条直线都不共点，那么这些直线将平面分成12（n＋1）n＋1个互不重叠的部分．(3)－般地，如果一条直线上有n个点，那么这条直线上的不同线段的条数为（n－1）＋（n－2）＋…＋2＋1＝12n（n－1）条；共有2n条不同的射线．【同类拓展】1．如图，数一数图中共有多少条不同的线段，多少条不同的射线？考点2 线段长度的计算例2 如图C、D、E将线段AB分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，且MN＝42，求PQ的长．【切题技巧】先根据比例把AC、CD、DE、EB用含x的代数式表示，再利用线段的和差及线段的中点的意义可得到相应的方程，从而求得PQ的长．【规范解答】∴【借题发挥】几何问题本身是研究图形的性质和数量关系，准确地画出图形，能使问题中各个量之间的关系直观化．本题的分析要着眼于找出未知线段的联系，使未知向已知转化，求线段的长度要充分利用线段的和差与线段的中点、等分点的意义，其解题方法与途径不是唯一的，需要我们根据题意灵活运用不同方法解决实际问题．【同类拓展】2．已知三条线段a、b、c在同一条直线上，他们有共同的起点，a 的终点是b的中点，c的中点是b的终点，且a＋b＋c＝7cm，求a、b、c的长．考点3 角的个数及角的度数的计算例3 如图已知OA、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．(1)若∠AOD＝70°，∠MON＝50°求∠BOC的大小；(2)若∠AOD＝α；∠MON＝β，求∠BOC的大小（用含α、β的式子表示）．利用角的平分线性质，角的和、差之间的转化，先找出∠AOD，∠MON与∠BOC之间的数量关系，为方便角的表示，可用含α、β的式子表示所求的角，也可设未知数，把几何问题代数化，通过整体变形、列方程，从而确定出角的大小．【规范解答】【借题发挥】(1)对于求角的度数的计算，通常有两种思路：一是根据各个量之间的关系，用已知量来表示未知量，直接求未知量；二是通过设辅助未知数，把几何问题代数化，根据图形中角的相等关系列方程或方程组，从而求解，应注意挖掘题目中的隐含的条件，适当转换．(2)一般地，同一平面内，在平角∠AOB的内部引以O为端点的（n－1）条射线，则图中共有：n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋3＋2＋1＝12n（n＋1）个小于平角的角．【同类拓展】 3．如图，∠AOB＝100°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON＝_______．考点4 钟表上有关的角度问题例4 时钟在下午4点至5点的什么时刻：(1)分针和时针重合？(2)分针和时针成一条直线？(3)分针和时针成45°角？【切题技巧】4点整时针已转过4大格，每大格30°，这时可看成时针在分针前面120°，若设所需时间为x分钟，则有6x－12x的值等于1200时，两针就重合；当时针与分针之间的角度为1200＋180°时两针成一条直线；当时针与分针之间的角度差等于120°－45°（时针在前）或120°＋45°（分针在前）时，两针成45°角．【规范解答】【借题发挥】钟表上时针和分钟问题实质是数学中的追及问题，钟面上有12大格，60小格，每个大格为30°的角，每个小格为6°的角．如果把单位时间内，分针和时针转过的度数当作是它们的“速度”，那么分针的速度为6°／分，时针的速度为0.5°／分，因此，分针速度是时针速度的12倍．在时针与分针的转动过程中，总是分针追及时针，然后超过时针又转化为追及时针，【同类拓展】4．王老师在活动课上为学生们讲数学故事，他发现故事开始时挂钟上的时针和分针恰好成90°角，这时是7点多；故事结束时两针恰好也是90°角，这时是8点多，他还发现，讲故事中，两针成90°角的有趣图形还出现过一次，求王老师讲故事所花的时间多少分？考点5 与线段有关的实际问题例5 摄制组从A市到B市有1天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃中饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息．司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米？【切题技巧】题目中所给条件只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形，思考它们之间的数量关系，从而利用形数结合思想解决问题．【规范解答】如图，设小镇为D，傍晚汽车E处休息，令AD＝x，则AC＝3x，DE＝400，CE＝400－2x ED＝12(400－2x)＝200－x，于是有：AB＝AC＋CE＋EB＝3x＋400－2x＋200－x＝600(km) 答：A、B两市相距600千米，【借题发挥】利用“线段图”将实际问题转化为几何问题，借助图形，利用“形数结合”思想解决实际问题是数学竞赛中的常用方法，如：A、B、C、D、E、F六支足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没有与B队比赛的球队是哪支队？此题用算术或代数方法求解容易陷入困境，此时可考虑用6个点表示A、B、C、D、E、F这6支足球队，若两队已赛过一场、就在相应的两个点之间连一条线，这样用“线段图”来辅助解题，形象直观，如图所示，则还没有与B队比赛的球队是E队．【同类拓展】5．某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30个，B区有15人，C区有10人，三个区在同一条直线上．位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在 ( )A．A区B．B区C．C区D．A、B两区之间参考答案1．(1)21(条) (2)14(条) 2．1cm，2cm，4cm． 3．50°4．1小时零5511分钟． 5．A2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )+8)cm B.10cm C.14cm D.无法确定2．2018年全国消协组织创新维权手段，聚焦维权难点，消费维权能力和水平不断提.2018年，全国消协组织共受理消费者投诉76.2万件，解决55.6万件，为消费者挽回经济损失约9.8亿元；其中，9.8亿可用科学记数法表示为（）A．9.08×108B．9.8×108C．0.98×109D．0.98×1010 3．2019年3月3日至3月15日，中国进入“两会时间”，根据数据统计显示，2019年全国两会热点传播总量达829.8万条，其中数据“829.8万”用科学记数法表示为（）A．8.298×107B．82.98×105C．8.298×106D．0.8298×1074．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B在x轴的负半轴上，将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，点M是线段AB'的中点，若反比例函数kyx(k≠0)的图象恰好经过点B'，M，则k＝（）A.4B.6C.9D.12 5．下列立体图形中，主视图是三角形的是（）A. B. C. D.6．在刚刚结束的中考英语听力、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．中位数是9B ．众数为16C ．平均分为7.78D ．方差为27．下列运算中，正确的是（ ）A ．（﹣x ）2•x 3＝x 5B ．（x 2y ）3＝x 6yC ．（a+b ）2＝a 2+b 2D ．a 6+a 3＝a 28．如图，点E 、F 是正方形ABCD 的边BC 上的两点（不与B 、C 两点重合），过点B 作BG ⊥AE 于点G ，连接FG 、DF ，若AB ＝2，则DF+GF 的最小值为（ ）A. ﹣1B.C.3D.49．关于x 的一元二次方程（m-5）x 2+2x+2=0有实根，则m 的最大整数解是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,1，点B 是x 轴正半轴上一点，以AB 为边作等腰直角三角形ABC ，使BAC=90∠︒，点C 在第一象限。

第1讲角的存在性处理策略知识必备 、一线三等角1•如图 1-1-1, . ACB =/D=90° 且.CAB =45°—二ACD 也 QBE ，此为“一线三直角”全等，又称“ K 字型”全等2•如图 1-1-2，/ ACB Z D NE=90o > 相似，又称“ K 字型”相似；3•如图 1-1-3，也 ACB =N D =N E =90°T、相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比; 相似三角形的对应线段成比例 • 三、正切的定义a如图1-1-4,在Rt^ABC 中，tan. A ，即.A 的正切值等于.A 的对边与.A 的邻bb 边之比；同理，tan. B =—，则tan. A taB = 1，即互余两角的正切值互为倒数.a方法提炼一、 基本策略：联想构造 二、 构造路线方式（一）：构造“一线三等角”1.45°角一；构等腰直角三角形 一；造“一线三直角”全等，如图1-2-1 ;图 1-2-12.30°角、构直角三角形 > 造“一线三直角”相似，如图1-2-2 ;图 1-1-4■ ACD s .）CBE ，此为“一线三直角ACD s ：CBE ，此为更一般的“一线图 1-1-3 B图 1-2-24. 一线三等角”的应用分三重境界；一重境：当一条线上已有三个等角时， 只要识别、证明，直接应用模型解题， 如图1-2-4 所示的 同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的 异侧型一线三等角”；二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题； 三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6及图1-2-7所示;方式（二）:构造“母子型相似”角处理”还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线, 此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出 图 1-2-8 所示.图 1-2-8方式（三）：整体旋转法（*）图 1-2-4造成某水平边或竖直边对母子型相似”其核心结构如 3.tan a =＞构直角三角形T 造 一线三直角”相似，如图1-2-3; 图 1-2-3图 1-2-5图 1-2-6 B-DAC ■■■■■. DEAT DA 2=DCQE TDG 2+AG 2=DCQE砧 sT?前两种构造属静态构造方式， 再介绍一种动态构造方式， 即整体旋转法，其核心思想是 图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动） ；反过来，点的旋转（运动）可以看成该点所在图形的旋转（运动）”.下面以三个问题说明此法：问题1已知点A （ 3, 4），将点A 绕原点0顺时针方向旋转450角，求其对应点 A '的坐 标• 简析 第一步 （整体旋转”）：如图1-2-9，作AB 丄y 轴于点B ,则AB=3, OB=4，点A 绕原点O 顺时针方向旋转450得到点A '可看成Rt △ OAB 绕原点O 顺时针方向旋转45o 得 至U Rt △ OA'B‘ 贝U A ''8 , OB'=4，且/ BOB '45o ；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-10,依托旋转后的 Rt △ OAB ；作系列“水平 竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △ OCB s Rt △ BDA ;> +一 1冋题2已知点A （4,6）,将点A 绕原点O 顺时针方向旋转a 角，其中tana =-，求其对应2点A 的坐标.简析 第一步（“整体旋转”）：如图1-2-11,作AB 丄y 轴于点B,则AB=4, OB=6,将Rt △ OAB 绕原点O 顺时针方向旋转a 角得到Rt △ OA B ,则A B =4, OB =6,1 且 tan / BOB =tana =-事实上,Rt △ OCB •与Rt A BDA •都是等腰直角三角形 ，于是有 OC = B C = 2、、2BD =AD = ^^，故点 2图 1-2-10 A 的坐标为图 1-2-11 图 1-2-12第二步(造“一线三直角”)：如图1-2-12,依托旋转后的Rt△ OAB；作系列“水平一竖直辅助线”，构造"一线三直角”，即Rt△ OCB ' s Rt△ B DA :十口亠6亦12J5 4J58J5 14J5 8丿5于疋有B C = , OC = , A D = , B D = ,故点A的坐标为(一，一).5 5 5 5 5 5问题3已知点A(a,b),将点A绕原点O顺时针方向旋转a 角,求其对应点A的坐标.简析不是一般性，不妨都在第一象限内思考问题：第一步(“整体旋转”)：如图1-2-13,作AB丄y轴于点B,则AB= a , OB= b，将Rt△ OAB 绕原点O顺时针方向旋转a角得到Rt △ OA B ,则AB =a, OB =b,且/ BOB =a ；i y iB/fsinaflcoscc D//■bi/ficostv A fffX0X 图1-2-13图1-2-14第二步(造“一线三直角”):如图1-2-14,依托旋转后的Rt△ OAB；作系列“水平一竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt△ OCB's Rt△ B DA ',于是有B C = bsina ,OC = bcosa , A D = asina , B D =acosa ,故点A 的坐标为(acosa bsina,bcosa-asin a).匕y —例1(2017?日照)如图1-3-1 ,在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线同时经过点B,且点A在点B的左侧，点A的横坐标为Q,/ AOB M OBA=45，贝U k的值为_______________ 简析由题可知，△ OAB为等腰直角三角形;因此有二「•二■ ■ ■■ 反思：见等腰直角三角形，造“一线三直角”，即“K 字型”全等。

二次函数直角三角形存在性问题解题技巧2019年河
南中考
该问题还可以引生为等腰和直角共存的问题，但是无论什么样的情况，我们都需要先掌握基本的等腰三角形及直角三角形存在性问题的解法。

解这两类存在性问题，一般分三个步骤，一是寻找分类标准，而是列方程，三是解方程并验根。

（突出利用两点间距离公式的思路）。

探究等腰三角形的存在性问题时需将情况考虑全面，题目中未指定哪条边是腰或底边时，需分类讨论哪两条边是腰的情况.当有两个点是定点，一个是动点时，即"两定一动"型，有两种解决方法：①"两圆一线"法；②分类讨论法.
对于直角三角形的存在性问题，应充分利用图形的几何关系，需要常常和相似三角形，锐角三角形函数提供的三角比解决，但无论是哪种方法，分类标准是共通的，而分类时寻找确定的直角顶点往往需要用到圆周角的知识。

一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照勾股定理或者三角比列方程，有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。

方法技巧专题(九)角的存在性问题1.[2018·乐山]如图F9-1,曲线C2是双曲线C1:y=(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,P是曲线C2上任意一点,点A在直线l:y=x上,且PA=PO,则△POA的面积等于()图F9-1A.B.6C.3D.122.[2018·宿迁]如图F9-2,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数y=kx,y=x(k>1)的图象分别交于点A,B.若∠AOB=45°,则△AOB的面积是.图F9-23.如图F9-3,在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,0),B(0,2),点C在第一象限,∠ABC=135°,AC交y轴于点D,CD=3AD,反比例函数y=的图象经过点C,则k的值为.图F9-34.如图F9-4,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,2,.△ADP沿点A旋转至△ABP',连结PP',并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证:△APP'是等腰直角三角形;(2)求∠BPQ的大小;(3)求CQ的长.图F9-45.如图F9-5,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下,连结BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.图F9-56.如图F9-6,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.(1)求点M,A,B的坐标;(2)连结AB,AM,BM,求∠ABM的正切值;(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x轴正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求点P的坐标.图F9-67.如图F9-7,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,).点P是y 轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)若存在点P,使∠PCF=45°,求点P的坐标.图F9-78.[2018·莱芜]如图F9-8,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,3)三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE⊥BC于点E.(1)求抛物线的函数表达式.(2)如图①,求线段DE长度的最大值.(3)如图②,设AB的中点为F,连结CD,CF,是否存在点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.图F9-8参考答案1.B[解析]如图,将点P绕点O顺时针旋转45°,得到点P的对应点P',∵曲线C2是双曲线C1:y=(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,∴点P'在双曲线y=上,且OP=OP',过点P'作P'M⊥y轴于点M,过点P作PH⊥OA于点H.∴△OP'M的面积=|k|=3.∵PA=PO,∴OH=AH.又∵点A在直线l:y=x上,∴∠AOM=45°,而∠POP'=45°,不妨设∠MOP'=α,∴∠OP'M=90°-α,∠POA=45°+(45°-α)=90°-α,∴∠POA=∠OP'M.又∵∠PHO=∠P'MO=90°,OP=OP',∴△OPH≌△P'OM(AAS),∴△OPH的面积=△OP'M的面积=3.又∵OH=AH,∴△OPA的面积为6.故选B.2.2[解析]如图,过点O作OC⊥AB,垂足为C,过点A作AM⊥y轴,垂足为M,过点B作BN⊥x轴,垂足为N.设点A 的横坐标为a ,则点A 的纵坐标为.∵点A 在正比例函数y=kx 的图象上,∴=ka ,k=.∴OB 所在直线的解析式为y=x.令x=,得x=,此时y=a.∴点B 的坐标为(,a ).∴OA=OB ,∴∠AOC=∠BOC ,△OAM ≌△OBN.∵∠AOB=45°,∴∠AOC=∠AOM.∴△OAM ≌△OAC.∴S △OAB =2S △OAM =2.3.94.解:(1)证明:∵△ABP'是由△ADP 顺时针旋转90°得到的,∴AP=AP',∠PAP'=90°,∴△APP'是等腰直角三角形.(2)∵△APP'是等腰直角三角形,AP=1,∴∠APP'=45°,PP'=.又∵BP'=DP=,BP=2,∴PP'2+BP 2=BP'2,∴∠BPP'=90°.∵∠APP'=45°,∴∠BPQ=180°-∠APP'-∠BPP'=45°.(3)过点B作BE⊥AQ于点E,则△PBE为等腰直角三角形,∴BE=PE,BE2+PE2=PB2,∴BE=PE=2,∴AE=3,∴AB==,则BC=.∵∠BAQ=∠EAB,∠AEB=∠ABQ=90°,∴△ABE∽△AQB,∴=,即=,∴AQ=,∴BQ==,∴CQ=BC-BQ=.5.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,∴解得∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.(2)∵点D(m,m+1)在抛物线上,∴m+1=-m2+3m+4,即m2-2m-3=0,∴m=-1或m=3.∵点D在第一象限,∴点D的坐标为(3,4).由(1)知OC=OB,∴∠CBA=45°.如图①,设点D关于直线BC对称的点为点D'.∵C(0,4),∴CD∥AB,且CD=3,∴∠D'CB=∠DCB=45°,∴点D'在y轴上,且CD'=CD=3,∴OD'=1,∴D'(0,1),即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1).(3)如图②,过点P作PF⊥AB于点F,过点D作DE⊥BC于点E.由(1)有OB=OC=4,∴∠OBC=45°.∵∠DBP=45°,∴∠CBD=∠PBA.∵C(0,4),D(3,4),∴CD∥OB且CD=3,∴∠DCE=∠CBO=45°,∴DE=CE=.∵OB=OC=4,∴BC=4,∴BE=BC-CE=,∴tan∠PBF=tan∠CBD==.设PF=3t,则BF=5t,OF=5t-4,∴P(-5t+4,3t).∵P点在抛物线上,∴3t=-(-5t+4)2+3(-5t+4)+4,∴t=0(舍去)或t=,∴P(-,).6.解:(1)∵抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=(x-1)2-3.∴顶点M(1,-3),令x=0,则y=(0-1)2-3=-2,∴点A(0,-2).当x=3时,y=(3-1)2-3=4-3=1,∴点B(3,1).(2)如图,过点B作BE⊥y轴于点E,过点M作MF⊥y轴于点F,∵EB=EA=3,∴∠EAB=∠EBA=45°,同理可求∠FAM=∠FMA=45°,∴△ABE∽△AMF,∴==.又∵∠BAM=180°-45°×2=90°.∴tan∠ABM==.(3)如图,过点P作PH⊥x轴于点H.∵y=(x-1)2-3=x2-2x-2,∴设点P(x,x2-2x-2),①点P在x轴上方时,=,整理,得3x 2-7x-6=0,解得x 1=-(舍去),x 2=3,∴点P 的坐标为(3,1).②点P 在x 轴下方时,=,整理,得3x 2-5x-6=0,解得x 1=(舍去),x 2=.当x=时,y=x 2-2x-2=-,∴点P 的坐标为(,-).综上所述,点P 的坐标为(3,1)或(,-).7.解:(1)由抛物线过点C (0,2),D (3,),可得解得故抛物线的解析式为y=-x 2+x+2.(2)设P (m ,-m 2+m+2).如图,当点P 在CD 上方且∠PCF=45°时,过点P 作PM ⊥CD 于点M ,过点C 作CN ⊥PF 于点N ,则△PMF ∽△CNF,∴===2,∴PM=CM=2MF=2CF.∴PF=FM=CF=×CN=CN=m.又∵PF=-m 2+3m ,∴-m 2+3m=m.解得m 1=,m 2=0(舍去),∴P (,).当点P 在CD 下方且∠PCF=45°时,同理可以求得另外一点为P (,).8.[解析](1)由抛物线经过A ,B ,C 三点,用待定系数法可求函数表达式;(2)先求出直线BC 的函数关系式,再过点D 作DM ⊥x 轴交BC 于点M ,设点D 的坐标,表示出点M 的坐标,利用相似三角形将线段DE 的长转化为DM 的长,得到一个二次函数表达式,再根据二次函数的性质求最值;(3)由∠CED=∠COF=90°,分两种情况求解:①∠DCE=∠CFO ;②∠CDE=∠CFO.解:(1)由题意,得解得∴y=-x 2+x+3.(2)设直线BC 的解析式为y=kx+m ,则有解得∴y=-x+3.设D(n,-n2+n+3)(0<n<4).如图①,过点D作DM⊥x轴交BC于点M,∴M(n,-n+3).∴DM=(-n2+n+3)-(-n+3)=-n2+3n.∵∠DME=∠OCB,∠DEM=∠COB,∴△DEM∽△BOC,∴=.∵OB=4,OC=3,∴BC=5,∴DE=DM.∴DE=-n2+n=-(n-2)2+.∴当n=2时,DE取最大值,最大值是.(3)假设存在这样的点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等.∵F是AB的中点,∴OF=1,tan∠CFO==2.如图②,过点B作BG⊥BC交CD的延长线于点G,过点G作GH⊥x轴于点H.∵DE⊥BC,∴∠CED=90°,则只可能是另外两个角与∠CFO相等.①∠DCE=∠CFO,则tan∠DCE===2,BC=5,∴BG=10.∵△GBH∽△BCO,∴==,∴GH=8,BH=6.∴G(10,8).设直线CG的解析式为y=kx+t,∴解得∴y=x+3.依题意,得解得x=或x=0(舍).②若∠CDE=∠CFO,同理可得,BG=,GH=2,BH=,∴G(,2).同理可得直线CG的解析式为y=-x+3.依题意,得解得x=或x=0(舍).综上所述,存在点D使得△CDE中有一个角与∠CFO相等,其横坐标为或.。

2019年中考数学复习常见问题与解决方法因为初中学习和小学学习知识层次、难度和学习方法的不同，在小升初后进入初中的同学们，肯定会遇到很多问题。

那么，初中数学学习必然会遇到哪些问题呢?面对这些问题，该如何解决呢? 第一，学习方法方面的问题。

表现在：(1)做几何题时候不会做辅助线原因：对于几何模型认识不充分解决方案：每一种基本的几何模型都有定义、性质和判定三方面，要将这三方面知识熟记于心。

一般来说应用的过程是：判定是哪种模型→此模型有何性质→此性质能不能直接用→若不能，则作辅助线体现其性质。

例如：暑假学的平行四边形模型→对角线互相平分，对边平行且相等，对角相等。

等腰三角形模型→三线合一。

倍长中线模型→有三角形一边中点，可以考虑倍长中线构造全等。

还有梯形的的三类辅助线，都应该熟记。

(2)考虑问题不全面，不会进行分类讨论解决方案：1、注意几种经常需要分类讨论的知识点，就暑假的知识点而言，函数自变量取值的范围，一次函数的k,b的正负性，平方根的双重性，直角坐标系中点的坐标与线段长度的转化等等。

2、学会讨论方法，把每一种情况都写下来，然后分别解出每种情况下的结果。

3、注意分类之后的取舍，并不是所有情况都是正确答案，尤其是解分式方程和根式方程的时候，会出现增根，一定要检验。

(3)自信心不足，不敢下手原因：1、对于题型本身掌握不好，没思路;2、有些想法，不知道是否正确，不敢动笔;3、不会写过程;4、会做，懒得写。

后果：导致考试比作业还差。

解决方案：1、问老师、对比类似的例题寻找相同之处;几何先找模型，在思考此种模型的性质特点以及辅助线做法。

代数看过程，分析每一步的目的; 2、有想法一定要落实在笔头上。

怕错写在草稿纸上，视觉带给我们的思路远比空想要多;3、上课认真记笔记，将老师的解题过程详细的记录在本上，几何有模型，代数有步骤。

多模仿老师的解题过程，慢慢熟练;4、会做不代表能做对，很多题目的易错点只有在做后才会发现。

2019年上海中考·专项讲义（函数图象中点的存在性问题）这部分压轴题的主要特征是先求函数的解析式,然后在函数的图象上探求符合几何条件的点.简单一点的题目,就是用待定系数法直接求函数的解析式.复杂一点的题目,先根据图形给定的数量关系,运用数形结合的思想,求得点的坐标,进而用待定系数法求函数的解析式.还有一种常见题型,解析式中有待定字母,这个字母可以和根与系数的关系联系起来求解,或者根据题意列出方程组求解.类型一：因动点产生的相似三角形问题相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步: 寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验.如果已知∠A=∠D,探求△ABC与△DEF相似,只要把夹∠A和∠D的两边表示出来,按照对应边成比例,分=和=两种情况列方程.应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等.应用判定定理3解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程(组).还有一种情况,讨论两个直角三角形相似,如果一组锐角相等,其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的,那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题.求线段的长,要用到两点间的距离公式,而这个公式容易记错.理解记忆比较好.如图,如果已知A、B两点的坐标,怎样求A、B两点间的距离呢?我们以AB为斜边构造直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了.水平距离BC 的长就是A、B两点间的水平距离,等于A、B两点的横坐标相减;竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离,等于A、B两点的纵坐标相减.例题1 如图1所示,已知二次函数y=-x2+bx+c(b、c为常数)的图象经过A(3, 1)、C(0, 4)两点,顶点为M,过点A 作AB∥x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.(1) 求该二次函数的解析式及点M的坐标;(2) 若将该二次函数的图象向下平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;(3) 点P是直线AC上的动点,若点P、C、M所构成的三角形与△BCD相似,请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).图1 备用图例题2 如图1,已知抛物线y=ax2-x+c的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点为A(-1, 0),顶点为B.点C(5, m)在抛物线上,直线BC交x轴于点E.(1) 求抛物线的表达式及点E的坐标;(2) 连结AB,求∠B的正切值;(3) 点G为线段AC上一点,过点G作CB的垂线交x轴于点M(位于点E右侧),当△CGM与△ABE相似时,求点M 的坐标.图1例题3 如图1,△ABC的边AB是☉O的直径,点C在☉O上,已知AC=6cm, BC=8cm,点P、Q分别在边AB、BC上,且点P不与A、B重合,BQ=kAP(k>0),连结PC、PQ.(1) 求☉O的半径长;(2) 当k=2时,设AP=x, △CPQ的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;(3) 如果△CPQ与△ABC相似,且∠ACB=∠CPQ,求k的值.图1 备用图例题4 如图1所示,直线y=-x+c与x轴交于点A(3, 0),与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B.(1) 求点B的坐标和抛物线的解析式;(2) M(m, 0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P、N.①点M在线段OA上运动,若以B、P、N为顶点的三角形与△APM相似,求点M的坐标;②点M在x轴上自由运动,若三个点M、P、N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外),则称M、P、N三点为“共谐点”.请直接写出使得M、P、N三点成为“共谐点”的m的值.图1备用图类型二：因动点产生的等腰三角形问题我们先回顾两个画图问题:1.已知线段AB=5厘米,以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?2.已知线段AB=6厘米,以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?已知腰长画等腰三角形,用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都是顶点C.已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外.在讨论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类.如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB=AC,②BA=BC,③CA=CB三种情况.解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题既好又快.几何法一般分三步: 分类、画图、计算.哪些题目适合用几何法呢?如果△ABC的∠A(的余弦值)是确定的,夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来,那么就用几何法.①如图1,如果AB=AC,直接列方程;②如图2,如果BA=BC,那么AC=AB cos∠A;③如图3,如果CA=CB,那么AB=AC cos∠A.代数法一般也分三步: 罗列三边长,分类列方程,解方程并检验.如果三角形的三个角都是不确定的,而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来,那么根据两点间的距离公式,三边长(的平方)就可以罗列出来.图1图2图3例题3 如图1所示,直线y=-x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0, 4),抛物线y=x2+bx+c经过点A交y轴于点B(0, -2).点P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连结PB,设点P的横坐标为m.(1) 求抛物线的解析式;(2) 当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;(3) 如图2所示,将△BDP绕点B逆时针旋转,得到△BD'P',且旋转角∠PBP'=∠OAC,当点P的对应点P'落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标.图1图2备用图例题5 如图1所示,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,直线l 经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连结CE,已知点A、D的坐标分别为(-2, 0)、(6, -8).(1) 求抛物线的函数表达式,并分别求出点B和点E的坐标;(2) 试探究抛物线上是否存在点F,使△FOE≌△FCE,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由;(3) 若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0, m),直线PB与直线l交于点Q.试探究: 当m为何值时,△POQ是等腰三角形.图1例题6 如图1,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(3, 1),点B的坐标为(6, 5),点C的坐标为(0, 5),某二次函数的图象经过A、B、C三点.(1) 求这个二次函数的解析式;(2) 假如点Q在该二次函数图象的对称轴上,且△ACQ是等腰三角形,请直接写出点Q的坐标;(3) 如果点P在(1)中求出的二次函数的图象上,且tan∠PCA=,求∠PCB的正弦值.图1例题7 如图1,矩形ABCD中,AB=6, BC=8, P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD是矩形,连结CF.(1) 若△PCD为等腰三角形,求AP的长;(2) 若AP=,求CF的长.图1例题8 如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点,其中点A的坐标为(-3, 0),点B的坐标为(4, 0),连结AC、BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时动点Q从点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒,连结PQ.(1) 填空: b= , c= ;(2) 在点P、Q运动过程中,△APQ可能是直角三角形吗?请说明理由;(3) 在x轴下方,该二次函数的图象上是否存在点M,使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出运动时间t;若不存在,请说明理由;(4) 如图2,点N的坐标为-,线段PQ的中点为H,连结NH,当点Q关于直线NH的对称点Q'恰好落在线段BC上时,请直接写出点Q'的坐标.图1 图2备用图例题9如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-x-与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E(4, n)在抛物线上.(1) 求直线AE的解析式;(2) 如图2,点P是直线CE下方抛物线上的一点,连结PC、PE.当△PCE的面积最大时,连结CD、CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求KM+MN+NK的最小值;(3) 点G是线段CE的中点,将抛物线y=x2-x-沿x轴正方向平移得到新抛物线y', y'经过点D, y'的顶点为F.在新抛物线y'的对称轴上,是否存在点Q,使得△FGQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.图1 图2类型三：因动点产生的直角三角形问题：先看三个问题:1.已知线段AB,以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?2.已知线段AB,以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么?3.已知点A(4, 0),如果△OAB是等腰直角三角形,求符合条件的点B的坐标.图1 图2 图3如图1,点C在垂线上,垂足除外.如图2,点C在以AB为直径的圆上,A、B两点除外.如图3,以OA为边画两个正方形,除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点,都是符合题意的点B,共6个.解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根.一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程.有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便.图4如图4,已知A(3, 0), B(1, -4),如果直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上,求点C的坐标.我们可以用几何的方法,作AB为直径的圆,快速找到两个符合条件的点C.如果作BD⊥y轴于D,那么△AOC∽△CDB.设OC=m,那么=-.这个方程有两个解,分别对应图中圆与y轴的两个交点.例题10如图,在矩形ABCO中,点O为坐标原点,点B的坐标为(4, 3),点A、C在坐标轴上,点P在BC边上,直线l1: y=2x+3,直线l2: y=2x-3.(1) 分别求直线l1与x轴、直线l2与AB的交点坐标;(2) 已知点M在第一象限,且是直线l2上的点,若△APM是等腰直角三角形,求点M的坐标;(3) 我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形称为图形F.已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上,Q是坐标平面内的点,且点N的横坐标为x,请直接写出x的取值范围(不用说明理由).请打开几何画板文件名“16义乌绍兴24”,拖动点P在BC上运动,可以体验到,有3个点M可以落在直线y=2x-3上.点击屏幕左下方的按钮“第(3)题”,拖动点P在BC上运动,可以体验到,有4个点N随点P运动.1.第(2)题:设M(x, 2x-3),擦去两条直线,在BC上取点P.2.以AP为斜边构造等腰Rt△APM,再以MA和MP为斜边构造直角三角形全等.3.以AP为直角边构造等腰Rt△APM,再以AP和PM为斜边构造直角三角形全等.例题12 如图1,点A的坐标为(2, 0),以OA为边在第一象限内作等边△OAB,点C为x轴上一动点,且在点A的右侧,连结BC,以BC为边在第一象限内作等边△BCD,连结AD交BC于点E.(1) ①直接回答:△OBC与△ABD全等吗?②试说明:无论点C如何移动, AD始终与OB平行;(2) 当点C运动到使AC2=AE·AD时,如图2,经过O、B、C三点的抛物线y1.试问:y1上是否存在动点P,使△BEP 为直角三角形且BE为直角边?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3) 在(2)的条件下,将y1沿x轴翻折得y2,设y1与y2组成的图形为M,函数y=x+m的图象l与M有公共点.试写出:l与M的公共点为3个时,m的取值.图1 图2请打开几何画板文件名“17达州25”,拖动y轴上的点H可以平移直线l,可以体验到,当直线l与开口向下的抛物线左侧相切,或与开口向上的抛物线右侧相切时,直线l与两条抛物线的公共点有3个.1.△CBO绕着点B逆时针旋转60°与△DBA重合,把图形中60°的角都标记出来.2.第(2)题要分三步完成:先确定点C,再求抛物线的解析式,最后分两种情况讨论点P,共有3个符合条件的点P.3.第(3)题采用数形结合思想,当直线与抛物线相切时,联立方程组消去y,那么Δ=0.例题12 如图,已知☉O的半径长为1, AB、AC是☉O的两条弦,且AB=AC, BO的延长线交AC于点D,连结OA、OC.(1) 求证:△OAD∽△ABD;(2) 当△OCD是直角三角形时,求B、C两点的距离;(3) 记△AOB、△AOD、△COD的面积为S1、S2、S3,若S2是S1和S3的比例中项,求OD的长.请打开几何画板文件名“17上海25”,拖动点A运动,可以体验到,△OAB和△OAC是两个全等的等腰三角形,4个底角保持相等,△OCD可以两次成为直角三角形.观察面积比的度量值,可以体验到,当两个面积比相等时,比值就是黄金分割数.1.把相等的弦所对的圆心角标记出来,由此得到的等腰三角形的底角都相等.2.直角三角形OCD存在两种情况,不存在∠OCD为直角的可能.3.第(3)题中的三个三角形都是等高三角形,把面积比转化为对应底边的比.类型四：因动点产生的平行四边形问题我们先思考三个问题:1.已知A、B、C三点,以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个,怎么画?2.在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等?3.在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分?图1 图2 图3如图1,过△ABC的每个顶点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生三个点D.如图2,已知A(0, 3), B(-2, 0), C(3, 1),如果四边形ABCD是平行四边形,怎样求点D的坐标呢?点B先向右平移2个单位,再向上平移3个单位与点A重合,因为BA与CD平行且相等,所以点C(3, 1)先向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到点D(5, 4).如图3,如果平行四边形ABCD的对角线交于点G,那么过点G画任意一条直线(一般与坐标轴垂直),点A、C到这条直线的距离相等,点B、D到这条直线的距离相等.关系式x A+x C=x B+x D和y A+y C=y B+y D有时候用起来很方便.我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合.图4如图4,点A是抛物线y=-x2+2x+3在x轴上方的一个动点, AB⊥x轴于点B,线段AB交直线y=x-1于点C,那么点A的坐标可以表示为(x, -x2+2x+3),点C的坐标可以表示为(x, x-1).线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为AB=y A=-x2+2x+3,线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标表示为AC=y A-y C=-x2+2x+3-(x-1)=-x2+x+4.通俗地说,数形结合就是: 点在图象上,可以用图象的解析式表示点的坐标,用点的坐标表示点到坐标轴的距离.例题13如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2, 9),与y轴交于点A(0, 5),与x轴交于点E、B.(1) 求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;(2) 过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点(点P在AC上方),作PD平行于y轴交AB 于点D,问当点P在何位置时,四边形APCD的面积最大?并求出最大面积;(3) 若点M在抛物线上,点N在其对称轴上,使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形,且AE为其一边,求点M、N的坐标.请打开几何画板文件名“16泰安28”,拖动点P在AC上方的抛物线上运动,可以体验到,S随P变化的图象是开口向下的抛物线的一部分.拖动点N在对称轴上运动,可以体验到,两个点M都有机会落在抛物线上.1.设抛物线的顶点式比较简便.2.四边形APCD的对角线互相垂直,面积等于对角线积的一半.3.因为AE与MN平行且相等,所以M、N两点间的水平距离、竖直距离与A、E两点间的水平距离、竖直距离分别相等.例题14 如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2-2x+m(m>0)的对称轴与比例系数为5的反比例函数图象交于点A,与x轴交于点B,抛物线的图象与y轴交于点C,且OC=3OB.(1) 求点A的坐标;(2) 求直线AC的表达式;(3) 点E是直线AC上一动点,点F在x轴上方的平面内,且使以A、B、E、F为顶点的四边形是菱形,直接写出点F的坐标.请打开几何画板文件名“17普陀24”,可以体验到,以A、B、E、F为顶点的菱形存在四种情况,其中一种情况点F在x轴的下方.1.从待定系数的二次函数的解析式中可以得到抛物线的对称轴是直线x=1,然后这道题目和抛物线没有什么关系了.例题15 如图1,在平面直角坐标系中,抛物线C: y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点,顶点为D(0, 4), AB=4.设点F(m, 0)是x轴正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180° 得抛物线C'.(1) 求抛物线C的函数表达式;(2) 若抛物线C'与抛物线C在y轴右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围;(3) 如图2, P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C'上的对应点为P'.设M 是C上的动点,N是C'上的动点,试探究四边形PMP'N能否成为正方形?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.图1 图2请打开几何画板文件名“17成都28”,拖动点F运动,可以体验到,正方形PMP'N的顶点M、N共有三次机会同时落在两条抛物线上,其中一次点F运动到原点.1.用m表示抛物线C'的顶点坐标,设抛物线C'的顶点式.2.抛物线C'与抛物线C在y轴右侧有两个不同的公共点,一个临界时刻是抛物线C'经过点D,另一个临界时刻是B、F重合.3.第(3)题:先构造正方形,用m表示点M的坐标,再把点M代入抛物线C的解析式求解m的值.例题16 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A,交x轴正半轴于点B(4, 0),与过点A的直线相交于另一个点D,过点D作DC⊥x轴,垂足为C.(1) 求抛物线的表达式;(2) 点P在线段OC上(不与点O、C重合),过点P作PN⊥x轴,交直线AD于点M,交抛物线于点N,连结CM,求△PCM面积的最大值;(3) 若点P是x轴正半轴上一动点,设OP的长为t,是否存在t,使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.请打开几何画板文件名“17菏泽24”,拖动点P在x轴正半轴上运动,可以体验到,N在M上方时,不存在NM=DC 的情况;M在N上方时,存在MN=DC.1.点N、M、P的横坐标都用t表示,点N、M的纵坐标分别用抛物线和直线AD的解析式表示.2.第(2)题先求S△PCM关于t的二次函数,再求这个二次函数的最大值.3.第(3)题根据NM与DC相等列方程,分两种情况:N在M上方,M在N上方.例题17 如图1,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1, 0), B(3, 0), C(0, 3).点M、N为抛物线上的动点,过点M作MD∥y轴,交直线BC于点D,交x轴于点E.(1) 求二次函数的表达式;(2) 过点N作NF⊥x轴,垂足为点F,若四边形MNFE为正方形(此处限定点M在对称轴的右侧),求该正方形的面积;(3) 若∠DMN=90° MD=MN,求点M的横坐标.图1 备用图请打开几何画板文件名“17威海25”,拖动点M在抛物线上运动,可以体验到,MD=MN存在四种情况.1.设MN与抛物线的对称轴交于点H,那么MN=2MH.因此ME、MN的长就可以用点M的坐标表示了.2.第(3)题中MN=MD,点M与D、N的位置关系存在四种情况例题18 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x-3交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),将该抛物线位于x 轴上方曲线记作M,将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折,翻折后所得曲线记作N,曲线N交y轴于点C,连结AC、BC.(1) 求曲线N所在抛物线相应的函数表达式;(2) 求△ABC外接圆的半径;(3) 点P为曲线M或曲线N上的一个动点,点Q为x轴上的一个动点,若以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.请打开几何画板文件名“17宿迁25”,拖动点Q在x轴上运动,可以体验到,点P和点P'各有四次机会落在抛物线上,其中一次机会与点C重合.1.翻折以后的抛物线与x轴的交点不变,开口方向改变了,可以直接写出交点式.2.观察△ABC的三个顶点,发现AB边和BC边的垂直平分线都是特殊的直线,这两条直线的交点就是△ABC外接圆的圆心.3.第(3)题的平行四边形,以BC为分类标准,按照边或者对角线分两种情况讨论.类型五：因动点产生的梯形问题：解梯形的存在性问题一般分三步:第一步分类,第二步画图,第三步计算.一般是已知三角形的三个顶点,在某个图象上求第四个点,使得四个点围成梯形.过三角形的每个顶点画对边的平行线,这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点.因为梯形有一组对边平行,因此根据同位角或内错角,一定可以构造一组相等的角,然后根据相似比列方程,可以使得解题简便.如图1,已知直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,点F与点B关于x轴对称,点E在双曲线y=(x>0)上,如果四边形BAFE是梯形,怎样求点E的坐标呢?过点F作AB的平行线,构造直角三角形相似,于是就可以用对应边成比例列方程了.设点E的坐标为,根据tan∠BAO=tan∠EFH,得=.解方程=--,得x=4或x=-2.显然x=4是符合题意的,x=-2在第三象限,形成的梯形是BAEF,不符合题意.如图2,四边形ABCD是等腰梯形,那么A、B、C、D四个点的纵坐标之间有怎样的数量关系?如图3,四边形OABC 是等腰梯形,那么O、A、B、C四个点的横坐标之间有怎样的数量关系?如图2中,由AE=FB(形),得y A-y D=y C-y B(数).如图3中,由OE=FA(形),得x C-x O=x A-x B(数).图1 图2 图3例题19 在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点A,与双曲线y=有一个公共点B,它的横坐标为4.过点B作直线l∥x轴,与二次函数图象交于另一点C,直线AC的截距是-6.(1) 求二次函数的解析式;(2) 求直线AC的表达式;(3) 平面内是否存在点D,使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形,如果存在,求出点D的坐标;如果不存在,请说明理由.请打开几何画板文件名“16普陀24”,可以体验到,以A、B、C、D为顶点的四边形的等腰梯形有两个.1.先求出点B的坐标,写出点A的坐标,再代入二次函数的解析式列方程组.2.如果以A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形,那么对称轴就是△ABC的一边的垂直平分线.3.等腰梯形分三种情况讨论.例题20 如图,矩形OMPN的顶点O在原点,M、N分别在x轴和y轴的正半轴上,OM=6, ON=3,反比例函数y=的图象与PN交于点C,与PM交于点D,过点C作CA⊥x轴于点A,过点D作DB⊥y轴于点B, AC与BD交于点G.(1) 求证: AB∥CD;(2) 在直角坐标平面内是否存在点E,使以B、C、D、E为顶点, BC为腰的梯形是等腰梯形?若存在,求点E 的坐标;若不存在,请说明理由.请打开几何画板文件名“16闸北24”,可以体验到,以BC为腰的等腰梯形有两个,对称轴分别是BD和CD的垂直平分线.1.第(1)题证明内错角的正切值相等.2.第(2)题先根据等腰梯形的性质分三种情况画图确定存在性,再用方程进行计算.分别画△BCD的边BD和边CD的垂直平分线为等腰梯形的对称轴,可以确定以BC为腰的等腰梯形有两个.例题21如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点A(-2, 0)和原点,点B在抛物线上且tan∠BAO=,抛物线的对称轴与x轴相交于点P.(1) 求抛物线的解析式,并直接写出点P的坐标;(2) 点C为抛物线上一点,若四边形AOBC为等腰梯形且AO∥BC,求点C的坐标;(3) 点D在AB上,若△ADP与△ABO相似,求点D的坐标.请打开几何画板文件名“17虹口24”,拖动点D在AB上运动,可以体验到,△ADP与△ABO相似存在两种情况.点击屏幕左下角的按钮“第(2)题”,可以体验到,以A、O、B、C为顶点的等腰梯形存在三种情况,其中AO∥BC 时,点C与点B关于抛物线的对称轴对称.1.已知二次函数的二次项系数和抛物线与x轴的两个交点,可以直接写出交点式.2.等腰梯形AOBC当AO∥BC时,C、B两点关于抛物线的对称轴对称.3.分两种情况讨论△ADP与△ABO相似.由于∠A是公共角,根据夹∠A的两边对应成比例,分两种情况列方程,先求AD的长,再求点D的坐标.类型六：因动点产生的面积问题面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:第一类,先根据几何法确定存在性,再列方程求解,后检验方程的根.第二类,先假设关系存在,再列方程,后根据方程的解验证假设是否正确.如图1,如果三角形的某一条边与坐标轴平行,计算这样“规则”的三角形的面积,直接用面积公式.如图2、图3,三角形的三条边没有与坐标轴平行的,计算这样“不规则”的三角形的面积,用“割”或“补”的方法.图1 图2 图3计算面积常用到的策略还有:如图4,同底等高三角形的面积相等.平行线间的距离处处相等.如图5,同底三角形的面积比等于高的比.如图6,同高三角形的面积比等于底的比.图4 图5 图6例题22 已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴交于不同的两点A、B.(1) 求m的取值范围;(2) 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3) 当<m≤8时,由(2)求出的点P和点A、B构成的△ABP的面积是否有最值,若有,求出最值及相应的m的值;若没有,请说明理由.请打开几何画板文件名“16广州24”,拖动表示实数m的点在x轴上运动,可以体验到,抛物线经过A、P两个确定的点,△ABP的高为定值,当m=8时,AB最大.1.已知的抛物线的解析式可以因式分解的,抛物线过x轴上的定点(-1, 0).2.第(2)题分两步,先对m赋予两个不同的值,联立求方程组的解,再验证这个点是确定的.3.第(3)题中△ABP的高为定值,点A为定点,求△ABP的最大面积,其实就是求点B的横坐标的最大值.。

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(1)做几何题时候不会做辅助线原因：对于几何模型认识不充分解决方案：每一种基本的几何模型都有定义、性质和判定三方面，要将这三方面知识熟记于心。

一般来说应用的过程是：判定是哪种模型此模型有何性质此性质能不能直接用若不能，则作辅助线体现其性质。

例如：暑假学的平行四边形模型对角线互相平分，对边平行且相等，对角相等。

等腰三角形模型三线合一。

倍长中线模型有三角形一边中点，可以考虑倍长中线构造全等。

还有梯形的的三类辅助线，都应该熟记。

(2)考虑问题不全面，不会进行分类讨论解决方案：1、注意几种经常需要分类讨论的知识点，就初二暑假的知识点而言，函数自变量取值的范围，一次函数的k，b的正负性，平方根的双重性，直角坐标系中点的坐标与线段长度的转化等等。

2、学会讨论方法，把每一种情况都写下来，然后分别解出每种情况下的结果。

3、注意分类之后的取舍，并不是所有情况都是正确答案，尤其是解分式方程和根式方程的时候，会出现增根，一定要检验。

(3)自信心不足，不敢下手原因：1、对于题型本身掌握不好，没思路;2、有些想法，不知道是否正确，不敢动笔;3、不会写过程;4、会做，懒得写。

后果：导致考试比作业还差。

解决方案：1、问老师、对比类似的例题寻找相同之处;几何先找模型，在思考此种模型的性质特点以及辅助线做法。

代数看过程，分析每一步的目的;2、有想法一定要落实在笔头上。

怕错写在草稿纸上，视觉带给我们的思路远比空想要多;观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。