中考数学复习专题40：存在性问题(含中考真题解析)

2010年中考数学中的存在性问题一、存在性问题的内涵所谓存在性问题是指根据题目所给的条件，探究是否存在符合要求的结论．存在性问题是相对于中学数学课本中有明确结论的封闭型问题而言的．存在性问题可抽象为“已知事项M，是否存在具有某种性质的对象Q。

”解题时要说明Q存在，通常的方法是将对象Q构造出来；若要说明Q不存在，可先假设存在Q，然后由此出发进行推论，并导致矛盾，从而否定Q的存在。

此类问题的叙述一般是“是否存在……，如果存在，请求出……（或请证明）；如果不存在，请说明理由．”二、存在性问题的解决策略1、直接求解法存在性问题是探索型问题中的一种典型性问题．存在性问题探索的方向是明确的．探索的结果有两种：一种是存在：另一种是不存在．直接求解法就是直接从已知条件入手，逐步试探，求出满足条件的对象，使问题得到解决的解法。

2、假设求解法先假设结论存在，再从已知条件和定义，定理，公理出发，进行演绎推理；若得到和题意相容的结论，则假设成立，结论也存在；否则，假设不成立，结论不存在。

即假设结论存在，根据条件推理、计算，如果求得出一个结果，并根据推理或计算过程每一步的可逆性，证得结论存在；如果推得矛盾的结论或求不出结果，则说明结论不存在．三、中考数学中的存在性问题的类型1、定性分类（1）肯定型存在性问题肯定型存在性问题是解决其余两类存在性问题的基础，具体地构造出（或求出，寻找出）满足条件的数学对象，是证明肯定型存在性问题的主要方法。

这种处理方法一般分为两大步，第一步是构造出满足要求的数学对象；第二步是通过验证，证明构造的对象满足问题的要求。

例1、(2010年陕西卷)问题探究(1)请你在图①中做一条．．直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。

问题解决（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处。

初中数学二次函数中的图形构建及存在性问题一、二次函数中有关面积的存在性问题例1（10潍坊）如图所示，抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，与y 轴交于点()03.C -，以AB 为直径作M ⊙，过抛物线上一点P 作M ⊙的切线PD ，切点为D ，并与M ⊙的切线AE 相交于点E ，连结DM 并延长交M ⊙于点N ，连结.AN AD 、 (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形EAMD 的面积为43，求直线PD 的函数关系式；(3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.答案：解：（1）因为抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，设抛物线的函数关系式为：()()13y a x x =+-，∵抛物线与y 轴交于点()03C -，， ∴()()30103a -=+-， ∴ 1.a =所以，抛物线的函数关系式为：223y x x =--，又()214y x =--，因此，抛物线的顶点坐标为()14-，．(2）连结EM ，∵EA ED 、是M ⊙，的两条切线， ∴EA ED EA AM ED MN =⊥⊥，，，∴EAM EDM △≌△ 又四边形EAMD 的面积为43，∴23EAM S =△，∴1232AM AE =·，又2AM =，∴2 3.AE =因此，点E 的坐标为()1123E -，或()2123.E --，当E 点在第二象限时，切点D 在第一象限. 在直角三角形EAM 中，23tan 3EA EMA AM ∠===， ∴60EMA ∠=°，∴60DMB ∠=° 过切点D 作DF AB ⊥，垂足为点F ，∴13MF DF ==， 因此，切点D 的坐标为()23，．设直线PD 的函数关系式为y kx b =+，将()()12323E D -，、，的坐标代入得 3223k b k b⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩解之，得3353k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，直线PD 的函数关系式为353.33y x =-+当E 点在第三象限时，切点D 在第四象限.同理可求：切点D 的坐标为()23，-，直线PD 的函数关系式为353.y x =- 因此，直线PD 的函数关系式为35333y x =-+或353.33y x =-(3）若四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积 又22EAM DAN AMD EAMD S S S S ==△△△四边形， ∴AMD EAM S S =△△∴E D 、两点到x 轴的距离相等，∵PD 与M ⊙相切，∴点D 与点E 在x 轴同侧， ∴切线PD 与x 轴平行，此时切线PD 的函数关系式为2y =或 2.y =-当2y =时，由223y x x =--得，1x =当2y =-时，由223y x x =--得，1x =故满足条件的点P 的位置有4个，分别是()()()1231112P P P -、、、 ()412.P -说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.强化训练★1、（10）如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）．(2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．答案：（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程∴403a c a c +=⎧⎨+=-⎩ 解之得：14a c =⎧⎨=-⎩；故24y x =-为所求(2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点设BD 的解析式为y kx b =+，则有203k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，12k b =⎧⎨=-⎩，故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-，故(0,2)M -图2(3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB ∠=︒ 易知BN=MN=1，易求AM BM ==122ABMS=⨯=；设2(,4)P x x -， 依题意有：214422AD x -=⨯，即：2144422x ⨯-=⨯解之得：x =±，0x =，故 符合条件的P 点有三个：123((0,4)P P P --★2、．矩形OBCD 在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为O (0，0)、B (0，3)、D (－2，0)，直线AB 交x 轴于点A (1，0)．(1)求直线AB 的解析式；(2)求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E 的坐标；(3)过点E 作x 轴的平行线EF 交AB 于点F ．将直线AB 沿轴向右平移2个单位，与x 轴交于点G ，与EF 交于点H ．请问过A 、B 、C 三点的抛物线上是否存在点P ，使得S △PAG ＝ 34S △PEH ．若存在，求点P二、二次函数中构建直角三角形与相似形的存在性问题例2 (）(12分) 如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设该抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，由抛物线与y 轴交于点C （0，－3）,可知3-=c .即抛物线的解析式为32-+=bx ax y ． ………………………1分把A （－1，0）、B （3，0）代入, 得30,9330.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得2,1-==b a .∴ 抛物线的解析式为y = x 2－2x －3． ……………………………………………3分 ∴ 顶点D 的坐标为()4,1-. ……………………………………………………4分 说明：只要学生求对2,1-==b a ，不写“抛物线的解析式为y = x 2－2x －3”不扣分. （2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分理由如下：过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F.在Rt △BOC 中，OB=3，OC=3，∴ 182=BC . (6)分在Rt △CDF 中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ 22=CD . (7)分在Rt △BDE 中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ 202=BD . (8)分∴ 222BD CD BC =+， 故△BCD 为直角三角形. …………………………9分 （3）连接AC ，可知Rt △COA ∽ Rt △BCD ，得符合条件的点为O （0，0）． ………10分过A 作AP 1⊥AC 交y 轴正半轴于P 1，可知Rt △CAP 1 ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ， 求得符合条件的点为)31,0(1P ． …………………………………………11分 过C 作CP 2⊥AC 交x 轴正半轴于P 2，可知Rt △P 2CA ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ， 求得符合条件的点为P 2（9，0）． …………………………………………12分 ∴符合条件的点有三个：O （0，0），)31,0(1P ，P 2（9，0）.三、二次函数中构建等腰三角形的存在性问题例3（10潼南）如图, 已知抛物线c bx x y ++=221与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. (1）求抛物线的解析式；(2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；(3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.答案：解：（1）∵二次函数c bx x y ++=221的图像经过点A （2，0）C(0,－1) ∴⎩⎨⎧-==++122c c b解得： b =－21c =－1 ∴二次函数的解析式为121212--=x x y(2）设点D 的坐标为（m ，0） (0＜m ＜2） ∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE ∽△AOC 得，OCDEAO AD =∴122DEm =- ∴DE=22m -∴△CDE 的面积=21×22m -×m =242m m +-=41)1(412+--m 当m =1时，△CDE 的面积最大 ∴点D 的坐标为（1，0）(3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为121212--=x x y 设y=0则1212102--=x x 解得：x 1=2 x 2=－1 ∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b∴ ⎩⎨⎧-==+-1b b k 解得：k =-1 b =-1∴直线BC 的解析式为: y =－x －1在Rt △AOC 中，∠AOC=900 OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5 ∵点B(－1,0) 点C （0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450ABCED xy o题图26①当以点C 为顶点且PC=AC=5时， 设P(k, －k －1)过点P 作PH⊥y 轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中k 2+k 2=()25 解得k 1=210， k 2=－210 ∴P 1（210，－1210-） P 2（－210，1210-） ②以A 为顶点，即AC=AP=5设P(k , －k －1)，过点P 作PG ⊥x 轴于GAG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣ 在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP 2(2－k )2+(－k －1)2=5 解得：k 1=1,k 2=0(舍) ∴P 3(1, －2)③以P 为顶点，PC=AP 设P(k , －k －1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L ，∴L(k ,0)∴△QPC 为等腰直角三角形， PQ=CQ=k 由勾股定理知CP=PA=2k ∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜在Rt △PLA 中(2k)2=(k －2)2＋(k ＋1)2 解得：k =25∴P 4(25,－27) 综上所述： 存在四个点：P 1（210，－1210-） P 2（-210，1210-） P 3(1, －2) P 4(25,－27) 三、二次函数中构建四边形的存在性问题（一）二次函数中构建梯形的存在性问题例4 (10）如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-21，0)、 B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ；(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

第二节 存在性问题【例题经典】 条件探索性问题例1 如图，AB ⊥BC 于B ，DC ⊥BC 于C ． （1）当AB=4，DC=1，BC=4时，在线段BC 上是否存在点P ，使AP ⊥PD ．•若存在，•求线段BP 的长；如果不存在，请说明理由．（2）设AB=a ，DC=b ，AD=c ，那么当a ，b ，c 之间满足什么关系时，在直线BC 上存在点P ，使AP ⊥PD ．【分析】（1）假设AP ⊥PD ，有△APB ∽△PDC ，进而求出BP ．（2）方法如（1），•但相比之下，添了分类思想．【点评】本例为条件探索型，此类题的解法类似于分析法，假设结论成立，•逐步探索其成立的条件．存在探索性问题例2 （浙江省）如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于A （3，0），B （0，）两点，点C 为线段AB 上的一动点，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ． （1）求直线AB 的解析式； （2）若S 梯形OBCD =，求点C 的坐标； （3）在第一象限内是否存在点P ，使得以P ，O ，B 为顶点的三角形与△OBA 相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【评析】本题是一道存在探索性问题的题型，（1）、（2）两问是常规题，•容易解决．（3）问较难，要分不同情况考虑，首先画出符合题意的图形，•然后结合图形进行计算或推理，若能推导出符合条件的结论或计算出某些未知数的值，则表示存在；•若推出矛盾结论或求不出未知数的值，则所求的点就不存在．3【考点精练】1．如图，在平面直角坐标系中，点A 是动点且纵坐标为4，点B 是线段OA 上的一个动点．过点B 作直线MN 平行于x 轴，设MN 分别交射线OA 与X•轴所形成的两个角的平分线于点E 、F ．（1）求证：EB=BF ； （2）当为何值时，四边形AEOF 是矩形？并证明你的结论； （3）是否存在点A 、B ，使四边形AEOF 为正方形．若存在，求点A 与点B 的坐标；• 若不存在，请说明理由．2．（辽宁省）如图，Rt △OAC 是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O 与原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，CAO=30°，将Rt △OAC•折叠，•使OC 边落在AC 边上，点O 与点D 重合，折痕为CE ． （1）求折痕CE 所在直线的解析式； （2）求点D 的坐标；（3）设点M 为直线CE 上的一点，过点M 作AC 的平行线，交y 轴于点N ，是否存在这样的点M ，使得以M 、N 、D 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．OBOA3．如图所示的平面直角坐标系中，有一条抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3）．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，C为切点，AC=6cm，AB=10cm．（1）试猜想∠ACM与∠B的大小有什么关系？并说明理由．（2）在切线MN上是否存在一点D，使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请确定点D的位置；若不存在，请说明理由．B5．（龙岩市）如图，抛物线y=ax +bx 过点A （4，0），正方形OABC 的边BC•与抛物线的一个交点为D ，点D 的横坐标为3，点M 在y 轴负半轴上，直线L 过D 、M•两点且与抛物线的对称轴交于点H ，tan ∠OMD=． （1）写出a ，b 的值：a=_____，b=______，并写出点H 的坐标（______，______）．（2）如果点Q 是抛物线对称轴上的一个动点，那么是否存在点Q ，使得以点O ，M ，•Q ，H 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（莆田市）已知：如图，抛物线经过A （-3，0），B （0，4）和C （4，0）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）已知AD=AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1•个单位长度的速度移动；同时．．另一动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？•若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（注：抛物线y=ax 2+bx+c 的对称 轴为x=-）132ba7．如图，已知抛物线L1：y=x-4的图像与x轴交于A、C两点．（1）若抛物线L1与L2关于x轴对称，求L2的解析式；（2）若点B是抛物线L1上的一个动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C•三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在L2上；（3）探索：当点B分别位于L1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，•并求出它的面积；若不存在，请说明理由．8．（无锡市）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止），设P、Q同时出发并运动了t秒．（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；（2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t的值，若不存在，请说明理由．答案:例题经典 例1．（1）如果存在点P ，使AP ⊥PD ，那么∠APD=90°，∴∠APB+•∠CPD=90°，∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴∠B=∠C=90°，∴∠APB+∠BAP=90°．∴∠BAP=∠CPD ，∴△APB ∽△PDC ，∴． 设BP=x ，则PC=4-x ，∴，解得x=2， ∴在线段BC 上存在点P ，使AP•⊥PD ，此时，BP=2．（2）如果在直线BC 上存在点P ，使AP ⊥PD ，那么点P 在以AD 为直径的圆上，且圆的半径为c ， 取AD 的中点O ，过点O 作OE ⊥BC ，垂足为E ． ∵∠B=∠OEC=∠C=90°，∴AB ∥OE ∥DC ．∵AO=DO ，∴BE=CE ，∴OE=（AB+DC ）=（a+b ）， 当OE<c ，即a+b<c 时，以AD•为直径的圆与直线BC 相交，此时，存在⊙O 和直线BC 的交点P 1、P 2，使AP 1⊥P 1D ，AP 2⊥P 2D ， •当OE=c ，即a+b=c 时，以AD 为直径的圆与直线BC 相切． 此时，存在切点P ，使AP ⊥PD ． ∴当OE>c 时，即a+b>c 时，以AD 为直径的圆与直线BC 相离． 此时，在直线BC 上不存在点P ，•使AP ⊥PD ．综上，当a+b ≤c 时，在直线BC 上存在点P ，使AP ⊥PD ． 例2．（1）直线AB 解析式为：（2）设点C 坐标为（x ，，那么OD=x ，∴S 梯形OBCD ==-x 2AB BPPC CD =441xx =-121212121212()2OB CD OD +⨯6由题意：2x1=2，x2=4（舍去），∴（2．（3）当∠OBP=Rt∠时，如图：①若△BOP∽△OBA，则∠BOP=∠OBA=60°，，∴P1（3①③②若△BPO∽△OBA，则∠POB=∠BAO=30°，，∴P2（1．当∠OPB=Rt∠时③过点O作OP⊥BC于点P（如图），此时△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°，过点P作PM⊥OA于点M．在Rt△PBO中，BP=．∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，∴OM=OP=；，∴P3（）④若△POB∽△OBA（如图），则∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°，∴P4（（由对称性也可得到点P4的坐标）．当∠OPB=Rt∠时，点P在x轴上，不符合要求，综合得，•符合条件的点有四个，分别是：P1（3，P2（1，P3（，），P4（，）．考点精练1．解：（1）如图①，∵OF是角平分线，∴∠1=∠2，∵MN平行于x轴，∴∠3=∠1，∴∠2=∠3，∴BO=BF．同理可证BO=BE，∴BE=BF．123212343434344344（2）当=时，四边形AEOF 是矩形，∵=， ∴OB=AB ．又∵BE=BF ，∴四边形AEOF 是平行四边形，∵OE 、OF 是角平分线，∴∠EOF=90°，∴四边形AEOF 是矩形． （3）如图②，∵MN 平行于x 轴，∴当A 点在y 轴时，即A 点坐标为（0，4）时，有OA ⊥EF ，• 此时，取OA 的中点，由（2）知四边形AEOF 是矩形， ∴四边形AEOF 是正方形， ∴存在点A （0，4），B （0，2），使四边形AEOF 为正方形． 2．（1）直线CE 的解析式为（2）D （（3）（若此点在第四象限）M 1（，-），（•若此点在第二象限）M 2（-，）3．（1）y=x 2-2x-3（2）在抛物线对称轴上存在一点P ，使点P 到B 、C•两点的距离之差最大．作直线AC 交抛物线对称轴于点P ，连结PB ，∵对称轴x=1是线段AB•的垂直平分线，∴PB=PA ， ∴PB-PC=PA-PC=AC ．（线段AC 为差值最大值）， 设直线AC 的解析式为y=•kx+b ．把A （-1，0），C （0，-3）代入上式，得，∴k=-3，b=-3，∴直线AC 的解析式为：y=-3x 1-3，•当x=1时，y=-3×1-3=-6， ∴点P 的坐标为（1，-6）．4．（1）∠ACM=∠B ，连结OC ，利用圆的切线性质和等腰三角形的性质可证得结论．OB OA 12OB OA 123232232203k b b -+=⎧⎨=-⎩（2）存在两个点D 1、D 2，使得以A 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．过点A 作AD 1⊥MN 于D 1，过点A 作AD 2⊥AC 交MN 于D 2． 由相似三角形对应边成比例可分别求得CD 1和CD 2的长． 5．（1）a=-，b=，H （2，1）（2）答：存在这样的点Q ，使得点O 、M 、Q 、H 为顶点的四边形为平行四边形．由题意可知，△MDC 是直角三角形，CD=3，OC=4，∵tan ∠OMD=， ∴=，•∴CM=9，∴OM=9-4=5． ①要使OMQH 是平行四边形，由题意知OM ∥HQ ，只须OM=OQ ， ∵点H•的坐标是1，∴点Q 1（2，-4）②要使OMHQ 是平行四边形，由题意知OM ∥HQ ，只须OM=HQ ，• ∵点H 的坐标是1，∴点Q 2（2，6）．6．解：设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c （a ≠0），根据题意得：c=4，且，∴所求的抛物线的解析式为y=-x 2+x+4．4316313CD CM 13193403,1644013a a b a b b ⎧=-⎪-+=⎧⎪⎨⎨++=⎩⎪=⎪⎩解得1313（2）连结DQ ．在Rt △AOB 中，，∴AD=AB=•5，•∵AC=AO+CO=3+4=7，∴CD=AC-AD=7-5=2． ∵BD 垂直平分PQ ，∴PD=QD ，PQ ⊥BD ，∴∠PDB=∠QDB ， ∵AD=AB ，∴∠ABD=∠ADB ，∵∠ABD=∠QDB ，∴DQ ∥AB ， ∴∠CQD=∠CBA ，∠CDQ=•∠CAB ，∴△CDQ ∽△CAB ，∴． ∴AP=AD-DP=AD-DQ=5-=，t=÷1=（秒）， ∴t 的值为秒．（3）答：对称轴上存在一点M ，使MQ+MC 的值最小．理由：∵抛物线的对称轴为：x=-=，• ∴A （-3，0），C （4，0）两点关于直线x=对称．连结AQ 交直线x=于点M ，则MQ+MC 的值最小．•过点Q 作QE ⊥x 轴，垂足为E ，∴∠QED=∠BOA=90°， ∵DQ ∥AB ，∴∠BAO=∠QDE ，∴△DQE ∽△ABO ，∴， ∴QE=，DE=，OE=OD+DE=2+=，∴Q （，），设直线AQ 的解析式为y=kx+m （k ≠0），则， 210,577DQ CD DQ DQ AB CA ===即1072572572572572b a 121212107453QE DQ DE QE DE BO AB AO ====即:8767672072078782084177243041k k m k m m ⎧=⎧⎪+=⎪⎪⎨⎨⎪⎪-+==⎩⎪⎩得∴直线AQ 的解析式为y=， ∴M （，），则：在对称轴上存在点M （，），使MQ+MC 值最小． 7．解：设L 2的解析式为y=a （x-h ）2+k ，∵L 1与x 轴的交点A （-2，0），C （2，0），顶点坐标是（0，-4），L 1与L 2关于x 轴对称，∴L 2过A （-2，0），C （2，0），顶点坐标是（0，4）， ∴y=ax 2+4，∴0=4a+a 得a=-1，∴L 2的解析式为y=-x 2+4．（2）设B （x 1，y 1），∵点B 在L 1上，∴B （x 1，x 12-4），∵四边形ABCD 是平行四边形，A 、C 关于0对称，∴B 、D 关于0对称， ∴D （-x 1，-x 12+4），将D （-x 1，-x 12+4）的坐标代入L 2：y=-x 2+4，∴左边=右边， ∴点D 在L 2上．（3）设平行四边形ABCD 的面积为S ，则S=2×S △ABC =AC ×│y 1│=4│y 1│，a ．当点B 在x 轴上方时，y 1>0，∴S=4y 1，•它是关于y 1的正比例函数且S 随y 1的增大而增大，∴S 既无最大值也无最小值．b ．当点B 在x•轴下方时，-4≤y 1<0，∴S=-4y 1，它是关于y 1的正比例函数且S 随y 1的增大而减小，∴当y 1=-4时，•S 有最大值16，但它没有最小值．此时B （0，-4）在y 轴上，它的对称点D 也在y 轴上，∴AC ⊥BD ，∴平行四边形ABCD 是菱形，此时S 最大=16．8．解：（1）过D 作DE ⊥AB 于E ，过C 作CF ⊥AB 于F ，如图1，∵ABCD 是等腰梯形，•∴四边形CDEF 是矩形，∴DE=CD ．又∵AD=BC ，∴Rt △ADE ≌Rt △BCF ，AE=BF ．又CD=2cm ，AB=8cm ，∴EF=CD=cm ，AE=AF=（8-2）=3cm ． 若四边形APQD 是直角梯形，则四边形DEPQ 为知形，∵CQ=t ，∴DQ=EP=2-t ，∵AP=AE+EP ，∴2t=3+2-t ，∴t=秒． 1182422,824284141414141x x x y x y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪+⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩联立得1228411228411253（2）在Rt △ADE 中，cm ），S 梯形ABCD=（8+2）×cm 2）． 当S 四边形PBCQ=S 梯形ABCD 时，①如图2，若点Q•在CD 上，即0≤t ≤2，则CQ=t ，BP=8-2t ．S 四边形PBCQ =（t+8-2t ）×．解之得t=3（舍去）． ②如图3，若点Q 在AD 上，即2<t ≤4，过点Q 作HG ⊥AB 于G ，交CD 的延长线于H ．由图1知：sin ∠ADE=，∴∠ADE=30°，则∠A=60°． 在Rt △ADG 中，AQ=8-t ，QG=AQ ·sin60°=， 在Rt△QDH 中，∠QDH=60°，DQ=t-2，QH=DQ·sin60°=． 由题意知，S 四边形PBCQ =S △APQ +S △CDQ =×2t ×+×2×， 即t 2-9t+17=0，•解之得t 1（不合题意，舍去），t 2． 答：存在t=，使四边形PBCQ 的面积是梯形ABCD•面积的一半．12121212AE AD =)2t -121292。

中考数学专题复习——存在性问题一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线2=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2y x=-+.y x h k()所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出h k、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2）， 点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，写出点D 的坐标； 若不存在，说明理由．4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分）(4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，说明理由。

考向3.9 二次函数-存在性问题例1、（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，一次函数333y x =-图象与坐标轴交于点A 、B ，二次函数233y x bx c =++图象过A 、B 两点． （1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于33y x =：当x =0时，3y = 当y =0时，3303x -=，妥得，x =3 ∴A （3，0），B （0，3- 把A （3，0），B （0，3-23y bx c ++得： 33+3+=03b c c ⎧⎪⎨=-⎪⎩解得，233b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：23233y =-（2）抛物线的对称轴为直线23312323b x a -=-=-=⨯故设P （1，p ），Q （m ，n ） ①当BC 为菱形对角线时，如图，∵B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直， ∴∴BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴 ∵在菱形BQCP 中，BC ⊥PQ ∴PQ ⊥x 轴 ∵点P 在x =1上， ∴点Q 也在x =1上， 当x =1时，232343113=333y =⨯-⨯--∴Q （1，433-）； ②当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，∴BC //PQ ，且BC =PQ ∵BC //x 轴，∴令3y =23233=3y解得，120,2x x == ∴(2,3)C - ∴PQ =BC =2 ∵22(3)12+= ∴PB =BC =2 ∴迠P 在x 轴上， ∴P (1,0) ∴Q (3，0)；若点Q 在点P 的左侧，如图，同理可得，Q （-1，0） 综上所述，Q 点坐标为（1，433-）或(3，0)或（-1，0）1、存在性问题的解题思路:假设存在,推理论证,得出结论；2、解決线段存在性问题的方法:将军饮马问题、垂线段问题、三角形三边关系、函数最值等；3、本题考查的知识点有用待定系数法求出二次函数的解析式，菱形的性质和判定，解一元二次方程，主要考查学生综合运用这些性质进行计算和推理的能力．同时注意用分类讨论思想解决问题。

存在性问题1.如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；（3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．4.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC 的面积等于27，试求m的值.的图象交于点A，且与x轴交于点B．如图，已知一次函数y=－x+7与正比例函数y=x3（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．5.答案：1. （1）由题意，可设抛物线的解析式为2(2)1y a x =-+，∵抛物线过原点，∴2(02)10a -+=， 14a =-． ∴抛物线的解析式为21(2)14y x =--+214x x =-+．（2）AOB △和所求MOB △同底不等高，3MOBAOB S S =△△且，∴MOB △的高是AOB △高的3倍，即M 点的纵坐标是3-． ∴2134x x -=-+，即24120x x --=．解之，得 16x =，22x =-． ∴满足条件的点有两个：1(63)M -，，2(23)M --，． （3）不存在．由抛物线的对称性，知AO AB =，AOB ABO ∠=∠．如图，若OBN △与OAB △相似，必有BON BOA BNO ∠=∠=∠．设ON 交抛物线的对称轴于A '点，显然(21)A '-，． ∴直线ON 的解析式为12y x =-．由21124x x x -=-+，得10x =，26x =∴ (63)N -，．过N 作NE x ⊥轴，垂足为E ．在Rt BEN△中，2BE =，3NE=，∴NB ==．又OB =4，∴NB OB ≠，BON BNO ∠≠∠，OBN △与OAB △不相似． 同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N 点．所以在该抛物线上不存在点N ，使OBN △与OAB △相似．2. 解答：解：（1）∵OB=OC=3，∴B （3，0），C （0，3）∴⎩⎨⎧=++-=c cb 3390，解得⎩⎨⎧==32c b ∴二次函数的解析式为y=-x 2+2x+3； （2）∵y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4，∴M （1，4）设直线MB 的解析式为y=kx+n ，则有⎩⎨⎧+=+=n k nk 304解得⎩⎨⎧=-=62c k ∴直线MB 的解析式为y=-2x+6∵PD ⊥x 轴，OD=m ，∴点P 的坐标为（m ，-2m+6） S 三角形PCD =21×（-2m+6）•m=-m 2+3m （1≤m≤3）； （3）∵若∠PDC 是直角，则点C 在x 轴上，由函数图象可知点C 在y 轴的正半轴上，∴∠PDC≠90°，在△PCD 中，当∠DPC=90°时，当CP ∥AB 时，∵PD ⊥AB ，∴CP ⊥PD ，∴PD=OC=3，∴P 点纵坐标为：3，代入y=-2x+6，∴x=23，此时P （23，3）．∴线段BM 上存在点P （23，3）使 △PCD 为直角三角形．当∠P′CD′=90°时，△COD′∽△D′CP′，此时CD′2=CO•P′D′， 即9+m 2=3（-2m+6），∴m 2+6m-9=0，（1） 3. 解：分别把A （1，0）、B （3，0）两点坐标代入y=x 2+bx+c 得到关于b 、c 的方程组，解之得：b=-4，c=3，∴抛物线的对称轴为：直线x=2；4. 解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2∣＝=∴m 2－4m ＋3=0 解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 .（2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 .∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.∴a = .这时M 、N 到y又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 ,∴2×12×（2－m ∴解得m=－7 .。

中考数学压轴题专题--函数图象中点的存在性问题（很好的⼀个专题训练并有试题详细解析及参考答案）1、如图1，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的⼤⼩；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1．详细解析及参考答案：（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂⾜为H ．在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°，所以AH ＝1，OH 3A (13)-．因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，设y ＝ax (x －2)，代⼊点A (13)-，可得3a =．图2 所以抛物线的表达式为23323(2)y x x =-=．（2）由22323331)y x x ==- 得抛物线的顶点M 的坐标为3(1,．所以3tan BOM ∠=．所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．（3）由A (13)-、B (2,0)、M 3(1,，得3tan 3ABO ∠=，23AB =233OM =．所以∠ABO ＝30°，3OAOM=因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°．△ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：①如图3，当BA OABC OM ==时，2BC ===．此时C (4,0)．②如图4，当BC OABA OM==时，6BC ===．此时C (8,0)．图3 图4考点伸展：在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标．如图5，因为△BOM 是30°底⾓的等腰三⾓形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底⾓为30°的等腰三⾓形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．图52、如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（⽤含b 的代数式表⽰）；（2）请你探索在第⼀象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的⾯积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直⾓顶点的等腰直⾓三⾓形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进⼀步探索在第⼀象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三⾓形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1详细解析及参考答案：（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,4b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂⾜分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ??+??=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3 （3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =?时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14bb =-．解得8b =±Q 为(1,2．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

中考数学专题复习——存在性问题存在性问题类型主要分以下几个问题：存在等腰三角形问题，存在平行四边形问题，存在直角三角形问题，存在梯形问题，存在代数最大和最小值问题，存在几何最小值问题，存在等分面积问题。

一、填空题1、已知一次函数104+=x y ，自变量x 的取值范围为105≤≤-x ；则该函数是否存在最大值或最小值？当x = 时，y 有最小值是 ；当x = 时，y 有最大值是 。

2、已知一次函数104+-=x y ，自变量x 的取值范围为510≤≤-x ；则该函数是否存在最大值或最小值？当x = 时，y 有最小值是 ；当x = 时，y 有最大值是 。

3、已知二次函数322-+=x x y ，当x = 时，y 有最 值是 ；若自变量x 的取值范围为32≤≤-x ；当x = 时，y 有最小值是 ；当x = 时，y 有最大值是 。

4、已知二次函数322++-=x x y ，当x = 时，y 有最 值是 ； 若自变量x 的取值范围为32≤≤-x ；当x = 时，y 有最小值是 ；当x = 时，y 有最大值是 。

5、在平面直角坐标系中，已知点A (-3，0) ；B （0，4）；C （5，0）；请你在如图1中找到一点D,使得四边形ABCD 为平行四边形；满足点D 的坐标为 ；6、在平面直角坐标系中，已知点A (-3，0) ；B （0，4）；请你在x 轴上找到一点C ，使得三角形ABC 为等腰三角形；满足点D 的坐标为 ；7、在平面直角坐标系中，已知点A (-2，0) ；B （0，4）；C （4，0）；请你在如图3中的直线x8、已知抛物线1582+-=x x y 交x 轴于于A 、B 两点，点P 在这个二次函数图像上运动，能否使ABC ∆的面积等于1个平方单位的点P 共有 个，写出所有满足条件的所有点P 的坐标 ；9、如图4，在边长为3的正方形ABCD 和等边三角形ABE 中，点P 是对角线AC 上一个动点，当点P 运动到距离A 点 时，线段DP 与EP 的和最小，最小值是 。

中考数学试题中“存在性〞问题的解题策略存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵敏，对学生分析问题和解决问题的才能要求较高，是近几年来各地中考的“热点〞。

这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。

假设能导出合理的结果，就做出“存在〞的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

由于“存在性〞问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进展的推理或者计算，对根底知识，根本技能提出了较高要求，并具备较强的探究性，正确、完好地解答这类问题，是对我们知识、才能的一次全面的考验。

一 数式是否存在型问题数式是否存在型问题的一般解题思路是利用方程或者不等式来对问题进展判别，以便得出正确结论，利用一元二次方程知识进展是否存在的判断时，根的判别式是最重要的根据，当)0(02≠=++a c bx ax 时，ac b 42-＜０，方程无实数根，即是不存在的充分理由；而当042≥-ac b 时，方程存在实数根，此时还要结合条件、法那么、定理与实际情况等进展判别例1 .假设关于x 的一元二次方程0209)1(322=+-++-m m x m x 有两个实数根，又a 、b 、ｃ分别是△ABC 的∠A 、∠Ｂ、∠Ｃ的对边，∠Ｃ＝９０°且53cos =B ，3=-a b ，是否存在整数m ，使上述一元二次程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 的斜边c 的平方？假设存在，求出满足条件的m 的值。

假设不存在，请说明理由。

分析：这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存在这样的m ，满足的条件有m 是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 斜边c 的平方，隐含条件判别式Δ≥0等，这时会发现先抓住Rt △ABC 的斜边为c 这个打破口，利用题设条件，运用勾股定理并不难解决。

解：∴设a=3k ，c=5k ，那么由勾股定理有b=4k ， 33343==-=-k k k a b ∴，∴，∵∴存在整数m=4，使方程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 的斜边c 的平方。