2019版高考数学理培优增分一轮全国经典版增分练：第8章 平面解析几何8-1a 含解析 精品

板块四 模拟演练·提能增分

[A级 基础达标]

1．直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是( )

A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6

答案 D

解析 由直线的方程得直线的斜率k＝－33，设倾斜角为α，则tanα＝－33，所以α＝5π6.

2．[2018·沈阳模拟]直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )

A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0

C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0

答案 A

解析 由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－abx－cb.易知－ab<0且－cb>0，故ab>0，bc<0.

3．[2018·邯郸模拟]过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是( )

A．x＝2 B．y＝1 C．x＝1 D．y＝2

答案 A

解析 ∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为3π4.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.

4．已知三点A(2，－3)，B(4,3)，C5，k2在同一条直线上，则k的值为( ) A．12 B．9 C．－12 D．9或12

答案 A

解析 由kAB＝kAC，得3－－34－2＝k2－－35－2，

解得k＝12.故选A.

5．[2018·荆州模拟]两直线xm－yn＝a与xn－ym＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能是(

)

答案 B

解析 直线方程xm－yn＝a可化为y＝nmx－na，直线xn－ym＝a可化为y＝mnx－ma，由此可知两条直线的斜率同号．故选B.

6．[2018·安徽模拟]直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是( )

A.33 B.3 C．－3 D．－33

答案 A

解析 设直线l的斜率为k，则k＝－sin30°cos150°＝33.

7．直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．

答案 0，π6∪5π6，π

解析 设直线的倾斜角为θ，依题意知，θ≠π2，k＝－33cosα，∵cosα∈[－1,1]，∴k∈－33，33，即tanθ∈－33，33.又θ∈[0，π)，∴θ∈0，π6∪5π6，π

8．已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，y－1x－2的取值范围为________．

答案 －∞，－32∪12，＋∞

解析 y－1x－2的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率，因为点M在x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB，且A1，52，B3，32，由于kNA＝－32，kNB＝12，所以y－1x－2的取值范围是－∞，－32∪12，＋∞.

9．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．

答案 y＝－53x或x－y＋8＝0

解析 (1)当直线过原点时，直线方程为y＝－53x；

(2)当直线不过原点时，设直线方程为xa＋y－a＝1，即x－y＝a，代入点(－3,5)，得a＝－8，即直线方程为x－y＋8＝0.

10．[2018·衡阳模拟]一条直线经过点A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y＝13x的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．

答案 3x－y－33＝0

解析 解法一：∵直线y＝13x的倾斜角为30°，

所以所求直线的倾斜角为60°，

即斜率k＝tan60°＝3. 又该直线过点A(2，－3)，

故所求直线为y－(－3)＝3(x－2)，

即3x－y－33＝0.

解法二：设直线y＝13x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角θ＝2α.

tanθ＝tan2α＝2tanα1－tan2α＝231－132＝3.

所求直线为3x－y－33＝0.

[B级 知能提升]

1．[2018·海南模拟]直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )

A.π4，π2 B.0，3π4

C.0，π2∪3π4，π D.0，π4∪π2，3π4

答案 C

解析 直线的斜率k＝－(1－a2)＝a2－1，∵a2≥0，∴k＝a2－1≥－1.由倾斜角和斜率的关系(如图所示)，该直线倾斜角的取值范围为0，π2∪3π4，π.

2．已知点A(－1,0)，B(cosα，sinα)，且|AB|＝3，则直线AB的方程为( )

A．y＝3x＋3或y＝－3x－3

B．y＝33x＋33或y＝－33x－33

C．y＝x＋1或y＝－x－1

D．y＝2x＋2或y＝－2x－2

答案 B

解析 由|AB|＝cosα＋12＋sin2α＝2＋2cosα＝3，得cosα＝12，所以sinα＝±32，所以直线AB的斜率kAB＝sinα－0cosα＋1＝3212＋1＝33或kAB＝sinα－0cosα＋1＝－3212＋1＝－33，所以直线AB的方程为y＝±33(x＋1)，即直线AB的方程为y＝33x＋33或y＝－33x－33.选B.

3．[2018·宁夏调研]若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．

答案 16

解析 根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为xa＋yb＝1，又C(－2，－2)在该直线上，故－2a＋－2b＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又ab>0，故a<0，b<0.

根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4ab，从而ab≤0(舍去)或ab≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16.

4．在△ABC中，已知A(1,1)，AC边上的高线所在直线方程为x－2y＝0，AB边上的高线所在直线方程为3x＋2y－3＝0.求BC边所在直线方程． 解 kAC＝－2，kAB＝23.

∴AC：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，

AB：y－1＝23(x－1)，即2x－3y＋1＝0.

由 2x＋y－3＝0，3x＋2y－3＝0，得C(3，－3)．

由 2x－3y＋1＝0，x－2y＝0，得B(－2，－1)．

∴BC：2x＋5y＋9＝0.

5．过点P(2,1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：

(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；

(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；

(3)求|PA|·|PB|的最小值及此直线l的方程．

解 (1)解法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则可得A2k－1k，0，B(0,1－2k)．

∵与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，

∴ 2k－1k>0，1－2k>0⇒k<0.

于是S△AOB＝12·|OA|·|OB|

＝12·2k－1k·(1－2k)＝124－1k－4k

≥124＋2－1k·－4k＝4.

当且仅当－1k＝－4k，即k＝－12时，△AOB面积有最小值为4，此时，直线l的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.

解法二：设所求直线l的方程为xa＋yb＝1(a>0，b>0)，则2a＋1b＝1.

又∵2a＋1b≥22ab⇒12ab≥4，当且仅当2a＝1b＝12，即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝12ab有最小值为4.

此时，直线l的方程是x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0.

(2)解法一：∵A2k－1k，0，B(0,1－2k)(k<0)，

∴截距之和为2k－1k＋1－2k＝3－2k－1k≥3＋2－2k·－1k＝3＋22.

当且仅当－2k＝－1k，即k＝－22时，等号成立．

故截距之和最小值为3＋22，此时l的方程为y－1＝－22(x－2)，即2x＋2y－2－22＝0.

解法二：∵2a＋1b＝1，

∴截距之和a＋b＝(a＋b)2a＋1b＝3＋2ba＋ab≥3＋22ba·ab＝3＋22.

此时2ba＝ab，求得b＝2＋1，a＝2＋2.

此时，直线l的方程为x2＋2＋y2＋1＝1，

即2x＋2y－2－22＝0.

(3)解法一：∵A2k－1k，0，B(0,1－2k)(k<0)，

∴|PA|·|PB|＝1k2＋1·4＋4k2＝4k2＋4k2＋8 ≥ 2·4k2·4k2＋8＝4.

当且仅当4k2＝4k2，即k＝－1时上式等号成立，故|PA|·|PB|最小值为4，此时，直线l的方程为x＋y－3＝0.

解法二：设∠OAB＝θ，

则|PA|＝1sinθ，|PB|＝2sin90°－θ＝2cosθ，

∴|PA|·|PB|＝2sinθcosθ＝4sin2θ，当sin2θ＝1，θ＝π4时，|PA|·|PB|取得最小值4，此时直线l的斜率为－1，又过定点(2,1)，∴其方程为x＋y－3＝0.