高中数学课件第3章 导数及其应用 3.3.1

3.3.3 函数的最大(小)值与导数

学 习 目 标 核 心 素 养

1．能够区分极值与最值两个不同的概念．(易混点)

2．掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法．(重点)

3．能根据函数的最值求参数的值．(难点) 1．通过学习导数与最值的关系，培养学生数学直观的素养．

2．借助函数最值的求法，提升逻辑推理和数学运算的素养.

1．函数f(x)在区间[a，b]上的最值

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．

思考：若函数f(x)在区间[a，b]上只有一个极大值点x0，则f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值吗？

[提示] 根据极大值和最大值的定义知，f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值．

2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤

(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．

(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

1．下列说法正确的是( )

A．函数的极大值就是函数的最大值

B．函数的极小值就是函数的最小值

C．函数的最值一定是极值

D．在闭区间上的连续函数一定存在最值

D [极值有可能是最值，但最值未必是极值，故选D．] 2．函数y＝x－sin x，x∈π2，π的最大值是( )

A．π－1

B．π2－1

C．π D．π＋1

C [y′＝1－cos x>0，故函数y＝x－sin x，x∈π2，π是增函数，因此当x＝π时，函数有最大值，且ymax＝π－sin π＝π.]

3．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )

A．－2 B．0

C．2 D．4

C [f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.

第三章 导数及其应用

备课人 周志英

3.1 导数的概念

教学目的

1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；

2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法

3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。

教学重点和难点

导数的概念是本节的重点和难点

教学过程

一、前置检测(导数定义的引入)

1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度)

2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？

在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在关系105.69.42ttth，那么我们就会计算任意一段的平均速度v，通过平均速度v来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？

我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t时间段内的平均速度v，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉

表格1

格2 0t时，在2,2t这段时间内 0t时，在t2,2这段时间内

1.139.41.139.422222tttttthhv 1.139.41.139.422222ttttththv

当t0.01时，v13.051； 当t0.01时，v13.149；

当t0.001时，v13.095 1； 当t0.001时，v13.104 9；

当t0.000 1时，v13.099 51； 当t0.000 1时，v13.100 49；

人教版高中数学选修1-1学案

1 §3.3 导数在研究函数中的应用

3.3.1 函数的单调性与导数

学习目标 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

知识点1 函数的单调性与导数的关系

(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：

导数 函数的单调性

f′(x)>0 单调递增

f′(x)<0 单调递减

f′(x)＝0 常函数

(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：

函数的单调性 导数

单调递增 f′(x) ≥0

单调递减 f′(x)≤0

常函数 f′(x)＝0

【预习评价】

思考 在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？

提示 必要不充分条件.

知识点2 利用导数求函数的单调区间

求可导函数单调区间的基本步骤：

(1)确定定义域；

(2)求导数f′(x)；

(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 人教版高中数学选修1-1学案

2 【预习评价】

函数f(x)＝13x3－x2－3x＋2的单调增区间是________.

[解析] f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞3，故f(x)的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞).

[答案] (－∞，－1)，(3，＋∞)

题型一 利用导数判断(或证明)函数的单调性

【例1】 证明：函数f(x)＝sin xx在区间π2，π上单调递减.

证明 f′(x)＝xcos x－sin xx2，又x∈π2，π，

则cos x<0，∴xcos x－sin x<0，

∴f′(x)<0，∴f(x)在π2，π上单调递减.

规律方法 关于利用导数证明函数单调性的问题：

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1 / 5 §函数的最大〔小〕值与导数

项目 内容

课题 〔共2课时〕 修改与创新

教学

目标 ⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(xf在闭区间ba,上所有点〔包括端点ba,〕处的函数中的最大〔或最小〕值必有的充分条件；

⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤

教学重、

难点 教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．

教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．

教学

准备 多媒体课件

教学过程

一、导入新课：

我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x是函数yfx的极大〔小〕值点，那么在点0x附近找不到比0fx更大〔小〕的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果0x是函数的最大〔小〕值，那么0fx不小〔大〕于函数yfx在相应区间上的所有函数值．

二、讲授新课：

观察图中一个定义在闭区间ba,上的函数)(xf的图象．图中)(1xf与3()fx是极小值，2()fx是极大值．函数)(xf在ba,上的最大值是)(bf，最小

x3x2x1baxOyword

2 / 5 值是3()fx．

1．结论：一般地，在闭区间ba,上函数()yfx的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()yfx在ba,上必有最大值与最小值．

说明：⑴如果在某一区间上函数()yfx的图像是一条连续不断的曲线，那么称函数()yfx在这个区间上连续．〔可以不给学生讲〕

⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)ab内连续的函数)(xf不一定有最大值与最小值．如函数xxf1)(在),0(内连续，但没有最大值与最小值；

⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，

⑷函数)(xf在闭区间ba,上连续，是)(xf在闭区间ba,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．〔可以不给学生讲〕