2课件第一章 导数及其应用章末复习提升_图文.ppt.ppt

, × - 2 = 12 .
5 125
专题一
专题二
专题三
专题四
专题三 函数的单调性与极值、最大(小)值 (1)求可导函数f(x)单调区间的步骤: ①求f'(x); ②解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0); ③确认并指出函数的单调区间. (2)求可导函数f(x)在区间[a,b]上最大(小)值的步骤: ①求出f(x)在区间(a,b)内的极值; ②将f(x)在区间(a,b)内的极值与f(a),f(b)比较,确定f(x)的最大值与 最小值.
(1)当 a=1 时,f'(x)= 单调减区间为( 2, 2).
2),
(2)当 x∈(0,1]时,f'(x)=
1 . 2
> 0,
所以 f(x)在区间(0,1]上单调递增,故 f(x)在区间(0,1]上的最大值 为 f(1)=a,因此 a=
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 用定积分求平面图形的面积 用定积分求平面图形的面积是定积分的一个重要应用,几种典型 的平面图形的面积计算如下:
因为 l1⊥l2,所以 2b+1=− 3 , ������ = − 3. 所以直线 l2 的方程为 y=− 3 ������ − 9 .
1 22
1
2
专题一
专题二
专题三
专题四
1 ������ = , ������ = 3������-3, 6 (2)解方程组 1 22 得 5 ������ = - 3 ������- 9 , ������ = - 2 , 1 5 所以直线 l1 和 l2 的交点坐标为 6 ,- 2 . 22 l1,l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0), - ,0 3 1 22 所以所求三角形的面积为 S= 2 × 1 + 3

在 1.5 s 后，曲线在任何点的切线斜率都小于 0 且切线的倾 斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下 落，直到落地．
导数的几何意义是曲线的切线的斜率.反之，在曲线上取确 定的点，作曲线的切线，则可以根据切线斜率的符号及绝对值的 大小来确定曲线的升降情况及升降的快慢程度.
某斜坡在某段内的倾斜程度可以近似地用函数 y＝－x2＋ 4x32≤x≤2来刻画，试分析该段斜坡的坡度的变化情况．
(－4.9－4.9Δt)＝－4.9，
即在 t＝2 s 时，烟花正以 4.9 m/s 的瞬时速度下降．
如图，结合导数的几何意义，我们可以看出： 在 t＝1.5 s 附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速 度几乎为 0，达到最高点并爆裂；
在 0～1.5 s 之间，曲线在任何点的切线斜率都大于 0 且切线 的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来 越小的速度升空；
解析：ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0
＝x0＋Δx3－3x0＋ΔΔxx2＋1－x30＋3x20－1
＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0.
所以
f′(x0)
＝
lim
[(Δx)2
＋
3x0Δx
－
3Δx
＋
3x
2 0
－
6x0]
＝
3x
20 －
Δx→0
6x0，于是 3x20－6x0＝9，解得 x0＝3 或 x0＝－1，
解：因为ΔΔyx＝[－x＋Δx2＋4xΔ＋xΔx]－－x2＋4x ＝－2x·Δx＋Δ4xΔx－Δx2＝－2x＋4－Δx，
所以 y′＝lim
Δx→0
ΔΔyx＝－2x＋432≤x≤2.
由于 y′＝－2x＋4 在区间32，2上是减函数，且 0≤y′≤1，

栏目 导引
第一章 导数及其应用
做一做
1.已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.
答案：ln x＋1
2．设y＝－2exsin x，则y′＝( )
A．－2excos x
B．－2ex(sin x＋cos x)
C．2exsin x
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 利用导数的运算法则求导数
例1 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－x12； (3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (4)y＝x2＋tan x；
(5)y＝s in4x＋ cos 4x.
4
4
栏目 导引
第一章 导数及其应用
【解】 (1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′
D．－2exsin x
解析：选B.y′＝－2[(ex)′sin x＋ex(sin x)′]
＝－2(exsin x＋excos x)
＝－2ex(sin x＋cos x)．
栏目 导引
第一章 导数及其应用
2．复合函数的求导法则 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过 变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为 函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的___复__合__函__数____，记作 y＝ f(g(x))． 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的 导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等 于__y_对__u_的__导__数____与__u_对__x_的__∴
y′＝
(x2)′＋
s (
in

等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f ′(x0)＝3．故选B ．
4．已知曲线 y＝12x2－3 上一点 P(1，－52)，则过点 P 的切线的斜率为( B )
A．
3 3
B．1
C．－1
D．－
3 3
[解析]
∵y＝12x2－3，∴y′＝Δlixm→0
12x＋Δx2－Δ3x－12x3－3＝Δlixm→0
＝y′＝__Δlix_m→_0______Δ_x________．
• 1．曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线B方程为( )
• A．y＝2x
B．y＝2x－1
• C．y＝2x＋1 D．y＝－2x
[解析] ∵ΔΔyx＝x＋ΔΔxx2－x2＝2x＋Δx，
∴Δlixm→0 ΔΔyx＝2x，∴y′|x＝1＝2，
12Δx2＋x·Δx Δx
＝Δlixm→0 (x＋12Δx)＝x．
∴y′|x＝1＝1，∴过点 P(1，－52)的切线的斜率为 1．
互动探究学案
命题方向1 ⇨求切线方程
典例 1 已知曲线 C：y＝13x3＋43． (1)求曲线 C 上的横坐标为 2 的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？
∴y′|x＝2＝22＝4． ∴点 P 处切线的斜率为 4．
(2)∵由(1)知，点 P 处切线斜率为 4， 且点 P 坐标为(2，83)， ∴在点 P 处的切线方程是 y－83＝4(x－2)， 即 12x－3y－16＝0．
3．导数的物理意义：物体的运动方程 s＝s(t)在点 t0 处的导数 s′(t0)，就是物 体在 t0 时刻的__瞬__时__速__度_____．
4．函数的导数 对于函数 y＝f(x)，当 x＝x0 时，f ′(x0)是一个确定的数．当 x 变化时，f ′(x)

3．已知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则 a ＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝3ax2＋1， ∴f′(1)＝3a＋1. 又 f(1)＝a＋2， ∴切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得 a＝1. 【答案】 1
1 A.10
B．10
C．10ln 10
1 D.10ln 10
【解析】 ∵f′(x)＝10xln 10，∴f′(1)＝10ln 10.
【答案】 C
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
y′＝________
y＝logax (a＞0，a≠1，x＞0)
y＝ln x y＝sin x y＝cos x
y′＝________
y′＝________ y′＝________ y′＝________

f'(x)=2x-4
−
6 ������
=
2������ 2 -4������ -6,
������
令f'(x)>0,得x>3;令f'(x)<0,得0<x<3,
所以f(x)的增区间是(3,+∞),减区间是(0,3).
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六
综合应用
(2)由题意知
f'(x)=2x-4
=
-������
������ 2-2������+������������ (������ 2+������)2
,
由题意知 f'(-c)=0,即得 c2k-2c-ck=0.
∵c>0,易知
k≠0,∴c=1
+
2 ������
.
(*)
由f'(x)=0,得-kx2-2x+ck=0.
由根与系数的关系知,函数f(x)的另一个极值点为x=1.
y0-y1=f'(x1)(x0-x1).① 又y1=f(x1),② 由①②求出x1,y1的值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.
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综合应用
应用
已知曲线
y=
1 3
������
3
+
4 3
,
求斜率为4
的曲线的切线方程.
提示:切点的坐标→切线的斜率→点斜式求切线方程
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综合应用
应用 1 已知函数 f(x)=ln x− (������-1)2.
2
(1)求函数f(x)的单调递增区间;

[解析] (1)a＝－1 时，f(x)＝lnx＋x＋2x－1，x∈(0，
＋∞)．
f′(x)＝x2＋xx2－2，x∈(0，＋∞)，
因此 f′(2)＝1，
即曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为 1.
又 f(2)＝ln2＋2， 所以 y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程应为 y－(ln2＋ 2)＝x－2，即 x－y＋ln2＝0. (2)因为 f(x)＝lnx－ax＋1－x a－1， 所以 f′(x)＝1x－a＋a－x2 1＝－ax2－xx＋2 1－a x∈(0， ＋∞)．
简捷．在解决问题的过程中主要处理好等 号的问题，因为f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是一个 函数在某区间上递增(或递减)的充分不必 要条件，而其充要条件是：f′(x)≥0或 (f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零．利用导数法解 决取值范围问题时可以有两个基本思路：
• 一是将问题转化为不等式在某区间上的恒 成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分
• (2)物理意义：函数s＝s(t)在点t处的导数 s′(t)，就是速度v，即v＝ s′(t)．而函数v＝v(t)在t处的导数v′(t)，就是 运动物体在时刻t时的瞬时加速度a，即a＝ v′(t)．
• 3．利用导数的几何意义求切线方程
• 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清 所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一
③当 m>3 时，g(x)在[2,3]上是递增的，
g(x)max＝g(3)＝18m－36.
因此
g(x)max＝31m2m2－－921
(m<2) (2≤m≤3)
.
18m－36 (m>3)
• 已知函数的单调性求参数的取值范围时， 可以有两种方法，一是利用函数单调性的