分析： 只要证明 (1 x)ln(1 x) arctan x 0 证： 令 f (x) (1 x)ln(1 x) arctan x
易知 f (x)在[0,) 上连续，且 f (0) 0
f
(
x)
ln(1
x)
1
x2 x2
x 0时 f (x) 0 , 则f (x) 在[0,) 单调增加.
1.5
1
3o 曲线上f ( x) 不存在的点亦可能有拐点. 0.5
反例： y＝3 x
y＝1
－2
x3
,
y＝－2
－5
x3
3
9
显见 x＝0 时，y不存在，
但是，0 , 0点是曲线的拐点.
-1.5 -1 -0.5
x
0.5
1
1.5
-0.5
x1 3 2
1.5
1
0.5
-3
-2
-1
-0.5
x
1
2
3
-1
-1.5
机动 前页 后页 返回
三、拐点及其判别法
定义 曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。
判别法： 设y f ( x)二阶可导，若f ( x)在 x0 点两侧
异号，则x0，f ( x0 )为曲线的拐点，且必有f ( x0 )＝0.
求曲线拐点的步骤：
拐点的必要条件
1 求 y ；
2 令 y＝0
x1, x2, , xn ;
由单调性定义 f (x) f (0) 0
即 ln(1 x) arctan x 1 x
(x 0) 等号仅当x 0时成立.
机动 前页 后页 返回
二、曲线的凹凸性及其判别法
y
y f (x)
y
