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画法几何平面、直线与立体相交

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直线及平面相交是画法几何知识链中关键环节

直线及平面相交是画法几何知识链中关键环节

直线及平面相交是画法几何知识链中关键环节摘要：画法几何对工程类专业的同学来说是一门十分重要的专业基础课程，然而许多同学对画法几何感到束手无策，十分头痛，这种情况势必影响以后的专业课的学习。

作者在多年的画几教学实践中不断地摸索总结，认为整个画几的学习中“直线与平面相交求交点”是关键环节。

本文在说明原因的基础上，介绍了如何熟练掌握直线与平面相交求交点的作图，希望对广大同学起到指导作用。

关键词：直线与平面相交交点画法几何学习制图的同学有个说法，称画法几何是“头痛几何”。

大一第一学期开这门课，每当课程进行到三分之二时，同学们对这门课有两种截然不同的感觉：一种感觉有趣，喜欢作题、画图，坐下来不知不觉几个小时就过去了，非常投入；而另一部分人感到束手无策，听也听不懂，题不会作，图不会画，一筹莫展……为什么会出现如此情况呢?我在第一节课绪论中，讲这门课的学习方法时说过这部分的特点是：由简到繁(点、线、面、立体及立体组合)，由易到难(即基本作图到综合解题)，因此每章、每节内容关系非常密切，前节课的内容都是为后节课做准备，课后练习必须按时，按量认真完成。

遇到问题要及时解决，为后面内容的学习扫清障碍，否则困难会越来越大。

快到期末有同学深有体会地说：“一环扣一环，扣得真紧……”从投影法基本知识开始，点、线、面、立体及立体组合，大约共有24个知识点(看附件)，构成一个紧密的知识链。

我认为其中第17个知识点――直线与平面的相对位置，其中“直线与平面相交求交点”是这个知识链中关键环节。

分析如下：第17个知识点以后的第18，两平面相交求交线的作图，本质上是求作一平面上两直线对另一平面两交点，该两点是两个面的共有点，两点相连即为两平面交线。

第21，直线与立体相交求作贯穿点作图的本质，仍是直线与立体表面求交点的作图问题。

第22、23，平面与立体相交求作截交线，作图的本质还是求作立体上的棱线、素线与截平面的交点，交点相连即为截交线。

画法几何立体表面的交线

画法几何立体表面的交线

1’
4’
5’
2’
3’
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影和 侧面投影已知，正面投影为 双曲线并反映实形；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ
1” 、ⅡⅢ；
3 求出一般点ⅣⅤ ；
4”(5”) 4 光滑且顺次地连接各点，
作出截交线，并且判别可见 性；
5 整理轮廓线。
2”(3”)
24
1 53
点击动画
点击动画
例10 求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。
4 整理轮廓线。
y
a1
4
s
y
2 b
例3 求立体截切后的投影
6
（5）4
1
2 （3）
35
1
6
24
6
5
4
3 1 2 Ⅵ
Ⅴ Ⅳ
Ⅲ
ⅠⅡ
5.1.2 平面与曲面立体相交
曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直 线所围成的平面图形或多边形。
截交线
点击动画
截交线
点击动画
1. 平面与圆柱相交
截平面平行于轴线， 交线为平行于轴线的 两条平行直线
1. 表面取点法
表面取点法求作相贯线的一般步骤
（1）分析 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和 相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况 （平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置， 两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相 贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。
1’ 6’
2’(3’) 4’(5’)
1”
3” 5” 6”
2” 4”
6 1
5 3
2 4
例11 已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。

画法几何与工程制图教学大纲

画法几何与工程制图教学大纲

《画法几何与工程制图》课程教学大纲课程名称：画法几何与工程制图课程代码：课程类型:专业必修课学分：3 总学时：64 理论学时：32 实验学时：32 先修课程：无适用专业:工程管理一、课程性质、目的和任务画法几何与工程制图是工程管理专业的必修课程。

学习画法几何与工程制图课程的目的是培养学生绘制和阅读建筑工程图的基本能力，是通过画法几何及制图理论的学习和建筑工程制图实训的实践，培养正确使用绘图仪器和徒手作图能力，熟悉建筑制图国家标准的规定，掌握并应用各种图示方法来表达和阅读建筑工程图，本课程的主要任务是：通过让学生掌握制图及投影的基本知识，掌握建筑图样的画法，培养专业识图的基本能力，培养空间想象能力和空间表达能力，培养学生认真负责的工作态度和严谨细致的工作作风，为学习计算机绘图及后续专业课程打下良好的基础。

二、教学基本要求1、知识、能力、素质的基本要求：（1）明确本课程的地位、性质、任务和学习方法。

（2）培养用仪器绘图、徒手绘图的基本技能。

（3）学习用正投影法表达空间几何形体的基本原理和方法。

（4）培养绘制与阅读投影图的能力。

（5）培养适度与绘制建筑施工图、结构施工图、钢筋混凝土构件图等施工图的基本能力。

2、教学模式基本要求本课程采用理论教学和实验教学交叉进行的教学方式，授课方式为多媒体教学，精心设计课堂教学环节，如讲授、练习、制图、讨论等多种实践活动。

实践课以学生动手画图、识图为主，在掌握基本理论基础上增加制图、识图的能力，注意教与学之间的信息沟通与反馈。

三、教学内容及要求1 绪论教学内容：1.1 画法几何及土木工程制图课程概述1.2 投影的基本知识1.3 画法几何及土木工程制图的发展史和发展方向教学要求：（1）了解画法几何与土木工程制图的课程性质及画法几何及土木工程制图的发展史和发展方向；（2）掌握投影的基本知识。

2 画法几何教学内容：2.1 点2.1.1 点在三面体系第一角中的投影与该点的直角坐标关系2.1.2 点在两面体系第一角中的投影2.1.3 两点的相对位置2.2 直线2.2.1 直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置2.2.2 直线上的点的投影特性2.2.3 求直线的真长及其对投影面的倾角2.2.4 两直线的相对位置2.2.5 两直线垂直2.3 平面2.3.1 平面的表示法2.3.2 平面对投影面的各种相对位置2.3.3 平面上的点、直线和图形2.4 直线与平面以及两平面的相对位置2.4.1 直线与平面以及两平面平行2.4.2 直线与平面以及两平面相交2.4.3 直线与平面以及两平面垂直2.4.4 点、直线、平面的综合作图题示例2.5 投影变换2.5.1 投影变换的目的和方法2.5.2 换面法以及用换面法解定位及度量问题示例2.5.3 以投影面垂直线为轴的旋转法简介2.6 曲线、曲面和立体2.6.1 平面立体及其表面上的线和点2.6.2 平面曲线和空间曲线2.6.3 曲面、曲面立体及其表面上的线和点2.6.4 圆柱螺旋线和平螺旋面2.7 平面、直线与立体相交2.7.1 平面与平面立体相交2.7.2 直线与平面立体相交2.7.3 平面与曲面立体相交2.7.4 直线与曲面立体相交2.8 两立体相交2.8.1 两平面立体相交2.8.2 平面立体与曲面立体相交2.8.3 两曲面立体相交2.9 轴测投影2.9.1 轴测投影的基本知识2.9.2 正等测的画法2.9.3 斜等测和斜二测的画法2.9.4 轴测投影的选择2.10 标高投影2.10.1 点和直线2.10.2 平面2.10.3 曲线、曲面和地面2.10.4 应用示例教学要求：（1）掌握点、直线、平面、曲面、立体等的投影的基本原理及其作图方法。

画法几何第10章 相贯线

画法几何第10章 相贯线
1.利用积聚性求贯穿点
当直线或立体表面的某投影具有积聚性时，则在 具有积聚性的投影上，可得到贯穿点的第一个投影， 再用面上或线上取点法，求作贯穿点的第二投影。
[例1] 求作直线与圆柱的贯穿点。
b' n' (m') a'
a m
n b
[例2] 求垂直线AB，CD与圆锥的贯穿点。
2.利用辅助平面法求贯穿点
1”
பைடு நூலகம்
Pw
6”
2”
Qw
5”
3”
4”
Ⅰ 56
1 4
32
Ⅳ
求圆柱与半球的相贯线
10.5.2 相贯线的特殊情况
特殊情况下，相贯线为平面曲线或直线。
相贯线为圆
相贯线为直线
当两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆
外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆
特殊位置和形状的相贯线 ----等径正交两圆柱的相贯线
1．相贯线的性质及形状
• 相贯线是两立体表面的共有线；也是相交两立体表面的分界线；相贯 线上的点是两立体表面的共有点;
• 由于立体都有一定的范围，所以相贯线都是封闭的线，一般为封闭的 空间折线或空间曲线；
• 不同的立体以及不同的相贯位置,相贯线的形状也不同--全贯和互贯。
2．求相贯线的方法
求相贯线实质上是求两立体表面一系列共有点，然后依次光滑连接， 并判可性。一般地说这些共有点是一个立体的素线与另一立体表面的交 点，也称为贯穿点。
求曲面立体相贯线的方法有：
1．表面取点法 2．辅助平面法 3．辅助球面法
四、求相贯线的一般步骤
2．求作相贯线上的特殊点。 3．根据需要求出若干个一般点。 4．光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并判别可见性。 5．整理轮廓线。

画法几何与机械制图第章立体的投影平面与立体表面相交(截交线)

画法几何与机械制图第章立体的投影平面与立体表面相交(截交线)
圆
倾斜于轴线
椭圆
例4：求左视图
● ● ●
截交线的 截交线的已知投影？ 空间形状？ 截交线的侧面投 影是什么形状？
●
● ● ● ●
●
●
●
●
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
例4：求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、短 轴随截平面与圆 柱轴线夹角的变 化而改变。
图3-30
㈢ 圆球表面的截交线
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面与圆球面的 水平面与圆球面的交 交线的投影，在侧视上为 线的投影，在俯视图上 部分圆弧，在俯视图上积 为部分圆弧，在侧视图 聚为直线。 上积聚为直线。
y
二、平面立体的切割与穿孔
例：已知缺口三棱锥的正面投 影，补全它的水平投影和侧面 投影。P55
y
y
★ 空间分析 ★ 投影分析 两个截平面一个是水平面，一个是正垂 ★ 求截交线 注意： 面，都在正面投影中积聚。 ★ 分析棱线的投影 要逐个截平面分析和绘制截交线和 水平截面在水平投影中反映实形，在侧 ★ 检查 尤其注意检查截 截平面之间的交线。 面投影中积聚。 交线投影的类似性
当平面立体只有局部被截切时，先 假想为整体被截切，求出截交线后再
y
y
二. 平面立体的切割与穿孔
已知一个具有正垂的三棱柱穿孔的正六棱 柱的正面投影，补全穿孔六棱柱的水平投 影，作出它的侧面投影。P56
y
y 分析：正垂的三棱柱孔在正投影面上积 聚，三个截面的交线积聚成三角形的三 个顶点。 找到各截面与棱边的交点的正面投影。
2.2 平面与立体表面相交（截交线）
几个基本概念

画法几何之直线与曲面立体相交基本知识

画法几何之直线与曲面立体相交基本知识
2.5 直线与曲面立体相交
本节提要： （1）直线或曲面立体表面的投影有积聚性时相交
（2）直线或曲面立体表面的投影都无积聚性时相交
1、直线与曲面立体相交 （1）直线或曲面立体表面的投影有积聚性时相交 如图所示，求作直线AB与轴线垂直于侧面的圆柱的 贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。
a' c' d' d" c"
a' a' c'
d' b'
b'
a
b
aPH
c
d
b
如图所示，求作正平线AB与球的贯穿点，并表明直 线AB的投影及其可见性。
a' a' c'
d' b'
b'
a
b
aPH
c
d
b
a'b' c'd' b d
a'b' c'd' b d
b
s
a
c a
s
c a
s
用纬圆法解题
用素线法解题
如图所示，求作直线AB与圆锥的贯穿点，并表明直 线的投影及其可见性。
s' s' s'
Байду номын сангаас
a'b'
a'b' c'd' b d
a'b' c'd' b d
b
s
a
c a
s
c a
s
用纬圆法解题
用素线法解题
（2） 直线和曲面立体表面的投影都无积聚性时相交 常用通过该直线的辅助截平面截切曲面立体，则直线

画法几何及土木工程制图第4章直线与平面平面与平面的相对位置

画法几何及土木工程制图第4章直线与平面平面与平面的相对位置
由初等几何知，如果平面外的一直线平行于平面上的任一 直线，则直线平行于该平面。
图4-1a是直线与平面平行的立体示意图：直线MN与平面P 上的直线KL平行，则MN∥P。 在图4-1b中，由于mn∥kl、m‘n’∥ k‘l ’，即MN ∥KL，KL是平面 P上的直线，所以MN∥P
P’
P
(a)
(b)
图 4-1 直线与平面平行
求空间上点到直线的距离
空间分析
作图
作图步骤：
（1）过A点作BC线的垂 面 （2）包含BC作辅助铅垂 面 （3）求交 点 （4）求距 离
PH
距离
直线垂直投影面垂直面
(a)
(b)
平面与平面垂直的几何条件
(a)
(b)
(c)
过点S做平面垂直于 ABC所给定的平面
判别两平面是否相互垂直
判断可见：两平面垂直
可见性。
a’
d’
c’
k’ f’
b’
e’
X
O
e
f
a(b)
k
d
c
（二）一般位置平面与特殊位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是 求两个共有点的问题,由于特殊位置 平面的某些投影有积聚性，交线可 直接求出。
例:已知两特殊位置平面相交，求交线的投影
返回
二、 辅助平面法
求作交线的步骤：
（一）直线与一般位置平面相交
交点与交线的性质 B D
PA
K B
KA
L
F
E
C
➢直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上
，因而交点是直线与平面的共有点。
➢两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。
➢求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有

画法几何与工程制图_金陵科技学院中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

画法几何与工程制图_金陵科技学院中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

画法几何与工程制图_金陵科技学院中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.建筑剖面图一般不需要标注（）等内容。

参考答案:楼板与梁的断面高度2.建筑立面图的比例尺通常与建筑平面图的的比例尺相同。

参考答案:正确3.楼梯建筑详图不包括（）。

参考答案:梯段配筋图4.在轴测投影中，空间线段的长度之比，等于轴测投影的长度之比。

参考答案:错误5.建筑总平面图均采用平行正投影表示。

参考答案:错误6.当两个立体都只有部分参与相交时，称为互贯，因此有两组相贯线。

参考答案:错误7.建筑总平面图的绘制主要应遵守（）的基本规定。

参考答案:总图制图标准GB/T50103-20108.建筑平面图主要表示建筑物的（）。

参考答案:楼梯与走道布置_房间布局、门窗位置_平面形状、大小_墙体位置和尺寸9.建筑立面图中，室外地坪轮廓线应用（）。

参考答案:加粗实线10.建筑平面图一层平面采用相对高程标注为±0.000，其意义为一层平面相对高程相当于黄海高程0.000米。

参考答案:错误11.物体在投影面上的影像称投影，获得投影的方法称投影法。

参考答案:正确12.建筑剖面图中的总高尺寸指的是从室内地坪（正负零）到女儿墙压顶，即正负零以上的总高尺寸。

参考答案:错误13.工程中常用的投影图中，哪类投影度量性好、作图简单、但直观性不强。

参考答案:平行正投影14.施工图上尺寸的单位一般为mm，( )是m。

参考答案:总平面图15.地形图通常用标高投影表示。

参考答案:正确16.建筑外墙的厚度是毫米参考答案:20017.一、二层间有级踏步参考答案:2618.建筑图样中，除标高及总平面图以米为单位外，其他均以毫米为单位。

参考答案:正确19.建筑开间方向总长米参考答案:27.420.A3图纸幅面尺寸为420mm x594mm。

参考答案:错误21.主要可见轮廓线用（）画出。

参考答案:粗实线22.物体的长度为1000mm，绘图比例1:50，则在绘图时其长度应取（）。

画法几何_同济大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

画法几何_同济大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

画法几何_同济大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.若两条直线空间垂直，且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在该投影面上的投影一定相互垂直。

参考答案:正确2.在辅助投影面法中，新的投影面选择可以是任意位置。

参考答案:错误3.用辅助投影面法，一般位置平面变成投影面平行面需要几次变换？参考答案:24.工程上常用的投影图类型包括：参考答案:透视投影_轴测投影_标高投影_多面正投影5.要判断两平面平行，必须作两对相交直线对应平行，如所作第一对直线即不平行，即可断定两平面不平行。

参考答案:正确6.平面将三棱柱截断后的截断面形状，可能为：参考答案:五边形_三角形_四边形7.的平面，其W面投影反映其实形。

参考答案:平行W面8.两平面立体相交，在全贯的情况下，应该将被贯的立体作为被动体，找出主动体的穿过被动体的棱线相贯点，即可用同面相连的方法求出交线。

参考答案:错误9.两平面相交，平面边界转折点的可见性一定相反。

参考答案:错误10.平面截切棱柱，截切方式若是全部穿透棱线，则截平面多边形的边数与棱线数相一致。

参考答案:正确11.用辅助投影面法，一般位置直线经过一次变换就可以变成投影面垂直线。

参考答案:错误12.任意位置的截平面与球面交得的截交线形状为：参考答案:圆或圆弧13.直线与平面相交，直线于交点两侧的可见性一定相反。

参考答案:正确14.两特殊位置平面相交，其交线可能是（）参考答案:垂直线、平行线或一般位置线15.过一已知点可以作多少个平面垂直于一已知直线？参考答案:116.直线与平面及平面与平面相交共有___ __种情况。

参考答案:617.投影变换的目的是什么？参考答案:有利于图示和图解18.一直线垂直于平面中的任意一条H面平行线，则直线就垂直于该平面。

参考答案:错误19.点的Y坐标，即点到的距离。

参考答案:V面20.投影面上的特殊点，有两个坐标值为0。

参考答案:错误21.圆、椭圆、抛物线、双曲线都可以从正圆锥面上截得，因此它们统称为圆锥曲线。

画法几何与土木建筑制图 第8章 两立体表面的交线

画法几何与土木建筑制图 第8章 两立体表面的交线

C
2 5 a
Ⅱ
1
S
ⅠⅤ
A
Ⅳ
d
B
4 b
fb 4
s
1 36
c
2
e5
a
8.2 平面立体与曲线立体相贯
相贯线:空间曲线 求解实质:
截交线问题:平面立体的棱面与曲面立体的截交线 求解关键:分析棱面与曲面立体的相对位置,判断截
交线的形状,找特殊点和一般点。
[例题2] 三棱柱与半球相贯，绘制相贯线的正面投影。
第8章 两立体表面的交线
重点内容：掌握两平面立体、平面立体与曲面立体、以及两曲 面立体相贯的相贯线的画法（前两种立体相交时，至少有一个 立体的表面投影具有积聚性；两曲面体相交时，要求二个立体 的轴线垂直于投影面）。 一般理解的内容：求同坡屋面交线。 难点内容：本章内容均为难点内容。
8.1 两平面立体相贯
工程中常见的两圆柱正贯：
两外表面
内外表面
两内表面
四、相贯线的特殊情况
特殊情况一：当两回转体共轴时，它们的相贯线是 垂直于轴线的圆。
特殊情况二：两个二次曲面公切于另一个二 次曲面时，它们的交线为平面曲线。
两圆柱相贯线的变化趋势
圆柱、圆锥相贯线变化规律及相贯线特殊情况
当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。
(5)判断可见性
相贯线所在的两曲面均可见时相贯线可见
(6)整理轮廓线
三、求解方法:表面取点法
1、适用条件 当曲面立体中有一个形体是圆柱，且立体表面投影
具有积聚性时，表面上所有点的投影均在立体的积聚
性投影上。 表面取点法即是利用立体表面的积聚性投影求作相 贯线上点的方法。
2、作图步骤 1）空间分析 2）由积聚性找已知投影（特殊点） 3）找一般点 4）光滑连线 5）判断可见性 6)判 断外形线及可见性，整理轮廓

《画法几何》(艺术设计类32学时)教学大纲

《画法几何》(艺术设计类32学时)教学大纲

《画法几何》课程教学大纲课程名称：画法几何英文名称：Descriptive Geometry课程代码：课程基本情况1．学分： 2 学时：32 （讲授学时：32 实训学时：０）2．课程类别：专业基础必修课3．适用专业：艺术设计4．适用对象：本科5．先修课程：6．参考书目：《画法几何》，罗臻编著，华中科技大学出版社，2010年；《画法几何》，谢步瀛编著，同济大学出版社，2010年。

二、课程介绍１．本课程是艺术设计专业一门重要的专业基础课，在教学过程中应贯彻“以培养空间思维能力为中心，以提高读图作图技能为核心”的教学指导思想。

本课程主要研究在二维平面上表达三维形体的图示法和解决空间几何问题的图解法。

工程图学发源于西方，至今已有几百年的历史，历来受到工程技术界的高度重视，是工程设计的语言，在理论和实践方面都已相当完备。

国内工程图学的发展不到百年，在艺术设计教育中，已成为培养学生工程素养的重要专业理论课之一，发挥着重要作用。

２．设计制图是学习其他专业课的基础，也是完成各项课程设计和毕业设计的前提。

与《工业设计工程基础》、《产品设计》、《施工工艺施工图》、《包装》、《服装CAD》等课程有互动性，本课程的学习会利于上述课程的掌握。

３．本课程主要培养学生的视觉思维方式，认真负责的工作态度和一丝不苟的工作作风，培养空间想象能力和空间构思能力，培养创新精神和实践能力。

在教学中用有针对性和一定数量的习题联系课内外，强调自主学习在课程学习中的重要性。

三、课程内容、学时分配及教学基本要求第一章（单元）制图基本知识（共4学时）（一）教学内容：第一节《机械制图》国家标准的部分规定简介知识要点：图纸幅面及格式，比例，字体，图线，尺寸注法第二节几何作图知识要点：普通绘图工具的用法，圆周的等分和正多边形，斜度和锥度，圆弧连接第三节平面图形的尺寸分析及画图知识要点：平面图形的尺寸分析，平面图形的线段分析，平面图形的画图步骤，平面图形的尺寸标注教学重点：圆周的等分和正多边形，圆弧连接，平面图形的尺寸分析，平面图形的线段分析，平面图形的画图步骤，平面图形的尺寸标注。

7.画法几何—平面、直线与立体相交

7.画法几何—平面、直线与立体相交
如图所示，棱线为侧垂线的正三棱柱被正垂面P截去左端，作
截交线和完成截断体的水平投影，并求作断面的真形。 ［解］
(b(a))作已图知过条程件和作图结果
例题1 如图所示，求作一般位置的平行四边形ABCD与正四棱 柱的截交线。
［解］
(a)已知条件
(b)作图过程和作图结果
例题2 如图所示，求作斜三棱柱
AA1BB1CC1的法断面(也就是垂直
②作贯穿点C、D的两 面投影。
③表明了直线AB的投 影及其可见性。
(c)(作a)图已过知程条和件结果
(b)解题分析
See U!
交 如图所示，求作铅垂面 P与斜椭圆柱的截交线。
［解］
①用较方便的作图方法作出 截交线上的一部分特殊点。
②用在柱面上作点的方法作 出截交线上的一些一般点。 ③连成截交线椭圆的正面投 影，并表明可见性。
(ab)已作知图条过件程和作图结果
例题11 如图所示，求
画法几何—平面、直线与立体相交
本节讲解提纲
平面与平面立体相交 直线与平面立体相交 平面与曲面立体相交 直线与曲面立体相交
平面与平面立体相交
如图所示：平面P称为截平面；棱线与截平面的交点称为截交点；截
平面与三棱柱表面的交线称为截交线；截交线围成的平面图形，称 为断面。
平面与平面立体相交
1.平面与棱柱相交
可见性。
(b)解题分析
［解］
①向两侧延长底面的正
面投影，作为OX轴。
②作贯穿点C、D的两
面投影。
③表明直线AB的投影
及其可见性。
(a)已知条件
(c)作图过程和结果
例题13 如图所示，求 作一般位置直线与圆锥 的贯穿点，并表明直线 AB的投影及其可见性。

画法几何平面立体

画法几何平面立体

a
m
B0
b
A0
（4）整理棱线； （5）求实形；
完成五棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
2′ 1′
3′ 4′ 5′
23
1
4
5
3〞 4〞 5〞
2〞
1〞
1、空间分析
——截交线为平面五边形
2、投影分析
截平面为正垂面，截 交线的正面投影落在截平 面的积聚性投影上，要求 的是截交线的水平投影和 侧面投影。
3、投影作图
(2)求相贯线； •找交点； •连线； •判断可见性；
（3）分析棱线的投影；
4
6
1 5n
2
m
3
QH
高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院
中国建筑工业出版社出版
求作水平投影和侧面投影。
1
2
3 4
2 (4)
(1)空间及投影分析；
1 (2)求相贯线；
•找交点；
•连线；
平行于两底面。
一、平面体的投影图
（三） 作投影图 平面体的侧面和底面都是平面图 形，只要按照平行投影特性作出各侧 面的投影，就可以作出平面体的投影。 为表达清楚起见，规定空间点一般用
大写英文字母（A、B、C、D …） 标记，点的 H 投影用小写字母（a、 b、c、d …），V 投影在小写字母 上加一撇（a′、b′、c′、d′…），W 投影加两撇（a″、b″、c″、d″…）
平面立体
在组合形体和建筑形体的表面上，经常出现一 些交线。这些交线有些是形体被平面截割而产生， 有些则是两形体相交而形成。
基本形体的投影
一般建筑物（例如房屋、纪念碑、水塔等等）及其构配件（包括基础、台 阶、梁、柱、门、窗等等），如果对它们的形体进行分析，不难看出，它们 总可以看成是由一些简单几何体叠砌或切割而组成。例如：图a的纪念碑， 它的形体可以看成由棱锥、棱台、斜棱柱和若干正棱柱等组成。图b 所示的 水塔，它的形体可以看成由圆锥、球、圆台、圆柱等组成。在建筑制图上， 这些简单几何体，称为基本形体，建筑物及其构配件的形体称为建筑形体。

《画法几何及建筑制图》教学大纲

《画法几何及建筑制图》教学大纲

《画法几何及建筑制图》教学大纲适用专业：土建类各专业课程编号：课程类别：必修课课内学时：80 开课学期：1、2一、教学大纲说明（一）课程性质与目的《画法几何及建筑制图》是一门学习用投影法绘制建筑图样的理论和方法的技术基础课。

其主要目的是培养学生绘制和阅读建筑图样的基本技能。

本课程的内容包括画法几何、制图基础、图样画法和建筑图四部分，主要任务是：1、学习正投影的基本理论2、学习工程形体的构成及表达方法3、培养阅读和绘制建筑图样的能力4、培养空间想象能力和空间分析能力（二）本课程的基本要求学生学完本课程后，应达到如下要求：1、掌握正投影的基本理论、方法和应用；了解轴测投影的基本知识，并掌握其基本画法。

2、正确的使用绘图工具和仪器，掌握用仪器和徒手绘图的技能。

3、掌握“房屋建筑制图统一标准”GBJ1-86的一般规定。

能阅读和绘制建筑施工图和结构施工图。

所绘图样基本做到：投影正确、字体工整、图面整洁，符合“房屋建筑制图统一标准”。

（三）本课程的重点本课程的重点内容是点、直线、平面的投影，两立体表面的交线，平面与立体表面的交线，组合体视图的画图与读图。

难点内容是平面与立体表面的交线，两立体表面的交线，组合体视图的读图。

（四）本课程与相关课程的关系画法几何与建筑制图是土木、建筑类专业的专业技术课，为后续课程的学习，毕业设计等提供绘图和读图基础；也为应用投影法解决工程实际问题提供必要的手段。

二、课程内容与学时分配（一）课程内容第一篇画法几何1、投影法的基本知识2、点的投影3、直线的投影（1）直线的投影；（2）直线对投影面的相对位置；（3）直线上的点；（3）一般位置直线的实长和对投影面的倾角；（4）两直线的相对位置；（5）一边平行投影面的直角的投影。

4、平面的投影（1）平面的表示法；（2）各种位置平面的投影；（3）平面上的点和直线。

5、立体（1）基本立体的投影；（2）基本立体表面上的点、线；（3）平面与立体相交；（4）两立体相交。

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m
a
b(c)
c
a
b
c n
1
s
a
2
m b
Ⅱ N
Ⅰ
M
三、直线与平面立体相交
直线与立体相交：是直线从立体一侧表面贯入，又从另一侧表面穿出， 故其交点一般总是成双存在的，称为贯穿点。 实质：求贯穿点实质上就是求直线与平面或直线与曲面的交点。
交点的求法： （1）对于投影有积聚性的表面，可直接利用积聚性求出； （2）对于投影没有积聚性的表面，经以下三个步骤求得：
1、平面与单一回转体相交
求作平面与单一回转体的截交线： 当截平面为特殊位置时，与求作圆柱、
圆锥、球的截交线一样，可用在立体表面 上作点和线的方法；
当截平面为特殊位置时，则可通过一 次换面将一般位置的截平面变换成投影面 垂直面后作图。
【例题】如图，求作正垂面P与具有内环面的回转体的截 交线，作出截断体的水平投影，并求断面实形
曲面体截交线的一般作图步骤
分析立体的形状及表面性质 定性判别截交线的形状 求特殊点
轮廓线上的点 曲线的特征点 极限位置点 求一般点 判别可见性，连线 整理轮廓线
【例题】圆柱被正垂面切割，求圆柱截断后的三面投影图及 截断面的实形。
解：截交线是椭圆，求特殊点和一般点，连成椭圆。用旋转 法或辅助投影可得到实形。
PV
41
61
101 81
31
11
71 51
91 111
3 6’(7’)
PV
4’ (5’)
21
8’(9’)
10’(11’)
1’ (2’)
2 11
9 57
3
6
4 8 10 1
2、平面与组合回转体相交
组合回转体通常由多个基本回转体组合形成， 求解这类形体截交线时，应首先分析组合回转体是 由哪些基本回转体组成，以及它们的连接关系，然 后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其 连接。
α
α
α
α
θ
θ
θ
过锥顶 θ=90° 两相交直线 圆
90°＞θ＞α
椭圆
θ＝α 抛物线
θ= 0° 双曲线
（1） 截平面通过锥顶并与锥面相交时，交 线为相交的两素线；
（2） 截平面垂直于轴线但不通过锥顶时， 交线为圆；
（3） 截平面倾斜于轴线并与所有的素线都 相交时，交线为椭圆；
（4） 截平面倾斜于轴线并与一条素线平行 时，交线为抛物线；
ⅢP
Ⅱ
C
B
1
a a
1
s
PV 3 2
b
c
c
3 s
s
3 1 a(c)
2
b
2 b
例题 求截交线
1
Ⅰ A
a
S
a
ⅢP
1
Ⅱ
C
B
s
PV 3 2
b
c
c
3 s
2
b
s
3 1 a(c)
2 b
例 补全带切口立体的投影
s
s
2
2
m (n ) 1
1
n
二、平面与平面立体相交
㈠ 平面体截交线的性质：
平面体的表面都是平面，截 平面与它们的交线都是直线，所 以截交线是封闭的平面多边形。 多边形的各顶点是截平面与被截 棱线或底边的交点。因此，求作 截交线的问题可归结为求线面交 点或面面交线的问题。
截交线 D
A
S 截平面
F
P
E
C
B
◆ 截交线在立体的表面上 —— 表面性。 ◆ 截交线是截平面和立体表面的共有线 —— 共有性。 ◆ 截交线是封闭的平面多边形 —— 封闭性。
2 3 (4 ) m (n )
5 (6 )
1
4 n 6
2 3
m 5
1
n 6
4
1
2
3 5m
【例题】求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。
1 (2 )
3 (4 )
4 2
4 2
1 3
1 3
（四）平面与其他回转体相交
1、平面与单一回转体相交 2、平面与组合回转体相交
【例题】完成组合回转体截切后的侧面投影。
空间与投影分析
组合回转体 是由同轴半球、 圆柱体和圆台组 合而成。截平面 为侧平面，组合 回转体截交线由 半园、直线段和 双曲线组成，其 正面投影落在截 平面的正面积聚 性投影上，
五、直线与回转体相交
【例题】求直线AB与圆柱的贯穿点。
a'
1' (2')
b'
5 整理轮廓线。
【例题】 完成圆柱体截切后的侧面投影。
【例题】 完成圆柱体截切后的侧面投影。
例 补全带切口圆柱体的水平及侧面投影
1 6 (7 )
2 (3 ) 4 (5 ) 45°
1
7
6
3
2
5
4
3 5
7 1
6 42
（二）平面与圆锥相交
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面与圆锥面的交线有五种形状。
PV
2’
5’ (6’)
6”
3’(4’) PV
7’ (8’)
4” 8”
1’
4
8
6
1
2
7
5
3
解题步骤
2” 5”
3” 7” 1”
1 分析 截交线的水 平投影为圆，侧面投 影为椭圆；
2 求出截交线上的特 殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ ；
3 求出若干个一般点 Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ；
4 光滑且顺次地连接 各点，作出截交线， 并且判别可见性；
1.几何抽象 画出切割前的原始形状的投影； 2.分析截交线的形状 判明截交线是几边形； 3.分析截断面的投影特性 积聚性、真实性、相仿性； 4.求截交线的顶点、边线 本质问题是求交点和交线； 5.整理修饰 丢弃被截掉的棱线，补全、接上原图中
未定的图线，分清可见性，加深描黑。
1、平面与棱柱相交
例题 作出所示形体的水平投影。
分析：梯形棱柱上有两条棱和两条底面边线被截平面P 截断，
有四个交点，截交线围成一个四边形。 作图：先画出形体被切割前完整的水平投影，再求出各棱
线、底边被截断的端点，连成截交线的水平投影。
例 求截交线
3 (4 ) PV
4 3
2
2
1
1
1 4 32Fra bibliotek2、平面与棱锥相交
例题 求截交线
S
Ⅰ A
3、截平面倾斜于圆柱的轴 与柱面的交线是一椭圆，与底面的交线为直线。
直线
＜45°
＞45°
＝45°
1、当＜45°截交线椭圆的长轴投影后， 仍为投影椭圆的长轴；
2、当＞45°截交线椭圆的长轴投影后， 成为投影椭圆的短轴；
3、当＝45°截交线椭圆的长轴投影后， 与短轴相等，椭圆的投影成为圆。
㈡ 平面立体截交线的求法
1、线面交点法
将平面立体上参与相 交的各条棱线与截平面求 交点，并将位于立体同一
S
4
1
P
3 D
棱面上的两交点依次连接 A
起来，即为所求平面立体
2
C
的截交线。
2、面面交线法
B
将平面立体上参与相交的各棱面与截平面求
交线，这些交线即围成所求的平面立体截交线。
㈢ 求截交线的作图步骤：
e' f'
(2')
b'
1'
a'
X
O
b
2
a
1
（2）对于投影没有积聚性的表面
例：求直线AB与三棱锥的贯穿点。 s'
3' b' PV h' a' 1' g' 2'
d' e'
f'
d1 h
a
gs
2
e
b
f
3
四、平面与回转体相交
（一）平面与圆柱相交 （二）平面与圆锥相交 （三）平面与圆球相交 （四）平面与其他回转体相交
2.7 平面、直线与立体相交
一、截 交 线 概 述 二、平面与平面体相交 三、直线与平面体相交 四、平面与回转体相交 五、直线与回转体相交
一、截 交 线 概 述
截交线 截断面
截切体
截平面
P
平面与立体表面的交 线称为截交线，该平
面称为截平面。
基本立体被平面切割后 形成的立体叫截切体， 截交线所围成的截面图 形叫截断面（断面）。
a. 过已知直线作辅助平面P； b. 求出平面P与立体表面的交线MN； c. 求出交线MN与已知直线的交点E、F，即为贯穿点 辅助平面的选择： 应尽可能使所作辅助面与立体表面的交线的投影简而易画的直线 或圆。
（1）对于投影有积聚性的表面，可直接利用积聚性求出贯穿点
例：求直线AB与三棱柱的贯穿点。
d'
3 (4 ) 1 (2 ) 5
4 2
5 1
3
4 2
1 3
5
例 求带切口圆锥的投影。
3 (4 ) 1 (2 ) 5
4 2
5 1
3
4 2
1 3
5
（三）平面与圆球相交
平面与球面相交，交线总是圆，但圆的投影根据截平面 对投影面的倾斜关系可能是直线、圆或者椭圆。
【例题】完成圆球截切后的水平投影和侧面投影。
X
O
2
b
a
1
【例题】求直线AB与圆锥的贯穿点。
a' 1' X m'
1 a
m
b'
2'
g'