----高等数学----第一章函数、极限、连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。
它们是每年必考的内容之一。
第一节数列极限与函数极限【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：；洛必达（）法则。
【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达（）法则求未定式极限的方法。
【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。
函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。
一、数列的极限1.数列的极限无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列，其中称为数列的一般项或通项。
设有数列和常数A。
若对任意给定的，总存在自然数，当n>N时，恒有，则称常数A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为或。
没有极限的数列称为发散数列。
收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。
2.极限存在准则（1）定理（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有，则极限存在，且等于A .注对其他极限过程及数列极限，有类似结论.（2）定理：单调有界数列必有极限.3.重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。
（2）。
（3）。
【考点一】（1）单调有界数列必有极限.（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为＋∞.（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为－∞.【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。
2011高考数学萃取精华30套（8）1.山东三模20. 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为)2,0(,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点),0(m P ，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且PB AP 2=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）求m 的取值范围．20.解：（Ⅰ）由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为)0(12222>>=+b a bx a y ，由题意知2=a ，c b =，又222c b a +=则2=b ，所以椭圆方程为12422=+x y --------------------------------------4分 （Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，由题意，直线l 的斜率存在， 设其方程为m kx y +=，与椭圆方程联立即⎩⎨⎧+==+mkx y x y 4222， 则0)4)(2(4)2(,042)2(222222>---=∆=-+++m k mk m mkx x k由韦达定理知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+22212212422k m x x k mk x x ；----------------------------------------6分 又PB AP 2=，即有),(2),(2211m y x y m x -=--2222222122121)22(22422kmk k m x x x x x x x x +-=+-∴⎩⎨⎧-=-=+∴=-∴--------------------------------------------8分 整理得22228)49(m k m -=-又0492=-m 时不成立，所以04928222>--=m m k ---------------------------10分得4942<<m ，此时0>∆ 所以m 的取值范围为)2,32()32,2(⋃--.-------------------------------------12分21. 已知关于x 函数x a xx g ln 2)(+=(R ∈a ),)()(2x g x x f +=， （Ⅰ）试讨论函数)(x g 的单调区间；（Ⅱ）若,0>a 试证)(x f 在区间)1,0(内有极值. 21.解：（Ⅰ）由题意)(x g 的定义域为),0(+∞x a xx g ln 2)(+=22'22)(x ax x a x x g -=+-=∴ （i ）若0≤a ，则0)('<x g 在),0(+∞上恒成立，),0(+∞为其单调递减区间； （ii ）若0>a ，则由0)('=x g 得ax 2=， )2,0(a x ∈时，0)('<x g ，),2(+∞∈a x 时，0)('>x g ，所以)2,0(a 为其单调递减区间；),2(+∞a为其单调递增区间；----------6分（Ⅱ）)()(2x g x x f +=所以)(x g 的定义域也为),0(+∞，且232''2'2222)()()(xax x x ax x x g x x f -+=-+=+=令),0[,22)(3+∞∈-+=x ax x x h因为0>a ，则06)(2'>+=a x x h ，所以)(x h 为),0[+∞上的单调递增函数，又0)1(,02)0(>=<-=a h h ，所以在区间)1,0(内)(x h 至少存在一个变号零点0x ，且0x 也是)('x f 的变号零点，所以)(x f 在区间)1,0(内有极值. --------------------12分22.已知数列}{n a 满足：)(1*N n a S n n ∈-=，其中n S 为数列}{n a 的前n 项和.（Ⅰ）试求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足：)(*N n a nb nn ∈=，试求}{n b 的前n 项和公式n T ； （III ）设11111n n n c a a +=++-，数列}{n c 的前n 项和为n P ，求证：212->n P n ． 22. 解：（Ⅰ）n n a S -=1 ①111++-=∴n n a S ②②-①得n n n a a a +-=++11 )(,21*1N n a a n n ∈=∴+ 又1=n 时，111a a -=211=∴a )(,)21()21(21*1N n a n n n ∈=⋅=∴---------------------------------4分 （Ⅱ）)(,2*N n n a nb n nn ∈⋅==n n n T 223222132⨯++⨯+⨯+⨯=∴ ③ 143222322212+⨯++⨯+⨯+⨯=∴n n n T ④③-④得1132221)21(222222++⨯---=⨯-++++=-n n n n n n n T整理得：*1,22)1(N n n T n n ∈+-=+-------------------------8分（III ）)121121(212111*********)21(11)21(111111111111--+-=-+++-=-++=-++=-++=++++++n n n n n n n n n n n n n a a c ----------------------------------------------------10分又1112121112121121122212222)12)(12()12(12121121+++++++<-+=-+<-+-=-++--=--+n nn n n n n n n n n n n n n -----------------------------------------------------------12分*1214322,21221212211)211(212)21212121(22N n n n n n P n n n n ∈->+-=---=+++->∴++ -----------------------------------------------------------14分2.江苏一模17．（本小题满分15分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式； （2）设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，， (3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d . 由已知得51323439a a a +=⎧⎨=⎩，， ……………………2分 即118173a d a d +=⎧⎨+=⎩，，解得112.a d =⎧⎨=⎩，……………………4分.故221n n a n S n =-=，. ………6分（2）由（1）知2121n n b n t-=-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即312123121m t t m t -⨯=+++-+，……8分.整理得431m t =+-， …………… 11分 因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =.故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列. ………………… 15分18．（本小题满分15分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知AB =AC =6km ，现计划在BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站. 记P 到三个村庄的距离之和为y . （1）设PBO α∠=，把y 表示成α的函数关系式； （2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？ 【解】（1）在Rt AOB ∆中，6AB =，所以OB =OA =32.OBCAP（第18题图）所以π4ABC ∠=由题意知π04α≤≤. ……………………2分 所以点P 到A 、B 、C 的距离之和为 322sin 22(3232tan )3232cos cos y PB PA αααα-=+=⨯+-=+⨯. ……………………6分 故所求函数关系式为()2sin π32320cos 4y ααα-=+⨯≤≤. ……………………7分（2）由（1）得22s i n 132cos y αα-'=⨯，令0y '=即1sin 2α=，又π04α≤≤，从而π6α=. ……………………9分.当π06α≤<时，0y '<；当ππ64α<≤时, 0y '>. 所以当π6α=时，2sin 432cos y αα-=+⨯取得最小值， ………………… 13分 此时π32tan66OP ==（km ），即点P 在OA 上距O 点6km 处. 【答】变电站建于距O 点6km 处时，它到三个小区的距离之和最小. ………… 15分19．（本小题满分16分）已知椭圆()22220y x C a b a b：+＝1＞＞的离心率为63，过右顶点A 的直线l 与椭圆C相交于A 、B 两点，且(13)B --，.（1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．【解】（1）由离心率63e =，得2263a b a -=，即223a b =. ① ………………2分又点(13)B --，在椭圆2222:1y x C a b =+上，即2222(3)(1)1a b--=+.② ………………4分解 ①②得22124a b ==，，故所求椭圆方程为221124y x +=. …………………6分由(20)(13)A B --，，，得直线l 的方程为2y x =-. ………8分 （2）曲线2222440x mx y y m -+++-=，即圆22()(2)8x m y -++=，其圆心坐标为(2)G m -，，半径22r =，表示圆心在直线2y =-上，半径为22的动圆. ………………… 10分由于要求实数m 的最小值，由图可知，只须考虑0m <的情形.设G 与直线l 相切于点T ，则由|22|222a +-=，得4m =±，………………… 12分当4m =-时，过点(42)G --，与直线l 垂直的直线l '的方程为60x y ++=，解方程组6020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得(24)T --，. ………………… 14分因为区域D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为12-，，所以切点T D ∉，由图可知当G 过点B 时，m 取得最小值，即22(1)(32)8m --+-+=，解得min 71m =--. ………………… 16分3.深圳一模20．（本题满分14分）如图，为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已知|AB|=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保 持|PA|+|PB|的值不变.（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（2）过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DN DM=λ，求λ的取值范围.20解：(1)以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系，∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2521222=+＞|AB|=4.∴曲线C 为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆.设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=25,∴a=5,c=2,b=1.∴曲线C 的方程为52x +y2=1.(2)设直线l 的方程为y=kx+2,代入52x +y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞53.由图可知21x x DN DM ==λ由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+-=+22122151155120k x x k k x x将x1=λx2代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=λ+=λ+2222222225115)51(400)1(k x k k x两式相除得)15(380)51(15400)1(2222k k k +=+=λλ+ 316)51(3804,320515,3510,532222<+<<+<∴<<∴>k k k k 即331,0,316)1(42<λ<∴>=λ<λλ+<∴解得DN DM①,21DNDM x x ==λ M 在D 、N 中间，∴λ＜1 ②又∵当k 不存在时，显然λ=31=DN DM (此时直线l 与y 轴重合) 综合得：1/3 ≤λ＜1.21．已知函数3()3.f x x x =- （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.20．解（1）23()33,(2)9,(2)2322f x x f f ''=-==-⨯= ……………………………2分 ∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为29(2)y x -=-，即9160x y --=；…………4分 （2）过点(1,)A m 向曲线()y f x =作切线，设切点为00(,)x y则32000003,()3 3.y x x k f x x '=-==-则切线方程为320000(3)(33)()y x x x x x --=-- (6)分 整理得32002330(*)x x m -++=∵过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线 ∴方程（*）有三个不同实数根.记322()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=- 令()0,0g x x '==或 1. …10分则,(),()x g x g x '的变化情况如下表x (,0)-∞ 0 (0,1)1(1,)+∞()g x '+-+()g x极大极小当0,()x g x =有极大值3;1,()m x g x +=有极小值2m +. ………………12分由()g x 的简图知，当且仅当(0)0,(1)0g g >⎧⎨<⎩即30,3220m m m +>⎧-<<-⎨+<⎩时，函数()g x 有三个不同零点，过点A 可作三条不同切线.所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线，m 的范围是(3,2)--.……22．（本小题满分14分）已知函数2()2f x x x =+. （Ⅰ）数列11{}:1,(),n n n a a a f a +'==满足求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）已知数列11{}0,()(*)n n n b b t b f b n N +=>=∈满足，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）设11,{}n n n n b c c b ++=数列的前n 项和为Sn ，若不等式n S <λ对所有的正整数n 恒成立，求λ的取值范围。
2011年最新高考+最新模拟——新课标选考内容1. 【2010?湖南文数】极坐标cos p θ=和参数方程12x ty t ⎧=--⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是( )A. 直线、直线B. 直线、圆C. 圆、圆D. 圆、直线 【答案】D D 2. 【2010?重庆理数】2241lim 42x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭=（ ） A. —1 B. —14 C. 14D. 1 【答案】B 【解析】2241lim 42x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭=4121)2)(4(2(lim lim 222-=+-=+--→→x x x x x x 3. 【2010?北京理数】极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是（ ）A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线 【答案】C4. 【2010?湖南理数】421dx x⎰等于（ ） A.2ln2- B.2ln 2 C.ln 2- D.ln 2 5. 【2010?湖南理数】极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（ ）A 、圆、直线B 、直线、圆C 、圆、圆D 、直线、直线 6. 【2010?安徽理数】设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l 距离为10的点的个数为（ ） A 、1 B 、2C 、3D 、4【答案】B【解析】化曲线C 的参数方程为普通方程：22(2)(1)9x y -++=，圆心(2,1)-到直线320x y -+=的距离3d ==<，直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求，3>在直线l 的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B.7. 【2010?上海文数】行列式cossin 66sincos66ππππ的值是 。
2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（14统计、统计案例、算法初步、框图、推理与证明）一、选择题：1. (2011北京文)执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)51.【答案】C【解析】执行三次循环，12S A =≤=成立，112p =+=，1131122S P =+=+=，322S A =≤=成立，213p =+=，3131112236S P =+=+=，1126S A =≤=成立，314p =+=1111112566412S p =+=+=，25212S A =≤=不成立，输出4p =，故选C2.(2011北京理)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）（A ）-3 （B ）-12（C ）13 （D ）22.【答案】D【解析】：循环操作4次时S 的值分别为11,,3,232--，选D 。
3. (2011福建文)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名， 高二年级有40名。
现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A. 6B. 8C. 10D.12解析：由30:406:,n =可得8n =，答案应选B 。
4. (2011福建文)阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）A.3B.11C.38D.1234.解析：110,12310,a a =<=+=<2321110,11a a =+=>=,答案应选B 。
5. (2011广东理) 设S 是整数集Z 的非空子集，如果S b a ∈∀,,有S ab ∈,则称S 关于数的乘法是封闭的，若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，T ∪V=Z, 且T c b a ∈∀,,,有T c ab ∈,;V z y x ∈∀,,,有V xyz ∈,则下列结论恒成立的是（ ）A. T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的C. T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. T,V 中每一个关于乘法是封闭的5. 解析：（A ）．若T 为奇数集，V 为偶数集，满足题意，此时T 与V 关于乘法都是封闭的，排除B 、C ，若T 为负整数集，V 为非负整数集，也满足题意，此时只有V 关于乘法是封闭的，排除D 。
