高等数学二重积分详解PPT课件

《二重积分的概念》 ppt课件
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的实际应用 • 二重积分的扩展概念
01
二重积分的定义
二重积分的几何意义
二重积分表示的是体积
当被积函数大于0时，二重积分表示 立体的体积；当被积函数小于0时， 二重积分表示立体的体积的负值。
对称性是指当被积函数 具有对称性时，二重积 分的值不变，即对于函 数f(x,y)和g(y,x)，有 ∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(y,x)d xdy。
奇偶性是指当被积函数 具有奇偶性时，二重积 分的值也具有奇偶性， 即对于函数f(x,y)，有 ∫∫f(x,y)dxdy=2∫∫f(x,y) dxdy当f(-x,y)=f(x,y)时 ，有∫∫f(x,y)dxdy=0当 f(-x,y)=-f(x,y)时。
曲线积分与曲面积分
曲线积分
曲线积分是用来计算曲线段上某种物理量（如力、功 等）的数学工具。
曲面积分
曲面积分是用来计算曲面块上某种物理量（如流量、 散度等）的数学工具。
定义与性质
曲线积分和曲面积分采用类似的定义和性质，通过累 加无穷小曲线段或曲面元上的函数值来计算。
微分形式的二重积分
微分形式的二重积分
微分形式的二重积分是一种用微分形式表示 的二重积分，可以更方便地处理一些复杂的 积分问题。
定义与性质
微分形式的二重积分采用微分形式来表示，具有一 些特殊的性质，如可交换性、可加性等。
应用领域
微分形式的二重积分在数学、物理和工程等 领域有广泛应用，如计算面积、体积、重心 等。
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生物学中的二重积分模型
生物种群分布

3. 曲顶柱体体积的计算 二次积分法
2012-10-12
同济版高等数学课件
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思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:
I2
1 1

xy d x d y
x y 1
I3

1 1
xy d x d y
y
1 1
O
解: I1 , I 2 , I 3 被积函数相同, 且非负,
D
f ( x, y ) d
2 ( y) 1 ( y )
[
记 作
d
f ( x, y ) d x ] d y
y c O
x
2012-10-12
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例4. 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为
x y R , x z R
记 作 b
2 ( x)
1 ( x )
目录
f ( x, y ) d y
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结束
同样, 曲顶柱的底为
D ( x, y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d

则其体积可按如下两次积分计算
V
c
y
d
x 1 ( y) x 2 ( y)
解: 积分域 D 的边界为圆周 它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线
1
O
D 1 2
3 x x y 1
而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而
( x y) ( x y)

2 3
D
( x y ) d ( x y ) d

• 若积分区域为
y y y2(x)
D
y y1(x)
a
bx
则
f (x, y) d
b
dx
y2 (x) f (x, y) d y
D
a
y1( x)
• 若积分区域为
则
f (x, y) d
d
dy
x2 ( y) f (x, y) d x
D
c
x1( y)
y x x2 ( y) d
D
c
x x1( y) x
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
y y 2(x)
则
D
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
f (x, y) dx dy
b
2 (x)
a d x 1(x)
f
(x,
D
x o a y 1(x)b y) d y
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
y
c
1(
y) y
x
D
1(x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
例1. 计算 I D x2 yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及

1
y2
2 1
1 2
x
2
y
y y
2
2
dy
1 2
2 [ 1
y(
y
2)2
y5 ] dy
45 8
x y2
2
o1 (1,1)
y x2 (4,2)
x
课程小结
本讲主要讲了X型区 域和Y型区域的区 分，通过例题学习 在两种区域下二重 积分转化成累次积 分的计算方法。
重积分
直角坐标系中二重积分的计算 （三）
知识点讲解
1.一般型区域
1.二元极限定义
边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解成有限个除边界外无公共
内点的 X 型区域或 Y 型区域.
y
如图a 所示, D 被分解成三个区域, 其中I 、III 为X 型
区域,II 为 Y 型区域.
III
II D
I
O
x
图a
2.例题分析
1.二元函数极限
例1 设 D ( x, y) 2x x2 y2 4x , f ( x, y) 为 D上的连
y
D2 ( x, y) 4x x2 y 2x x2 ,0 x 2 , O
D3 ( x, y) 4x x2 y 4x x2 , 2 x 4 .
所以有
I
2
dx
4 x x2
2
2xx2
f ( x, y)dy dx
f ( x, y)dy
0
2 x x2
0
4xx2
变换公式
i
1 2
(ri
ri )2 i
1 2
ri2i
1 2
(2ri
ri )rii
ririi