2018-2019学年北师大版必修二1.4 第2课时 空间图形的公理4及等角定理学业分层测评

直线的平面的个数为( )
A．1
B．3
C．6
D．0
【解析】以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但不共面，显 然经过其中的两条直线(zhíxiàn)的平面有3个．
第二十一页，共23页。
1、空间直线的平行关系(guān xì)及相关定理.
2、异面直线(zhíxiàn)的定义及两条异面直线(zhíxiàn) 所成的角. 3、掌握求异面直线(zhíxiàn)所成的角的一般方法.
a
a
α
c bc
第九页，共23页。
例1 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与C1D1 ，AD1与 BC1 ， AA1与CC1，AC与A1C1是什么位置(wèi zhi)关系？为什么？
解: AB∥C1D1，AD1∥BC1 ， AA1 ∥ CC1，AC∥A1C1
D1 A1
D A
C1 B1
C B
4.2 空间图形的公理(gōnglǐ)（公理 (gōnglǐ)4、定理）
第一页，共23页。
1、掌握平面的基本性质、公理4和等角定理； 2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能 力、几何直观(zhíguān)能力.通过典型例子的学习和自主探索活 动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法； 3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映 出的辩证思维的价值观.
相交成60°
C C
A D
B
A B(D)
第十七页，共23页。
例4 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出(zhǐ chū)下列各对线段所成
的角：
1）AB与CC1； 3）A1B与D1B1.
2）A1 B1与AC；
D1 A1
C1 B1

[基础·初探]
教材整理 1 空间图形的基本关系
阅读教材 P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题．
位置关系
图形表示 符号表示
点与线的位 点 A 不在直线 a 上
A∉a
置关系 点 B 在直线 a 上
B∈a
点与面的位 点 A 在平面 α 内
A∈α
置关系 点 B 在平面 α 外
B∉α
直线与直线 的位置关系
[构建·体系]
Hale Waihona Puke 1．下列图形中不一定是平面图形的是( )
A．三角形
B．菱形
C．梯形
D．四边相等的四边形
【解析】 四边相等不具有共面的条件，这样的四边形可以是空间四边形． 【答案】 D
2．若点 Q 在直线 b 上，b 在平面 β 内，则 Q，b，β 之间的关系可记作( )
A．Q∈b∈β
B．Q∈b β
证明点、线共面问题的理论依据是公理 1 和公理 2，常用方法有： (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用 “纳入法”； (2)先由其中一部分点、线确定一个平面 α，其余点、线确定另一个平面 β， 再证平面 α 与 β 重合，即用“同一法”； (3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”．
【精彩点拨】 先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外一条直 线也在该平面内．或利用公理 1 的推论，说明三条相交直线分别确定两个平面 α， β，然后证明 α，β 重合．
【自主解答】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线 l1，l2，l3 在同一平面内． 法一：∵l1∩l2＝A，∴l1 和 l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2 又 l2 α，∴B∈α. 同理可证 C∈α，又 B∈l3，C∈l3，∴l3 α. ∴直线 l1，l2，l3 在同一平面内．

[学业水平训练]1.下列说法中正确的是()A．直线及一点可以确定一个平面B．三角形一定是平面图形C．若A，B，C，D既在α内，又在β内，则平面α和平面β重合D．四条边都相等的四边形是平面图形解析：选B.由公理2和公理1可知三角形一定是平面图形，A、C、D不正确．2.三个平面可把空间分成()A．4部分B．4或6部分C．4或6或8部分D．4或6或7或8部分解析：选D.由平面的无限延展性可知：图(1)中的三个平面把空间分成4部分；图(2)中的三个平面把空间分成6部分；图(3)中的三个平面把空间分成7部分；图(4)中的三个平面把空间分成8部分．3.对不重合的平面α，β，下列结论错误的是()A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则lαB．若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝ABC．若lα，A∈l，则A∉αD．若A∈α，A∈β，α∩β＝l，则A∈l解析：选C.C错误，原因为l∩α＝A时，lα，A∈l，A∈α.4.以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a平面α，直线b平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a平面α，直线b平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①③解析：选D.对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错．所以正确的是①③.5.在三棱锥A-BCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果直线EF，GH相交于点P，那么()A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面ACD外D．点P必在平面ABC外解析：选A.因为E∈AB，F∈BC，所以EF平面ABC，又P∈EF，所以P∈平面ABC，同理P∈平面ACD，又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以点P必在直线AC上．6.平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内直线的位置关系是________．解析：若平面内一点在直线上，则两直线相交，若平面内一点不在平面内的直线上，则两直线异面．答案：相交或异面7.下列说法中正确的是________．①没有公共点的两条直线一定平行；②若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可以确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面．解析：①不正确，两条直线也可能异面，②正确；④正确；③不正确，若圆心和两点在一条直径上时，不能确定一个平面．答案：②④8.给出了下列说法：①和直线a都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面；⑤两两相交且不过同一点的四条直线共面，其中正确说法的序号是__________．解析：和直线a都相交的两直线只要不过同一个点，所得两直线不一定相交，故①是错误的；当三条直线共点时，三条直线不一定在同一平面内，故②错误；当三个点共线时，即使两个平面有在同一条直线上三个公共点，这两个平面也不一定重合，故③错误；两两平行的三条直线也可以在同一平面内，故④错误；对于⑤可以证明，也只有⑤正确．答案：⑤9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1相交于点O，AC，BD相交于点M.求证：C1，O，M三点共线．证明：由AA1∥CC1，则AA1与CC1确定一平面AA1C1C.∵A1C平面AA1C1C，O∈A1C，∴O∈平面AA1C1C.又∵A1C∩平面BC1D＝O，∴O∈平面BC1D，∴O点在平面BC1D与平面AA1C1C的交线上．又∵AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D，且M∈平面AA1C1C，∴平面AA1C1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1，O，M三点共线．10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)若E为棱CC1的中点，画出平面BED1与底面ABCD的交线．(2)M，N分别为棱A1A与AB上的点，且MD1∩NC＝P，求证：P在直线AD上．解：(1)延长D1E交DC的延长线于F，连接BF，则BF为平面BED1与平面ABCD的交线．(2)证明：因为MD1∩NC＝P，所以P∈MD1，P∈NC，又因为MD1平面A1ADD1，NC平面ABCD，所以P∈平面A1ADD1，P∈平面ABCD.又因为平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD，所以P∈AD.即P在直线AD上．[高考水平训练]1.已知平面α∥平面β，直线a∥α，直线b∥β，那么a与b的关系是()A．平行或相交B．相交或异面C．平行或异面D．平行、相交或异面解析：选D.已知平面α∥平面β，直线a∥α，直线b∥β，那么a与b的关系是平行(如图(1))、相交(如图(3))或异面(如图(2))．2.有下列命题：①空间三点确定一个平面；②有3个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④等腰三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两条直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交．其中正确的命题是________．解析：由平面的基本性质2知，不共线的三点才能确定一个平面，所以命题①错；②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)；③中空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三条直线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面；⑤中平行四边形及梯形由平面的基本性质的推论及平面的基本性质1可知必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形；在正方体ABCD-A′B′C′D′中，直线BB′⊥AB，BB′⊥BC，但AB与BC不平行，所以⑥错；在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AB∥CD，BB′∩AB＝B，但BB′与CD不相交，所以⑦错．答案：④3.如图，三个平面α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．求证：a、b、c三条直线必过同一点．证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴aγ，bγ.由于直线a和b不平行．∴a，b必相交．设a∩b＝P，∴P∈a，P∈b.∵aβ，bα，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a、b、c三条直线相交于同一点．4.如图，定线段AB所在的直线与定平面α相交，交点为O，P为定直线外一点，P∉α，直线AP，BP与平面α分别相交于A′，B′，试问，如果P点任意移动，直线A′B′是否恒过一定点，请说明理由．解：随着P点移动，直线A′B′恒过定点O，O为直线AB与平面α的交点．理由如下：直线AB和直线外一点P可确定平面β，因为AP∩α＝A′，BP∩α＝B′，所以α∩β＝A′B′，而AB∩α＝O，所以O一定在交线A′B′上，即直线A′B′恒过定点O.。

4．1空间图形基本关系的认识4．2空间图形的公理(一)学习目标 1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系.2.会用符号表达点、线、面的位置关系.3.掌握空间图形的三个公理及其推论．知识点一空间图形的基本位置关系对于长方体有12条棱和6个面．思考112条棱中，棱与棱有几种位置关系？思考2棱所在直线与面之间有几种位置关系？思考3六个面之间有哪几种位置关系．梳理知识点二空间图形的公理思考1照相机支架只有三个脚支撑说明什么？思考2一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？思考3教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？梳理(1)空间图形的公理内，那么这条直线上都在这个________，________，且______，________⇒lα的三点，有A ⇒如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条__________________________⇒(2)公理2的推论推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图①)．推论2：两条相交直线确定一个平面(图②)．推论3：两条平行直线确定一个平面(图③)．类型一文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例1根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．跟踪训练1用符号语言表示下列语句，并画成图形．(1)直线l经过平面α内两点A，B；(2)直线l在平面α外，且过平面α内一点P；(3)直线l既在平面α内，又在平面β内；(4)直线l是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m与l平行．类型二平面的基本性质的应用命题角度1点线共面问题例2如图，已知：aα，bα，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQα.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．反思与感悟在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合．跟踪训练2已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．命题角度2点共线、线共点问题例3如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F，DA三线交于一点．反思与感悟(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．跟踪训练3已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线．1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是()A.A∈l，l∉αB.A∈l，lαC.A l，l∉αD.A l，lα2．满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线aα，直线bβ且a∥AB，b∥AB的图形是()3．下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lαB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC.lα，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合4．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M5．如图，在△ABC中，若AB，BC在平面α内，判断AC是否在平面α内．1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．答案精析问题导学知识点一思考1相交，平行，既不平行也不相交．思考2棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．思考3平行和相交．梳理a∩b＝O aαa∩α＝A a∥αα∥βα∩β＝a任何一个平面内知识点二思考1不在同一直线上的三点确定一个平面．思考2直尺在桌面上．思考3这些公共点在同一直线上．梳理(1)两点所有的点平面A∈lB∈l A∈αB∈α不在一条直线上通过这个点的公共直线P∈αP∈β题型探究例1解(1)点P∈直线AB.(2)点C∉直线AB.(3)点M∈平面AC.(4)点A1∉平面AC.(5)直线AB∩直线BC＝点B.(6)直线AB平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.跟踪训练1解(1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，如图．(2)l α，P∈l，P∈α.如图(3)lα，lβ.如图．(4)α∩β＝l，mα，m∥l.如图．例2证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线aβ，点P∈β.因为P∈b，bα，所以P∈α.又因为aα，所以α与β重合，所以PQα.引申探究解已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴lα.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理lβ.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．跟踪训练2证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B ∈l 3，C ∈l 3，∴l 3α.∴直线l 1，l 2，l 3在同一平面内． 方法二 (辅助平面法)∵l 1∩l 2＝A ，∴l 1和l 2确定一个平面α. ∵l 2∩l 3＝B ，∴l 2，l 3确定一个平面β. ∵A ∈l 2，l 2α，∴A ∈α. ∵A ∈l 2，l 2β，∴A ∈β.同理可证B ∈α，B ∈β，C ∈α，C ∈β.∴不共线的三个点A ，B ，C 既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l 1，l 2，l 3在同一平面内． 例3 证明如图，连接EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点， ∴EF 綊12A 1B .又∵A 1B 綊D 1C ， ∴EF 綊12D 1C ，∴E ，F ，D 1，C 四点共面， ∴D 1F 与CE 相交，设交点为P . 又∵D 1F 平面A 1D 1DA ， CE 平面ABCD ，∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点． 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 根据公理3，可得P ∈DA ， 即CE 、D 1F 、DA 相交于一点．跟踪训练3 证明 方法一 ∵AB ∩α＝P ，∴P ∈AB ，P ∈平面α. 又AB 平面ABC ，∴P ∈平面ABC .∴由公理3可知：点P 在平面ABC 与平面α的交线上，同理可证Q 、R 也在平面ABC 与平面α的交线上．∴P 、Q 、R 三点共线．方法二∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．当堂训练1．B 2.D 3.C 4.D5．解AC在平面α内．因为AB在平面α内，所以A∈α.又BC在平面α内，所以C∈α，所以AC在平面α内．。