人教版 八年级数学上册 13.3 等腰三角形综合训练(含答案)

人教版 八年级数学上册 13.3 等腰三角形综合训练

一、选择题（本大题共10道小题）

1. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则AD与BD的长度之比为( )

A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶1

2. 以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是( )

A．1，1，2 B．1，1，3

C．2，2，1 D．2，2，5

3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是(

)

A．2 B．5.2 C．7.8 D．8

4. 如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，DE⊥BC于点E，CE＝3，则AB的长为(

)

A．11 B．12 C．13 D．14

5. 如图，在△ABC中，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E，D.若AC＝3，AB＝4，则DE的长为(

)

A．6 B．7 C．8 D．9

6. 如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE，连接DE，过点A的直线GH与DE平行．若∠C＝40°，则∠GAD的度数为(

)

A．40° B．45°

C．55° D．70°

7. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC.若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为(

)

A．4 B．12 C．18 D．30

8. 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为(

)

A．105° B．95° C．85° D．75°

9. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE∥BC交AB于点E.若△AED的周长为16，则边AB的长为(

)

A．6 B．8 C．10 D．12

10. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是(

)

A．60° B．65° C．75° D．80°

二、填空题（本大题共5道小题）

11. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，则△ABC的面积等于________．

12. 如图，在等边三角形ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，已知AB＝8，则BF的长为________．

13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD是中线，BE是高，AD与BE交于点F，则∠BFD＝________°.

14. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．

15. 如图K－22－6，在△ABC中，∠B＝20°，∠A＝105°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC为等腰三角形时，顶角的度数是__________．

三、解答题（本大题共5道小题）

16. 如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求证：△ABC是等边三角形.

17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.

求证：∠CBE＝∠BAD.

18. 如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，连接BD，AE交于点O，BC与AE相交于点P.求证：∠AOB＝60°.

19. 如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角平分线于点F.探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由．

20. 已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点(点A，D在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.

(1)求证：AD⊥BC；

(2)如图①，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；

(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，请直接写出线段DE，AC，BE的数量关系．

人教版 八年级数学上册 13.3 等腰三角形综合训练-答案

一、选择题（本大题共10道小题）

1. 【答案】B [解析] ∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，

∴2BD＝BC，2BC＝AB.

∴AB＝4BD.∴AD∶BD＝3∶1.

2. 【答案】C

3. 【答案】B [解析] 根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的长不能大于6.

4. 【答案】B [解析] ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝60°.∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°.

∴∠CDE＝30°.∴CD＝2CE＝6.

∵D是AC的中点，∴AC＝2CD＝12.

∴AB＝AC＝12.

5. 【答案】B [解析] 由题意得∠EBC＝∠ABE，∠ACD＝∠DCB.根据平行线的性质得∠DCB＝∠ADC，∠EBC＝∠AEB，所以∠ADC＝∠ACD，∠ABE＝∠AEB.所以AD＝AC，AB＝AE.所以DE＝AD＋AE＝AC＋AB＝3＋4＝7.

6. 【答案】C [解析] ∵AC＝CB，∠C＝40°，

∴∠BAC＝∠B＝12(180°－40°)＝70°.

∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝12(180°－70°)＝55°.

∵GH∥DE，∴∠GAD＝∠ADE＝55°.

7. 【答案】B [解析] ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.∴△ADE为等边三角形．∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4.∴△ADE的周长为4×3＝12.

8. 【答案】A [解析] ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC.∴∠DAC＝30°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝180°－30°2＝75°.∴∠DEC＝105°.

9. 【答案】C [解析] ∵BD平分∠ABC，

∴∠EBD＝∠CBD. ∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD.

∴∠EBD＝∠EDB.∴BE＝DE.

∵△AED的周长为16，

∴AE＋DE＋AD＝AE＋BE＋AD＝AB＋AD＝16.

∵AD＝6，∴AB＝10.

10. 【答案】D [解析] ∵OC＝CD＝DE，

∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC.

∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC.

∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，

∴∠ODC＝25°.

∵∠CDE＋∠ODC＝180°－∠BDE＝105°，

∴∠CDE＝105°－∠ODC＝80°.

二、填空题（本大题共5道小题）

11. 【答案】36 [解析] 过点B作BD⊥AC于点D.

∵∠A＝30°，AB＝12，∴在Rt△ABD中，BD＝12AB＝12×12＝6.

∴S△ABC＝12AC·BD＝12×12×6＝36.

12. 【答案】5 [解析] ∵在等边三角形ABC中，D是AB的中点，AB＝8，∴AD＝4，BC＝AC＝AB＝8，∠A＝∠C＝60°.∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，∴∠AED＝∠CFE＝90°.

∴AE＝12AD＝2.

∴CE＝8－2＝6.∴CF＝12CE＝3.∴BF＝5.

13. 【答案】70

14. 【答案】30 [解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC. ∵∠OBM＝∠OBC，

∴∠MOB＝∠OBM.

∴MO＝MB.同理NO＝NC.

∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.

15. 【答案】105°或55°或70° [解析] (1)如图①，点P在AB上时，AP＝AC，顶角∠A＝105°.

(2)∵∠B＝20°，∠BAC＝105°，

∴∠ACB＝180°－20°－105°＝55°.

点P在BC上时，如图②，若AC＝PC，则顶角∠C＝55°.

如图③，若AC＝AP，则顶角∠CAP＝180°－2∠C＝180°－2×55°＝70°.

综上所述，顶角为105°或55°或70°.

三、解答题（本大题共5道小题）

16. 【答案】

证明：∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD＝60°.

∵∠B＝60°，

∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.

∴∠A＝∠B＝∠ACB.

∴△ABC是等边三角形．

17. 【答案】

证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

∵AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，

∴∠BAD＋∠ABC＝90°，(3分)

∵BE⊥AC,

∴∠CBE＋∠C＝90°，

∴∠CBE＝∠BAD.(5分)