高中数学必修2模块测试试卷A

模块综合测试（满分120分,测试时间100分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.给出下列命题：①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等，②棱台的各侧棱不一定相交于一点，③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连结它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台，④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线.其中正确的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0解析:命题①中：底面多边形内接于一个圆，但并不能推测棱长相等；命题②中：由棱台的性质可知，棱台的各侧棱延长后相交于一点；命题③中:因两个直角三角形相似且对应边平行，可推出连结对应顶点后延长线交于一点，即此几何体可由一个平行于底面的平面所截，故命题③正确；命题④中:上底的圆周上一点与下底圆周上任一点连线有三种可能：在圆周上的曲线、侧面上的曲线或不在侧面上的线段. 答案：C2.图1是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列几何体中的( )图1解析:从三个角度看都是符合的，故选D. 答案：D3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )图2A.16πB.20πC.24πD.32π解析:由题意可得该正四棱柱的底面面积为4,边长为2.因正四棱柱属于长方体,因此所求球的球心在该长方体的中心,即球的直径为26,根据球的表面积公式可得球的表面积为24π. 答案：C4.木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的( ) A.60倍B.3060倍C.120倍D.30120倍 解析:设木星的半径为r 1,地球的半径为r 2,由题意,得302403231=r r ,则木星的表面积∶地球的表面积=.120302403024013024032231232312221=⨯=⨯=•=r r r r r r答案：C5.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图3所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=23,那么原△ABC 是一个( )图3A.等边三角形B.直角三角形C.三边中有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形解析:根据“斜二测画法”可得BC=B′C′=2,AO=2A′O′=3.故原△ABC 是一个等边三角形. 答案：A6.已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，n ⊥α，则n ⊥m ； ③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 解析:通过举例可证明①错误,可知②③命题为正确命题. 答案：C7.点P(2,5)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为( )A.(6,-3)B.(3,-6)C.(-6,-3)D.(-6,3)解析:根据两点关于直线对称的特点：两点的连线与对称轴垂直以及两点的中点在对称轴上,可得对称点为(-6,-3). 答案：D8.点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，则PA 与BD 所成角的度数为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:将图形补成一个正方体如图，则PA 与BD 所成角等于BC′与BD 所成角即∠DBC′.在等边三角形DBC′中，∠DBC′=60°，即PA 与BD 所成角为60°.答案：C9.若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β;②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β；③l ∥α,l ⊥β⇒α⊥β． 其中正确的命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个 解析:①中可由长方体的一角证明是错误的；②③易证明是正确的. 答案：C10.已知实数x 、y 满足2x+y+5=0，那么22y x +的最小值为( )A.5B.10C.52D.102解析:22y x +表示点P(x,y)到原点的距离.根据数形结合得22y x +的最小值为原点到直线2x+y+5=0的距离，即d=555=.答案：A11.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析:与点A （1,2）的距离为1的直线即为以点A(1,2)为圆心，以1为半径的圆的切线.与点B （3,1）的距离为2的直线即为以点B(3,1)为圆心，以2为半径的圆的切线.所以到A 、B 两点距离为1和2的直线即为两圆的公切线，因｜AB ｜=5)12()31(22=-+-，且125+<，所以两圆相交，故有两条公切线.答案：B12.矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角BACD ，则四面体ABCD 的四个顶点所在球的体积为( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125解析:连结矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，则AO=BO=CO=DO ，翻折后仍然AO=BO=CO=DO ，则O 为四面体ABCD 四个顶点所在球的圆心，因此四面体ABCD 四个顶点所在球的半径为25，故球的体积为ππ6125)25(343=. 答案：C二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.圆台上、下底半径为2和3，则中截面面积为________________.解析:由圆台的性质可知中截面是一个圆，圆的直径为轴截面梯形的中位线，设中截面圆的半径为x ，故有4x=4+6，解得x=π425,25=S . 答案：π425 14.经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y-3=0的直线方程是____________.解析:由已知可设经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点的直线方程为2x+3y-7+λ(7x+15y+1)=0，整理得(2+7λ)x+(3+15λ)y -7+λ=0.根据两直线平行关系得λ=1，代入得3x+6y-2=0. 答案：3x+6y-2=015.过A(-3,0)、B(3,0)两点的所有圆中面积最小的圆的方程是___________________．解析:根据圆的性质，圆的半径最小时，面积最小,即以AB 为直径端点的圆满足条件,所求方程为x 2+y 2=9. 答案：x 2+y 2=916.已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为Q ，则圆锥的体积为___________.解析:设圆锥的高为h,半径为r,母线为l ,则S 侧=πr l ，S 底=πr 2，∵S 侧=2S 底,∴πr l =2πr 2，即l =2r.又l 2=r 2+h 2，解得h=r 3.又∵S 轴截面=rh=Q,∴r 2=3Q ,即r=43Q.∴h=4333Qr =.故V 圆锥=31πr 2h=433Q Q π.答案：433QQ π17.已知圆柱的高为h ，底面半径为R ，轴截面为矩形A 1ABB 1，在母线AA 1上有一点P ，且PA=a ，在母线BB 1上取一点Q ，使B 1Q=b ，则圆柱侧面上P 、Q 两点的最短距离为____________. 解析:如图甲，沿圆柱的母线AA 1剪开得矩形 （如图乙），过P 作PE ∥AB 交BB 1于E ， 则PE=AB=21·2πR=πR ，QE=h-a-b. ∴PQ=2222)()(b a h R QE PE --+=+π.答案：22)()(b a h R --+π18.过圆x 2+y 2=4外的一点A(4,0)作圆的割线，则割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程为________________. 解析:设弦的中点是P(x 0,y 0)，根据圆的几何性质得OP ⊥AP ，即点P(x 0,y 0)在以OA 为直径的圆上，即(x 0-2)2+y 02=4.因P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=4内，故弦的中点的轨迹方程为(x-2)2+y 2=4，x ∈［0,1). 答案：(x-2)2+y 2=4，x ∈［0,1)三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（本小题满分10分）已知直线l 垂直于直线3x-4y-7=0，直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长为10，求直线l 的方程.解：设直线l 方程为4x+3y+b=0，则l 与x 轴、y 轴的交点为A(4b -,0),B(0,3b -). ∴｜AB ｜=b 125.由｜OA ｜+｜OB ｜+｜AB ｜=10,得12||53||4||b b b ++=10.∴b=±10. ∴l 方程为4x+3y+10=0,4x+3y-10=0.20.（本小题满分12分）圆锥底面半径为1 cm ，高为2 cm ，其有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.解：过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF ，正方体对角面CDD 1C 1，如图，设正方体棱长为x ，则CC 1=x,C 1D 1=2x.作SO ⊥EF 于O ，则SO=2,OE=1, ∵△ECC 1∽△ESO,∴EOEC SO CC 11=. ∴12212x x -=. ∴x=22(cm). ∴正方体棱长为22cm. 21.（本小题满分12分）(2005江苏高考,19)如图4,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM=2PN,试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.图4解：如图，以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为O 1(-2,0),O 2(2,0).设P(x,y)，则PM 2=O 1P 2-O 1M 2=(x+2)2+y 2-1.同理,PN 2=(x-2)2+y 2-1．∵PM=2PN ，∴(x+2)2+y 2-1=2［(x-2)2+y 2-1］，即x 2-12x+y 2+3=0，即(x-6)2+y 2=33．这就是动点P 的轨迹方程．22.（本小题满分14分）如图5，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点.图5（1）求二面角B 1MNB 的正切值； （2）求证：PB ⊥平面MNB 1.（3）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P 、B 两点间的距离.（1）解：连结BD 交MN 于F ，连结B 1F.∵平面DD 1B 1B ⊥平面ABCD,交线为BD ，AC ⊥BD, ∴AC ⊥平面DD 1B 1B.又∵AC//MN ， ∴MN ⊥平面DD 1B 1B.∵B 1F,BF ⊂平面DD 1B 1B ， ∴B 1F ⊥MN,BF ⊥MN. ∵B 1F ⊂平面B 1MN ，BF ⊂平面BMN ，则∠B 1FB 为二面角B 1-MN-B 的平面角. 在Rt △B 1FB 中，设B 1B=1，则FB=42， ∴tan ∠B 1FB=22.（2）证明：过点P 作PE ⊥AA 1，则PE ∥DA ，连结BE. 又DA ⊥平面ABB 1A 1，∴PE ⊥平面ABB 1A 1,即PE ⊥B 1M. 又BE ⊥B 1M ，∴B 1M ⊥平面PEB. ∴PB ⊥MB 1.由（1）中MN ⊥平面DD 1B 1B,得PB ⊥MN ，所以PB ⊥平面MNB 1. （3）解：PB=213，符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：。

班级 姓名 学号 分数高二上学期数学期末测试卷（A 卷·夯实基础）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．过两点()()5,,3,1A y B -的直线的倾斜角是135°，则y 等于（ ） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3-【答案】D 【详解】因为斜率tan1351k ︒==-，所以1153y k +==--，得3y =-. 故选：D.2．40y --=，经直线10x y +-=反射，则反射光线所在直线的方程是（ ） A50y ++= B．40x += C．50x += D．0x +=【答案】C 【详解】40y --=，令0x =，解得4y =-， 设()0,4A -，关于直线10x y +-=的对称点为(),B m n ， 则4141022n mm n +⎧=⎪⎪⎨-⎪+-=⎪⎩，解得51m n =⎧⎨=⎩，即()5,1B ，40y --=，令x =1y =-，设)1C-，关于直线10x y +-=的对称点为(),D a b ，则11102b =--=，解得21a b =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,1D ，BD k ==直线BD：)15y x -=-，即50x =。

故选：C3．已知异面直线,a b 的方向向量分别是()()2,1,3,1,3,2m n --==，则,a b 夹角的大小是（ ） A ．56πB ．34π C ．3π D ．6π【答案】C 【详解】异面直线,a b 的方向向量分别是()()2,1,3,1,3,2m n --==∴21132371cos ,1424m n m n m n⨯+⨯-+⨯-⋅-====-， 异面直线,a b 所成角为范围为02πθ<≤，,a b ∴夹角的大小是3π故选：C4．设数列{}n a 的前n 项和S n =n 2，则a 8的值为（ ） A ．15 B ．16C ．49D ．64【答案】A 【详解】878644915a S S =-=-= 故选：A5．已知在等比数列{}n a 中，3544a a a =，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且74b a =，则13S =（ ） A ．26 B ．52 C ．78 D ．104【答案】B 【详解】因为在等比数列{}n a 中，3544a a a =，可得2444a a =，40a ≠，解得44a =，又因为数列{}n b 是等差数列，744b a ==，则()13113711313134522S b b b =⨯+==⨯=.故选：B.6．直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=，M 、N 分别是11A B 、11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与NA 所成的角的余弦值为（ ）A ．BCD ． 【答案】C 【详解】由题意可知1CC ⊥平面ABC ，且90BCA ∠=，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设12BC CA CC ===，则()2,0,0A 、()0,2,0B 、()1,0,2N 、()1,1,2M ，()1,0,2AN =-，()1,1,2BM =-，30cos ,56AN BM AN BM AN BM⋅<>===⨯⋅故BM 与NA 30故选：C.7．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，N (2，2)，则MF MN +的最小值为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．4【答案】A 【详解】因为抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F (1，0)，准线为1x =-， 根据抛物线定义可知MF =1M x +，所以当MN 垂直抛物线准线时，MF MN +最小， 最小值为：13N x +=. 故选：A .8．已知椭圆C ：2222x y a b +=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为34，点P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2=π2，且F 1PF 2内切圆的半径为1，则C 的方程为（ ） A ．22167x y +=1B ．223214x y +=1C ．24x +y 2=1D ．22447x y +=1【答案】A 【详解】易知F 1PF 2中，内切圆半径r =1212-2PF PF F F +=a -c =1，又离心率为34c a =，解得a =4，c =3，所以椭圆C 的方程为22167x y +=1. 故选：A二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，316a =，512a =，则（ ） A ．2d =- B ．124a =C ．2628a a +=D ．n S 取得最大值时，11n =【答案】AC 【详解】解法一：由题可得11216,412a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得120,2,a d =⎧⎨=-⎩故选项A 正确，选项B 错误；易知()()2012222n a n n =+-⨯-=-+，则26181028a a +=+=，选项C 正确.因为1020a =>，110a =，1220a =-<，所以当10n =或11时，n S 取得最大值（技巧：由0d <得数列{}n a 递减，进而判断n S 最大时的临界项） 选项D 错误. 故选：AC解法二：对于A ：易知53212164d a a =-=-=-，所以2d =-，选项A 正确；对于B ：()132162220a a d =-=-⨯-=，选项B 错误； 对于C ：263528a a a a +=+=，选项C 正确；对于D ：易知()()2012222n a n n =+-⨯-=-+，1020a =>，110a =，1220a =-<（技巧：由0d <得数列递减，进而判断n S 最大时的临界项）所以当10n =或11时，n S 取得最大值，所以选项D 错误. 故选：AC10．已知直线:440l kx y k -+-=与圆22:4440M x y x y +--+=，则下列说法中正确的是（ ）A ．直线l 与圆M 一定相交B ．若0k =，则直线l 与圆M 相切C ．当1k =时，直线l 被圆M 截得的弦最长D ．圆心M 到直线l的距离的最大值为【答案】BCD【详解】22:4440M x y x y +--+=，即()()22224x y -+-=，是以()2,2为圆心，以2为半径的圆，A.因为直线:440l kx y k -+-=，直线l 过()4,4，2244444440+-⨯-⨯+>，则()4,4在圆外，所以直线l 与圆M 不一定相交，故A 错误；B.若0k =，则直线:4l y =，直线l 与圆M 相切，故B 正确；C.当1k =时，直线l 的方程为0x y -=，过圆M 的圆心，即直线l 是直径所在直线，故C 正确；D.由圆的性质可知当直线l 与过点()4,4的直径垂直时，圆心M 到直线l 的距离的最大，此时=故D 正确，故选：BCD.11．已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列说法正确的是（ ） A ．点P 到x 轴的距离为4 B ．12523PF PF += C ．12PF F △为钝角三角形 D ．1260F PF ∠=︒【答案】AC 【详解】由双曲线的方程可得4a =，3b =，则5c =，由12PF F △的面积为20，得112102022P P c y y ⨯⨯=⨯⨯=，解得4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 选项正确； 将4P y =代入双曲线方程可得203P x =，根据双曲线的对称性可设20,43P ⎛⎫⎪⎝⎭，则2133PF =，由双曲线的定义知1228PF PF a -==，则11337833PF =+=， 则12133750333PF PF +=+=，故B 选项错误； 在12PF F △中，12371321033PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则12PF F △为钝角三角形，故C 选项正确；()2222121212121212122100cos 22PF PF PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF -+-+-∠==13376410021891331133713372233-+⨯⨯⨯==-≠⨯⨯⨯， 则1260F PF ∠=︒错误， 故选：AC.12．已知函数()2ln f x x x =，下列说法正确的是（ ）A ．当1x >时，()0f x >；当01x <<时，()0f x <B ．函数()f x的减区间为(，增区间为)+∞C ．函数()f x 的值域1,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1f x x ≥-恒成立 【答案】ACD 【详解】对于选项A ，当01x <<时，ln 0x <；当1x >时，ln 0x >，故选项A 正确； 对于选项B ，2ln 2ln 1fxx x x x x ，令()0f x '>可得2ln 10x ，有x >知函数()f x 的减区间为⎛⎝，增区间为⎫+∞⎪⎭，故选项B 错误；对于选项C ，由上可知()min 11e 2e f x f ===-，x →+∞时，()f x →+∞，故选项C 正确；对于选项D ，()22111ln 10ln 0f x x x x x x x x ≥-⇔-+≥⇔-+≥，令()211ln g x x x x=-+，有()()()22333121212x x x x x g x x x x x '-++--===+，令()0g x '>可得1x >，故函数()g x 的增区间为()1,+∞，减区间为()0,1，可得()()min 10g x g ==，故选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．与直线3250x y -+=的斜率相等，且过点()4,3-的直线方程为_________ 【答案】392y x =+【详解】直线3250x y -+=的斜率为32，故所求直线方程为()3342-=+y x ，即392y x =+.故答案为：392y x =+. 14．数列{}n a 中，11a =，()*12,2nn n a a n N a +=∈+，则5a =___________ 【答案】13【详解】 122nn n a a a +=+，11a =， 则1212223a a a ==+，2322122a a a ==+，3432225a a a ==+，4542123a a a ==+. 故答案为：13.15．若函数()ln f x x x =+在x =1处的切线与直线y =kx 平行，则实数k =___________. 【答案】2 【详解】∵()ln f x x x =+， ∴1()1f x x '=+，1(1)121f '=+=，又函数()ln f x x x =+在x =1处的切线与直线y =kx 平行， ∴2k =. 故答案为：2.16．设5(4P -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，1(2,0)F -是C 的左焦点，Q 是C右支上的动点，则C 的离心率为______，1PQF △面积的取值范围是_______． 【答案】2)+∞ 【详解】双曲线C 的右焦点为2(2,0)F，则13||2PF =，27||2PF ，因点P 在双曲线C 上，则由双曲线定义得2122a PF PF =-=，即1a =，又2c =， 所以双曲线C 的离心率为2ce a==；因直线PF 1的斜率1PF k =ba=1PF 与双曲线C 在第一、三象限的渐近线平行，则这条渐近线与直线1PF 0y -+的距离d ==上的点Q 到直线PF 1距离h d >=，于是得11113222PQF SPF h =⋅⋅>⨯所以1PQF △面积的取值范围是)+∞.故答案为：2；)+∞ 四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．已知圆()22:20C x y mx y m R ++-=∈，其圆心在直线0x y +=上.（1）求m 的值；（2）若过点()1,1的直线l 与C 相切，求l 的方程. 【答案】 （1）2m =（2）20x y +-=或0x y -= 【详解】 （1）圆C 的标准方程为：222(1)124m m x y ⎛⎫++-=+⎪⎝⎭， 所以，圆心为,12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭由圆心在直线0x y +=上，得2m =. 所以，圆C 的方程为：22(1)(1) 2.x y ++-=（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()11y k x -=-， 即10,kx y k --+=由于直线l 和圆C解得：1k =±所以，直线方程为：20x y +-=或0x y -=.18．如图，在三棱锥P -ABC 中，△ABC 是以AC 为底的等腰直角三角形，PA =PB =PC =AC =4，O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC .（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M -PA -C 为30°，求直线PC 与平面PAM 所成角的正弦值. 【答案】 （1）证明见解析. （2【详解】 （1）证明：连接BO，AB BC ==O 是AC 的中点，BO AC ∴⊥，且 2BO =，又 2PA PC PB AC ====，,PO AC PO ∴⊥=222PB PO BO =+，则PO OB ⊥，OB AC O =，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PO ∴⊥平面ABC ,（2）解：建立以 O 为坐标原点，,,OB OC OP 分别为,,x y z 轴的空间直角坐标系如图所示，则()0,2,0A -，(0,0,P ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，设(2,2,0)BM BC λλλ==-()01λ≤≤，则()()(2,2,0)2,2,022,22,0AM BM BA λλλλ=-=----=-+，所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为则平面PAC 的法向量为() 1,0,0m =， 设平面MPA 的法向量(,,),n x y z =则(0,2,PA =--20,n PA y ⋅=--= ()()22220n AM x y λλ⋅=-++=，令1z =，则y =(11x λλ+=-，二面角M PA C --为30︒，∴3cos302m n m n︒⋅==⋅， 即=13λ= 或 3λ=( 舍)，设平面MPA的法向量(23,n =，(0,2,PC =-，设PC 与平面PAM 所成的角为θ，则|sin |cos ,|12PC n θ-=<>==+19．已知椭圆与双曲线221169x y -=具有共同的焦点1F 、2F ，点P 在椭圆上，12PF PF ⊥，____________①椭圆过点()，②椭圆的短轴长为10，③（①②③中选择一个） （1）求椭圆的标准方程； （2）求12PF F △的面积． 【答案】（1）条件选择见解析，椭圆方程为2215025x y += （2）1225PF F S=【详解】 （1）解：设椭圆方程()222222210,x y a b c a b a b+=>>=-.因为椭圆与双曲线221169x y -=具有共同的焦点，则225c =.选①：由已知可得a =225b =，椭圆方程为2215025x y +=； 选②：由已知可得5b =，则250a =，椭圆方程为2215025x y +=；选③得c a =，则250a =，椭圆方程为2215025x y +=. （2）解：由椭圆定义知122PF PF a +==， 又12PF PF ⊥，222124100PF PF c ∴+==②，由①可得2212121221002200PF PF PF PF PF PF ++⋅=+⋅=，解得1250PF PF ⋅=， 因此，12121252PF F SPF PF =⋅=. 20．设函数()322f x x x x =--++．（1）求()f x 在2x =-处的切线方程；（2）求()f x 的极大值点与极小值点；（3）求()f x 在区间[]5,0-上的最大值与最小值．【答案】（1）7100x y ++=；（2）极小值点为1x =-，极大值点为13x =； （3）()min 1f x =，()max 97f x =.【详解】（1）由题意得：()2321f x x x '=--+，则()212417f '-=-++=-，又()284224f -=--+=，()f x ∴在2x =-处的切线方程为()472y x -=-+，即7100x y ++=； （2）令()23210f x x x '=--+=，解得：1x =-或13x =， 则()(),,x f x f x '变化情况如下表：()f x ∴的极小值点为1x =-，极大值点为3x =； （3）由（2）知：()f x 在[)5,1--上单调递减，在(]1,0-上单调递增； 又()5125255297f -=--+=，()02f =，()111121f -=--+=， ()()min 11f x f ∴=-=，()()max 597f x f =-=.21．已知椭圆C 的离心率e =()1A ，)2A （1）求椭圆C 的方程；（2）设动直线:l y kx b =+与曲线C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q ，求证：以PQ 为直径的圆过定点()1,0N ．【答案】（1）2212x y +=； （2）证明见解析.【详解】（1）椭圆长轴端点在x 轴上，∴可设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：222a b c c e a a ⎧=+⎪⎪==⎨⎪⎪=⎩，解得：11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=； （2） 由2212x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222124220k x kbx b +++-=，曲线C 与直线l 只有一个公共点，()228120k b ∴=+-=，即2221b k =+，设(),P P P x y ，则()22422212P kb kb k x b b k =-=-=-+， 222221p P k b k y kx b b b b b-∴=+=-+==，21,k P b b ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭； 由2y kx b x =+⎧⎨=⎩得：22x y k b =⎧⎨=+⎩，即()2,2Q k b +； ()1,0N ，211,k NP bb ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,2NQ k b =+， 2210k k b NP NQ b b+∴⋅=--+=，即NP NQ ⊥， ∴以PQ 为直径的圆恒过定点()1,0N .22．已知函数()ln xe f x ax a x x=-+． （1）若a e =，求()f x 的极值点；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）极小值点为1，无极大值点（2）(,]e -∞【详解】（1）解：（1）()f x 定义域为(0,)+∞，222(1)(1)(1)()()x x x x xe e e x e e x x e ex f x e x x x x x -----'=-+=-=， 令(),(0,)x g x e ex x =-∈+∞，则()x g x e e '=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()()10g x g ≥=，即0x e ex -≥，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，()f x ∴的极小值点为1，无极大值点；（2）由()0f x ≥得ln (ln )x x e a x x --≥，令ln ,(0,)t x x x =-∈+∞，则t e at ≥，111x t x x-'=-=， 当01x <<时，0t '<，当1x >时，0t '>，所以函数ln ,(0,)t x x x =-∈+∞在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以当1x =时，min 1t =，[1+t ∴∈∞，），te a t∴≤， 令(),[1,)te m t t t =∈+∞，则2(1)()0t e t m t t -'=≥， 所以函数()t e m t t=在[1,)t ∈+∞上递增，所以min ()(1)m t m e ==， 所以a e ≤，所以a 的取值范围为(,]e -∞.。

模块综合测评(教师独具)(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若α∥β， a ⊂α， b ⊂β， 则a 与b 的位置关系是( ) A ．平行或异面 B ．相交 C ．异面D ．平行A [满足条件的情形如下：]2．直线y ＝kx 与直线y ＝2x ＋1垂直，则k 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D ．13C [由题意，得2k ＝－1，∴k ＝－12.]3．两圆C 1：x 2＋y 2＝r 2与C 2：(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)外切，则r 的值为( ) A ．10－1 B ．102C ．10D ．10－1或10＋1B [因为两圆外切且半径相等，所以|C 1C 2|＝2r .所以r ＝102.] 4．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13， 则( )A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥AC C ．AC ⊥BCD ．OB ⊥OCC [|AB |＝12，|AC |＝36，|BC |＝66，因为|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以AC ⊥BC .]5．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A ．1 B ．2 C ． 2 D ．2 2C [圆心(－1，0)，直线x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.]6．直线2ax ＋y －2＝0与直线x －(a ＋1)y ＋2＝0互相垂直， 则这两条直线的交点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－65B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－65C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65 C [由题意知：2a －(a ＋1)＝0，得a ＝1，所以2x ＋y －2＝0，x －2y ＋2＝0，解得x ＝25，y ＝65.]7．如图， 在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中， P 为BD 上任意一点，则一定有( )A ．PC 1与AA 1异面B ．PC 1与A 1A 垂直 C ．PC 1与平面AB 1D 1相交 D ．PC 1与平面AB 1D 1平行D [当A ，P ，C 共线时，PC 1与AA 1相交不垂直，所以A ，B 错误；连接BC 1，DC 1(图略)，可以证AD 1∥BC 1，AB 1∥DC 1，所以平面AB 1D 1∥平面BDC 1.又PC 1⊂平面BDC 1，所以PC 1与平面AB 1D 1平行．]8．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中， AB ＝2， BC ＝4, AA 1＝6， 则AC 1和底面ABCD 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° A [如图所示，连接AC ，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥底面ABCD ，所以∠C 1AC 就是AC 1与底面ABCD 所成的角．因为AB ＝2，BC ＝4，AA 1＝6，所以CC 1＝AA 1＝6，AC 1＝2 6.所以在Rt △ACC 1中，sin ∠C 1AC ＝CC 1AC 1＝626＝12.所以∠C 1AC ＝30°.] 9．已知点A (－1，1)，B (3，1)，直线l 过点C (1，3)且与线段AB 相交，则直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝2的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切或相离D [因为k AC ＝1，k BC ＝－1，直线l 的斜率的范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，直线BC 方程为x ＋y －4＝0，圆(x －6)2＋y 2＝2的圆心(6，0)到直线BC 的距离为2，因此圆(x －6)2＋y 2＝2与直线BC 相切，结合图象可知，直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝2的位置关系是相切或相离．]10．设l ，m ，n 表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是( ) A ．若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥mB ．若m ⊂β，m ⊥l ，n 是l 在β内的射影，则m ⊥nC ．若m ⊂α，n ⊄α，m ∥n ，则n ∥αD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD [若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m ，A 正确；由直线与平面垂直的判定和性质定理，若m ⊂β，m ⊥l ，n 是l 在β内的射影，则m ⊥n ，B 正确；由直线与平面平行的判定定理，若m ⊂α，n ⊄α，m ∥n ，则n ∥α，C 正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交， 即若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α∩β＝a ，D 不正确．]11．如果圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )都能使x ＋y ＋c ≥0成立，那么实数c 的取值范围是( )A ．c ≥－2－1B ．c ≤－2－1C ．c ≥2－1D ．c ≤2－1C [对任意点P (x ，y )能使x ＋y ＋c ≥0成立，等价于c ≥[－(x ＋y )]max . 设b ＝－(x ＋y )，则y ＝－x －b . 所以圆心(0，1)到直线y ＝－x －b 的距离d ＝|1＋b |2≤1, 解得－2－1≤b ≤2－1.所以c ≥2－1.]12．如图， 在△ABC 中， AB ＝BC ＝6， ∠ABC ＝90°， 点D 为AC 的中点，将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置， 使PC ＝PD ，连接PC, 得到三棱锥P ­BCD, 若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上， 则该球的表面积是( )A ．πB ．3πC ．5πD ．7πD [由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为3的正三角形，且BD ⊥平面PCD, 设三棱锥P ­BDC 外接球的球心为O, △PCD 外接圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面PCD ，所以四边形OO 1DB 为直角梯形， 由BD ＝3，O 1D ＝1，及OB ＝OD ，得OB ＝72， 所以外接球半径为R ＝72，所以该球的表面积S ＝4πR 2＝4π×74＝7π.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若直线(m ＋1)x －y －(m ＋5)＝0与直线2x －my －6＝0平行，则m ＝________． －2 [由题意知：m ＋1＝2m，解得m ＝1或－2. 当m ＝1时，两直线方程均为2x －y －6＝0，两直线重合，不合题意，舍去；当m ＝－2时，直线分别为x ＋y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，两直线平行．]14．如图所示， 正方体的棱长为2, 以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.43[平面ABCD 将多面体分成了两个以2为底面，边长、高为1的正四棱锥，所以其体积为2×2×1×13×2＝43.]15．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________.x 2＋y 2－2x ＝0 [设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0, 又因为圆经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，22＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.]16．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为m 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝m ，PA ＝PC ＝2m ，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是________．12(2－2)m [由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥AD .又PD ＝m ，PA ＝2m ，则AD ＝m .设内切球的球心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OP (图略)，易知V P ­ABCD ＝V O ­ABCD ＋V O ­PAD ＋V O ­PAB ＋V O ­PBC ＋V O ­PCD ，即13·m 2·m ＝13·m 2×R ＋13×12·m 2·R ＋13×12·2m 2·R ＋13×12· 2 m 2·R ＋13·12·m 2·R ，解得R ＝12(2－2)m ，所以此球的最大半径是12(2－2)m .]三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，分别求下列直线l ′的方程，l ′满足：(1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)与直线l 关于y 轴对称．[解] (1)因为l ∥l ′， 所以l ′的斜率为－34，所以直线l ′的方程为：y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)l 与y 轴交于点(0，3)，该点也在直线l ′上，在直线l 上取一点A (4，0)，则点A 关于y 轴的对称点A ′(－4，0)在直线l ′上，所以直线l ′经过(0，3)和(－4，0)两点，故直线l ′的方程为3x －4y ＋12＝0.18．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l 经过点D (－2，0)，且斜率为k .(1)求以线段CD 为直径的圆E 的方程； (2)若直线l 与圆C 相离， 求k 的取值范围．[解] (1)将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为C (0，4)，半径为2.所以CD 的中点E (－1，2)， |CD |＝22＋42＝25，所以r ＝5，故所求圆E 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5. (2)直线l 的方程为y －0＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.若直线l 与圆C 相离，则有圆心C 到直线l 的距离|0－4＋2k |k 2＋1>2, 解得k <34.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，34.19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P ­ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．[解] (1)因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，OP ⊂平面POM ，OM ⊂平面POM ，OP ∩OM ＝O ，所以CH ⊥平面POM . 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知斜率k OC ＝ba＝－1，故b ＝－a . 又|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22， 可解得a ＝－2，b ＝2或a ＝2，b ＝－2， 结合点C (a ，b )位于第二象限知a ＝－2，b ＝2. 故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q (m ，n )符合题意，则(m －4)2＋n 2＝16，m 2＋n 2≠0, (m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125符合题意． 21．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直，M 是CD ︵上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM .因为M 为CD ︵上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下：如图，连接AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连接OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP .MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD .22．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋b (0<b <1)和圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点．(1)当k ＝0时，过点A ，B 分别作圆O 的两条切线，求两切线的交点坐标；(2)对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点N ，满足∠ONA ＝∠ONB ？若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)联立直线l ：y ＝b 与圆O ：x 2＋y 2＝1的方程， 得A ，B 两点坐标为A (－1－b 2，b )，B (1－b 2，b ).设过圆O 上点A 的切线l 1的方程是y －b ＝kl 1(x ＋1－b 2)，由于k AO ·kl 1＝－1，即－b1－b 2·kl 1＝－1，也就是kl 1＝1－b2b.所以l 1的方程是y －b ＝1－b2b(x ＋1－b 2).化简得l 1的方程为－1－b 2x ＋by ＝1. 同理得，过圆O 上点B 的切线l 2的方程为 1－b 2x ＋by ＝1.联立l 1与l 2的方程得交点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，1b .因此，当k ＝0时，两切线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，1b .(2)假设在y 轴上存在一点N (0，t )，满足∠ONA ＝∠ONB ， 则直线NA ，NB 的斜率k NA ，k NB 互为相反数， 即k NA ＋k NB ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，则y 1－t x 1＋y 2－tx 2＝0， 即x 2(kx 1＋b －t )＋x 1(kx 2＋b －t )＝0. 化简得2kx 1x 2＋(b －t )(x 1＋x 2)＝0.①联立直线l ：y ＝kx ＋b 与圆O ：x 2＋y 2＝1的方程， 得(k 2＋1)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0. 所以x 1＋x 2＝－2kb k 2＋1，x 1x 2＝b 2－1k 2＋1.② 将②代入①整理得－2k ＋2kbt ＝0.③因为③式对于任意的实数k 都成立，因此，t ＝1b.故在y 轴上存在一点N ⎝⎛⎭⎪⎫0，1b ，满足∠ONA ＝∠ONB .。

第二章单元测试1．下列命题正确的是………………………………………………（ ） A ．三点确定一个平面 B ．经过一条直线和一个点确定一个平面 C ．四边形确定一个平面 D ．两条相交直线确定一个平面2．若直线a 不平行于平面α，且α⊄a ，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与a 异面 B ．α内不存在与a 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与a 平行 D ．α内的直线与a 都相交 3．平行于同一平面的两条直线的位置关系………………………（ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交或异面 4．平面α与平面β平行的条件可以是…………………………（ ） A ．α内有无穷多条直线都与β平行B ．直线βα//,//a a 且直线a 不在α内，也不在β内C ．直线α⊂a ，直线β⊂b 且β//a ，α//bD ．α内的任何直线都与β平行5．下列命题中，错误的是…………………………………………（ ） A ．平行于同一条直线的两个平面平行 B ．平行于同一个平面的两个平面平行 C ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 6．已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是…………………………………………（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．07．下列命题中错误的是……………………………………（ ） A ．如果平面βα⊥，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB ．如果平面βα⊥，那么平面α一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面τα⊥，τβ⊥，l =⋂βα，那么τ⊥l 8．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中 ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 异面 ③CN 与BM 成 60 ④DM 与BN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．②④ C ．③④ D ．②③④9．不共面的四点可以确定平面的个数为 （ ） A ． 2个 B ． 3个 C ． 4个 D ．无法确定 10．已知直线a 、b 与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是 （ ） A ．a ⊥α且a ⊥β B ．α⊥γ且β⊥γ C ．a ⊂α，b ⊂β，a ∥b D ．a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β 11．下列四个说法 ①a //α，b ⊂α,则a // b ②a ∩α＝P ，b ⊂α，则a 与b 不平行 ③a ⊄α，则a //α ④a //α，b //α，则a // b 其中错误的说法的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12．如图，A —BCDE 是一个四棱锥，AB ⊥平面BCDE ，且四边形BCDE 为矩形，则图中互相垂直的平面共有（ ）A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组13．（12分）已知正方方体111'D C B A ABCD -，求：（1）异面直线11CC BA 和的夹角是多少？ （2）B A 1和平面11B CDA 所成的角？（3）平面11B CDA 和平面ABCD 所成二面角的大小？AB CDEFMN C A 1B 11P A BCDCABPMN14．（12分）如图，在三棱锥P —ABC 中，PA 垂直于平面ABC ，AC ⊥BC ． 求证：BC ⊥平面PAC ．15.（10分）如图：AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于B A ,的任意一点，求证： PAC BC 平面⊥16．（12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，若ABCD 是平行四边形．求证：MN ∥平面PAD ．,M N 分别是17． 如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,SA BD 上的点，且SM AM =NDBN， 求证：//MN 平面SCDA BCP O17.（14分）如图正方形ABCD 中，O 为中心，P O ⊥面ABCD ，E 是PC 中点， 求证：（1）PA ||平面BDE ； （2）面PAC ⊥面BDE.18．（14分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面 C 1DF ？并证明你的结论．19．在正方体ABCD A B C D E F BB CD -11111中，、分别是、的中点 （1）证明：AD D F ⊥1； （2）求AE D F 与1所成的角； （3）证明：面面AED A FD ⊥11．必修2第三章《直线与方程》单元测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（ ） Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０°2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=A 、 -3B 、-6C 、23- D 、323.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）（A ）2 （B ）21 （C ）1 （D ）274. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（ ） Ａ m ＝－３，n ＝１０ Ｂ m ＝３，n ＝１０ Ｃ m ＝－３，n ＝５ Ｄ m ＝３，n ＝５5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=06.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 则Ｌ的方程是（ ）Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是（A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）不能确定 9. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有 A. k 1<k 3<k 2 B. k 3<k 1<k 2C. k 1<k 2<k 3D. k 3<k 2<k 110.已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ）（A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.已知点)4,5(-A 和),2,3(B 则过点)2,1(-C 且与B A ,的距离相等的直线方程为 . 12．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是 . 13．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 . 14．原点Ｏ在直线Ｌ上的射影为点Ｈ（－２，１），则直线Ｌ的方程为 . 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15. ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的 16.直线x+m 2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0距离是7的直线的方程; 没有公共点，求实数m 的值. ②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是1053的直线的方程.*17.已知直线l 被两平行直线063=-+y x 033=++y x 和所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求直线l 的方程.参考答案：1.A ；2.B ；3.B ；4.D ；5.B ；6.D ；7.A ；8.C ；9.A ；10.A. 11.x+4y-7=0或x=-1;12.x+y-3=0或2x-y=0;13.261;14.2x-y+5=0; 15. (1)3x+4y+23=0或3x+4y-47=0;(2)3x-y+9=0或3x-y-3=0. 16.m=0或m=-1;17.x=1或3x-4y-3=0.必修2第四章《圆与方程》单元测试题一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为（A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-4 2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ） (A)22 (B)4 (C)24 (D)23.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D)1±=a4.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ ）(A)5 (B) 3 (C)10 (D) 55.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( )(A) 222=+y x (B) 422=+y x (C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为A 、1，-1B 、2，-2C 、1D 、-17.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A 、x y 3=B 、x y 3-=C 、x y 33=D 、x y 33-= 8.过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是A 、(x-3)2+(y+1)2=4B 、(x+3)2+(y-1)2=4C 、(x-1)2+(y-1)2=4D 、(x+1)2+(y+1)2=4 9．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 10．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与 该圆的位置关系是（ ）A 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为 .12.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______. 13.过点P(-1,6)且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是________________. 14.过圆x 2+y 2-x+y-2=0和x 2+y 2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程为 . 2+y 2-8x=0的弦OA 。