《弧、弦、圆心角、圆周角—知识讲解 》 配套 2022人教九年级上册专练

人教版数学第二十四章圆之弧、弦。

圆心角（附答案）一、选择题1.如图，AD是⊙O的直径，且AD＝6，点B，C在⊙O上，⌒AmB＝⌒AnC，∠AOB＝120°，点E是线段CD的中点，则OE等于()A． 1B．3√32C． 3D． 2√32.如图，在⊙O中，⌒AB＝⌒CD，∠1＝45°，则∠2等于()A． 60°B． 30°C． 45°D． 40°3.如图，⌒AB＝2⌒CD，则下列正确的是()A．AB＝2CDB．AB＞2CDC．AB＜2CDD．无法确定4.下列语句中，正确的有()A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B．平分弦的直径垂直于弦C．长度相等的两条弧相等D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴5.如图，∠AOB＝∠COD，下列结论不一定成立的是()A．AB＝CDB．⌒AB＝⌒CDC．△AOB≌△CODD．△AOB、△COD都是等边三角形6.在⊙O上有顺次三点A，B，C，且⌒AB＝⌒BC＝⌒AC，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形二、填空题7.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．________(填“正确”或“错误”)8.在⊙O中，已知⌒AB＝2⌒CA，那么线段AB与2AC的大小关系是________．(从“＜”或“＝”或“＞”中选择)9.如图，⌒AD＝⌒BC，若AB＝3，则CD＝________.10.如图，在⊙O中，⌒AB＝⌒CD，如果∠AOC＝65°，则∠BOD＝________.三、解答题11.如图，在⊙O中，点C为⌒AB的中点，AD＝BE.求证：CD＝CE.12.已知A，B，C三点在⊙O上，AB＝BC，求证：OB平分∠AOC.13.如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOB＝∠BOC＝120°.求证：△ABC是等边三角形．14.如图，在⊙O中，已知AC＝BD，证明：(1)OC＝OD；(2)⌒AE＝⌒BF.15.如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB.(1)求证：AB＝CD；(2)如果⊙O的半径为5，DE＝1，求AE的长．答案解析1.【答案】B【解析】∵⌒AmB ＝⌒AnC ，∠AOB ＝120°，∴∠AOC ＝∠AOB ＝120°，∴∠DOC ＝60°，∵OD ＝OC ，E 为DC 的中点，∴∠COE ＝12∠DOC ＝30°，OE ⊥DC ，∴CE ＝12OC ，∵OC ＝OD ＝12AD ＝12×6＝3，∴CE ＝32， 在Rt △EOC 中，由勾股定理可得OE ＝√OC 2−CE 2＝√32−(√32)2＝3√32.2.【答案】C【解析】∵⌒AB＝⌒CD ，∴∠2＝∠1＝45°. 3.【答案】C【解析】如图，取⌒AB 的中点E ，则⌒AE ＝⌒BE ，则⌒AB ＝2⌒AE ，∵⌒AB ＝2⌒CD ，∴⌒AE ＝⌒EB ＝⌒CD，∴AE ＝BE ＝CD ， 在△AEB 中，由三角形的三边关系得AB ＜AE ＋BE ，∴AB ＜2CD .4.【答案】A【解析】此题是圆心角、弧、弦的关系定理，故A 正确；平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故B 错误；在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，故C 错误；任何图形的对称轴都是直线，而圆的直径是线段，故D 错误．5.【答案】D【解析】∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，⌒AB＝⌒CD，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△AOB≌△COD，故选D.6.【答案】C【解析】⌒AB＝⌒BC＝⌒AC，∴AB＝BC＝CA，∴△ABC是等边三角形．7.【答案】正确【解析】8.【答案】＜【解析】如图，∵⌒AB＝2⌒CA，∴⌒AC＝⌒CB，∴AC＝BC，在△ABC中，AC＋BC＞AB，∴AB＜2AC.9.【答案】3【解析】∵⌒AD＝⌒BC，∴⌒AB＝⌒DC，∴CD＝AB＝3.10.【答案】65°【解析】∵在⊙O中，⌒AB＝⌒CD，∴⌒AC＝⌒BD，∵∠AOC＝65°，∴∠BOD＝65°.11.【答案】证明：连接OC，∵点C为⌒AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC.∵AD＝BE，OA＝OB，∴OD＝OE.在△COD与△COE中，{OD=OE,∠DOC=∠EOC, OC=OC,∴△COD≌△COE(SAS)．∴CD＝CE.【解析】连接OC，先根据点C为⌒AB的中点，得出∠AOC＝∠BOC，再由AD＝BE，OA＝OB可得OD ＝OE，根据SAS定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．12.【答案】证明：连接OA，OC，∵AB＝BC，∴∠AOB＝∠COB，∴OB平分∠AOC.【解析】连接OA，OC，再根据AB＝BC即可得出结论．13.【答案】证明：∵点A，B，C都在⊙O上，∴∠AOB，∠BOC，∠AOC都是圆心角，又∵∠AOB＝∠BOC＝120°，∴∠AOC＝120°，∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形．【解析】由点A，B，C都在⊙O上，∠AOB＝∠BOC＝120°，可得∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，根据圆心角与弦的关系，可得AB＝BC＝AC，即可证得△ABC是等边三角形．14.【答案】证明：(1)连接OA，OB.∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.在△OAC和△OBD中，{OA=OB,∠A=∠B, AC=BD,∴△OAC≌△OBD(SAS)．∴OC＝OD.(2)∵△OAC≌△OBD，∴∠AOC＝∠BOD.∴⌒AE＝⌒BF.【解析】(1)首先连接OA，OB，利用SAS可判定△OAC≌△OBD，继而证得OC＝OD.(2)由△OAC≌△OBD，可证得∠AOC＝∠BOD，然后由圆心角与弦的关系，证得结论．15.【答案】(1)证明：∵AD＝BC，∴⌒AD＝⌒BC.∴⌒AB＝⌒CD，∴AB＝CD.(2)解：如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA，OC.则AF＝FD，BG＝CG.∵AD＝BC，∴AF＝CG.在Rt△AOF与Rt△COG中，{AF=CG,OA=OC,∴Rt△AOF≌Rt△COG(HL)，∴OF＝OG.又AD⊥CB，∴四边形OFEG是正方形．∴OF＝EF.设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x＋1，在Rt△OAF中．由勾股定理得到x2＋(x＋1)2＝52，解得x＝3.则AF＝3＋1＝4，即AE＝AF＋EF＝4＋3＝7.【解析】(1)欲证明AB＝CD，只需证得⌒AB＝⌒CD.(2)如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA，OC.构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题24.9 弧、弦、圆心角（巩固篇）（专项练习）一、单选题类型一、圆心角概念1．已知下列命题：①长度相等的两条弧所对的圆心角相等．②直径是圆的最长的弦，也是圆的对称轴．③平分弦的直径垂直于这条弦．④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等．其中错误命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知△ABC 内接于⊙O ，若∠AOB =120°，则∠C 的度数是( )A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或150°3．如图， AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连接AC ，OC ，OD ，若∠A ＝20°，则∠COD 的度数为（ ）A ．40°B ．60°C ．80°D ．100°类型二、圆心角与它所对弧的度数4．如图，已知△ABC 是圆O 的内接三角形，AB ＝AC ，∠ACB ＝65°，点C 是弧BD 的中点，连接CD ，则∠ACD 的度数是（ ）A ．12°B ．15°C ．18°D ．20°5．如图，扇形AOB 中，90AOB Ð=°，半径6,OA C =是»AB 的中点，//CD OA ，交AB 于点D ，则CD 的长为（ ）A ．2-BC ．2D ．66．如图，已知O e 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是AOB Ð，COD Ð，若AOB Ð与COD Ð互补，弦8AB =，则弦CD 的长为（ ）A ．6B ．8C ．D ．5类型三、用弧、弦、圆心角关系求解7．如图，在以AB 为直径的⊙O 中，点C 为圆上的一点，»»2BC AC =，弦CD AB ^于点E ，弦AF 交CE 于点H ，交BC 于点G ，若点H 是AG 的中点，则CBF Ð的度数为（ ）A ．18°B ．21°C ．22.5°D ．30°8．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，¶AC =¶CD=¶DB ，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE =30°；②∠DOB =2∠CED ；③DM ⊥CE ；④CM +DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，⊙O 的半径为9cm ，AB 是弦，OC ⊥AB 于点C ，将劣弧AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，则AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．类型四、用弧、弦、圆心角关系证明10．有一直径为AB 的圆，且圆上有C 、D 、E 、F 四点，其位置如图所示．若6AC =，8AD =，5AE =，9AF =，10AB =，则下列弧长关系何者正确？（ ）A ．¶¶¶AC AD AB +=，¶¶¶AE AF AB+=B ．¶¶¶AC AD AB +=，¶¶¶AE AF AB +¹C ．¶¶¶AC AD AB +¹，¶¶¶AE AF AB +=D ．¶¶¶AC AD AB +¹，¶¶¶AE AF AB+¹11．在锐角V ABC 中，60ACB Ð=°，∠BAC 、∠ABC 的角平分线AD 、BE 交于点M ，则下列结论中错误的是（ ）A ．120AMB Ð=°B ．ME MD =C ．AE BD AB += D ．点M 关于AC 的对称点一定在V ABC 的外接圆上12．如图，AB 、CD 分别是⊙O 的直径，连接BC 、BD ，如果弦DE AB ∥，且∠CDE ＝62°，则下列结论错误的是（ ）A ．CB ⊥BD B ．∠CBA ＝31°C ．»»AC AE =D ．BD ＝DE二、填空题类型一、圆心角概念13．在⊙O 中，AB 是直径，AB ＝2，C 是»AB 上一点，D 、E 分别是»AC 、»BC 的中点，M 是弦DE 的中点，则CM 的取值范围是__________________．14．把一个圆分成4个扇形，它们分别占整个圆的10%，20%，30%，40%，那么这四个扇形的圆心角分别是_______.15．已知点A 、B 、C 、D 在圆O 上，且FD 切圆O 于点D ，OE CD ^于点E ，对于下列说法：①圆上¼AbB 是优弧；②圆上¼AbD 是优弧；③线段AC 是弦；④CAD Ð和ADF Ð都是圆周角；⑤COA Ð是圆心角，其中正确的说法是________．类型二、圆心角与它所对弧的度数16．如图，在以AB 为直径的半圆中，»AD =»EB，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，CD=CF=1，则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是________．17．已知半径为2的⊙O 中，弦AC=2，弦AD ＝∠AOD ＝________，∠COD ＝_________．18．如图，AB 是O e 的直径，弦,CD AB ^连接CO 并延长交O e 于点,E 连接BD 交CE于点,F 若32,DBE Ð=°则DFE Ð的度数是________________．类型三、用弧、弦、圆心角关系求解19．如图，点A 、B 、C 、D 均在O e 上，若65AOD Ð=°，AO DC ∥，则∠B 的度数为______．20．如图，点A 、B 、C 、D 、E 都是圆O 上的点，»»AC AE =，∠B ＝116°，则∠D 的度数为______度．21．如图，⊙O 的直径AB 过»CD的中点A ，若∠C ＝30°，AB 、CD 交于点E ，连接AC 、BD ，则AE BE＝________________．类型四、用弧、弦、圆心角关系证明22．如图，AB、CE是圆O的直径，且AB＝4，弧BD＝弧CD＝弧AC，点M是AB上一动点，下列结论：正确的数是___（写出所有正确结论的序号）∠BOD；①∠CED＝12②DM⊥CE；③CM+DM的最小值为4；④设OM为x，则S△OMC．23．在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧______;所对的弦__________, 所对弦的弦心距____________．24．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABC＝63°，则∠D的度数是__．三、解答题25．如图是半径为2的圆，（1）在其中画两个不重叠的扇形AOB和扇形BOC，使扇形AOB的圆心角为120度，扇形BOC的圆心角为90度，（2）求第三个扇形AOC的面积．26．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长．27．阅读与应用请阅读下列材料，完成相应的任务：托勒密是“地心说”的集大成者，著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家．后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程．e．如图1，四边形ABCD内接于O×+×=×．求证：AB DC AD BC AC BDÐ=Ð交BD于点E．证明：如图2，作BAE CAD∵»»AD AD =，∴ABE ACD Ð=Ð．（依据）∴ABE ACD ∽△△．∴AB BE AC CD=．AB DC AC BE ×=×．…∴ABC AED ∽△△．∴AC BC AD ED =．∴AD BC AC ED ×=×．∵AB DC AC BE ×=×，∴()AB DC AD BC AC BE AC ED AC BE ED AC BD ×+×=×+×=+=×．∴AB DC AD BC AC BD ×+×=×．任务：(1)证明过程中的“依据”是______；(2)补全证明过程；(3)如图3，O e 的内接五边形ABCDE 的边长都为2，求对角线BD 的长．28．如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 互相垂直，垂足为M ，F 是»BD 上的一点，且»»=，AF分别与CD，BD相交于点E，N，连接FD，MN．BF BC(1)求证：DE＝DF；(2)若⊙O的半径为8，∠BAF＝22.5°，求线段MN的长．参考答案1．D【分析】根据圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理逐个判断即可．解：等弧所对的圆心角相等，但长度相等的两条弧不一定是等弧，则命题①错误直径是圆的最长的弦，但不是圆的对称轴，圆的对称轴是直径所在直线，则命题②错误平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，则命题③错误在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，则命题④错误综上，错误命题的个数为4个故选：D．【点拨】本题考查了圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理，熟记各定理是解题关键．2．C【分析】根据圆周角定理可以得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，此时分两种情况进一步分析讨论即可.解：①当点C与线段AB位于圆心的两侧时，∠C=12∠AOB=60°；②当点C与线段AB位于同侧时，与上一种情况所得的度数互补；即此时的∠C=120°．故选：C．【点拨】本题主要考查了圆周角定理的应用，熟练掌握相关概念是解题关键.3．C【分析】利用圆周角与圆心角的关系得出∠COB=40°，再根据垂径定理进一步可得出∠DOB=∠COB，最后即可得出答案.解：∵∠A=20°，∴∠COB=2∠A=40°，∵CD⊥AB，OC=OD，∴∠DOB=∠COB=40°，∴∠COD=∠DOB+∠COB=80°.故选：C.【点拨】本题主要考查了圆周角、圆心角与垂径定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.4．B【分析】如图，连接AO，BO，CO，DO，由等腰三角形的性质可求∠ABC＝∠ACB＝65°，∠BAC ＝50°，由圆周角定理可求∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，可求∠AOD＝30°，即可求解．解：如图，连接AO，BO，CO，DO，∵AB＝AC，∠ACB＝65°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝50°，∴∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，∵点C是弧BD的中点，∴»»=，BC CD∴∠BOC＝∠COD＝100°，∴∠AOD＝30°，∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ACD＝15°，故选：B．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角、圆心角、弧的关系是解题的关键．5．D【分析】连接OC ，延长CD 交OB 于点E ，如图，易得△AOB 、△COE 、△BDE 都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE 与DE 的长，从而可得答案．解：连接OC ，延长CD 交OB 于点E ，如图，∵90AOB Ð=°，C 是»AB 的中点，∴∠COE=45°，∵//CD OA ，90AOB Ð=°，∴CE ⊥OB ，∴∠OCE=∴6==∴BE=OB －OE=6-，∵OA=OB ，90AOB Ð=°，∴∠ABO=45°，∴∠BDE=∠ABO=45°，∴EB=ED=6-，∴CD=CE －DE=(66-=．故选：D ．【点拨】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键．6．A【分析】延长AO 交⊙O 于点E ，连接BE ，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD 知∠BOE=∠COD ，据此可得BE=CD，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD，∵AE为⊙O的直径，则AE=10，∴∠ABE=90°，∴=；故选择：A.【点拨】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．7．D【分析】由圆周角定理可求∠ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC=30°，∠CAB=60°，由直角三角形的性质可求∠CAH=∠ACE=30°，即可求解．解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠CAB=90°，∵»»2=，BC AC∴∠CAB=2∠ABC，∴∠ABC=30°，∠CAB=60°，∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=30°，∵点H是AG的中点，∠ACB=90°，∴AH=CH=HG，∴∠CAH=∠ACE=30°，∵∠CAF=∠CBF，∴∠CBF=30°，故选：D．【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB的度数是本题的关键．8．B【分析】根据¶AC=¶CD=¶DB和点E是点D关于AB的对称点，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判断①②；根据圆周角定理求出当M和A重合时∠MDE=60°即可判断③；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断④．解：∵¶AC=¶CD=¶DB，点E是点D关于AB的对称点，∴¶BD=¶BE，∴∠DOB=∠BOE=∠COD=13×180°=60°，∴①错误；∠CED=12∠COD=12×60°=30°=12∠DOB，即∠DOB=2∠CED；∴②正确；∵¶BE的度数是60°，∴¶AE的度数是120°，∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°，∵∠CED=30°，∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；作C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM 的值最短，等于DF长，连接CD，∵¶AC=¶CD=¶DB=¶AF，并且弧的度数都是60°，∴∠D=12×120°=60°，∠CFD=12×60°=30°，∴∠FCD=180°-60°-30°=90°，∴DF是⊙O的直径，即DF=AB=10，∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；综上所述，正确的个数是2个．故选：B．【点拨】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键．9．D【分析】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；连接OA，求出OC，根据勾股定理求出AC，可得结论．解：连接OA，∵将劣弧¶AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OC23=r＝6（cm），OC⊥AB，∴AC＝CB===cm），∴AB＝2AC＝cm），故选：D．【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10．B【分析】连接BD ，BF ，先求解6AC BD ==， 可得¶¶AC BD =，¶¶¶AC AD AB +=，再求解BF 可得¶¶AE BF ¹， ¶¶¶AE AF AB +¹，从而可得答案.解：连接BD ，BF ，AB Q 直径，10AB =，8AD =，90,6ADB BD \Ð=°=，6AC =Q ，AC BD \=，\¶¶AC BD=，\¶¶¶AC AD AB +=，AB Q 直径，10AB =，9AF =，90,AFB BF \Ð=°=5AE =Q ，\¶¶AE BF¹，\¶¶¶AE AF AB +¹，所以B 符合题意，故选：B ．【点拨】本题主要考查了圆中弧、弦的关系和直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．11．D【分析】利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠MAB +∠MBA =60°，推出∠AMB =120°，可判断A ，证明C ，E ，M ，D 四点共圆，利用圆周角定理可判断B ；在AB 上取一点T ，使得AT=AE，利用全等三角形的性质证明BD=BT，可判断C；无法判断M¢Ð与∠ABC互补，可判断D．解：如图，∵∠ACB=60°，∴∠CAB+∠CBA=120°，∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，∴∠MAB+∠MBA=12（∠CAB+∠CBA）=60°，∴∠AMB=180°-（∠MAB+∠MBA）=120°，故A符合题意，∵∠EMD=∠AMB=120°，∴∠EMD+∠ECD=180°，∴C，E，M，D四点共圆，∵∠MCE=∠MCD，∴¼¼EM DM=，∴EM=DM，故B符合题意，Q四边形CEMD是Oe的内接四边形，60,AME ACB BMD\Ð=Ð=°=Ð在AB上取一点T，使得AT=AE，在△AME和△AMT中，AE ATMAE MAT AM AMì=ïïÐ=Ðíï=ïî，∴△AME≌△AMT（SAS），∴∠AME=∠AMT=60°，EM=MT，∴∠BMD=∠BMT=60°，MT=MD，在△BMD 和△BMT 中，MD MT BMD BMT BM BMì=ïïÐ=Ðíï=ïî， ∴△BMD ≌△BMT ，∴BD =BT ，∴AB =AT +TB =AE +BD ，故C 符合题意，∵M ，M ¢关于AC 对称， ∴M ¢Ð=∠AMC ， ∵()11802AMC CAB ACB Ð=°-Ð+Ð ()11801802ABC =°-°-Ð =90°+12∠ABC ，∴M ¢Ð与∠ABC 不一定互补，∴点M ¢不一定在△ABC 的外接圆上，故D 不符合题意，故选D ．【点拨】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．D【分析】根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A ，根据圆周角定理可判断B 选项，根据圆周角与弧的关系可判断C ，根据CDE CDB йÐ判断D 选项．解：∵AB 、CD 分别是⊙O 的直径，90CBD \Ð=°，∴CB ⊥BD ，故A 选项正确，如图，连接BE，Q DE AB ∥，且∠CDE ＝62°，62BOD CDE \Ð=Ð=°，1312BCD BOD \Ð=Ð=°，OC OB =Q ，31CBO BCO \Ð=Ð=°，62AOC \Ð=°，62CBE CDE Ð=Ð=°Q ，31ABC ABE \Ð=Ð=°，\»»AC AE =，故B ，C 选项正确，31,90BCD CBD Ð=°Ð=°Q ，59BDC \Ð=°，62CDE Ð=°Q ，CDE CDB \йÐ，\BD ¹DE ，故D 选项不正确，故选D ．【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．13．1≤CM 【分析】如图，连接OD 、OC 、OE ，先计算出∠DOC +∠COE ＝90°，则可判断△ODE 为等腰直角三角形，所以DE OD ，则OM ＝12DE ；由C 点在弧DE 上，则0≤∠COM ＜45°，根据三角形的性质，∠COM 越大，CM 越长，当O 、M 、C 共线时CM 最小，C 在点A 或点B 时CM 最长，即OC -OM ≤CM ＜ME ；解：如图，连接OD 、OC ，∵AB为直径，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∵D、E分别是»AC、»BC的中点，∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，∴∠DOC+∠COE＝1（∠AOC+∠BOC）＝90°，2∴△ODE为等腰直角三角形，∴DE OD∵M是弦DEDE，∴OM＝12∵C点在弧DE上，∴0≤∠COM＜45°，△OMC中，OM，OC的长度确定，∴∠COM越大，CM越长，∴O、C、CM最小，C在点A或点B时CM最长；∴CM≥1当C点在A点或B点时，CM∴CM的取值范围是1≤【点拨】本题考查了圆心角的概念，三角形的三边关系；根据三角形的性质判断CM的长度是解题关键．14．36°，72°，108°，144°【分析】根据扇形所占的百分比乘以360°进行解答即可．解：四个扇形的圆心角分别是360°×10%=36°；360°×20%=72°；360°×30%=108°；360°×40%=144°.故答案为36°，72°，108°，144°.【点拨】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360°．15．①②③⑤【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可解：¼AbB ，¼AbD 都是大于半圆的弧，故①②正确，,A C Q 在圆上，则线段AC 是弦；故③正确；Q ,,C A D 都在圆上，\CAD Ð是圆周角而F 点不在圆上，则ADF Ð不是圆周角故④不正确；Q O 是圆心，,C A 在圆上\COA Ð是圆心角故⑤正确故正确的有：①②③⑤故答案为：①②③⑤【点拨】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．16．0152=+-x x 【分析】连接OD ，OE ，因为»AD =»EB，根据等弧所对的圆心角相等可得∠DOC=∠EOF ，因为CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，所以∠DCO=∠EFO=90°，又因为DO==EO ，所以Rt △DOC ∽Rt △EOF ，所以CO=OF=12，在Rt △DOC 中，，，，所以以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是（，整理，得0152=+-x x ．解：连接OE ，OD ，∵»AD =»EB，∴∠DOC=∠EOF ，∵CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，∴∠DCO=∠EFO=90°，又∵DO=EO ，∴Rt △DOC ≌Rt △EOF ，∴CO=OF=12，∵在Rt △DOC 中，∴，，=，∴以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是（)=0，整理，得0152=+-x x ．故答案为：x 2．【点拨】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．17． 90° 150°或30°【分析】如图，在△AOD 中，根据勾股定理的逆定理即可求出∠AOD 的度数；连接OC ，易得△AOC 是等边三角形，从而可得∠AOC ＝60°，进一步利用角的和差即可求出∠COD 的度数．解：如图，在△AOD 中，∵2222228OA OD +=+=，(228AD ==，∴222OA OD AD +=，∴∠AOD=90°；连接OC，∵OA＝OC＝AC=2，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°．∴∠COD＝∠AOC+∠AOD＝60°+90°＝150°或∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝90°－60°＝30°．故答案为：90°；150°或30°．【点拨】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理、等边三角形的判定与性质以及分类的数学思想，依照题意画出图形、熟练掌握相关知识是解题的关键．18．93o【分析】根据圆周角定理的推论，得∠DCE=32°，由CD AB^结合三角形外角的性质，得∠BOC 的度数，从而得∠BDC的度数，进而即可求解．解：∵∠DCE和∠DBE是同弧所对的圆周角，∴∠DCE=∠DBE=32°，∵CD AB^，∴∠BOC=90°+∠DCE=90°+32°=122°，∴∠BDC=12∠BOC=12×122°=61°，∴DFEÐ=∠DCE+∠BDC=32°+61°=93°．故答案是：93°．【点拨】本题主要考查圆周角定理及其推论，三角形外角的性质，掌握“同弧或等弧所对的圆周角相等”，“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键．19．57.5°【分析】根据平行线的性质得出∠ODC=∠AOD=65°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ODA=∠OAD=1（180°-∠AOD）=57.5°，求出∠ADC的度数，根据圆内接四边形的性2质得出∠B+∠ADC=180°，再求出答案即可．解：连接AD，∵∠AOD=68°，AO∥DC，∴∠ODC=∠AOD=65°，∵∠AOD=65°，OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=1（180°-∠AOD）=57.5°，2∴∠ADC=∠ODA+∠ODC=57.5°+65°=122.5°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC=180°，∴∠B=57.5°，故答案为：57.5°．【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出∠ADC的度数是解此题的关键．20．128【分析】连接AD．首先证明∠ADC=∠ADE，再利用圆内接四边形的性质求出∠ADC即可解决问题．解：连接AD．∵»»AC AE=，∴∠ADC=∠ADE，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC=180°-116°=64°，∴∠CDE=2×64°=128°，故选：128．【点拨】本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．1 3【分析】根据已知条件得出∠DCA=∠DBA=30°，设DE=EC=x，由在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半可以得出AE和BE的长，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．解：∵⊙O的直径AB过»CD的中点A，∴»AC＝»AD，∴DE＝EC，∵AB是⊙O的直径，∴∠BED＝∠CEA＝90°，∵∠C＝30°，∴∠DCA＝∠DBA＝30°，设DE＝EC＝x，∵∠C＝30°，∴AE，∵∠DBA ＝30°，∴BE，∴AE BE13 ；故答案为：13．【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，掌握在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．22．①③【分析】①由»»BDCD =，可得∠COD =∠BOD ，据此根据圆周角定理即可得结论；②由点M 是直径AB 上一动点，而CE 的位置是确定的，因此DM ⊥CE 不一定成立，可得结论；③由题意可得点D 和点E 关于AB 对称，因此CM +DM 的最小值是在点M 和点O 重合时取到，即CE 的长；④过点C 作CN ⊥AO 于点N ，利用解直角三角形可求得CN ，利用三角形面积公式求解即可．解：①»»BDCD =Q ，C O D B O D \Ð=Ð，12CED COD Ð=ÐQ ，12CED BOD \Ð=Ð，故①正确；②Q 点M 是直径AB 上一动点，而CE 确定，\DM ⊥CE 不一定成立，故②错误；③¼¼¼BD CD AC==Q ，60BOE AOC COD BOD Ð=Ð=Ð=Ð=\°，∠CED =30°，\DE ⊥AB ，\点D 和点E 关于AB 对称，\CM +DM 的最小值是在点M 和点O 重合时取到，即CE 的长，Q AB =4，\CE =AB =4，故③正确；④连接AC ，¼¼¼BD CD AC ==Q ，\∠COA =60°，则△AOC 为等边三角形，边长为过点C 作CN ⊥AO 于N ，则sin 602CN OC =×°==，在△COM 中，以OM 为底，OM 边上的高为CN ，1122COM S OM CN x \=×==△，故④错误；综上，①③正确，故答案为：①③．【点拨】本题考查了圆周角定理，最小值问题，等边三角形判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23． 越长 越长 越短【分析】根据圆心角定理解答即可.解：在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧越长，所对的弦越长，所对弦的弦心距越短．故答案为越长；越长；越短.【点拨】本题考查了圆心角定理及其推理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.24．27°【分析】根据题意易得∠ACB ＝90°，然后根据圆的性质及直角三角形的两个锐角互余可求解．解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°﹣∠ABC ＝90°﹣63°＝27°，∴∠D ＝∠A ＝27°．故答案为27°．【点拨】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．25．（1）作图见分析；（2）5 3 p试题分析：（1）根据扇形定义及题目要求画出即可；（2）根据扇形的面积公式S=2360n r p计算即可．解：（1）如图所示：（2）∵∠AOB=120°，∠BOC=90°，∴∠AOC=150°，故S扇形AOC =2150253603pp´´=．26．（1）26o；（2）13【分析】（1）连接OB，结合OD⊥AB，根据垂径定理，推导得∠AOD；再根据圆心角、圆周角的性质，即可得到答案；（2）结合题意，根据垂径定理性质，计算得AC；再结合OD⊥AB，通过勾股定理即可计算得⊙O的半径．解：（1）连接OB∵^OD AB∴»»AD BD=∴52AOC BODÐ=Ð=o∵12DEB BOD Ð=Ð∴26DEB Ð=o（2）∵^OD AB ∴11241222AC AB ==´=设OA x =，则8OC x =-在Rt ACO V 中，()222128x x =+-∴13x =∴O e 的半径长为13．【点拨】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆心角、圆周角、勾股定理的性质，从而完成求解．27．(1)同弧所对的圆周角相等；(2)见分析；1；【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得ABE ACD Ð=Ð；（2）由BAE CAD Ð=Ð可得BAC EAD Ð=Ð，再由ACB ADE Ð=Ð可得ABC AED ∽△△；（3）连接AD ，BE ，由2AB BC CD DE EA =====可得»»»»»AB BCCD DE BA ====，进而»»»BE AD BD==，BE =AD =BD ，再由AB DE AE BD BE AD ×+×=×解方程即可；(1)解：∵同弧所对的圆周角相等，»»AD AD =，∴ABE ACD Ð=Ð；故答案为：同弧所对的圆周角相等；(2)解：∵BAE CAD Ð=Ð，∴BAE EAC CAD EAC Ð+Ð=Ð+Ð，∴BAC EAD Ð=Ð，∵»»AB AB =，∴ACB ADE Ð=Ð；(3)解：如图，连接AD ，BE ，∵2AB BC CD DE EA =====，∴»»»»»AB BC CD DE BA ====，∴»»»»»»AB AE AE EDCD CB +=+=+，∴»»»BE AD BD==，∴BE =AD =BD ，∵四边形ABDE 是O e 的内接四边形，∴AB DE AE BD BE AD ×+×=×，∵2AB DE EA ===，∴2222BD BD ´+=，解得：1BD =或1BD =，∴对角线BD 1+；【点拨】本题考查了圆内接多边形，圆心角、弧、弦关系，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识；掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题关键．28．(1)见分析(2)【分析】（1）根据AB CD ^得，90AME DMB Ð=Ð=°，根据等弧或同弧所对的圆周角相等可得BDC BAF Ð=Ð，DBA DFA Ð=Ð，根据等角的余角相等可得AEM DBM Ð=Ð，进而可得DFA DEF Ð=Ð，根据等角对等边即可得证；（2）连接,,,OF OC CF AC ，根据∠BAF ＝22.5°，证明COF V 是直角三角形，勾股定理求得CF ，进而证明MN 是ECF △的中位线，即可求解．解：(1)Q »»BFBC =，BDC BAF \Ð=Ð，AB CD ^Q ，90AME DMB \Ð=Ð=°，90,90BAF AEM CDB DBM \Ð+Ð=°Ð+Ð=°，AEM DBM \Ð=Ð，»»AD AD =Q ，DBA DFA \Ð=Ð，AEM DEN Ð=ÐQ ，DFA DEF \Ð=Ð，DE DF \=；(2)如图，连接,,,OF OC CF AC ，Q »»BFBC =，22.5CDB BDF BAF Ð=Ð=Ð=\°，45CDF CDB BDF \Ð=Ð+Ð=°，»»CFCF =Q ，290COF CDF \Ð=Ð=°，在Rt COF △中，CF ===，由（1）得，DE DF =，DEF \V 是等腰三角形，CDB BDF Ð=ÐQ ，EN FN \=，N \是EF 的中点，Q »»BFBC =，BAF BAC \Ð=Ð，AB CD ^Q ，AM EC \^，EM MC \= ，\12MN CF ==【点拨】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．。

24.1.3 弧、弦、圆心角（说课稿）一、教材分析本节课是《2022-2023学年九年级数学上册同步备课系列（人教版）》中的第24章第1节内容，主要讲解弧、弦和圆心角的概念及其相关性质。

通过学习这一部分，学生将进一步理解圆的相关概念和性质，为后续学习圆的相关定理和应用奠定基础。

二、教学目标1. 知识与能力目标•掌握弧、弦、圆心角的概念；•理解并能应用弧、弦、圆心角的性质；•能够运用所学知识解决实际问题。

2. 过程与方法目标•通过引导学生观察、发现、思考和实践，培养学生的探究能力和动手能力；•采用合作学习的方式，培养学生的团队合作精神和互助学习的能力；•运用多媒体和实物展示等教学手段，激发学生对数学的兴趣。

3. 情感态度价值观目标•培养学生对数学的兴趣和好奇心；•培养学生的观察力、思维能力和解决问题的意识；•培养学生的自学能力和合作意识。

三、教学重难点1. 教学重点•弧、弦、圆心角的概念；•弧、弦、圆心角的性质及其应用。

2. 教学难点•培养学生形象思维，理解弧、弦、圆心角的定义；•培养学生灵活运用所学知识解决问题的能力。

四、教学过程1. 导入与热身（5分钟）通过出示多个圆形的图片，让学生观察并回答问题：“这些图片有什么共同之处？”引导学生发现这些图片都是圆形的，然后提问：“在日常生活中，你们见到过什么与圆相关的事物？”引导学生思考圆在生活中的应用。

2. 引入新知（15分钟）出示一个完整的圆形，并画出其直径、弦、弧和圆心角，向学生介绍这些新概念，并进行定义和解释。

通过实物展示、图形演示和问题引导等方式，帮助学生理解并记忆这些概念。

3. 概念讲解与讨论（20分钟）分别对弧、弦、圆心角的概念进行详细讲解，并结合实例帮助学生更好地理解。

在讲解过程中，通过提问和讨论，引导学生发现弧、弦、圆心角之间的关系和性质，以激发学生的思考和探究欲望。

4. 深化与拓展（25分钟）让学生在小组合作的形式下，探究弧、弦、圆心角的性质，并运用所学知识解决一些具体问题。

专题24.8 弧、弦、圆心角（基础篇）（专项练习）一、单选题类型一、圆心角概念1．如图，MN为⊙O的弦，⊙MON＝76°，则⊙OMN的度数为（）A．38°B．52°C．76°D．104°2．如图，在O中，点B是AC上一点，若100∠的度数是（）∠=︒，则ABCAOCA．80°B．100°C．120°D．130°3．如图，A、B、C是O上的三个点，50∠=︒，则AB∠=︒，55AOB∠的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．55°类型二、圆心角与它所对弧的度数4．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是⊙AOB、⊙COD，若⊙AOB 与⊙COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（）A．B．C．D．5．如图，已知50ABC∠平分线BM上一点，当点P是ABC的外心∠=︒，点P是ABC∠=（）时，APCA．95°B．100°C．110°D．115°6．如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O 的半径为2，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则⊙APB等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°类型三、用弧、弦、圆心角关系求解7．如图，点A，B，C，D在O上，144∠=︒，点D是AC的中点，则B的度AOC数是（）A．36︒B．40︒C．46︒D．72︒8．如图，点A、B、C、D在⊙O上，⊙AOC=140°，点B是AC的中点，则⊙D的度数是（）A ．70°B ．60°C ．40°D ．35°9．如图，BD 是O 的直径，弦AC 交BD 于点G ．连接OC ，若126COD ∠=︒，AB AD =，则AGB ∠的度数为（ ）A ．98°B ．103°C ．108°D ．113°类型四、用弧、弦、圆心角关系证明10．已知1O ，2O ，3O 是等圆，ABP ∆内接于1O ，点C ，E 分别在2O ，3O 上．如图，⊙以C 为圆心，AP 长为半径作弧交2O 于点D ，连接CD ； ⊙以E 为圆心，BP 长为半径作弧交3O 于点F ，连接EF ；下面有四个结论： ⊙CD EF AB += ⊙222CD EF AB += ⊙231CO D EO F AO B ∠+∠=∠ ⊙23CDO EFO P ∠+∠=∠所有正确结论的序号是（）A．⊙⊙B．⊙⊙⊙C．⊙⊙D．⊙⊙⊙11．如图, AB是⊙O的直径, CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, 则下列结论正确的是()A．AD=DF=FB B．AD DF>C．DF FB<D．AD FB DF=≠12．在锐角ABC中，60∠=︒，⊙BAC、⊙ABC的角平分线AD、BE交于点M，则ACB下列结论中错误的是（）A．120=AMB∠=︒B．ME MDC．AE BD AB+=D．点M关于AC的对称点一定在ABC的外接圆上二、填空题类型一、圆心角概念13．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，⊙A＝18°，AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则⊙EOD＝______14．点A，B，S在圆上，若弦AB ASB∠的度数是____________．15．如图，A，B，C是⊙O上三点，⊙AOC=⊙B，则⊙B=_______度．类型二、圆心角与它所对弧的度数16．如图，在两个同心圆中，AB 为60°，则CD 的度数为__________．17．如图，在⊙O 中， 点B 是AC 的中点，点D 在BAC 上， 连接OA 、OB 、BD 、CD ．若⊙AOB=50°，则⊙BDC 的大小为___________．18．如图，在ABC 中，70,55A B ∠=︒∠=︒，以BC 为直径作O ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，则CF 弧的度数为________°．类型三、用弧、弦、圆心角关系求解19．为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点P 处安装了一台监视器，它的监控角度是50°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器________台．20．如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将弧BC 沿BC 翻折交AB 于点D ，再将弧BD 沿AB 翻折交BC 于点E ，若BE DE =，设ABC α∠=，则α为_______°．21．如图，在O 中，弦AB 、CD 所对的圆心角分别是AOB ∠、COD ∠，若AOB ∠和COD∠互补，且2AB =，4CD =，则O 的半径是______．类型四、用弧、弦、圆心角关系证明22．如图，⊙O 的半径为四边形ABCD 内接于⊙O ，AC ⊙BD ，垂足为E ，且BC =2AD ，则AD +BC 的值为_______．23．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，⊙BAC =42°，OD ⊙BC 于点E ，则⊙BDE 为_____°．24．在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧______;所对的弦__________, 所对弦的弦心距____________．三、解答题25．如图，AB是圆O的直径，C是BA延长线上一点，点D在圆O上，且CD OA=，CD 的延长线交圆O于点E，若20∠=，求∠BOE的度数.C=，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于26．如图，在ABC中，AC BCDF BC，交⊙O于点F，求证：点E，过点D作//（1）四边形DBCF是平行四边形（2）AF EF=27．如图，四边形ABCD内接于120，，，求证：ABC是等边三O AB AC ADC=∠=︒角形．参考答案1．B【分析】根据圆的基本性质，可得OM ON = ，从而得到OMN ONM ∠=∠ ，再由三角形的内角和定理，即可求解．解：⊙MN 为⊙O 的弦，⊙OM ON = ， ⊙OMN ONM ∠=∠ ， ⊙⊙MON ＝76°， ⊙()1180522OMN MON ∠=︒-∠=︒ ． 故选：B【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握同圆（或等圆）的半径是解题的关键．2．D 【分析】在优弧AC 上取点D ，连接AD 、CD ，由⊙AOC= 100° 求出⊙ADC=12⊙AOC ，根据四边形ABCD 是圆内接四边形，得到⊙ADC+⊙ABC= 180° ，即可求出⊙ABC 的度数．解：在优弧AC 上取点D ，连接AD 、CD ，⊙⊙AOC= 100° ， ⊙⊙ADC=12⊙AOC=50° ， ⊙四边形ABCD 是圆内接四边形， ⊙⊙ADC+⊙ABC= 180° ， ⊙⊙ABC= 180° -50° =130° ， 故选：D ．【点拨】此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．3．B【分析】首先根据⊙B的度数求得⊙BOC的度数，然后求得⊙AOC的度数，从而求得等腰三角形的底角即可．解：⊙OB=OC，⊙B=55°，⊙⊙B=⊙OCB，⊙⊙BOC=180°-2⊙B=70°，⊙⊙AOB=50°，⊙⊙AOC=⊙AOB+⊙BOC=70°+50°=120°，⊙OA=OC，⊙⊙A=⊙OCA=1801202︒-︒=30°，故选：B．【点拨】考查了圆周角定理及等腰三角形的性质，解题的关键是求得⊙AOC的度数，难度不大．4．C【分析】如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．证明CD=BT，⊙ABT=90°，再利用勾股定理求解即可．解：如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．⊙⊙AOB+⊙BOT=180°，⊙AOB+⊙COD=180°，⊙⊙COD=⊙BOT，⊙CD BT=，⊙CD=BT=4，⊙AT 是直径，AT=6，⊙⊙ABT=90°，=故选：C ．【点拨】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5．B【分析】根据圆周角，圆心角的性质解答即可．解：如图示，⊙点P 是ABC 的外心，⊙A ，B ，C 三点共圆，⊙2250100APC ABC ，故选：B ．【点拨】本题考查了圆周角，圆心角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．6．B【分析】根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解． 解：12APB AOB ∠=∠ 90190452AOB APB ︒︒︒∠=∴∠=⨯= 故选：B【点拨】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识．根据正方形的性质得到圆心角的度数是解题的关键．7．A【分析】连接OD，根据点D是中点求出⊙COD72=︒，再利用圆周角定理得出结果．解：连接OD，⊙D是AC的中点，⊙⊙COD=111447222AOC∠=⨯︒=︒，⊙⊙B=1362COD∠=︒，故选择A．【点拨】本题考查圆周角定理以及弧和圆心角关系，注意通过弧进行角的转化是解决问题的关键．8．D【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到⊙AOB=12⊙AOC，再根据圆周角定理解答即可．解：连接OB，如图所示，⊙点B是AC的中点，⊙AOC=140°，⊙⊙AOB=12⊙AOC=70°，由圆周角定理得，⊙D =12⊙AOB =35°， 故选：D ．【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．9．C【分析】先求出⊙COB 的度数，由圆周角定理求出⊙BAC 的度数，再根据弧、弦之间的关系求出⊙ABD =45°，即可得到答案．解：⊙⊙COD =126°，⊙⊙COB =54°， ⊙1=272BAC COB =︒∠∠， ⊙BD 是圆O 的直径，⊙⊙BAD =90°，⊙AB AD =，⊙AB =AD ，⊙⊙ABD =⊙ADB =45°，⊙⊙AGB =180°-⊙BAG -⊙ABG =108°，故选C ．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的弦相等，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知圆周角定理是解题的关键．10．A【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以及勾股定理的逆定理即可得到结论． 解：由题意得，AP ＝CD ，BP ＝EF ，⊙AP +BP ＞AB ，⊙CD +EF ＞AB ；⊙⊙APB ≠90°，⊙222AP PB AB +≠即222CD EF AB +≠⊙⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3是等圆，⊙AP BP AB+=，⊙CD EF AB+=；⊙⊙CO2D＝⊙AO1P，⊙EO3F＝⊙BO1P，⊙⊙AO1P+⊙BO1P＝⊙AO1P，⊙⊙CO2D+⊙EO3F＝⊙AO1B；⊙⊙CDO2＝⊙APO1，⊙BPO1＝⊙EFO3，⊙⊙P＝⊙APO1+⊙BPO1，⊙⊙CDO2+⊙EFO3＝⊙P，⊙正确结论的序号是⊙⊙，故选：A．【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以及勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键．11．A【分析】如图，连接AD，OD，DF，OF，BF，根据垂直平分线的性质易证DF=DF=BF，再根据“在同圆或等圆中，所对的弦相等的两段弧是等弧”即可判断.解：如图，连接AD，OD，DF，OF，BF，⊙CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线,⊙DF=CE=12AB，AD=OD，OF=BF，⊙DF=DF=BF，则AD=DF=FB.故选A.【点拨】本题主要考查垂直平分线的性质，等弧的判定，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.12．D【分析】利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出⊙MAB+⊙MBA=60°，推出⊙AMB=120°，可判断A，证明C，E，M，D四点共圆，利用圆周角定理可判断B；在AB上取一点T，使得AT=AE，利用全等三角形的性质证明BD=BT，可判断C；无法判断M与⊙ABC互补，可判断D．解：如图，⊙⊙ACB=60°，⊙⊙CAB+⊙CBA=120°，⊙AD，BE分别是⊙CAB，⊙CBA的角平分线，⊙⊙MAB+⊙MBA=12（⊙CAB+⊙CBA）=60°，⊙⊙AMB=180°-（⊙MAB+⊙MBA）=120°，故A符合题意，⊙⊙EMD=⊙AMB=120°，⊙⊙EMD+⊙ECD=180°，⊙C，E，M，D四点共圆，⊙⊙MCE=⊙MCD，⊙ EM DM，⊙EM=DM，故B符合题意，四边形CEMD是O的内接四边形，60,AME ACB BMD在AB上取一点T，使得AT=AE，在⊙AME和⊙AMT中，AE ATMAE MAT AM AM，⊙⊙AME⊙⊙AMT（SAS），⊙⊙AME=⊙AMT=60°，EM=MT，⊙⊙BMD=⊙BMT=60°，MT=MD，在⊙BMD和⊙BMT中，MD MTBMD BMT BM BM，⊙⊙BMD⊙⊙BMT，⊙BD=BT，⊙AB=AT+TB=AE+BD，故C符合题意，⊙M，M'关于AC对称，⊙M=⊙AMC，⊙11802AMC CAB ACB11801802ABC=90°+12⊙ABC，⊙M与⊙ABC不一定互补，⊙点M'不一定在⊙ABC的外接圆上，故D不符合题意，故选D．【点拨】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．13．54°【分析】根据圆的基本性质，可得⊙OEB=⊙OBE，⊙AOB=18°，从而得到⊙OEB=⊙OBE=⊙A+⊙AOB=36°，继而得到⊙BOE=108°，即可求解．解：⊙CD是⊙O的直径，⊙OD=OE=OB，⊙⊙OEB=⊙OBE，⊙AB=OD，⊙AB=OB，⊙⊙AOB=⊙A，⊙⊙A＝18°，⊙⊙AOB=18°，⊙⊙OEB =⊙OBE =⊙A +⊙AOB =36°，⊙⊙BOE =108°，⊙⊙EOD =180°-⊙BOE -⊙AOB =54°．故答案为：54°【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．14．45︒【分析】连接OA ，OB ，则OA =OB ，又有弦AB 倍，可得222AB OA =，又在AOB 中，2222OA OB OA += ，从而得到AOB 是直角三角形，且90AOB ∠=︒ ，再由圆周角定理即可求解．解：如图，连接OA ，OB ，则OA =OB ，⊙弦AB⊙AB == ，⊙)2222AB OA == ，在AOB 中，2222OA OB OA += ，⊙222OA OB AB += ，⊙AOB 是直角三角形，且90AOB ∠=︒ ，⊙S 在圆上， ⊙1452ASB AOB ∠︒=∠= ． 故答案为：45︒ ．【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，圆周角定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理得到90AOB ∠=︒是解题的关键．15．120【分析】连结OB，可知△OAB和△OBC都是等腰三角形，⊙ABC=⊙A+⊙C=⊙AOC，四边形内角和360゜，可求⊙B．解：如图，连结OB，⊙OA=OB=OC，⊙△OAB和△OBC都是等腰三角形，⊙⊙A=⊙OBA，⊙C=⊙OBC，⊙⊙ABC=⊙OBA+⊙OBC=⊙A+⊙C，⊙⊙A+⊙C=⊙ABC=⊙AOC⊙⊙A+ ⊙ABC+⊙C+⊙AOC=360゜⊙3⊙ABC=360゜⊙⊙ABC=120゜即⊙B=120゜．故答案为：120．【点拨】本题考查圆周角度数问题，要抓住半径相等构造两个等腰三角形，把问题转化为解⊙B的方程是关键．16．60°【分析】根据圆心角定理可得⊙AOB=60°，即⊙COD=60°，则CD的度数为60°.解：⊙AB为60°，⊙⊙AOB=60°，⊙⊙COD=60°，则CD的度数为60°.故答案为60°.【点拨】本题主要考查圆心角定理：圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．17．25°【分析】连接OC，利用AB BC=得到⊙AOB＝⊙BOC＝50°，然后根据圆周角定理得到⊙BDC的度数．解：如图，连接OC．⊙点B是AC的中点，⊙AB BC=．⊙⊙AOB＝⊙BOC＝50°，⊙BOC＝25°．⊙⊙BDC＝12故答案为：25°．【点拨】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角、圆心角的性质是解答此题的关键．18．70【分析】连接OF，求出⊙C和⊙CFO度数，求出⊙COF，即可求出弧CF度数．解：如图，连接OF，⊙⊙A＝70°，⊙B＝55°，⊙⊙C＝180°−⊙A−⊙B＝55°，⊙OC＝OF，⊙⊙CFO＝⊙C＝55°，⊙⊙COF＝180°−⊙C−⊙CFO ＝70°，⊙弧CF 的度数是70°．故答案为：70．【点拨】本题考查了弧与圆心角的关系，掌握弧的度数等于它所对的圆心角的度数是解题的关键．19．4【分析】根据监控角度可推出该角对应的弧的度数，而圆的度数是360度，由此可求出最少需要多少台这样的监视器．解：由题意可知，一台监视器所对应的弧的角度为：50°×2=100°，⊙360÷100=3.6，⊙至少需要4台．故答案为：4．【点拨】本题主要考查圆的圆周角和圆心角的性质，利用监控角度得到该弧所对的角是解题的关键．20．22.5【分析】根据同圆中等弧对的圆周角相等，可得AC CD DE ==，进而根据题意可得13AC CB =，13ABC CAB ∠=∠，根据直径所对的圆周角等于90度，即可求解． 解：连接AC ，如图，ABC DBC DBE ∠=∠=∠AC CD DE ∴==BE DE =13AC CB ∴= 13ABC CAB ∴∠=∠ AB 是O 的直径，19022.54ABC ∴∠=⨯︒=︒ 故答案为：22.5．【点拨】本题考查了同圆中等弧对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90度，理解等弧的意义是解题的关键．21【分析】延长CO ，交O 于E ，连接DE ，根据圆周角定理求出90CDE ∠=︒，求出DOE AOB ∠=∠，根据圆心角、弧、弦之间的关系求出2DE AB ==，根据勾股定理求出CE 即可．解：延长CO ，交O 于E ，连接DE ，CE 是O 的直径，90CDE ，AOB ∠和COD ∠互补，180COD DOE ∠+∠=︒，DOE AOB ∴∠=∠，2AB =，2DE AB ∴==，由勾股定理得：CE ===O ∴【点拨】本题考查了圆周角定理．圆心角、弧、弦之间的关系，余角和补角，勾股定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．22．12【分析】作直径BF ，连接DF ，FC ．证明AD =FC ，设FC =2k ，BC =3k ，利用勾股定理构建方程求解即可．解：如图，作直径BF ，连接DF ，FC ．⊙BF是直径，⊙⊙BDF=⊙BCF=90°，⊙BD⊙DF，⊙AC⊙BD，⊙DF⊙AC⊙DF2=AC，AB AC⊙⊙CDF=⊙ACD，⊙AD CF=，⊙AD=FC，⊙BC=2AD，⊙BC=2FC，⊙可以假设FC=k，BC=2k，⊙k2+（2k）2=（2，⊙k=4或-4（舍弃），⊙BC=8，FC=4，⊙AD=FC=4，⊙AD+BC=4+8=12，故答案为：12．【点拨】本题考查圆周角定理，弧、弦的关系，平行线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23．69【分析】连接CD，由圆内接四边形的性质得⊙BDC+⊙BAC=180°，可得⊙BDC =180°-42°=138°，再由垂径定理得出BD CD=，则BD=CD，然后根据等腰三角形的性质即可求出⊙BDE的度数．解：如图，连接CD，⊙A，B，C，D是⊙O上的四个点，⊙⊙BDC+⊙BAC=180°，⊙⊙BAC=42°，⊙⊙BDC =180°-42°=138°，⊙OD⊙BC，⊙BD CD=，⊙BD=CD，⊙⊙BDE=12⊙BDC=8113629︒=︒⨯，故答案为：69．【点拨】本题考查的是圆内接四边形的性质及垂径定理等知识，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．24．越长越长越短【分析】根据圆心角定理解答即可.解：在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧越长，所对的弦越长，所对弦的弦心距越短．故答案为越长；越长；越短.【点拨】本题考查了圆心角定理及其推理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.25．60【分析】连接OD ，利用半径相等和等腰三角形的性质求得⊙EDO ，从而利用三角形的外角的性质求解．解：连接OD ，⊙CD=OA=OD, 20C ∠=，⊙⊙ODE=240C ∠=，⊙OD=OE ，⊙⊙E=⊙EDO=40，⊙⊙EOB=⊙C+⊙E=40+20=60.【点拨】此题考查了半径相等和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键. 26．（1）证明见分析；（2）证明见分析【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明BAC B =∠∠，利用平行线证明ADF B ∠=∠，利用圆的性质证明BAC CFD ∠=∠，再证明//,BD CF 即可得到结论；（2）如图，连接AE ，利用平行线的性质及圆的基本性质AEF B ∠=∠，再利用圆内接四边形的性质证明EAF B ∠=∠，从而可得结论．解：证明：（1）AC BC =，BAC B ∴∠=∠，//DF BC ，ADF B ∴∠=∠，又BAC CFD ∠=∠,,ADF CFD ∴∠=∠//,BD CF ∴四边形DBCF 是平行四边形．（2）如图，连接AEADF B ∠=∠，ADF AEF ∠=∠AEF B ∠∠∴=四边形AECF 是O 的内接四边形180ECF EAF ︒∴∠+∠=//BD CF180ECF B ︒∴∠+∠=EAF B ∴∠=∠AEF EAF ∴∠=∠AF EF ∴=【点拨】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．27．见分析【分析】由圆内接四边形的性质得到60ABC ∠=︒，再由AB AC =，得到AB AC =，根据等边三角形的判定可得到结论．解：⊙四边形ABCD 内接于O ，⊙180ADC ABC ∠+∠=︒，又⊙120ADC =∠︒，⊙180********ABC ADC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，⊙AB AC =，⊙AB AC =，⊙ABC 是等边三角形．【点拨】本题主要考查圆内接四边形的性质，弧与弦的关系，等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形的性质，等边三角形的判定是解决问题的关键．。

第14讲圆的有关性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩垂径定理弧、弦、圆心角的关系圆的有关性质圆周角定理及推论圆内接四边形的性质 知识点1垂径定理①弦和直径：(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。

直径等于半径的两倍。

②弧：(1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B 为端点的的弧记作AB ⌒,读作弧AB.(2)半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如 ACB .小于半圆的弧叫做劣弧，如AB 。

（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。

③弦心距：（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。

四者有一个相等，则其他三个都相等。

圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

④圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。

⑤垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．⑥同心圆与等圆（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。

（图一）（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。

人教版九年级上册数学24.1.3弧、弦、圆心角同步训练一、单选题1．在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（）A．90°B．60°C．30°D．15°2．如图，⊙O中，如果⊙AOB＝2⊙COD，那么（）A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC 3．如图，AB为O的直径，C，D为O上的两点，且C为AD的中点，若BAD∠=︒，则ACO20∠的度数是（）A．45︒B．55︒C．50︒D．60︒4．如图，已知⊙O中，CD，AB是⊙O的两条弦，AOB∠与COD∠互补，若AB=8，CD=6，则⊙O的半径长为（）．A．5B．6C．7D．85．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若⊙ACO＝25°，则⊙BOC的度数是（）A ．40°B ．50°C ．55°D ．60° 6．如图，在O 中，AB BC CD ==，40AOB ∠=︒，则CAD ∠的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°7．如图，在⊙O 中，=AC BD ，⊙AOD =150°，⊙BOC =80°，则⊙AOB 的度数是（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35° 8．如图，AB 为⊙O 直径，CD 为弦，AB⊙CD 于E ，连接CO ，AD ，⊙BAD ＝25°，下列结论中正确的有（ ）⊙CE ＝OE ；⊙⊙C ＝40°；⊙ACD ＝ADC ；⊙AD ＝2OEA．⊙⊙B．⊙⊙C．⊙⊙⊙D．⊙⊙⊙⊙二、填空题9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_________，所对的弦也_______．同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____，所对的弦________；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________．10．半径为5的O中，弦AB的长为5，则弦AB所对的圆心角的度数为________．11．如图，AB为⊙O的直径，△P AB的边P A，PB与⊙O的交点分别为C、D．若AC CD DB，则∠P的大小为_____度．==⊥,垂足为点12．如图，已知半O的直径AB为3，弦AC与弦BD交于点E，OD AC =，则弦AC的长为_____________．F，AC BD13．已知在⊙O中,AB=BC,且:3:4AB AMC=,则⊙AOC=________.14．如图，⊙O中OA⊙BC，⊙CDA=25°，则⊙AOB的度数为________．15．如图，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=________．16．P 为⊙O 内一点，OP ＝3cm ，⊙O 的半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为_____cm ，最长弦长为_____cm ．三、解答题17．如图，AD 是O 的一条弦，,B C 是弦AD 上的点，AB CD =，连接,OB OC ，分别延长,OB OC 交O 于,E F 两点．求证：AE DF =．18．如图，过O 的直径AB 上两点,M N ，分别作弦,CD EF ，//,CD EF AC BF =．求证：（1）BC AF =；（2）AM BN =．19．已知：如图，AB是⊙O的直径，M、N分别为AO、BO的中点，CM⊙AB，DN⊙AB，垂足分别为M、N，连接OC、OD．求证：AC BD20．如图，AD=CB，求证：AB=CD．参考答案：1．B2．C3．B4．A5．B6．B7．D8．B9．相等相等相等相等相等相等10．60°11．601213．144°14．50°15．816．810答案第1页，共1页。

九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系 1. 圆心角、圆周角的概念. 2. 弧、弦、圆心角之间的关系. 3. 圆周角定理及推论.二、知识要点：1. 弧、弦、圆心角（1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.如图所示，（1）若∠AOB ＝∠COD ，则︵AB ＝︵CD ，AB ＝CD ；（2）若︵AB ＝︵CD ，则∠AOB ＝∠COD ，AB ＝CD ；（3）若AB ＝CD ，则∠AOB ＝∠COD ，︵AB ＝︵CD.OABCD2. 圆周角（1）顶点在圆上，并且两边与圆都相交的角叫做圆周角.（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.③②①（3）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.三、重点难点：本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理. 难点是从圆的旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明.【典型例题】例1. 在⊙O 中，如图所示，∠AOB ＝∠DOC ，试说明：（1）︵DB ＝︵AC ； （2）BD ＝AC.B分析：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，∴︵BD ＝︵AC. （2）∵在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，∴BD ＝AC.解：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＝︵AB ， ∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，即︵BD ＝︵AC.（2）由（1）得︵BD ＝︵AC ，∴BD ＝AC.例2. 如图所示，C 是︵AB 的中点，与∠ADC 相等的角的个数是（ ） A. 7个 B. 3个 C. 2个 D. 1个分析：由同弧或等弧所对的圆周角相等知，∠ADC ＝∠ABC ＝∠CAB ＝∠CDB ，故与∠ADC 相等的角共有3个.解：B评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求.例3. 如图所示，BC 为半圆O 的直径，G 是半圆上异于B 、C 的点，A 是︵BG 的中点，AD ⊥BC 于点D ，BG 交AD 于点E ，请说明AE ＝BE.分析：在圆中，有关直径的问题常常需要添加辅助线，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质，因此，欲说明AE 与BE 相等，可转化为说明∠BAD ＝∠ABE ，圆周角∠ABE 所对的弧为︵AG ，连结AB 、AC 即可解决问题.C解：连结AB 、AC. ∵︵AB ＝︵AG ，∴∠ABE ＝∠ACB. 又∵AD ⊥BC ，∴∠ABD ＋∠BAE ＝90°.∵BC 为直径，∴∠BAC ＝90°，∴∠ABD ＋∠BCA ＝90°， ∴∠BCA ＝∠BAE. ∴∠BAE ＝∠ABG ， ∴AE ＝BE.例4. 如图所示，在⊙O 中，∠AOC ＝150°，求∠ABC 、∠ADC 、∠EBC 的度数，并判断∠ABC 和∠ADC 、∠EBC 和∠ADC 的度数关系.分析：解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如劣弧AC 所对的圆心角是∠AOC ，所对的圆周角是∠ABC ，优弧ABC 所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC.解：∵∠AOC ＝150°，∴∠ABC ＝12∠AOC ＝75°.∵∠α＝360°－∠AOC ＝360°－150°＝210°，∴∠ADC ＝12∠α＝105°，∠EBC ＝180°－∠ABC ＝180°－75°＝105°.∵∠ABC ＋∠ADC ＝75°＋105°＝180°，∠EBC ＝∠ADC ＝105°， ∴∠ABC 和∠ADC 互补，∠EBC 和∠ADC 相等. 评析：理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角性质解题的前提.例5. 如图所示，AB 、CD 是⊙O 的弦，∠A ＝∠C. 求证：AB ＝CD.分析：此题的证明方法很多，由于AB 和CD 在圆中，且为弦，可证明AB 和CD 所对的圆心角相等或弧相等，也可直接或间接利用全等证明AB 和CD 相等. 等等.解法一：如图（1）所示，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F.∴AB ＝2AE ，CD ＝2CF ，∠AEO ＝∠CFO ＝90°. 又∵∠A ＝∠C ，OA ＝OC ， ∴△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF. ∴AB ＝CD.(1)解法二：如图（2）所示，连结OB 、OD.∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D. ∵∠A ＝∠C ，∴∠B ＝∠D. ∴△OAB ≌△OCD ，∴AB ＝CD.(2)(3)解法三：如图（3）所示，连结AC. ∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠3.又∵∠BAO ＝∠DCO ，∴∠2＝∠4. ∴︵BC ＝︵AD.∴︵BC ＋︵BD ＝︵AD ＋︵BD ，即︵AB ＝︵CD ， ∴AB ＝CD.例6. AB 、BC 、CA 是⊙O 的三条弦，O 到AB 的距离OE 等于12AB ，求∠C 的度数.分析：∠C 可能为一个钝角，也可能为一个锐角，要分类画图、分析和解答.BB m解：如图（1）所示，连结AO 、BO.因为OE ⊥AB ，所以EB ＝AE ＝12AB.又OE ＝12AB ，所以EB ＝OE ＝AE.所以∠EBO ＝∠EOB ＝∠EOA ＝∠EAO ＝45°.所以∠C ＝12∠AOB ＝12（∠AOE ＋∠EOB ）＝12×90°＝45°.如图（2）所示，由（1）得∠AOB ＝90°，所以优弧A m B 所对的圆心角是270°，所以∠C ＝135°.即∠C 的度数为45°或135°.评析：图（1）中，△ABC 为锐角三角形，圆心在△ABC 内部；图（2）中，△ABC 为钝角三角形，圆心O 在△ABC 外部，两种情形都符合题意，所以本题应有两解.【方法总结】1. 圆不仅是轴对称图形和中心对称图形，实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合，这样就把圆和其他的中心对称图形区别开来，即圆不仅是中心对称图形，而且还突破了中心对称图形旋转180°后才能与原来图形重合的局限性，得出圆所特有的性质：圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这叫做圆的旋转不变性. 利用这一性质可以推出圆的一些其他性质.2. 在利用圆心角、弧、弦的关系定理解题时，我们应注意：①作圆心到弦的垂线是圆中一种常见的作辅助线的方法；②由圆心到弦的垂线、弧、圆心角的相等来证明弦相等是证明线段相等的一条重要途径.3. 圆周角定理及其推论在证明和计算中应用非常广泛，它是证明角相等、线（弦）相等、弧相等的重要依据，尤其是其推论为在圆中确定直角、构成垂直关系创造了条件，它是圆中的一个很重要的性质，要熟练掌握. 同时它也是证明弦为直径的常用方法，若图中有直径，往往构造直径所对的圆周角形成直角，这也是圆中重要的辅助线.【预习导学案】（点和圆的位置关系）一、预习前知1. 圆可以看作是到__________的距离等于__________的点的集合，也就是说圆上的点到圆心的距离都等于__________.2. 圆的内部可以看作是到__________的距离小于半径的点的集合.3. 圆的外部可以看作是到__________的距离大于半径的点的集合.二、预习导学1. ⊙O 的半径r ＝5cm ，圆心O 到直线的距离OD ＝3cm . 点A 、B 、C 在直线l 上，若AD ＝23cm ，BD ＝4cm ，CD ＝5cm . 则点A 在⊙O__________，点B 在⊙O__________，点C 在⊙O__________.2. 下列条件中，可以画一个圆，并且只可以画一个圆的条件是（ ） A. 已知圆心 B. 已知半径 C. 已知三点 D. 过直线上两点和直线外一点3. 三角形外接圆的圆心是（ ） A. 三内角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三中线的交点 D. 三高线的交点4. 用反证法证明：“在△ABC 中，至少有两个内角是锐角”时，第一步假设__________成立.反思：（1）点和圆有哪些位置关系？（2）经过不在同一直线上的三点画圆的时候，如何确定圆心？（3）反证法的基本思路和一般步骤是怎样的？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 一条弦分圆周为5∶7，这条弦所对的两个圆周角分别为（ ）A. 150°，210°B. 75°，105°C. 60°，120°D. 120°，240°2. 已知AC 为⊙O 的直径，弦AB ＝10cm ，∠BAC ＝30°，那么⊙O 的半径为（ ）A. 5cmB. 52cmC. 1033cmD. 2033cm3. 如图所示，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，已知∠ECB ＝60°，∠AED ＝65°，那么，ADE的度数为（ ）A. 40°B. 45°C. 55°D. 65°*4. 如图所示，劣弧︵AE 所对的圆心角为40°，则∠B ＋∠D 等于（ ） A. 320° B. 160° C. 300° D. 260°D5. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，∠ACD ＝15°，则∠BAD 的度数为（ ） A. 75° B. 72° C. 70° D. 65°6. 如图所示，已知圆心角∠AOB 的度数为100°，则圆周角∠ACB 的度数为（ ） A. 80° B. 100° C. 120°D. 130°**7. 已知⊙O 的半径为6cm ，⊙O 的一条弦AB 的长为63cm ，则弦AB 所对的圆周角是（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°二、填空题1. 如图所示，D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD ＝CE ，则AC 与CB 弧长的大小关系是__________.2. 如图所示，点A 、B 、C 、E 都在圆周上，AE 平分∠BAC 交BC 于点D ，则图中相等的圆周角是__________.3. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，︵BC ＝︵BD ，∠A ＝30°，则∠BOD ＝__________.AB4. 如图所示，已知⊙O 的半径为2，圆周角∠ABC ＝30°，则弦AC 的长是__________.5. 如图所示，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝40°，D 是︵AC 上任意一点，那么∠D 的度数是__________.A**6. 如图所示，A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上顺次五点，且AB ＝BC ＝CD ，如果∠BAD ＝50°，那么∠AED ＝__________.B三、解答题1. 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F. （1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE ＝OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？︵AB 与︵CD 的大小关系？为什么？∠AOB 与∠COD 呢？BD2. 如图所示，AB 、DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ＝CE ，BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？*3. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且AC ＝PC. PB 的延长线交⊙O 于D. 求证：AC ＝DC.P*4. 如图所示，已知A 、B 、C 、F 、G 是⊙O 上的五点，AF 交BC 于点D ，AG 交BC 于点E ，且BD ＝CE ，∠1＝∠2. 求证：AB ＝AC.试题答案一、选择题1. B2. C3. C4. B5. A6. D7. D二、填空题 1. 相等2. ∠ABC ＝∠AEC ，∠ACB ＝∠AEB ，∠BAE ＝∠CAE ＝∠BCE ＝∠CBE3. 60°4. 25. 130°6. 75°三、解答题1.（1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE ＝OF ，理由是：因为∠AOB ＝∠COD ，所以AB ＝CD. 因为OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，所以AE ＝12AB ，CF ＝12CD ，所以AE ＝CF. 又因为OA ＝OC ，所以R t △OAE≌R t △OCF. 所以OE ＝OF. （2）如果OE ＝OF ，那么AB ＝CD ，︵AB ＝︵CD ，∠AOB ＝∠COD ，理由是：因为OA ＝OC ，OE ＝OF ，所以R t △OAE ≌R t △OCF. 所以AE ＝CF ，又因为OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，所以AE ＝12AB ，CF ＝12CD. 所以AB ＝2AE ，CD ＝2CF. 所以AB ＝CD. 所以︵AB ＝︵CD ，∠AOB ＝∠COD.2. BE ＝CE. 理由：∵AB 、DE 为⊙O 的两条相交的直径，∴∠AOD ＝∠BOE ，∴BE ＝AD ，又∵AD ＝CE ，∴BE ＝CE.3. 连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADP ＝90°，∵AC ＝CP ，∴CD ＝12AP. ∴CD ＝AC ＝12AP.∴AC ＝DC.4.∵∠1＝∠2，∴⌒BF ＝⌒CG ，∴BF ＝CG ，⌒BG ＝⌒CF ，∴∠FBC ＝∠GCE. 又BD ＝CE ，∴△BFD ≌△CGE （SAS ），∴∠F ＝∠G. ∴⌒AB ＝⌒AC ，∴AB ＝AC.。