极限论教学研究

浅论数学分析中极限问题的存在性和若干求解方法【摘要】本文旨在探讨数学分析中极限问题的存在性及其求解方法。

在我们将介绍研究背景、研究意义和研究目的。

在我们将详细讨论极限问题的定义与性质，极限存在性的证明方法，夹逼定理的应用，以及无穷小与无穷大的讨论。

我们还将探讨数列极限和函数极限的求解方法。

在我们将总结极限问题的重要性，讨论研究的局限性，并展望未来研究方向。

通过本文的阐述，读者将对数学分析中极限问题有更深入的理解和认识。

【关键词】数学分析、极限问题、存在性、求解方法、夹逼定理、无穷小、无穷大、数列极限、函数极限、重要性、局限性、未来展望1. 引言1.1 研究背景数统计、格式要求等。

数学分析中的极限问题一直是研究的重要内容之一。

极限的概念贯穿于整个数学领域，在微积分、微分方程等领域都有广泛的应用。

极限的存在性和求解方法是数学分析中的基础，对于理解数学中的各种问题起着至关重要的作用。

随着数学分析的发展，极限问题的研究也在不断深入。

数学家们通过不断探索和总结，提出了各种证明方法和求解技巧，为解决复杂的极限问题提供了重要的指导。

对于学习数学分析的学生来说，深入理解极限的概念和性质，掌握极限存在性的证明方法以及灵活运用夹逼定理等技巧，都是提高数学分析水平的必经之路。

在当今科技发展日新月异的时代，数学分析中的极限问题不仅仅是学术研究，更是应用于工程、物理、计算机等领域的重要工具。

深入研究数学分析中的极限问题，既有理论意义，又具有现实意义，值得我们深入探讨和研究。

1.2 研究意义数不够了，需要继续添加等。

部分内容如下：研究数学分析中极限问题的存在性和求解方法具有重要的理论和实际意义。

对于数学分析这一基础学科而言，极限是一个核心概念，它贯穿了整个数学分析的学习过程，是许多数学问题的基础。

通过对极限问题的研究，可以加深对数学分析理论的理解，提高数学分析能力。

极限问题在物理、工程、经济学等应用学科中也有着广泛的应用。

香农极限定理的例证法教学方法研究摘要：香农第一、第二极限定理从数学方面进行推导和证明比较复杂，以致理解困难。

鉴于此，本文基于半逆向思维引入两个定理，在此基础上采用例证法进行分析，引出理论极限问题。

通过对例证数据的对比与分析，反向验证理论结果。

实践证明可以将抽象理论形象化，降低学习难度。

关键词：香农第一极限定理；香农第二极限定理；例证法中图分类号：G642.0文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）52-0183-03收稿日期：2016-08-22基金项目：南京工程学院教改基金项目（项目号：JG201429）；南京工程学院教改基金项目（项目号：JG201425）通讯作者：徐伟业。

一、引言《信息论与编码》课程以香农侠义信息论的三大极限编码定理为主线并兼顾实际应用技术和近年涌现的新理论、新技术。

该课程涉及到较多数学背景，理论性较强，故在本科阶段，特别是应用型本科，学生普遍反应理论抽象，可理解性弱。

本文就该课程中香农两个极限理论，结合比较形象的实例将复杂的理论形象化，使课堂变得省时省力，取得不错的教学效果。

二、理论要点与引例1.香农第一极限定理。

香农第一极限定理是指无失真信源编码定理，信源定长编码定理内容在此从略，结论是当信源序列长度L 足够大时，可以实现无失真编码。

讲到此定理时，大多数学生不能理解这个无失真的真正含义。

要把一个定理阐述得简单、清晰而又明白，如果直接采用数学公式推导与证明来得出结论，虽然能体现出教师扎实的专业功底和严密的逻辑思维，但是对于本科的学生来讲效果可能不佳，因此，本文采用了学生比较容易接受的例证法，并采用半逆向思维，一边例证分析引出问题，一边利用分析结果逆向验证理论。

[课堂举例]：已知2个不同概率分布的信源如表1所示，试对其进行各种参数比较与分析。

徐伟业，耿苏燕，马湘蓉，冯月芹（南京工程学院通信工程学院，江苏南京211016）表1：信源分布与定长编码表由表1可知，第2行分布编码效率低，达不到每个二进制码元携带1bit 信息的上限，很不划算。

高等数学中的极限理论分析与应用1. 引言在数学中，极限是一种重要的概念，涉及到函数、序列和级数等方面的研究。

在高等数学中，极限理论是数学基础的重要组成部分，有着广泛的应用。

2. 极限的定义与性质在数学中，极限是描述某个函数或序列的趋于某个值的特性。

根据定义，当自变量趋近于某个值时，函数值或序列的值是否趋近于某个常数。

极限的定义包括函数极限和序列极限两种形式，但其基本思想相似。

3. 函数极限的分析在高等数学中，函数极限是极限理论的重要内容。

通过对函数在某一点的极限进行分析，可以了解函数在该点的变化趋势、连续性以及导数的性质等。

具体而言，可以通过极限求解不确定型、函数的连续性、函数的导数、函数的泰勒展开等问题。

4. 序列极限的分析序列极限也是极限理论的重要组成部分，通过对数列的极限进行分析，可以研究数列的递推公式、收敛性、收敛速度等性质。

在高等数学中，序列极限与级数收敛的关系紧密相关，通过对序列极限的研究，可以进一步分析级数的收敛性和求和等问题。

5. 极限的应用极限理论在实际问题中有广泛的应用。

例如，通过极限可以分析函数的渐近线，研究函数的增减性和凹凸性。

此外，极限理论还可应用于微积分的教学过程中，通过极限的概念来引入导数和积分，从而使学生更好地理解微积分的基本思想和应用。

6. 极限理论的发展与应用前景极限理论作为高等数学的基础，由于其广泛的应用领域，其研究也在不断发展。

随着科学技术的不断进步和数学应用的不断拓展，极限理论在各个领域的应用前景愈发广泛。

例如，在物理学中，极限理论可以用于分析物质的状态变化、力学的研究等；在经济学中，极限理论可以应用于分析经济现象和经济模型的稳定性等。

总结：高等数学中的极限理论是数学基础的重要组成部分，具有广泛的应用范围。

通过对函数和序列极限的研究，可以深入了解函数和序列的性质和行为，并应用于解决实际问题。

随着科学技术的发展和数学应用的不断拓展，极限理论在各个领域的应用前景将愈发广阔。

极限思想的研究现状1、毕业论文开题报告信息与计算科学中国古代数学中的极限思想一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）微积分是近代数学产生的标志之一，而其中极限概念与极限方法是近代微积分学的基础。

美国学者C.B. 波斯湾耶在他的微积分概念史一书中，多处指出在古希腊数学中没有产生极限概念和使用过极限方法，但在古代东方的中国，早在春秋战国时期就有了极限思想的萌芽，对宇宙的无线性与连续性已有了相当深的认识；到三国魏晋时期，我国著名数学家刘徽受到秦汉的极限思想的启迪，继承并发展了极限思想，在为九章算术作注时，最先创造性地把极限思想引入数学，成为数学方法，这种方法在圆田术。

2、和阳马术得到了充分的发挥和广泛作用，可以说为微积分的产生准备了必要的条件（参见文献12）。

本次论文设计针对极限思想的萌芽、发展到完善过程，以及其在古代数学中应用和影响做较为全面的探讨。

数学中有很多重要的思想和方法，比如极限思想就是人们认识无限运动变化的伟大结晶，是联系初等数学和高等数学的一条重要的纽带3 。

这种思想和方法的运用，扩大了人们的思维空间，产生了许多重要的结论和经典故事。

而极限又是高等数学中最重要的概念，高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓与深化。

作为研究函数最基本的方法极限方法，早在古代就有比较清楚的描述，其在古代数学中的应用也有很多具3、体实例。

因此，结合国外的极限思想的应用实例，对中国古代极限思想的理论及实际应用进行研究十分必要。

以中国为代表的长于算法的东方数学和以希腊为代表的长于逻辑的西方数学, 是雪白梅香, 各有所长（参见文献4）。

我们知道, 极限概念是微积分的最重要概念之一。

数学家们如果一开始因为无穷小的概念不严格而放弃它, 那么微积分就不会诞生。

当时的微积分是建立在经验观察或并不很审慎的直观的基础上的, 以在天文力学上的实用性为其后盾。

这和中国学者走的道路类似。

到了19 世纪, 微积分开始严格化运动, 它要求高度演绎。

对两个关键极限公式教学方法的研究[摘要]根据教学内容、课时安排和学生的基础等实际情况，就两个重要极限教学方法的改革提出了自己的观点，并进行了有益的探索，把教学重点转移到对公式的剖析上，附之以典型的例题和思考题的训练，取得了较好的教学效果。

[关键词]关键极限公式教学方法极限是高等数学中的重要内容之一，它贯穿于这门学科的始终。

而两个重要的极限公式在极限理论中占有十分重要的地们，是解决极限计算问题的有效工具。

传统的教学方法是课堂上教师证明完两个重要极限公式之后，再通过例子对公式进行简单说明，最后布置一些习题要求学生自习巩固。

这种教学方法固然有其优点，但是学生在初学时往往抓不住代的本质，对公式理解不够透彻，加之重要极限公式的理论性、应用性和形式性都很强，因些学生往往感觉对公式掌握得不扎实，教学效果不显著。

为了改变这种局面，根据教学内容、课时安排和学生的基础等实际情况，我们对传统教学方法进行了改革，把教学重点转移到对公式化的剖析上，附之以典型的例题和思考题训练，取得了较好的教学效果。

教学过程我们在2003年、2004年和2005年对我系计算机专业三个年级的学生进行了重要极限公式教学方法比较实验.对照班采用传统的教学方法,实验班运用新的教学方法进行教学。

产生这种现象的原因是对照班学生对重要极限公式理解不得法，只会机械地应用公式，所以导致计算效果较差。

实验班同学能够牢固掌握公式内在的本质特征，在作题时运用自如，得心应手。

经过几年的教学实践，我们看到采用新方法讲授两个重要极限，教学效果还是比较好的，同学们也比较认同。

历年参加专升本和高自考的宪政反馈回来的信息也是令人满意的。

参考文献[1]吕忠田.重要极限公式教学礼记[J].高等数学研究.2005.(5)[2]同济大学数学教研室.高等数学(上册)[M].4版.北京:高等教育出版社.1999。

浅谈中学数学中极限思想的应用1 极限思想极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，是近代数学的一种重要思想.简单地说极限思想即是用无限逼近的方式从有限中认识无限,用无限去探求有限,从近似中认识精确,用极限去逼近准确,从量变中认识质变的思想.1.1 极限思想的产生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限思想可以追溯到古代，刘徽的“割圆术”就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，他们借助间接证法——归谬法来完成了有关的证明.16世纪，荷兰数学家斯泰文改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明.如此，他就在无意中指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向. 1.2 极限思想的发展与完善极限思想的进一步发展和完善是与微积分紧密相联系的.16世纪欧洲的处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题只用初等数学的方法已无法解决,为了解决这些问题，科学家们开始专心研究促进技术革新.在这样的社会背景下，牛顿和莱布尼茨以无穷小量为基础建立了微积分，微积分的建立极大的促进了极限思想的发展.到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论.为了排除极限概念中的直观痕迹，德国数学家维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础.所谓n A =，就是指“如果对任何0ε>，总存在自然数N ，使得当n N >时，不等式n A ε-<恒成立”.这个定义，借助不等式，通过ε和N 之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系.因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用.1.3 中学数学中的极限思想极限思想并非只出现在高等数学中.在中学数学里也有很多方面体现了极限思想，其中最典型的就是在求圆面积时候的用到分割法.在初高中时我们只知道圆的面积公式：2S Rπ=（R为圆的半径）.其实，深入探究会发现圆面积的计算就是运用极限的思想得出的.在学圆的面积之前，我们只学过三角形和常规的四边形的面积计算，那么我们如何把圆的面积化为求三角形或者四边形的面积呢？如图1-1是一个以R为半径的圆O，我们给这个圆O作n条半径，如图1-2所示.图这样我们就可以发现，圆的面积是由n个小扇形相加得来.这时你会发现，当n不断增大()n→∞时，圆里面的每一个小扇形我们就可以近似的看成一个小三角形，此小三角形的底可以近似的看成扇形的圆弧()1n n A A+，高为圆的半径R.我们知道三角形的面积为112n nS R A A+≈⋅,则整个圆的面积为122334111112222n nS R A AR A A R A A R A A+≈⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()122334112n nS R A A A A A A A A+≈⋅+++⋅⋅⋅+由于12233412n nA A A A A A A A Rπ++++⋅⋅⋅+=带入即可得出圆面积的近似值为：2S Rπ≈，当n越大时越精确，当n→∞即得证.圆面积的探讨运用了“无限分割”的思想方法，同时也体现了“化曲为直，化整为零，积零为整，逐渐趋近近视值”的极限思想.当然这只是极限思想运用的一部分，在中学数学中还有很多的问题渗透了极限的思想.如函数、数列、球的表面积和体积推导、双曲线的渐近线、曲线的切线等等无不包含着极限思想的渗透和运用.本文我们结合一些具体的例子来探讨极限思想在初等数学中的一些运用.2 极限思想在函数中的渗透在中学数学中，很多幂函数、指数函数、正切函数、双曲线等等都存在渐近线，通过利用极限思想可以巧妙的研究这些函数的渐近线.例1 研究函数1+y x x =的图像.分析 函数1+y x x=的定义域为{}|0x x ≠.且为奇函数，因此可以先做出0x >时的函数图像.（1）当0x >时，由基本不等式可得1+2y x x=≥，当且仅当1x =时min 2y =；（2）当0x +→ 时，y →+∞，所以0x =是1+y x x=的一条渐近线；（3）当+x →∞时，10x →，y x →，所以y x =也是1+y x x=的一条渐近线.由此三个条件即可作出函数1+y x =的图像.如图2-1：图2-1极限思想在函数中的应用非常广泛，不仅应用于研究一些函数的渐近线，在求一些特殊函数的最值的问题中极限思想也是很好的切入点.例2 试讨论函数y =的最值. 分析 注意到函数表达式可以变形为：y=从数形结合的角度来看，函数值y可以看成做是平面直角坐标系中x轴上的动点(,0)x到两定点(32)A，、(11)B，的距离之差，即y MA MB=-（如图2-1），由平面几何的知识，易得当M移动到2(M'在线段AB的延长线上)点时y值最大maxy=下面我们探讨此函数有无最小值，分三种情况：①当M在如图2中M（线段AB的垂直平分线l与x轴的交点）右侧移动时；②当M在M'与M中间图2-1图2-2下面我们先看①时由于MB MA>，不妨记=y MB MA--，图2-2中，点1M、2M均在M的右侧（其中2M又在1M的右侧）.我们来比较111()=y M B M A--与222()=y M B M A--的大小，移项之后即比较12M B M A+与21M B M A+的大小.设1M A与2M B相交于点T,则有1212<()()M B M A M T BT M T AT++++12()()M T AT M T BT=+++21M B M A=+即12()()y y-<-所以当M在M右侧向右运动时，()y-的值越来越大，下面我们讨论()y-有无最大值.上面已知y MB MA-=-===114-=()114lim lim x x y →∞--=4211==+ 于是当x →+∞时，=y MB MA --的值越来越大的趋近于2，但是永远都不可能达到2，即y -没有最大值.但是<2y -，即2y >-.所以在第①情况下y 的取值范围为(]2,0-.同理，在第③种情况下，MB MA <当M 在M '左侧时(]1x ∈-∞-，，讨论y MA MB =-.计算可得y 的取值范围为(.在第②种情况下，当M 在M '与0M 之间且由0M 向M '移动时，y 值不断增大，所以y 的取值范围为⎡⎣0.综上所述，本题y的值域为(2-本题在高中阶段可能就只会让我们求此函数的最大值，但是如果我们进一步研究这个问题的时候，就能发现其与高等数学的衔接点.本题所涉及的函数最值问题，看似跟极限思想没多大联系，但是通过深入的研究我们才能发现其中的奥妙.3 极限思想在数列中的应用极限分析法是研究数列问题的一个有效方法.对于一个等比数列，在高中教材中给出的求和公式是11(1)(1)1(1),,.n n a q q q q S na -≠-=⎧⎪=⎨⎪⎩等比数列的求和公式是要分情况的，即1q =和1q ≠的情况.这样最简单的等比数列——常数列就被分裂出来.然而,利用极限就可以将它合二为一.对于上面1q ≠的情况，讨论1q →时，n S 的极限.111(1)lim lim 1n n q q a q S q→→-=- 2111(1)(1)lim 1n q a q q q q q-→-+++⋅⋅⋅+=-2111lim (1)n q a q q q-→=+++⋅⋅⋅+1na =这也就是说，1q =时的n S 就是1q ≠时n S 的极限.那么，等比数列求和公式就可以用一个公式来表示1(1)lim 1n n n q a q S q→-=-当然，这比高中课本上给出的公式要复杂点，但是这显然让我们重新思考了问题，使得这些分类的东西变成一个整体.对于一个无穷数列，它本身就是一个极限形式.所以在数列的有关问题中涉及到极限思想的题目很多，灵活运用极限思想能让我们解题方法更加简便，减少计算量和计算时间，优化解题过程.例3 已知数列{}n a 中，满足1=1a ，且对任意自然数n 总有12n n n a a a +-=，问是否存在实数a ，b 使得2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.分析 假设存在这样的实数a 、b ，满足2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立，则lim n x a a →∞=；再由12n n n a a a +-=两边同取极限有2aa a =-，解得0a =或3a =验证，当0a =时，数列{}n a 应该是以1为首项，以23-为公比的等比数列，显然，不可能对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以0a =不满足题意.当3a =时，将1=1a ，代入2()3n n a a b =--，求得3b =-，则233()3n n a =+⋅-，验证可得同样不满足对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以3a =同样不满足题意.综上所述，0a =和3a =都不满足题意，所以假设与题意矛盾，不存在这样的a 、b .在高中阶段，对于解这样的数列问题一般思路是按照 “由一般到特殊再到一般”的思维原则，再通过数学归纳法将{}n a 表达出来.但是对于这一个题目用这样的方法远没有借用极限思想简单.4 极限思想巧解立几问题在一些复杂立体几何的问题中，我们只要巧妙的利用无限逼近的思想，就可以将原本复杂难懂的问题简单化.像这样的问题在高中数学中很常见，比如像下面这道例题.例4 在四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（ ）.(0A.(1B ，C.(0D ，分析 一般的方法，我们通过三角形三条边之间的等量关系列不等式，通过解不等式可以得出来，但是通过极限思想也可以巧妙的解决这个问题.显然，对于四根长度相等的直铁条有两种摆放方法： （1）底面为等腰三角形，两腰长度为2，底长为a （图4-1）； （2）底面为等边三角形，三条边的长都为2（图4-2）.图 4-2 由于a 是ABC ∆的边，所以04a <<.如图4-1，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于BDC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 、C 的距离为2.当A D →时，0a →；当平面ABC 与平面BDC 重合时，A 与D 距离最远即a 值最大.此时由菱形的性质可解得a =由于此图形必须要构成三棱锥，所以平面ABC 与平面BDC 不可以重合，即取不到所以(0,a ∈.如图4-2，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于DBC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 的距离为2.当A 在DBC ∠的角平分线上时，a 最小，可解得a =-；当A 在DBC ∠的角平分线的反向延长线上时，a 最大，可解得a =.由于此图形必须要构成三棱锥，所以A 不能在DBC ∠的角平a ∈.综上所说，a ∈，所以此题选A .这是2010年辽宁省的一道高考题，如果用一般的方法解不等式将会非常复杂，也浪费了考试时宝贵的时间.而如果使用无限逼近思想来研究就可以将原本复杂难懂的问题简单化. 从本题可以发现，极限思想在几何解题过程中的应用可以起到良好的导向作用，同时也是一种探索解题思路或切入点的有效武器.例5 正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是 ( )o o .(0180)A ，o o .(60180)B ， o o .(600)C ，9 o o .(00)D ，6 分析 如图4-3所示，正三棱锥S ABC -中，SO 是正三棱锥S ABC -的高，图4-3当0180.SO→时，S无限靠近于O，此时相邻两个侧面的夹角趋近于o 当SO→∞时，正三棱锥S ABC-无限接近一个底面为正三角形的三棱柱，这时两侧面的夹角越来越小，趋近于o60.所以α的取值范围为o o(60180)，，故本题选B.从这些例题可以感受到，极限思想不仅是一种解决问题的方法，同时它也是一种思维方式.我们可以从极限或极端状态的数学问题的研究中得到启发，从而得到数学关系的猜想，有时也会通过这种启发找到问题的解决方法.5 总结本文结合具体的例题讨论了极限思想在初等数学中的一些应用.当然，极限思想作为数学中的重要的思想在中学数学中的涉及范围远不止这几个方面.所以我觉得，在我们的中学教学中，若能通过一些例题，来向学生渗透极限思想，对学生数学思维能力的提高将会有很大帮助.参考文献[1]谢慧杰.极限思想的产生、发展与完善.数学学习与研究,2008,(09):13-15.[2]梁克强.刘徽割圆术.中学生数学,2010,(06):23-24.[3]杨君芳.例析极限思想在高中数学中的一些应用.中学数学研究,2009,11(1):27-28.[4]孙道斌.利用极限思想巧解立几问题.中学生数学,2007,(1上):17-18.[5]吕士虎，徐兆亮.从高等数学看中学数学,2005,(03):1-3.[6]华东师大数学系.数学分析第三版.北京：高等教育出版社,2001:42-48.[7]张永辉，用极限思想解题.中学生数学，2006，(9上):8-9.。

对中心极限定理的教学研究与思考作者：李春娥蒋青松来源：《新教育时代·教师版》2016年第40期摘要：中心极限定理是概率论的重要内容之一，又是数理统计中大样本统计推断的理论基础.文章通过贴近学生生活的例子引入中心极限定理，引导学生积极探索问题，解决问题，从而使学生深刻理解中心极限定理内涵、并能灵活运用中心极限定理解决生活中的问题.在教学中，应着重培养学生的学习和研究兴趣，引导他们从学习知识到总结规律，进而向应用推广进行转变.关键词：中心极限定理教学研究总结规律推广应用一、中心极限定理的引入在一定条件下，大量随机变量序列之和的极限分布近似为正态分布的一系列定理，统称为中心极限定理，但是为什么大量的随机变量序列之和的极限分布近似正态分布？对学生而言，非常抽象和难以理解，那么怎么样引入才能引起学习中心极限定理的兴趣和深刻理解、掌握中心极限定理的实质呢？下面以贴近实际生活的例子引入中心极限定理。

引导学生思考问题：以某高校理工科学生的高等数学成绩为随机变量，观察全体学生的高等数学成绩的分布情况，再思考该校自建校以来至今所有学生高等数学成绩之和的分布情况？提出问题以后，让学生分组自由讨论，然后小组代表回答问题，就学生回答的答案进行分析，进而引向中心极限定理。

例：（预算问题）随着大数据的发展，越来越多的人参加数据分析师资格证书的考试，某大型咨询公司今年有500名员工参加此资格证书考试，员工是否通过考试为一随机变量，设每一名员工通过考试的概率为0.8。

公司为了鼓励员工积极提升自身素质，若员工通过考试，则给予1000元的奖励。

试计算该公司要为这次考试至少做多少元的预算才能以0.95的概率保证通过考试的员工及时领到奖励？分析：以记500名员工中通过考试的数量，以表示该公司为此次考试准备的预算额，另外，每个员工是否通过考试是相互独立的，则由题意知求：P其中X：B（500，0.8），显然直接用二项分布求Y，计算非常繁琐，难以求出。

高职数学教学中的课程思政案例研究——函数极限的教学设计近年来随着社会和国家发展，我国教育也在不断更新和发展，数学课程也成为教育的重要内容。

根据《中华人民共和国教育法》，我国在高职阶段的教育要把重点放在课程思政上，为了落实这一政策，我们以函数极限的教学设计为例，着力探讨高职数学教学中课程思政的相关问题。

函数极限是初高中数学教育中的重要内容，它不仅是一种抽象的概念，也是数学运算的重要方法，对学生未来的学习和工作具有重要意义。

函数极限有着多样的学习方法，它不仅可以从传统的数学运算中学习函数极限的概念，也可以以实际的数学模型、相关的数学分析以及高级的数学设计知识来理解，从而提高学生对函数极限的理解能力，为学生掌握高级数学知识打下坚实的基础。

函数极限的教学设计要坚持思想政治教育为重点，紧贴学生实际，注重实践性，融入课堂学习，尊重学生独立性，进行系统的教学。

例如，在教学过程中，可以利用案例的方式，让学生在实际的数学模型中加深对函数极限的理解和探讨，比如在求函数极限的过程中，可以让学生模仿实际的数学模式，利用数据分析实验求出函数极限，有助于培养学生独立思考分析、归纳推理能力。

此外，在教学过程中，可以鼓励学生积极参与，积极提出问题，用例子来讲解概念，使学生对函数极限有更深刻的理解。

除了教学方法之外，在教学过程中，教师也要注重学生的情感教育，积极引导学生发现函数极限的好处，让学生明白学习函数极限不仅有利于学生深入学习数学知识，更重要的是可以丰富学生的精神审美，启发学生学习乐趣，激发学生追求思想的自由力量。

总之，函数极限的教学设计是研究高职数学教学中课程思政的重要内容，教师在教学过程中要坚持以思想政治教育为重点，以学生实际为着力点，注重实践以及学生的情感教育，让学生深入理解函数极限的概念，从而激发学生学习函数极限的兴趣，提高他们对理论的掌握能力。